Luận án phó tiến sỹ Về một số bài toán ngược trong phương pháp trọng lực

80 GIAODUCvA BAo TAO
TRUONG BAI HQ'C TONG H<)P THANH P'HO HO CHi MINH
vO VAN THANH
VE MOT s6 BAt ToAN NGlJQC
TRONG PHUONG PHAp TRQNG Lt)'C
CHUYEN NGANH : E)!AVAT LY
MAs6: 1,02,24
TOM TAT LuAN AN PHO TIEN sf KHOA HQC
ToAN-LY
D!-J.XH.TU"NHIEN
. '"
~~ ~ '! <1'
,
,;>,
'
I
J
'
,
~
,-
N
tI " ' ~ S'. ~, ' f
t 1 ~,.' ~', !
l
THANH PHO HO CHi MINH - 1995
r-
Cong trlnh duQc haan thanh t~i
TRUONG BAI HQC TONG H<;jPTHANH PHO HO CHI MINH
Nguoi huang d§.n khoa h9C :
Giao Su Tie'n SI BANG BINH ANG

B~i H9CT6ng HQpTp. H6 Chi Minh
Nhii'ngnguoi nh~n xet :
1.
2.
Cd quan nh~n xet :
Lu~n an duQc bllO v'f;t~i HQi d6ng cha'm Iu~n an Nha nuac
VaGgio ngay thang nam 1995 t~i Truong B~i H9C T6ng HQP Tp.
HA Chi Minh.
Co th~ tlm d9c lU~i1an t~i Thu vi~n Truong B~i H9C T6ng
HQp Tp. H6 Chi Minh va Thll' vi~n Khaa H9c T6ng HQpTp. H6
Chi Minh.
1
D!C DIEM CHUNG CUA LU~ AN
1. M-q.eweh nghien euu
B~ tai "V~ mQt s6 bai tmin nguqe trbng phuang phap
trc;mgItJe"duqe thtJe hi~n nhAm :
(i) V~ n4t h<;>ethu~t, ehlnh h6a mQt s6 bai toan
nguqe tuye'n tinh khong chlnh thuCmgg~p trong
phuang phap tr<;>ngItJctrong V~t Ij dia c~u U'ng
d\illg.
(ii) V~ n4t U'ngd1:mg,tren ca sO'cae m~ hinh toanda
khao sat, dua ra mQt s6 phuang phap x1i Ij s6
li~u trong phuang phap tr<;>ngItJe.
2. Phtidng phap nghien euu
Cae bai roan duqe dua v~ phuang trlnh tieh phan lo~i I
Av=F
trong do A la roan t1i tuye'n tinh lien t'.1egiiJa cae khong
gian ham, F duqe tinh tU cae diJki~n cho va v la ham c~n
time
Hai phuang phap chlnh h6a duqc dung la phuang phap

Tikhonov va phuang phap bai roan moment. Cong c'.1toan
h9C duge s1i d'.1ngla Iy thuye't giai tieh va giai tieh ham,
giai tich s6. Cae thu~t roan dua ra duqe I~p trlnh d~ eh~y
tren may tinh ea nhan.
3. Nhung dong gap moi eua lu;J.nan.
(i) Tim duqe nghi~m chlnh h6a cua mQt s6 bai toan
nguqe tuye'n tinh; uae luqng duqe SID s6 giiJa
nghi~m chlnh h6a va nghi~m chinh xac duai
anh hudng eua nhi~u do d~e;
-'
c
2
(ii) Bua ra phuang phap tinh cac s6 li~u do tr(;mg h,ic
trong nhUng vung khong co s61i~u do.
(iii) Bua ra mQt cacn. tie'p t\lc giai tlch trt1dng di
thudng tr~mg h,ic v~ phia di vl}t.
(iv) x8.c dinh hi~u 86 ml%t dQ di Vl}t va moi trudng
xung quanh tU 86 do di thudng tr<;mg h,ic va
gradient cua no iran mQtmi~n hUllh~n. .
Bong gap mai 180dua bai toan Cauchy vao mo
hinh xtYly s6 li~u tr<;mg h,ic.
4. Ynghiathl1c ti~n cua lu~n an.
Ke't qua nghien coo cua d~ tai 113.CC1sa khoa h<;>ctrong
giai toan dinh lugngs61i~u tr<;>ngIvc trong V~t ly dia Call
ling d\lng. B6ng thai d~ tai con dugc stYd\;mg trong nghien
coo khoa h<;>cva giao d\lc dilO ~o ng8onh Vl}t ly dia Call.
5. ca'u trUc lu~n an.
NQi dung lul}n an dugc trlnh bay trong6 chuang, ma
dan, ke't lul}n va thu m\lc tai li~u tham khao; g6m 99
trang danh may.

