Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

ĐINH XUÂN KHÁNH

ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngành: Toán học
Mã số: 9460101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


Công trình được hoàn thiện tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
——————————-

Người hướng dãn khoa học:
PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy
TS. Phan Xuân Thành

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Trường
họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Vào hồi ...... giờ, ngày ... tháng ... năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Các phương trình vi phân tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống tự nhiên,
kỹ thuật đa dạng, như là hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần
thể,... Bằng cách chọn không gian và toán tử thích hợp các phương trình đó
có thể viết dưới dạng phương trình vi phân trừu tượng với các toán tử tác
động trong không gian Banach. Khi nghiên cứu các phương trình trừu tượng
trong các không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp
mới dựa trên những phát triển gần đây của toán học để tìm hiểu những vấn
đề mang tính bản chất của nghiệm phương trình đó.
Luận án này nhằm nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại các đa tạp bất biến
thuộc lớp chấp nhận được từ đó có thể tìm hiểu những tính chất tiệm cận (ổn
định, không ổn định,..) của nghiệm các phương trình tiến hóa mô tả các hệ
thống kể trên khi thời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán học
hiện đại như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm
liên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa
tạp bất biến, vv...
Bài toán về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được là vấn đề nhận
được sự quan tâm lớn của nhiều tác giả. Để nghiên cứu sự tồn tại của đa
tạp, người ta thường quan tâm đến đặc trưng nhị phân mũ của phần tuyến
tính trong các không gian hàm, và tính liên tục Lipschitz đều với hằng số
Lipschitz đủ nhỏ của phần phi tuyến. Tuy nhiên, trong các mô hình thực tế

phần phi tuyến có hệ số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và không đủ
nhỏ. Gần đây, bằng cách sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không
gian hàm chấp nhận được người ta đã đưa ra được điều kiện tổng quát hơn
cho phần phi tuyến đối với sự tồn tại đa tạp tích phân, đó là điều kiện liên
1


tục Lipschitz không đều (tính ϕ-lipschitz) với ϕ là hàm thực dương thuộc
không gian hàm chấp nhận được. Sự tồn tại của các đa tạp bất biến kiểu mới
này đã được chứng minh trong các kết quả của PGS.TSKH Nguyễn Thiệu
Huy. Luận án này nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận
được ổn định hoặc không ổn định thuộc không gian E-lớp, chứng minh tính
hút của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định. Từ đó, áp dụng các
kết quả thu được cho một số mô hình thực tế.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của Luận án: Nghiên cứu sự tồn tại của các
đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định đưa ra cấu trúc
hình học của nghiệm đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính, mặt khác
nó giúp làm đơn giản hóa khi nghiên cứu tính chất nghiệm trên các đa tạp
thay cho nghiên cứu nghiệm bất kỳ của phương trình.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án: Các phương trình
vi phân đạo hàm riêng; Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không
ổn định của các phương trình trên và tính hút của các đa tạp bất biến chấp
nhận được không ổn định.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau: Sử dụng phương
pháp lý thuyết nửa nhóm giải tích (Analytic Semigroup) và khái niệm nghiệm
đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn nghiệm các phương trình tiến hóa
nửa tuyến tính. Sử dụng lý thuyết đặt chỉnh của các bài toán không ô-tô-nôm
tuyến tính. Lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết nhiễu

tuyến tính và phi tuyến của hệ động lực vô hạn chiều. Lý thuyết các đa tạp
bất biến thông thường và đa tạp chấp nhận được.
4. Ý nghĩa các kết quả của luận án
Luận án nhằm phát triển và bổ sung lý thuyết về sự ổn định, không
ổn định, nhị phân mũ và một số tính chất định tính khác của nghiệm các
phương trình tiến hóa dạng parabolic nửa tuyến tính vốn là mô hình của các
2


quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và công nghệ. Bổ sung lý thuyết về đa tạp
bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định thuộc không gian hàm
Banach chấp nhận được E-lớp, từ đó đơn giản hóa việc đánh giá quy mô và
tích chất trong tương lai của các hệ thống thông qua các điều kiện ban đầu
đã biết ở hiện tại và quá khứ.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian hàm
Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ (hoặc toàn bộ đường thẳng
R), khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa nhóm,
về họ tiến hóa, nhị phân mũ của họ tiến hoá.
Chương 2: Trình bày sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không
ổn định thuộc E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần tuyến
tính sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ; phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện
ϕ-Lipschitz. Từ đó nghiên cứu về tính hút của đa tạp không ổn định và ứng
dụng lý thuyết này cho mô hình Fisher-Kolmogorov.
Chương 3: Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của chương 2,
chứng minh sự tồn tại nghiệm và đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn
định thuộc E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ, tính hút
của đa tạp và ứng dụng vào mô hình thực tế.

Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính có trễ, và với họ tiến hóa có nhị phân mũ chúng tôi
chứng minh sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa phương
thuộc E-lớp, kiểm tra kết quả với mô hình Hutchinson.
Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở "Danh
mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài [1] được đăng
trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạp chí quốc tế và bài báo
[3] đã gửi.
3


Chương 1
KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHÓM VÀ HỌ TIẾN
HÓA
Để tiện cho việc trình bày, trong chương này chúng tôi ký hiệu I thay cho
R, R+ .

1.1

Không gian hàm

1.1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được

Định nghĩa 1.1.1. Không gian hàm Banach EI được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ I và mọi ϕ ∈ EI ta có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] EI

EI .

t+1

(ii) EI là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

ϕ(τ )dτ .
t

(iii) EI là Tτ+ bất biến với mọi τ ∈ I, trong đó
Nếu I = R+ thì
Tτ+ ϕ(t) =

ϕ(t − τ ) với t, t − τ ≥ 0
với t ≥ 0 và t − τ < 0

0

Nếu I = R thì Tτ+ ϕ(t) = ϕ(t − τ ) với t, τ ∈ R
4


(iv) EI là Tτ− bất biến với mọi τ ∈ I, trong đó

Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ∈ I.
Hơn nữa ∃N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+

E

≤ N1 , Tτ−

E

≤ N2 với mọi τ ∈ I.

Mệnh đề 1.1.2. Cho EI là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau:
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (I) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ EI . Với mọi σ > 0 ta xác định
Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau:
t

e−σ|t−s| ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =
t0

trong đó t0 = 0 nếu I = R+ và t0 = −∞ nếu I = R.
∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó, Λσ ϕ, Λσ ϕ ∈ EI . Và ta có đánh giá
Λσ ϕ

EI

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

EI ,

Λσ ϕ

EI

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

EI

(1.1)

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.1.1.
Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(I) (điều này được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λσ ϕ

và Λσ ϕ bị chặn và ta cũng có:
Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞,

Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

(b) e−α|t| ∈ EI với mọi t ∈ I và hằng số α > 0 cố định.
(c) eb|t| ∈
/ EI mọi t ∈ I và hằng số b > 0 cố định.
5

∞

(1.2)


Chú ý 1.1.3. Cho EI là không gian hàm Banach chấp nhận được và EI không
gian liên kết của nó. Khi đó, ta có Bất đẳng thức H¨older:
∞

|ϕ(t)ψ(t)|dt ≤ ϕ
−∞

EI

ψ

EI

với mọi ϕ ∈ EI , ψ ∈ EI .

(1.3)

Giả thiết 1.1.4. Giả sử EI là không gian hàm Banach chấp nhận được sao
cho không gian liên kết EI của nó cũng là không gian hàm Banach chấp nhận
được. Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng EI chứa hàm EI -bất biến mũ, nghĩa là
với hàm ϕ ≥ 0 và ν > 0 cố định thì hàm hν ∈ EI với
hν (t) := e−ν|t−·| ϕ(·)

1.2

EI

với t ∈ I

(1.4)

Họ tiến hóa, nhị phân mũ

Định nghĩa 1.2.1. Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s trên
không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ)
nếu
(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,
(ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,
(iii) Tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho U (t, s)x ≤ Kec(t−s) x với mọi
t ≥ s và x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.2. Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s trên không gian Banach X
được gọi là có nhị phân mũ trên I nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính
bị chặn P (t), t ∈ I, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(i) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s và t, s ∈ I;

(ii) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s và t, s ∈ I, là đẳng
cấu, chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , s ≤ t;
6


(iii) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s và t, s ∈ I;
(iv) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s và t, s ∈ I.
Các toán tử chiếu P (t), t ∈ I, được gọi là toán tử chiếu nhị phân, và các hằng
số N, ν được gọi là hằng số nhị phân.

Bổ đề 1.2.3. Cho (U (t, s))t≥s là họ tiến hoá nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t). Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t∈I là bị chặn đều và
liên tục mạnh.
Cho (U (t, s))t≥s là họ tiến hoá nhị phân mũ trên I với họ toán tử chiếu
P (t), t ∈ I. Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau
G(t, τ ) =

P (t)U (t, τ )

nếu t > τ và t, τ ∈ I,

−U (t, τ )| (I − P (τ ))

nếu t < τ và t, tau ∈ I.

