HSG TOÁN 8 17 18 HUYỆN NGA sơn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN NGA SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN

§Ò chÝnh thøc

(§Ò thi gåm cã 01

NĂM HỌC: 2017 - 2018
Môn thi: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 04/04/2018

trang)

Câu 1: (4.0 điểm).
Cho biểu thức P = (

1
1
a2

).(
)
a2 a2
a

1. Rút gọn biểu thức P
1
2. Tìm tất cả các giá trị của a để Q  P nhận giá trị nguyên

2
3. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho P 
Câu 2: (5.0 điểm)
1. Giải các phương trình:

1
2

x3
3x 2

20
a. 4 x  4 x  3 1  2 x  3  0
b. x 
( x  1)3 x  1
n
n 1
2. Cho đa thức f ( x )  an x  a n 1 x  ...  a1x  a0 , với a0 , a1,..., an 1, an là các số
nguyên, a và b là các số nguyên
a. Chứng minh rằng f ( a)  f (b) chia hết cho a  b
b. Có thể xảy ra đồng thời f  5   7 và f  19   15 được không
Câu 3: ( 4.0 điểm).
1. Tìm các số thực dương a, b, c biết rằng :
a 2  2 b2  5 c2  4
2
2
2


 38

a  c  b  324 và
6
7
8
2. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút,
người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. Ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B
và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB.
Câu 4: (5.0 điểm).
Cho tam giác ABC cân tại A . Từ một điểm D trên đáy BC kẻ một đường thẳng
vuông góc với BC , đường thẳng này cắt AB ở E , cắt AC ở F . Vẽ các hình chữ nhật
BDEH và CDFK có I , J lần lượt là giao điểm các đường chéo. M là trung điểm của
AD .
1. Chứng minh A là trung điểm của HK .
2. Chứng minh I , J , M thẳng hàng và AD, HJ , KI đồng quy.
3. Khi D di chuyển trên cạnh BC thì M di chuyển trên đoạn thẳng nào.
Câu 5: (2.0 điểm).
Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5b3  a 3 5c 3  b3 5a 3  c3
T


ba  3b 2 cb  3c 2 ac  3a 2
0
2

3


.................................... Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ....................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGA SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2017 - 2018
Môn: Toán

Câu

Nội dung

Điểm

1. (1.5đ)
Điều kiện: a �0; a ��2 (*)
2
2
2a a  2
.
=
(0.5đ) Vậy P =
(0.25đ)
a 4 a
a2
a2

Ta có: P =

1
4.0đ

0.75đ

2

2. (1.5đ)
1
1
Q P
2
a2
Q ��� a  2 ��
3 5 5 7 �
1 1 �
�
�
�(α��
a 2) � 1; ; ;...�� a ��
1; 3;  ;  ;  ;  ...�
2 3
2 2 3 3
�
�
3. (1.0 đ)
1
2
1
P �

2

a2 2
a20 �
a  2 . Kết hợp với điều kiện (*) ta có :
�
��
��
a24 �
a2
�

2
5,0đ

2  a  2
�
�
a �0
�

x0
�
�
1  2x  1
�
x 1
�
�
1  2x  1
�
1  2 x  1

1
��
��
��
x


�
�
1 2x  2
1  2x  2
�
2
�
�
1  2 x  2
3
�
�
x
�
� 2
b. (1.5đ)
ĐK: x �1
x3
3x 2
3
2
3
3

x 

 2  0 � x 3  x  1  x3 + 3 x 2  x  1  2  x  1 =0
3
( x  1)
x 1
3

2

1

0.5đ
0.5đ
0.5đ

0.25đ

1. (3.0đ) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
a. (1.5đ)
2
 1  2 x   3 1  2 x  2  0 �  1  2 x  1  1  2 x  2   0

�  x 2  x   3  x 2  x   x 3 -  x  1 3   x  1 3

0.75đ

0.75đ

0.75đ

0.75đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ


�  x 2  x   3  x 2  x   3  x 2  x   1   x  1 3
3

2

0.25đ

�  x 2  x  1   x  1 3 �  x 2  x  1   x  1
3

�  x  1  1  0 (vô lý) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
2. (2.0đ)
a. (1.0đ)
n
n
n 1
n1
Ta có: f  a   f  b   an  a  b   an1  a  b   ...  a1  a  b 
2