6. Gid'i thi~u cac bai baa va baa cao. khoa hQc
lien quaD de'n lu~n an.
NQi dung cua lul}n an da dugc cong b6 trong 7 cong
trinh trong nuac va nuac ngoai. MQt phan ke't qua cua
lu~n an da dugc baa CaDtham gia hQi nghi khoa h<;>ctrong
nuac.
Tac gia xin bay to long bie'tan san siic v~ Thay huang
d~n GSTS B~ng Binh Ang, nglidi da he't long diu diit va
huang dAn thvchi~n lul}n an nay.
3
. Trong qua trinh hoan thanh lul%nan, tac gia da nhl%n
dl1gc nhi~u y kie'n quy bau cua PGS La Quang To~i,
BHTH Tp. HCM, PGS Trlin V1nh Twin, Trung Tam H9C
Li~u Tp. HCM, GST8 La Minh Trie't, Vi~n Khoa H9C
Gong Ngh~ va Moi TrliCmg,PT8 Nguy~n Bt1c Tie'n, BHBK
Tp. HCM, PT8 La Quang Quye't, Phan vi~n Dliu Khi.
Lul%nan nay khong th~ hoan thanh ne'u thie'u slJ giup dO'
v~ vl%tcha't ding nhl1 tinh thlin cua PG8 Nguy~n Van
Be'n, PGS Nguy~n Nhl%tKhanh, Th~c 81 Trlin Ta'n My~.
Giang Viall B~ng Van Li~t, Khoa Vl%tLy BHTH Tp.
HCM; Giang Viall Binh Ng9c Thanh, Khoa Toan BHTH
Tp. HCM, Giang Vian Chu Bt1cKhanh, TrliCmgDlJ Bi B~i
H9CTp. HCM.
Tac gia xin bay to long bie't an chan thanh d6i v6'i ta't
ca cac ca nhan va cctquan n6i trail.
~
./
r
4
PHAN I

MO HINH TOAN HOC
ChUdng 1 :
ruNG QUANvE BAI ToAN NGUQC TRONG
TRQNG LVC
T.Blli toaD thu~n, hili toaD ngdqc.
Trong V4tly,khi me}tnh6m slf ki~n nha't dinh nao do
dugc hQi du thi sinh ra mQt nh6m slf ki~n nha't dinh khac.
Hai nh6m slf ki~n nay d\1gc baa la co lien h~ nhan - qua
d6i v6i nhau. Nh6m trtiac g<;>ila nhan, nh6m sau g<;>ila
qua. Thi d\l trong Tr<;>ngI1JC,ph an b6 IIU%tde}kh6i lugng
cua mQt vl%tla nhan con the' tr<;>ngllfC do vl%tnay sinh ra
la qua. Biii toan cho ml%t de} kh6i lugng (nhan), tim the"
tr<;>ng 11JC(qua) dugc g<;>iIii bai toan thul%n; con bai toan
bie"t the' tr<;>ngllfC tim phan b6 ml%tdQ kh6i lugng la bai
toan ngugc.
ll. Bi(;u di~n toaD h9C.
. Me}t qua trinh Vl%tly thucmg dugc bi~u di~n bang ma
hinh roan g6m : dliu vila, h~ th6ng, dliu ra (hlnh 1).
1
1
i
' ,
' I D'"" ,
! D>uv,o I Heth6ng . u i
1 F P
Q
Ua trlnh I
' ,' _u_
1
I

