546+f45sd6f5sdfdasdL2 1

Chương 2:
Các khái niệm cơ bản của xác suất
Nguyễn Linh Trung
Trần Thị Thúy Quỳnh
Đại học Công nghệ, ĐHQGHN


Nội dung

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

2.1. Thực nghiệm ngẫu nhiên
2.2 Các định lý của xác suất
2.3 Xác suất có điều kiện
2.4 Chuỗi các thực nghiệm

2 / 24


Thực nghiệm ngẫu nhiên
Thực nghiệm ngẫu nhiên là thực nghiệm mà kết quả
đạt được biến đổi một cách không thể dự đoán khi lặp
lại thực nghiệm nhiều lần trong cùng một điều kiện.
Ví dụ

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất

N. Linh-Trung

E1 : Chọn một quả bóng từ bình chứa 50 bóng được
đánh số từ 1 đến 50. Ghi lại số trên quả bóng.
E3 : Tung một đồng xu ba lần và ghi lại tuần tự trạng
thái mặt sấp và mặt ngửa.
E7 : Nhặt ngẫu nhiên một số trong khoảng 0 và 1.
E12 : Nhặt ngẫu nhiên 2 số trong khoảng 0 và 1.

3 / 24


Không gian mẫu (Sample Space) I
Kết quả (Outcome): là kết quả của một thực nghiệm
ngẫu nhiên.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

Khi tiến hành thực nghiệm, chỉ có một và chỉ một kết
quả xuất hiện.
Các kết quả có thể nhận được loại trừ lẫn nhau (độc
lập).
Không gian mẫu (Sample space) S: là một tập tất cả
các kết quả (điểm mẫu - sample point) có thể nhận
được.

4 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) II
Phân loại các không gian mẫu:

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

Không gian mẫu có thể là hữu hạn đếm được, vô hạn
đếm được, hoặc vô hạn không đếm được.
Không gian mẫu rời rạc: là không gian mẫu S có thể
đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn)
Không gian mẫu liên tục: S không thể đếm được (vô
hạn).

S có thể có một chiều hoặc nhiều chiều, phụ thuộc vào
số phép đo.

Ví dụ:
E1 : Chọn một quả bóng trong bình chứa 50 bóng được
đánh số từ 1 đến 50. Ghi lại số của quả bóng được
chọn. Không gian mẫu sẽ là:
S1 = {1, 2, . . . , 50}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.

5 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) III
E3 : Tung một đồng xu ba lần và ghi lại tuần tự mặt
xấp và mặt ngửa của đồng xu. Không gian mẫu sẽ là:

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

S3 = {HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.
E7 : Nhặt một số ngẫu nhiên trong khoảng 0 và 1.
Không gian mẫu sẽ là:
S7 = {x : 0 ≤ x ≤ 1}
⇒ không gian mẫu liên tục, một chiều.

E12 : Nhặt 2 số ngẫu nhiên trong khoảng 0 và 1.
S12 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 and 0 ≤ y ≤ 1}
6 / 24


Không gian mẫu (Sample Space) IV

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

⇒ không gian mẫu liên tục, hai chiều.

7 / 24


Không gian mẫu (Sample Space) V
Bài tập:

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

E2 : Chọn một quả bóng trong bình chứa 4 quả bóng
được đánh số từ 1 đến 4. Giả thiết rằng quả bóng đánh
số 1 và quả bóng đánh số 2 là màu đen, quả bóng đánh
số 3 và quả bóng đánh số 4 là màu trắng. Ghi lại số và
màu của quả bóng được chọn.
E4 : Tung đồng xu ba lần và ghi lại số mặt ngửa của
đồng xu.
E5 : Đếm số gói tin chỉ chứa thông tin "im lặng" được
tạo ra bởi nhóm N người trong khoảng thời gian 10-ms.
E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị
nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị
lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát lại.

8 / 24


Không gian mẫu (Sample Space) VI
E8 : Đo thời gian giữa các yêu cầu phục vụ trong một
máy chủ Web.