(1.5)

Khi đó, với H = sup P (t) chúng ta có đánh giá
t∈I

G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ |

với t = τ và t, τ ∈ I.

(1.6)

Kết luận Chương 1
Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức đã biết trong nhiều tài
liệu tham khảo khác nhau. Đó là những kiến thức được sử dụng làm cơ sở
nghiên cứu cho các chương sau của luận án.

7


Chương 2
TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN
ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH
FISHER-KOLMOGOROV
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
dx
= A(t)x + f (t, x),
dt

t ∈ R, x ∈ X.

(2.1)

Trong đó A(t) là một toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trên không
gian Banach X với mọi t cố định, và f : R × X −→ X là toán tử phi tuyến.
Ta ký hiệu ER là một không gian hàm Banach, X là một không gian Banach
và
E := E(R, X) := {g : R → X : g là đo được mạnh và g(·) ∈ ER }
với chuẩn g

E

:=

g(·)

ER .

Khi đó, không gian Banach E được gọi là không

gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach ER .

2.1

Nghiệm của phương trình tiến hóa trong
không gian E-lớp

Định nghĩa 2.1.1. Cho ER là không gian hàm Banach chấp nhận được và
ϕ là hàm xác định dương thuộc ER . Một hàm f : R × X → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn
(i) f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R hầu khắp nơi,
8


(ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với mọi t ∈ R hầu khắp nơi và mọi
x1 , x2 ∈ X.
Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1) là hàm u liên tục thỏa mãn phương
trình tích phân sau:
t

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s.

u(t) = U (t, s)u(s) +

(2.2)

s

Bổ đề 2.1.2. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ phép chiếu
(P (t))t∈R và các hằng số tương ứng N, ν; ER và ER tương ứng là không gian
hàm Banach chấp nhận được và không gian liên kết của nó. Giả sử rằng
ϕ ∈ ER là một hàm ER -bất biến mũ xác định như trong Giả thiết 1.1.4;
f : R × X → X là ϕ-Lipschitz; u(t) là nghiệm của phương trình (2.2) sao
cho với t0 cố định hàm z(·) := χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E. Khi đó, với t ≤ t0 nghiệm
u(t) có thể biểu diễn dưới dạng
t0

G(t, τ )f (τ, u(τ ))dτ

u(t) = U (t, t0 )| v1 +

(2.3)

−∞

Trong đó v1 ∈ X1 (t0 ) = (I − P (t0 ))X và G(t, τ ) là hàm Green xác định bởi
Công thức (1.5).
Chú ý 2.1.3. Bằng cách tính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng điều ngược
lại của Bổ đề 2.1.2 cũng đúng. Điều này có nghĩa là mọi nghiệm của phương
trình (2.3) thỏa mãn phương trình (2.2) với mọi t ≤ t0 .
Định lý 2.1.4. Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn. Khi đó,
nếu hàm f là ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn N (1 + H) hν

ER

< 1 thì tương ứng

với mỗi v1 ∈ X1 (t0 ) phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm u(t) trên (−∞, t0 ]
thỏa mãn (I − P (t0 ))u(t0 ) = v1 và hàm z(·) = χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E. Hơn nữa với
nghiệm u1 (t) và u2 (t) tùy ý ứng với v1 , v2 ∈ X1 (t0 ) ta có đánh giá sau:
u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t0 −t) v1 − v2

với t ≤ t0 ,

(2.4)

trong đó µ và Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc vào t0 , u1 và u2 .
9


2.2

Sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được
không ổn định trong không gian E-lớp và
tính hút

Định nghĩa 2.2.1. Một tập U ⊂ R × X được gọi là đa tạp bất biến chấp
nhận được không ổn định thuộc E-lớp (hoặc đa tạp bất biến chấp nhận được
thuộc E-lớp) đối với nghiệm của phương trình (2.2) nếu với mọi t ∈ R không
gian pha X phân tích thành tổng trực tiếp X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho
inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf{ x0 + x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1, i = 0, 1} > 0