~
5
Hinh 1. Mo hinh toan cua mQt qua trinh V~t 1y.
Vi~c nghien cllu qua trinh V~t 1y thong qua mo hinh
toan co thg chia thanh ba 1o~ibai toan sau day:
(A) Bai toan thu~n : Cho d~u vaGva h~ th6ng (tham
so), till d~u ra.
(B) Bai toan khoi ph\lc : Cho d~u ra va h~ th6ng
(tham so) till d~u vaG.
"(C) Bai toan xac dinh h~ th6ng : Cho d~u vaGva d~u
ra, xac dinh h~ th6ng (tham so).
Bai toan" thuQc lo~i (A) duqc baa 1a thu~n vi no thee
chi~u tli nhan tai qua. Theo y nghla nay thi cac bai toan
thuQc lo~i (B) va (C) duqc gQi1a bai toan nguqc.
Bai toan (B) thuC1ngxua't hi~n trong phuemg phap tli
trQng llfC;bai toan (C) trong tham do di~n va dia cha'n.
ill. Bai toaD khong chinh.
Nam 1902, nha toan hQc Phap J.Hadamard dua ra cae
tieu chmln dg mQt bai toan duqc gQi 1a d~t dung (chinh)
nhu sau.
1 Nghi~m phai t6n t~i (slf t6n taD.
2 Nghi~m phai duqc xac dinh mqt cach duy nha't
bi1icac dli ki~n cho (SIf duy nha't).
3 Nghi~m phai tuy thuQc mQt cach lien t\lc va cac
dli ki~n cho (slf 6n dinh).
Ne'u mQt (ho~c nhi~u hem) trong ba tieu chmln noi tran
khong duqc thoa thi bai toan duqc gQi1a khong chinh.
./
r
6

IV. Chinh hoa
Chinh hoam(>t -bai toan khong ehinh la tim nghi~m
xS:p xi 6n dinh eua bai toan, g9i la nghi~m ehinh boa.
Trong lul%nan nay me gill dunghai phl1cmg phap :
ph\1C1IlgphIlp Tikhonov va phl1cmgphap dung hai toan
maIDen hOOh~n -
1. Phudng phap chinhhoa Tikhonov
V6'i U vaF la cae khong gian ham, xet anh x~
A: U ~ F
UEU~fEF
Au= f
(1)
Gia stYphl1cmgtrlnh (1), v6i ~n u la bai toan khong
ehinh thee nghla di~uki~n 3 bi vi ph~m. -
B~ ehinh hoa Tikhonov, thay bai toan (1) b~ng bai
toan.
Bp u =f
(2)
Bp dl1geeh9n sac eho (2) la bai toan d~t dung thee nghla
Hadamard.
2. Phudng phap chinhhoa dung bai toaD momen
hiiu hIt-no
V6'i H va KIa cae khong gian ham va
A:H ~ K
veH ~<peK,
7
Av =q> (3)
Gia sa phti<1llgtrinh (3), vai ~n ham v, ne'u co nghi~m
thi se co vo s6 nghi~m. B!iy gid ta co bai toan khong
chinh theo Hadamard (di~u ki~n 2 bi vi ph~m).

Chinh hoa (3) biing each thay (3) bai cae bai toan
moment hfiu h~n
Aiv =<Pi
CI,l th~ 1a v6i (3) co d~ng
i = 1, ,n
(4)
J v(l;)g(x, I;)d~= q>(x).
a
(5)
thi (4) co d~ng
J v(l;)g(xbl;)d~
=q>(xi),
a
trong do ~n ham v trong phti<1llgtrinh (6) (ma chung toi
ky hi~u 1a vn) dtiqc tim trong khong gian hfiu h~n chi~u
sinh bai cae gi vai
i =1, ,n
(6)
gi (~= g(xi,1;)
V. Me}t 86 bili to an ngUQc trong 'fr9ng I1fc.
Trong phti<1llgphap tr~mg hie thudng g~p cae bai toan
nguqe tuye'n tfnh sail day:
ale Bili tmin tim phan b6 m~t de}p(x).
Trong bai toan nay nguC1ita eho hinh dang va kfeh
thtiae eua di v~t 0, di thtidng ilg do di v~t gay ra. Tim
phan b6 m~t de:?p .
!
r
8
Bay la bai toan khong chinh thee nghla co vo so