E9 : Đo tuổi thọ của một chíp nhớ máy tính trong môi
trường nhất định.
E10 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại thời
điểm t1 .
E11 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại các thời
điểm t1 và t2 .
E13 : Nhặt một số ngẫu nhiên X trong khoảng 0 và 1,
sau đó nhặt một số ngẫu nhiên Y trong khoảng 0 và X.
E14 : Một phần tử của hệ thống được lắp đặt tại thời
điểm t = 0. Trong khoảng thời gian t ≥ 0, đặt X(t) = 1
tương đương với phần tử đang hoạt động, và X(t) = 0
khi phần tử không hoạt động.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

9 / 24


Không gian mẫu (Sample Space) VII
Kết quả:

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

E2 : Chọn một quả bóng trong bình chứa 4 quả bóng

được đánh số từ 1 đến 4. Giả thiết rằng quả bóng đánh
số 1 và quả bóng đánh số 2 là màu đen, quả bóng đánh
số 3 và quả bóng đánh số 4 là màu trắng. Ghi lại số và
màu của quả bóng được chọn.
S2 = {(1, b), (2, b), (3, w), (4, w)}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, hai chiều.
E4 : Tung đồng xu ba lần và ghi lại số mặt ngửa của
đồng xu.
S4 = {0, 1, 2, 3}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.

10 / 24


Không gian mẫu (Sample Space) VIII
E5 : Đếm số gói tin chỉ chứa thông tin "im lặng" được
tạo ra bởi nhóm N người trong khoảng thời gian 10-ms.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

S5 = {0, 1, 2, · · · , N }
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.
E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị
nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị
lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát.
S6 = {1, 2, · · · }
⇒ không gian mẫu rời rạc, vô hạn, một chiều.

E8 : Đo thời gian giữa các yêu cầu phục vụ trong một
máy chủ Web.
S8 = {t : t ≥ 0}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.

11 / 24


Không gian mẫu (Sample Space) IX
E9 : Đo tuổi thọ của một chíp nhớ máy tính trong môi
trường nhất định.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

S9 = {t : t ≥ 0}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.
E10 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại thời
điểm t1 .
S10 = {v1 : −∞ ≤ v1 ≤ +∞}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.
E11 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại các thời
điểm t1 và t2 .
S11 = {(v1 ; v2 ) : −∞ ≤ v1 ≤ +∞; −∞ ≤ v2 ≤ +∞}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, hai chiều.

12 / 24

Không gian mẫu (Sample Space) X
E13 : Nhặt một số ngẫu nhiên X trong khoảng 0 và 1,
sau đó nhặt một số ngẫu nhiên Y trong khoảng 0 và X.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

S13 = {(X; Y ) : 0 ≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ X}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, hai chiều.
E14 : Một phần tử của hệ thống được lắp đặt tại thời
điểm t = 0. Trong khoảng thời gian t ≥ 0, đặt X(t) = 1
tương đương với phần tử đang hoạt động (ứng với
t < t0 ), và X(t) = 0 khi phần tử không hoạt động.
S14 = X(t), X(t) = 1 với 0 ≤ t ≤ t0 , X(t) = 0 với t ≥ t0
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.

13 / 24


Biến cố (Events) I
Biến cố là tập con của không gian mẫu với các kết quả
thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

Ví dụ: Gọi Ak là biến cố của thực nghiệm Ek
E1 : "bóng chẵn được chọn"; A1 = {2, 4, . . . , 50}
E3 : "Ba lần tung cho cùng kết quả";
A3 = {HHH, TTT}
E7 : "Số được chọn không âm"; A7 = S7

Biến cố có thể là:
một kết quả trong số không gian mẫu (rời rạc) và được
gọi là biến cố sơ cấp (elementary event)
kết hợp một số kết quả
toàn bộ kết quả trong không gian mẫu
không chứa kết quả nào trong không gian mẫu

Hai biến cố đặc biệt là:
Biến cố chắc chắn (Certain Event): S chứa tất cả các
kết quả của thực nghiệm và do đó luôn luôn xuất hiện.
14 / 24