t∈R

t∈R

và tồn tại một họ các ánh xạ Lipschitz liên tục gt : X1 (t) → X0 (t),

t∈R

với hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn
(i) U = {(t, x + gt (x)) ∈ R × (X1 (t) ⊕ X0 (t)) | t ∈ R, x ∈ X1 (t)}, và ký hiệu
Ut = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ U}.
(ii) Ut đồng phôi với X1 (t) với mọi t ∈ R.
(iii) Với mỗi x0 ∈ Ut0 tồn tại duy nhất nghiệm u(t) của phương trình
(2.2) trên (−∞, t0 ] thỏa mãn điều kiện u(t0 ) = x0 và hàm z(·) =
χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E.
(iv) U là bất biến theo nghĩa, nếu u(·) ∈ E là một nghiệm của phương trình
(2.2) thỏa mãn u(t0 ) = x0 ∈ Ut0 với t0 ∈ R thì u(t) ∈ Ut với mọi t ∈ R.
Định lý 2.2.2. Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn. Xét các
hàm eν bởi eν (t) := e−ν|t| và hν bởi (1.4). Khi đó, nếu hàm f là ϕ-Lipschitz
với ϕ thỏa mãn
N 2 N1 (1 + H) eν

ER

ϕ

ER

+ N (1 + H) hν

ER

<1

thì tồn tại một đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định U của E-lớp
với các nghiệm của phương trình (2.2).
10


Hơn nữa, hai nghiệm u1 (t), u2 (t) bất kỳ trên đa tạp U hút nhau cấp mũ, tức
là thỏa mãn đánh giá sau
u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t0 −t) (I − P (t0 ))(u1 (t0 ) − u2 (t0 )) với t ≤ t0 (2.5)
với µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc vào t0 và u1 , u2 .
Định lý 2.2.3. Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.2 thỏa mãn. Với mỗi
α > 0 cố định sao cho α < ν, xác định hàm eν−α (t) = e−(ν−α)|t| , hν−α (t) =
e−(ν−α)|t−·| ϕ(·)

ER

với t ∈ R. Giả sử rằng l < 1 trong đó

l = N (1 + H) max N1 q eν−α

ER

+ hν−α

ER , q

+

(N1 + N2 ) Λ1 ϕ
1 − e−(ν−α)

∞

N 2 N1 (1 + H) eν ER ϕ ER
với q :=
. Khi đó đa tạp bất biến chấp nhận được
1 − N (1 + H) hν ER
không ổn định E-lớp U = { Ut }t∈R hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương
trình (2.2) theo nghĩa với nghiệm u(·) của phương trình (2.2) với giá trị ban
đầu u(ξ) tồn tại nghiệm u∗ (·) nằm trong U và hằng số α > 0 sao cho
u(t)−u∗ (t) ≤ Ce−α(t−ξ) gξ ((I−P (ξ))u(ξ))−P (ξ)u(ξ) ,

2.3

t ≥ ξ hầu khắp nơi.

Ứng dụng trong mô hình Fisher-Kolmogorov

Chúng ta xét bài toán sau

∂
∂2
r 2


u(t, x) =
u(t, x) + ru(t, x) −
u (t, x), t ≥ s, x ∈ [0, π],


2

 ∂t
∂x
K(t)
ux (t, 0)




u(s, x)

= ux (t, π) = 0,
= φ(x),

t ∈ R,

(2.6)

0 ≤ x ≤ π.

Ở đây, u(t, x) đại diện cho mật độ quần thể phụ thuộc biến không gian x và
thời gian t, hằng số r > 0 là tốc độ sinh sản và K(t) > 0 biểu thị sức chứa
của môi trường tại thời điểm t. Chúng ta giả sử rằng r = n2 với mọi n ∈ N.
11


Với kỹ thuật chọn không gian, toán tử tuyến tính, phi tuyến và chọn K(t) :=
beα|t| với t ∈ R và các hằng số α > ν, b > 0.
Theo các Định lý 2.2.2 và Định lý 2.2.3 chúng ta thấy rằng nếu
N (1 + H)4bρr

4
νq

1
q

N N1

2
αp

1
p

+

2α
p(α + ν)(α − ν)

1
p

<1

thì tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định U = {(t, Ut )}t∈R
thuộc Lp -lớp đối với nghiệm đủ tốt và đa tạp này hút mọi nghiệm đủ tốt của
phương trình.
Như đã nói ở trên, giao {(t, Ut ∩ Bρ )}t∈R là đa tạp bất biến chấp nhận
được không ổn định địa phương thuộc Lp -lớp cho nghiệm đủ tốt của phương
trình (2.6) xung quanh nghiệm u0 (t, ·) dẫn đến sự không ổn định của nghiệm

này.

Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau:
• Chỉ ra được tính hút đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định
thuộc không gian E-lớp cho nghiệm của phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính;
• Ứng dụng kết quả thu được vào mô hình Fisher-Kolmogorov về sự lây
truyền của lớp gen trội trong quần thể sinh thái.
Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục công
trình đã công bố của luận án.

12


Chương 3
ĐA TẠP BẤT BIẾN KHÔNG ỔN ĐỊNH THUỘC
E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA
TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ
Trong chương này, xét phương trình vi phân nửa tuyến tính có trễ:
du
= A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ R,

(3.1)

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X với mỗi t ∈ R
cố định; f : R × C([−r, 0], X) → X là toán tử phi tuyến liên tục, và ut

là hàm lịch sử được xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Ký hiệu
C := C([−r, 0], X) là không gian tất cả các hàm liên tục từ [−r, 0] vào X, với
chuẩn tương ứng là φ

C

= supθ∈[−r,0] φ(θ) với φ ∈ C. Đặt

E := E(R, C) := {g : R → C : g là đo được mạnh và g(·)
với chuẩn tương ứng là g

E

:=

g(·)

C ER .

C

∈ ER }

(3.2)

Khi đó, E được gọi không gian

Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được ER .

3.1

Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính có trễ trong không gian E-lớp

Với họ các phép chiếu (P (t))t∈R trên X, chúng ta có thể định nghĩa các
toán tử (P (t))t∈R trên C như sau: P (t) : C −→ C
(P (t)φ)(θ) = U (t + θ, t)| (I − P (t))φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0].
13

(3.3)


Ta có (P (t))t∈R là các phép chiếu trên C. Hơn nữa,
ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t+θ, t)| v1 với mọi θ ∈ [−r, 0], với v1 ∈ KerP (t)}.
Định nghĩa 3.1.1. Cho ER là một không gian hàm Banach chấp nhận được
và ϕ là một hàm dương thuộc ER . Một hàm f : R × C → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn
(i) f (t, 0) = 0 với t ∈ R hầu khắp nơi,
(ii) f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2

C

với t ∈ R h.k.n và mọi φ1 , φ2 ∈ C.

Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1) với giá trị ban đầu φ ∈ C là nghiệm
của phương trình tích phân sau


u(t) = U (t, s)u(s) +

t

U (t, ξ)f (ξ, uξ )dξ

với t ≥ s,

s


u

s

(3.4)

= φ ∈ C,

trong đó họ tiến hóa (U (t, s))t≥s phát sinh từ bài toán Cauchy trừu tượng.
Với u(t) là nghiệm của phương trình (3.4) trên (−∞, t0 ] thỏa mãn điều kiện
ut0 = φ ta xác định hàm z(·) := χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E.
Bổ đề 3.1.2. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với các phép
chiếu tương ứng P (t), t ∈ R, và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Cho ER ,
ER và ϕ ∈ ER như trong Giả thiết 1.1.4. Giả sử rằng f : R × C → X là
ϕ-Lipschitz, và u(t) là nghiệm của phương trình (3.4) trên (−∞, t0 ] sao cho
hàm z(·) = χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E.
Khi đó, với t ≤ t0 , u(t) có thể được viết như sau
t0

G(t, τ )f (τ, uτ )dτ,

u(t) = U (t, t0 )| v1 +
−∞

Trong đó v1 ∈ X1 (t0 ) = (I − P (t0 ))X, và G(t, τ ) là hàm Green.
14

(3.5)


Chú ý 3.1.3. Chúng ta gọi phương trình (3.5) là phương trình LyapunovPerron. Bằng tính toán tương tự như trong Chú ý 2.1.3, ta thấy rằng điều
ngược lại của Bổ đề 3.1.2 cũng đúng, tức là, mọi nghiệm của phương trình
(3.5) thỏa mãn phương trình (3.4) với t ≤ t0 .
Định lý 3.1.4. Với giả thiết của Bổ đề 3.1.2 và cho hν là hàm xác định
như trong Giả thiết 1.1.4. Giả sử rằng N (1 + H)eνr hν

ER

< 1. Khi đó, với

mỗi φ ∈ ImP (t0 ) có một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (3.4) trên
(−∞, t0 ] thỏa mãn điều kiện P (t0 )ut0 = φ và hàm z(·) = χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E.
Hơn nữa, nếu N (1+H)eνr (N1 +N2 ) Λ1 ϕ

∞

< 1, thì với hai nghiệm u(t), v(t)

bất kỳ tương ứng với φ1 , φ2 ∈ ImP (t0 ) ta có:
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0)

với mọi t ≤ t0 ,

trong đó µ, Cµ là hằng số không phụ thuộc vào t và các điều kiện ban đầu.