nghi~m ho~c khong co nghi~m.
hi. Bai toan chuy~n tniong xu6ng duOi.
Trong bai roan nay nguai ta cho di thuang tr«;mgl,!c U;li
~t co dQ caoh, bell tren ~t d6t, tim di thuang trc;mg
l,!c U;li~t d6t.
Bai roan nay thuQc lo~i khong chinh thee nghla khong
co nghi~m ho~c ne'u co. nghi~m thi nghi~m la duy nh6t
nhu'ng khong tuy thuQc mQt cach lien t\lc vao cac dii'ki~n
. .
choo
c/. Bai toan ngol1-i 8UY86li~u do.
Trong bai roan nay nguai ta chi cho di thuang trgng l,!c Uo
va gradient ul cua no trong mQt wng hOOh~n tren ~t
d6t, tim v la gradient cua di thuang tren ~t d6t bell
ngoai mi~n do d~c.
Bay la bai. roan khong chinh thee nghla nghi~m khong
tuy thuQc mQt cach lien t\lc vao di~u ki~n chao
d!. Bai toan tim hinh d~ng D.
Trong bai toan nay nguai ta cho p tim hinh d~ng D tU
di thuang tr«;mgl,!c do tren m~t d6t. Bay la bID toan phi
tuyen. Bai roan nay dii du<JcRA. Smith (1960) chUng
minh co nghi~m duy nhB:t.
9
Chuang 2.
BAI TOAN CAUCHY CHO PHUdNG TRiNH
LAPLACE.
I. Gidi thi~u
Bai toan Cauchy cho phtic:mg trlnh Laplace dB. dtigc
Hadamard d:iu tien chi ra la bai toan khong chinh. Trong
khi do bai toan Dirichlet cho phtic:mgtrlnh Laplace la bai

toan d~t dung. Tuy nhien, khoa h<,:lcva ky thu~t l~i yell
c:iu, trong ~Qt. s6 trtiemg hgp phai xet bai toan Cauchy
cho lo~i phtic:mgtrlnh noi tren. Thi d\l, nguai ta mu6n xac
dinh di thtiemg tr<,:lngh;rc(mQt d~i ltigng thoa phtic:mgtrlnh
Laplace) i1bell tren m~t da't, do cac di v~t i1bell dtiO'i~t
da't gay nell, tit cac s6 li~u do d~c th\;fChi~n tren mQt
tuye'n ho~c mQt viIng.VO'imo hinh la bai toan Cauchy cho
phtic:mgtrlnh Laplace tren mla ~t phiing tren ho~c mla
khong gian tren nguai ta chi c:in dii ki~n do tren mQt
tuye'n co de}dai hoo h~n, ho~c mQt ph:in ~t phiing co
di~n tich hOOh~n; di~u nay co dtigc la do cac dinh If v~
duy nha't nghi~m cua bai toan Cauchy cho phtic:mgtrlnh
Laplace.
Trong tinh toan th\;fCd\lng, cac bai toan khong chinh
c:in phai dtigc chinh boa. Nghi~m chinh hoa la me}t
nghi~m xa'p xi 5n dinh. Va'n d~ chinh hoa bai toan
Cauchy cho phtic:mgtrlnh Laplace trong trtiemg hgp t5ng
quat dB.dtigc Lattes S. va Lions J.L. xet nam 1967.Cac tac
gia nay dung phtic:mgphap quasi-reversibilite d~ chinh
-boa bai tolin, nhu'ng khong dtia ra tiO'cltigng v~ sill s6.
Chung toi dung phtic:mgphap chinh hoa Tikhonov va tiO'c
ltigng dtigc sill s6 giiia nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh
r
10
xac trong truC1nghgp cae di~u ki~n bien bi anh hudng bdi
sai so do d/ilc.
H. Bai toaD Cauchy chophudng trinh Laplace tren
n~a m~t phalng tran.
H.I. Bai toaD
Bai roan dugc xet Ia : Tim mQt ham u(x,y) v6'i