Nhận thấy:
a k  b k   a  b   a k 1  a k 2b  ...  ab k 2  b k 1  M

 a  b  k  1, n
Do đó: f  a   f  b  chia hết cho a  b (đpcm)
b. (1.0đ)
Nếu xảy ra đồng thời f  5   7, f  19   15,
ta có f  19   f  5   8 , mặt khác 19-5=14.
Nếu theo kết quả trên thì 8 chia hết cho 14 vô lý.
Vậy không thể xảy ra đồng thời f  5   7, f  19   15
3
(4,0đ)

0.5đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

Sau 15 phút, người đi xe máy gặp ôtô tại vị trí cách A là :

Sau khi gặp xe máy, ô tô đến A mất thời gian là :

0.25đ

0.25đ

1. (2.0 đ)
a 2  2 b2  5 c 2  300
a 2  2 b2  5 c2  4
�



 38


Ta có :
6
7
8
6
7
8
a 2  2 b2  5 c 2  300 a 2  b 2  c 2  303


Suy ra
=
=3
6
7
8
7
(Do a 2  c 2  b 2  324 � a 2  b 2  c 2  303  21 )
a2  2
 3 � a  4 (vì a  0 )
Từ đó, ta có
6
Tương tự, ta có b  4, c  18
a4
�
�

b4
Vậy các số cần tìm là �
�
c  18
�
2. (2.0).
15.40
 10 (km).
60

0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ

0.25đ

10.60
 12 0.25đ
50

(phút).
Sau khi nghỉ, ô tô bắt đầu khởi hành từ A trở lại B thi xe máy đã
27.40
0.25đ
 28 (km)

đi cách A một khoảng là : 10+
60
Gọi quãng đường ô tô gặp xe máy (cách B 20 km) là x (km), 0.25đ
2


(x>28), ta có :
x
,
50
thời gian xe máy đi từ vị trí cách A một khoảng 28 km đến lúc gặp ô tô
x  28
là :
40
x x  28
Ta có phương trình :
=
, giải ra ta có x  140 (km)
50
40
Do đó quãng đường AB là : 20 + 140 =168 (km)
Thời gian ô tô đi từ A đến chỗ gặp nhau là :

4(5.0đ)

H

0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ

E
A
F

I
P

K
Q

M

J
B

D

C

1. (2.0đ)
Vì BHED là hình chữ nhật nên IB  ID suy ra IBD cân,
�  IDB
� �
IBD
ACB � DI / / AC .
Tương tự, ta có JD / / AB suy ra AIDJ là hình bình hành, suy ra
AJ / / ID và AJ  ID hay AJ / / HI và AJ  HI ,
suy ra AHIJ cũng là hình bình hành � IJ / / AH và IJ  AH (1).

Tương tự, ta có: � IJ / / A K và IJ  AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra H , A, K thẳng hàng và AH  AK ,
tức là A là trung điểm của HK
2. (2.0đ)
Tứ giác AIDJ là hình bình hành nên các đường chéo cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đường.
M là trung điểm của AD nên M cũng là trung điểm của IJ hay
I , J , M thẳng hàng.
Tam giác DHK có DA, KI , HJ là các trung tuyến nên đồng quy.
3. (1.0đ)
Khi D di chuyển trên cạnh BC thì HK luôn qua A cố định, M là
trung điểm của AD nên M chuyển động trên đường trung bình PQ của
tam giác ABC
--------- --------------------------------------------------------------------------------------2
Ta có:  a  b  �0 � a 2  ab  b 2 �ab
3

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1.0 đ
1.0đ
---------


�  a  b   a 2  ab  b 2  �ab  a  b 
( Vì a, b dương)

� a 3  b3 �ab  a  b  � a 3  6b3 �5b 3  ab  a  b 
� 5b3  a 3 �6b3  ab  a  b  � 5b3  a 3 �(6b3  2ab2 )  (a 2b  3ab 2 )

5b3  a 3
� 5b  a �(2b  a )(ab  3b ) ۣ
2b  a (3)
2
ab  3b
5c 3  b3
�2c  b (4)
Hoàn toàn tương tự, ta có:
bc  3c 2
3

3

2

5
(2,0đ)

5a 3  c 3
�2a  c (5)
ac  3a 2
5b3  a 3 5c 3  b3 5a 3  c3


�1
Từ (3), (4), (5) suy ra T 

ba  3b 2 cb  3c 2 ac  3a 2
1
Dấu “=” xảy ra khi a  b  c 
3
Do đó maxT =1

1.0đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ

Chú ý:
1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.

4