3.2

Đa tạp bất biến không ổn định và tính
hút

Định nghĩa 3.2.1. Một tập S ⊂ R × C được gọi là đa tạp bất biến chấp
nhận được không ổn định thuộc E-lớp đối với nghiệm của phương trình (3.4)
nếu với mọi t ∈ R ta có C = X0 (t) ⊕ X1 (t) với các phép chiếu tương ứng P (t)
sao cho supt∈R P (t) < ∞ và tồn tại một họ các ánh xạ Lipschitz liên tục
Φt : X0 (t) → X1 (t),

t∈R

với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t sao cho:
(i) S = {(t, ψ + Φt (ψ)) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R, ψ ∈ X0 (t)}, và ký
hiệu St := {ψ + Φt (ψ) | (t, ψ + Φt (ψ)) ∈ S}, t ∈ R,
(ii) St đồng phôi với X0 (t) với mọi t ∈ R,
(iii) Mỗi t0 ∈ R, φ ∈ St0 có một và chỉ một nghiệm u(t) tương ứng của
phương trình (3.4) trên (−∞, t0 ] thỏa mãn ut0 = φ và hàm z(·) ∈ E,
15

(iv) S là bất biến đối với phương trình (3.4). theo nghĩa, nếu u(t) là nghiệm
của phương trình này trên R
Định lý 3.2.2. Với các giả thiết của Định lý 3.1.4 và xác định hàm eν (t) =
e−ν|t| với t ∈ R. Khi đó, nếu hàm f là ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn
max{N (1 + H)eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ

∞ , N (1

+ H)(eνr hν

ER

+ N N1 eν

ER

ϕ

ER )}

< 1,

thì tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định S thuộc E-lớp cho
nghiệm của phương trình (3.4).
Định lý 3.2.3. Cho mỗi 0 < α < ν cố định, xét hàm eν−α (t) = e−(ν−α)|t| ,
và hν−α (t) = e−(ν−α)|t−·| ϕ(·) ER với t ∈ R. Giả sử các giả thiết của Định lý
3.2.2 được thỏa mãn và l < 1 trong đó
l := N (1 + H)eνr max N N1 keνr eν−α

ER

+ hν−α

νr
ER , N ke

+

(N1 + N2 ) Λ1 ϕ
1 − e−(ν−α)

∞

N 2 N1 (1 + H) eν ER ϕ ER
với k :=
. Khi đó, đa tạp bất biến chấp nhận được
1 − N (1 + H)eνr hν E
không ổn định thuộc E-lớp S = { (t, St ) }t∈R hút cấp mũ mọi nghiệm của
phương trình (3.4). Tức là, nghiệm u(·) bất kỳ của phương trình (3.4) với
điều kiện ban đầu uξ , tồn tại nghiệm u∗ (·) nằm trong S sao cho
ut − u∗t

3.3

C

≤ Ce−α(t−ξ) uξ − u∗ξ

C

với t ≥ ξ hầu khắp nơi .

Ứng dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov

Xét mô hình Fisher-Kolmogorov sau:

∂2
∂


u(t, x)
=
u(t, x) + ru(t, x)

2

∂t
∂x


r


−
u(t − 1, x)u(t, x)
với t ≥ s, x ∈ [0, π],
K(t)




ux (t, 0)
= ux (t, π) = 0, t ∈ R,




u(s + θ, x) = φ(θ, x), θ ∈ [−1, 0], 0 ≤ x ≤ π.
16

(3.6)


Với kỹ thuật chọn không gian, toán tử tuyến tính, phi tuyến và chọn K(t) :=
n+1
b(1 + 4t2 ) p với t ∈ R, và các hằng số b > 0, 1 ≤ p < +∞, n ∈ N và n ≥ p.
2r(2ρ + C)
∈ Lq (R) trong đó q là số liên hợp của p, tức là,
Khi đó, ϕ(t) =
K(t)
1 1
+ = 1. Khi đó, áp dụng Định lý 3.2.2 và 3.2.3 chúng ta có, nếu
p q
max





N

2
νp

1
p

π
2

1
q

+ eνr

2
νq

1
q

p
q

3 π(2n − 1)!!
4
+
(2n)!!
νp

1

p

, 2eνr


 2r(2ρ + C)


b

<

1
N (1 + H)

thì tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định S = {(t, St )}t∈R
thuộc Lp -lớp hút tất cả các nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính có trễ. Và giao {(t, St ∩ Bρ )}t∈R là đa tạp bất biến chấp nhận được
không ổn định địa phương thuộc Lp -lớp cho nghiệm đủ tốt của phương trình
(3.6) xung quanh nghiệm u0 (t, ·) dẫn đến sự không ổn định của nghiệm này.