(x,y) E D trong do D= { (x,y) 1- 00 < x < 00 , y > 0 }thoa
1
l
v2u =0 , tren D, .
u(x,O)= Uo(x) , - 1 < x < 1 ,
Uy(x,O)= Ul(x) , -1 < x < 1,
(1)
(2)
(3)
va lien t\lc tren
D ={ (x, y) 1- 00 < x < 00, y ~ 0 }
H-2. Thie't l.pphudng trinh tich phan va chinh
hoa
Ky hi~u :
1= (-1, 1) , J = R \ I
.Bai toan (1), (2), (3) Ia bai roan Cauchy tren nt1am~t
phAng tren D. La'y tri gia bien Neumann vex) =Uy (x,O),
x e J Ia !in ham. Khi do ne'u urn dugc vex), x E J thi se
xac dinh dugc u(x,y), (x,y) e D . Nhu v~y chung ta co bai
roan Cauchy ngugc. Chung t6i thie't I~p dugc phucmg trinh
tich phan tinh v. ([3])
J In I x - ~ Iv(~)d~=q>(x)
J
(4)
11
trong do
q>(x)= 1tUo(x) - J In Ix - ~~1(~d~
I
(4) La phtiang trlnh tich phan tfnh v.
Chinh hoa (4) bAng cae bai toan moment hoo h~n

q>i=CP(xi)
Chung t6i thu dtigc ke't qua ([6])
(i) Nghi~m chinh hoa : V6'i cP
={cpJ ,1 ~ i ~ n cho
trti6'c, tim dtigc ~b '~n E R d~ cho
n
V n (q» =L~igi
i=l
(6)
la nghi~m chinh hoa cua (4).
(ii) U6'c ltigng sai s6: V6'inhi~u dil ki~n 0 > 0 thoa
II ~ - q> IL ~ 0
thi 8ai 86 giila nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac Vo
la
IIVn«»(/-l)- Vo 11<E
(V n , g J =q>i
1<'<
(5)
, _l_n
trong do
gi=lnlxi-1
,1 i n, xi E I
("
12
m. Bai Toan Cauchy Cho Phtidng Trinh Laplace
Tren Nua Khong Gian
m.l Bai Toan
Bai toaD dugc xet la : Tim mQt ham u(x,y,z) v6'i
(x,y,z) E D={(x,y,z)l-oo<x,y<oo,z>O} thoa
r V2u = 0 ,tren D,

~ . u(x, y,O)= uo(x, y) , (x,y) e K ,
l Uy(x,y,O)=Ul(~'Y) ,(x,y)eK,
(7)
(8)
(9)
va lien t1}ctren D ={ (x, y, z) 1- 00 < x, y < 00 , Z ~ 0 }
va K = {<x,y)lx2 +y2 < 1 }
m.2 Thie't L~p Phtidng Trinh Tich Phan va
Chinh Boa
Thie't l~p dugcphuang trlnh tich phan
II
v(~ 11)d1;d11
( )
.
2 2 1/2 - q> x, Y
R2\K [(x -~) + (y - 11)]
II
u1(~11)d~d11
cp(x, y)= 27tUo(x, y) - 1/2
K [(X - ~)2 + (Y- 11)2]
(10)
Chinh hoa bflng bai toan moment hUll h~n, thu dugc
ke't qua tl1ang t\f nhu 11.2trong chuang nay.
13
IV. Bai tmin Cauchy cho phudng trinh Laplace
trong mQt dai khong d~u.
IV.I. Bai toaD.
Bai toan dl1gcxet la :
TimmQt ham u(x,y) vai (x,y) E D trong do D la mQt
mi~n phling dl1gcd~nh nghia bd'i

D = {(x,y).I-co <x < co,0 < y < cl(x) }
f V2u(x,y) = 0 ,(x,y) ED.
~ ux (x, <1J(x))=f(x) x E R
l
Uy(X,<1J(x))= g(x) x E R
u(x,<1J(x))= ul (x) x E R
tho a
(11)
vai ell,f, g, ui la cac ham cho trl1ac va lien t\)Ctren D.
IV.2. Phudng trinh tich phain va chinh boa.
Chung t6i thie't Il%pdl1gc phl1C1ngtrlnh tfch ph an d~ng
tfch chl%ptfnh v nhl1 sau . .
f
00 kv(1;)
2 2 d; =F(x) , '\Ix E R
-00 (x -;) + k
Vai F(x) la ham tfnh dl1gctU cae dii'ki~n chao
Dung phl1ang phap chinh hoa Tikhonov, chung wi thu
dl1gcke't qua: ([1])
(12)
(i) Nghi~m chinh hoa : Nghi~m chinh hoa cua (12) la
1
J
.
vp(x) = £ \!At)eJxtdt
-00
(13)
14
\jJ = a.(J3+ &2fl.F
d