Biến cố (Events) II
Biến cố không thể (Impossible/Null Event): ∅; không
bao giờ xảy ra.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

15 / 24

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất

Lý thuyết tập hợp

N. Linh-Trung

Các phép toán tập hợp

Các tính chất của tập hợp:
1. Phép giao hoán
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
2. Phép kết hợp
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. Phép phân phối
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. Quy tắc DeMorgan
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c

16 / 24


Bài tập

1. Thực nghiệm E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại
trong kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối
tin không bị lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu
phát.
⇒ Xác định không gian mẫu.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

2. Gọi A là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát
lớn hơn 9", B là biến cố "Số khối thông tin được yêu
cầu phát lại là số chẵn", và C là biến cố số khối thông
tin được yêu cầu phát lại lớn hơn 19.
⇒ Xác định các biến cố A, B, và C
3. Xác định biến cố nào là tập con của biến cố nào?
4. Xác định các biến cố A ∪ B, A ∩ B, Ac , B c , A − B và
B−A

17 / 24


Kết quả
1. Thực nghiệm E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại
trong kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối
tin không bị lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu
phát.
⇒ Không gian mẫu là S6 = {1, 2, · · · }

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

2. Gọi A là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát
lớn hơn 9", B là biến cố "Số khối thông tin được yêu
cầu phát lại là số chẵn", và C là biến cố số khối thông
tin được yêu cầu phát lại lớn hơn 19.
⇒ A = {10, 11, · · · }, B = {2, 4, · · · }, và
C = {20, 21, · · · }
3. Xác định biến cố nào là tập con của biến cố nào?
⇒C⊂A

18 / 24


Kết quả
4. Xác định các biến cố A ∪ B, A ∩ B, Ac , B c , A − B và
B−A
⇒ A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 11, · · · }
A ∩ B = {10, 12, 14, · · · }
Ac = {1, 2, 3, · · · , 9}
B c = {1, 3, 5, · · · }
A − B = A ∩ B c = {11, 13, · · · }
B − A = B ∩ Ac = {2, 4, 6, 8}

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất

N. Linh-Trung

19 / 24


Lớp biến cố F
Lớp biến cố F (set of sets) chứa tập các biến cố, trong
đó mỗi biến cố là tập của kết quả.
F = {A1 , A2 , · · · , Ak }

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

Trong không gian mẫu hữu hạn S = {1, 2, · · · , k}, mỗi
kết quả có khả năng xuất hiện hoặc không xuất hiện
trong tập con, như vậy có thể có 2k tập con được tạo
thành từ không gian mẫu (các biến cố). Lớp các biến
cố chứa tất cả tập của các biến cố, được gọi là "power
set of S", và nó có 2k phần tử.

20 / 24


Bài tập
Cho S = {T, H} là không gian mẫu chứa các kết quả của
thực nghiệm tung 1 đồng xu.

Chương 2:

Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

Xác định tất cả các biến cố có thể = "power set of S"

21 / 24


Kết quả
Cho S = {T, H} là không gian mẫu chứa các kết quả của
thực nghiệm tung 1 đồng xu.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

Xác định tất cả các biến cố có thể = "power set of S"
⇒ S = {∅, {T }, {H}, {H, T }}

22 / 24


Bài tập
Ghi lại kết quả mặt sấp/ngửa sau ba lần tung một đồng xu.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất

N. Linh-Trung

Xác định không gian mẫu
Xác định S =power set of S
Xác định số phần tử trong S

23 / 24


Kết quả
Ghi lại kết quả mặt sấp/ngửa sau ba lần tung một đồng xu.

Chương 2:
Các khái niệm cơ
bản của xác suất
N. Linh-Trung

Xác định không gian mẫu
S = {T T T, T T H, T HT, T HH, HT T, HT H, HHT, HHH}
Xác định S =power set of S
S = {∅, {T T T }, {T T H}, · · · , {T T T, T T H}, · · · ,
{T T T, T T H, T HT, T HH, HT T, HT H, HHT, HHH}}
Xác định số phần tử trong S
Số phần tử: 28

24 / 24