Kết luận Chương 3
Như vậy, trong chương này, chúng tôi mở rộng kết đạt được trong chương
2 cho phương trình nửa tuyến tính với trễ liên tục. Kết quả đạt được:
• Chỉ ra được tính tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến
tính với trễ liên tục.
• Chỉ ra sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định
cho nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ và tính
hút của nó.
• Đưa ra ứng dụng cụ thể của phần lý thuyết trong mô hình FisherKolmogorov chứa trễ.

Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [3], trong Danh mục
công trình của tác giả liên quan đến luận án.
17


Chương 4
ĐA TẠP BẤT BIẾN ỔN ĐỊNH ĐỊA PHƯƠNG
THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
NỬA TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ
Trong chương này, chúng tôi xét phương trình có dạng
du
= A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ R+ ,

(4.1)

Cho E là không gian hàm chấp nhận được và E là không gian liên kết của
nó. Đặt
E := E(R+ , C) := {g : R+ → C : g là đo được mạnh và g(·)
với chuẩn g

E

:=

g(·)

C E.

C

∈ E} (4.2)

Khi đó không gian Banach E được gọi là không

gian Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được E.

4.1

Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến
hóa có trễ

Giả sử rằng họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ trên R+ với họ
phép chiếu P (t), t ≥ 0. Chúng ta định nghĩa họ các toán tử (P (t))t≥0 trên C
như sau.
P (t) : C → C
(P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0].

18

(4.3)


Ta có (P (t))2 = P (t) và do đó các toán tử P (t), t ≥ 0, là các phép chiếu trên
C. Hơn nữa,
ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0 với ∀θ ∈ [−r, 0] và ν0 ∈ ImP (t)}.
Định nghĩa 4.1.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ
là hàm dương thuộc E, và Bρ là quả cầu bán kính ρ tâm tại gốc tọa độ trong

X, tức là Bρ := {x ∈ X : x ≤ ρ}. Một hàm f : [0, ∞) × Bρ → X được gọi
là thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với các hằng số dương M, ϕ, ρ nếu f thỏa mãn
(i) f (t, φ) ≤ M ϕ(t) với mọi t ∈ R+ và φ ∈ Bρ
(ii) f (t, φ1 )−f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 −φ2

C

với mọi t ∈ R+ và mọi φ1 , φ2 ∈ Bρ .

Tiếp theo, nghiệm đủ tốt của phương trình (4.1) là hàm u liên tục thỏa mãn
phương trình tích phân sau


u(t) = U (t, s)u(s) +

t

U (t, ξ)f (ξ, uξ )dξ

với t ≥ s ≥ 0,

s


u
s

(4.4)

= φ ∈ C.

Bổ đề 4.1.2. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép chiếu
tương ứng P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0; E là không gian hàm
Banach chấp nhận được, E là không gian liên kết của E và E := E(R+ , C) là
không gian Banach chấp nhận được tương ứng E. Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàm
E-bất biến mũ định nghĩa như trong Giả thiết 1.1.4; f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) và
u(t) là một nghiệm của phương trình (4.4) sao cho hàm χ[s,∞) (t)ut , t ≥ 0,
thuộc Bρ ⊂ E với s ≥ 0 cố định. Khi đó, với t ≥ s chúng ta có thể viết u(t)
dưới dạng

∞



u(t) = U (t, s)ν0 +

G(t, τ )f (τ, uτ )dτ,
s

(4.5)


 us = φ ∈ C
với ν0 ∈ X0 (s) = P (s)X, trong đó G(t, τ ) là hàm Green được định nghĩa như
trong (1.5).
19


Chú ý 4.1.3. Phương trình (4.5) được gọi là phương trình Lyapunov-Perron.
Bằng tính toán tương tự như trong Chú ý 2.1.3, chúng ta thấy rằng điều

ngược lại của Bổ đề 4.1.2 cũng đúng. Điều này có nghĩa là, mọi nghiệm của
phương trình tích phân (4.5) thuộc E cũng là nghiệm của phương trình (4.4)
trong không gian Banach chấp nhận được E với t ≥ s.
Sử dụng tính chất chấp nhận được, chúng ta xây dựng cấu trúc của các
nghiệm của phương trình (4.4) trong định lý sau. Để làm điều này, trước tiên
chúng ta ký hiệu Bl := {φ ∈ C : φ

C

≤ l} là quả cầu với bán kính l trong C.