' A -kit I
F
A
1
,
b
.A'
d
"'.
F
. ?
F
A
1
,
trong 0 a =e , a len 01 ouner cua , t-' a
h~ng s6.
(ii) Uae h1gng SIDs6: Vai nhi~u dit ki~n 8 > 0 thoa
IIF-Fo 11<8
thl sai s6 giila nghi~m chinh hoa Vg(13=8)va nghi~m chinh
xac cho bi!Ji
. live- Yo II::;K{ln(B)-l
khi 8~O .
trong do K la h~ng s6.
ChUc1ng 3 :
B.Al TOAN nffiICHLET NGU(jC CHO PHUdNG
TRiNH LAPLACE
I. GiOi thit?:u.
Bai toaD Dirichlet chophttang trlnh Laplace la bai toan
d~t dung cc:>di~n. Tuy nhien trong khoa h9c va ky thu~t

co nhi~u tniemg hgp quan tr9ng dtta de'n vi~c phiii xet bai
roan tlm dil ki~n Dirichlet tran bien cua mi~n xac dinh
cua mQt ham di~u boa khi chi bie't gia tIi cua ham di~u
boa nay tran mQt mi~n con cua mi~n xac dinh. Bay la bai
toan Dirichlet ngugc cho phuong trlnh Laplace. Trong
phl1ang phap tham do tr9ng hie cua Bia v~t ly, nguai ta
do di thl1ang tr9ng h!c i!JdQcao k d6i vai ~t dlit. Trttang
di thl1ang nay phan anh cac c4u trUc dia chlit d g~n mat
dlit -di thttemg dia phl1ang -cimg vai cac cliu trUc dia chlit
d san dl1ai m4t dlit - di thttemg khu V1f.c B~ 19Cdi di
15
thuCrng khu v,!c, nghla lam n6i b~t cae di thuCrng dia
phuang, ngliCrita phai xac dinh di thuCrngtr<;mgl,!c (; ngay
tren m~tda't. Trong truCrnghgp nay, cae tri gia di thuCrng
tr<;mghjc do 0 dq caDk so vai m~t da't du d€ xac dinh di
thuCrngtren ~t da't.
ll. Bai toan Dirichletngtigc cho phudng trinh
Laplace tren nua ml}t phAng.
ll.l Bai toan.
Bai toan dugc xet la cho ham u(x, y) veti (x, y) e D
trong do
D = {(x, y) 1- 00< x < 00,y > 0 }
thoa
{
V2U(X,Y)= 0 (x,y) E D
. u(x, k) = f(x) 'fix E R, k > 0
vai k la h~ng s6 va f la ham cho trliac.
v(x) =u(x,O).
ll.2. Thie't l~p phu'dng trinh tich phan va chinh
boa.

(14)
TIm ham
Chung toi thie't l~p dugc phuang t,rinh tich phan
L
f
ro kv(~)d~
f(
)
R
1[ 2 2 X , 'fix E
-'00 (x -~) + k
trong do f(x)la ham cho truac va v(~)la ham c~n tim.
Phuang trinh nay truac day da dugc nhi~u ngliCri giai
b~ng phuang phap xa'p xi.
(15)
Dung phuang phap chinh hoa Tikhonov chung toi thu
dugc ke't qua gi6ng IV.2 Chuang 2. ([4])
16
m Bai tmin Dirichlet ng\tqc cho ph1idng trinh
Laplace tren nua khong gian.
m.l Bai toaD
Bai tmin dtigc xet bay gid 1a cho.ham u(x,y,z) vai (x,y,x)
E D, trongdo
D = {(x,y,z) 1-00 < x < 00 ,~ 00 < y < 00, Z > 0 }
thoa
{
V2u(x,y,Z) = 0 (x,y,z)eD
u(x, y, k) = f(x, y) \::Ix,Y e R2,k > 0
(16)
Ta tim v(x,y) = u(x,y,O).

m.2. Thie't l;)p ph1idngtrlnh dch phan va chinh
hoa
Chung t6i thie't 1~pdugc phU<1Ilgtrinh tich phan
L
J
co
J
co kv(!;, 11)d~dTl f
( )
k
~ ~y
~ -a) [(x - ~2 +(y -11)2 + k2]
trong do f 1a ham cho trtiac va v 180<inham.
BAng phuang phap chinh hoa Tikhonov, chung tOi
nh~n dugc ke't qua ttiang t1J nhti 11.2 trong chuang nay
(17)
([5]).
17
;::
PHAN II
UNG DVNG TRONG TRQNG LVC
Chu:ung 4 :
BAI TOAN NGIJQC TBU' NHA TTRONG GIAI DOAN
TRQNGLIjC
I. GIdI TB~U
Trong giiii' doan tr<;mgItJc,theo Bott, co hai lo~i'bai
tdan:
(i)Lo~i bai toaD thli nha't la chobie't hinh d~ng cua
di v~t, xac dinh ham phan b6 ~t dQkh6i lugng
W cac di thucrng tr~mg ItJcdo dugc tren ~t da't.

(ii) Lo~i bai toaD thli nhi lacho bie't ham phan b6
m~t dQ kh6i lugng cua di v~t, xac dinh hinh
d~ng W cac di thucmg tr<;mgItJcdo dugc tren m~t
da't.
Trong chuang nay chung t6i xet bai toan tim ham hi~ll
so' ~t dQ v cua di v~tD. W cac so' do di thucrng ilg va
gradient cua ilg trong mQt mi~n hUllh~n tren m~t da't.
H. BAI TOAN HAl CHrEU.
H.! Thie't L~p Bid Toan
Bai toaD dugc d~t du6'i d~ng h~ th6ng phuang trinh
tich phan
18
If
(y - l1)V(~ 11)d~d~ p(x, y)
, (x - ~2 + (Y- 11)
Q
II (x - t;)2 - (Y -11~22 V(~ l1)d~dll = q(X,y)
Q [(X - ~2 + (y - 11) ]
(1)
trong do Q lal di vl%t,v la ham hi~u 86 ml%tdQ.
H~ th6ng (1) co th~ vie't dliai d~ng
J J g(x, y; ~ 11)V(~11)d~dll
.~cp(x, y)
'.
.
Q'
(2)
11.2 Chinh Hoa
Chinh hoa (2) b~ng cae bai toan moment hoo h~n duqc
ke't qua tucmg t1!nhu a Chuang 2. ([2],[6])

III. HAl TOAN HA CHIEU
Ke't qua t1iang t1!nhu Bai toan hIDchi~u.
, ""
IV. TINH SO
Chung toi tinh nghi~m chinh hoa cua (2)
n
Vn (cp) =L~igi
i=l
,1;l, ,1;2n E R
(3)
tren mQt s6 mo hinh Iy thuy6t. Cho Q va nghi~m chinh
xac Yo. Dung mo hinh bai toan thul%n d~ tinh
<t>={<t>d1;s;is2ntren B. Vd'i dil ki~n <p,tinh vn«P) .
19
M6 hinh 1 : Cho la hinh chu nh~t, B la hinh chu nh~t; vO
= 1,32. Ke't qua cho 0 hinh 4.
MATBe)
2.5
2
-2
-1.5 -1
-0.5
1.5
0.5
0
-25
Hiuh 4
Chu:dng 5 :
MOTPHUONG PHAp TINH cAe TRI GIA DO
.TRONGLue (j cAe MIEN KHONGeo

. . so L!tU DO.
I. GiOi thit$u
Gia 811tr€m mQt tuye'n do co chi~u dai hUll h9-n 1=(-1,1),
chung ta do du<;1cdi thucmg tr<;mg hfC ilg = Uova gradient
cua no Ul. Vi di thuang tr9ng hfC th6a phuC1ng trinh
Laplace; do do Unva Ul la di~u ki~n Cauchy tren I cua bai
toan Cauchy cho phucmg trinh Laplace tren mla m~t
ph~ng. Dung ke't qua trong 11.2 chuC1ng2, tinh


'"
-
.
J
'

20
n
Vn(q»= L~igi
i=l
trong do gi (~= In IXi- ~I ,~ e J. Vn cho bdi (1) chinh
la gradient cua ilg tren J la rni~n bell ngoai I. ([7])
ll.Tfnh So'.
'~l>""~n e R
(1)
Trong Ph~n nay, chung ta tinh toan ct.!th4 v6'ima hinh
hIDhinh t1"\ln~m ngang. Ke't qua d Hinh 2.
5.
o~
I

-I
-)-
I
I
.)
\
\
\
\
\
\
\
~I
r I
/
f
,15.10' ":;' '.""' 4.'.".';:'. ,j'"'O"~'.'.""4.' '6.' ""r' 'il
Nghi~mcWnhxac - Nghi~mchinhh6a
Hiuh 2
21
Chztdng 6 :
TIEP TllC GJAI TiCH TRU()NG DJ THU()NG
TRQNG LIfc vE PHiA DJ V!T BANG PHUONG
, ') ,
PHAP CHINH HOA
I. Gioi thi~u :
Trong Chuang nay chung toi xet mQt phuang phap tinh
di thuCrngtr<.mgl\iCagAndi v~t. Trong ~t ph~ng qui v~
h~ ~a dQvuong g6c (Oxy) vai tr\lc y th~ng dUng huang tU
duai len tren; gC?icj>(x,k)la di t~U(1ngquan trAc dugc t~i

tuye'n y =k . Tuye'nnay c6 thg tren ~t da't ho~ca dQcao.
nao d6 tren ~t da't. Chung ta c6 cj>(x,y)thoa phuang trinh
.6.[cj>(x,y)]=0 . Bai toan la di tim cj>(x,O)a bell duai tuye'n
quan trAc (y =k) tU cac da ki~n cj>(x,k).Tinh toan dugc
th\iChi~n tren mo hinh 2 chi~u va 3 chi~u.
Mo hinh roan dugc dung la bai roan Dirichlet ngl1gc
cho phuang trinh Laplace trong Chuang III
ll.Tinh 86
Ba mo hinh dugc dung la :
(i) Mo hinh ba hinh tr\l niim ngang cung dQsau
(ii) Mo hinh ba hinh tr\l niim ngang khong cung dQsau
(iii) Mo hinh baqua cAll.
22
X1
0
X)
'2
"
-h
mI.
"'1
"1)
. Chc;m d<1Ilvi buCtcchuy~n tntemg Iii hllO, ke't qua 6n
dinh vCtik = O,7h cho (1Hinh 3. ([4],[5])
CHUnN TRU<JNG XU6NG
k=7
140
120
100
80

60
40
20
0
-30
0
10 30-10
- Nghifmcblnhde - Nghifmcblnh.h6aI
f- oaki~
l
Hiuh 3
23
KET LU~
M\lc dich cua lu~n an nay la nghien coo mqt 86 bai
toan thuang g~p trong xli ly 86 li~u giai doan tr<;mgIvc
trong Bia V~t Ly. Cac bai toan dugc xet thuqc loq.i bai
toan ngugc tuye'n tint khong chinh. Tren ca 8a cac
nghi~m chinh hoa tlm dugc xay dvng thu~t toan ap d\lng
cho cac 86 li~u rai rq.c trong tint toan giai doan tr~mg Ivc.
Ca~ bai toan dugc xet la.
(i) Bai toan Cauchy cho phuang trinh Laplace tren mqt
86 mi~n khac nhau.
(ii) Bai toan Dirichlet ngugc cho phuang trinh Laplace
tren mqt 86 mi~n khac nhau.
(iii) Bai toan xac dinh ~t dq trong tr<;mgIvc.
Vai m\lc dich tren, lu~n an d~t ten la: "V~ mqt 86 bai
toan ngugc trong phuang phIlp tr<;mgIvc".
Lu~n an giai quye't cac va'n d~ 8au :
1. TIm nghi~m chinh hoa cua cac bai toan.
(i) Duai dq.ng tuang minh va danh gill 8ai 86giua

nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac duai anh huang
cua nhi~u do dq.cdu ki~n. Ke't qua dugc trinh bay a
chuang 2. ([3],[7],[1])
2. TIm nghi~m chinh hoa cua cac bai toan.
(ii) Duai dq.ng tuang minh va danh gill 8ai 86 giua
nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac duai anh huang
cua nhi~u do dq.c du ki~n. Ke't qua dugc trinh bay' a
chuang 3. ([4],[5])