Định lý 4.1.4. Với giả thiết như trong Bổ đề 4.1.2, cho ϕ ∈ E là hàm E-bất
biến mũ và hàm tương ứng hν được định nghĩa như trong Giả thiết 1.1.4. Khi
đó, nếu hàm f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với các hằng số dương M, ρ thỏa mãn
N (1 + H)eνr hν
thì với l =

ρ
2N N1 eνr eν

E

1
< ,
2

tồn tại tương ứng với mỗi φ ∈ Bl ∩ ImP (s) có một và

chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (4.4) trên [s − r, ∞) thỏa mãn điều
kiện P (s)us = φ và hàm χ[s,∞) (t)ut , t ≥ 0, thuộc quả cầu Bρ trong E.

Hơn nữa, nếu

N (1+H)eνr
(N1
1−e−(ν−µ)

Λ1 T1+ ϕ

∞

+ N2 Λ 1 ϕ

∞)

< 1 thì đánh giá sau

là đúng với hai nghiệm u(t), v(t) tương ứng với điều kiện ban đầu φ1 , φ2 ∈
Bl ∩ ImP (s):
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0)

với mọi t ≥ s ≥ 0,

(4.6)

trong đó µ là số dương thỏa mãn
0 < µ < ν + ln 1 − N (1 + H)eνr (N1 Λ1 T1+ ϕ

N eνr
Cµ :=
(1+H)eνr
+
1 − N1−e
−(ν−µ) (N1 Λ1 T1 ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ

20

∞

+ N2 Λ 1 ϕ
.

∞)

∞)

, và


4.2

Đa tạp bất biến ổn định địa phương thuộc
E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến
tính có trễ

Chúng tôi đưa ra định nghĩa về đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định
địa phương thuộc E-lớp cho nghiệm của phương trình (4.4).
Định nghĩa 4.2.1. Tập S ⊂ R+ × C được gọi là đa tạp bất biến chấp nhận

được ổn định địa phương thuộc E-lớp cho nghiệm của phương trình (4.4) nếu
với mọi t ∈ R+ không gian pha C = X0 (t) ⊕ X1 (t) với các phép chiếu tương
ứng P (t) sao cho
sup P (t) < ∞,
t≥0

và tồn tại các hằng số dương ρ, ρ0 , ρ1 và họ các ánh xạ Lipschitz
Φt : Bρ0 ∩ X0 (t) → Bρ1 ∩ X1 (t),

t ∈ R+

với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:
(i) S = {(t, ψ + Φt (ψ)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ Bρ0 ∩ X0 (t)},
và chúng ta ký hiệu St := {ψ + Φt (ψ) : (t, ψ + Φt (ψ)) ∈ S},
(ii) St đồng phôi với Bρ0 ∩ X0 (t) với mọi t ≥ 0,
(iii) Với mỗi φ ∈ Ss , phương trình (4.4) có một và chỉ một nghiệm u(t)
của trên [s − r, ∞) thỏa mãn điều kiện ban đầu us = φ và hàm
χ[s,∞) (t)ut , t ≥ 0, thuộc quả cầu bán kính ρ trong E trong đó χ[s,∞) là
hàm đặc trưng của khoảng [s, ∞). Hơn nữa, hai nghiệm u(t) và v(t) bất
kỳ của phương trình (4.4) tương ứng với điều kiện ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ss
hút nhau cấp mũ theo nghĩa, tồn tại các hằng số dương µ và Cµ phụ
thuộc vào s ≥ 0 sao cho
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s, (4.7)
21

(iv) S bất biến dương dưới phương trình (4.4), tức là, nếu u(t), t ≥ s − r,
là nghiệm của phương trình (4.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu us ∈ Ss
và χ[s,∞) (t)ut ∈ Bρ ⊂ E thì chúng ta có ut ∈ St với mọil t ≥ s.
Định lý 4.2.2. Với giả thiết như trong Bổ đề 4.1.2; cho ϕ ∈ E là hàm
E-bất biến mũ và hν (·) định nghĩa như trong Giả thiết 1.1.4 và định nghĩa
hàm eν (t) = e−νt với t ≥ 0. Khi đó, nếu hàm f là ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn
max{ N (1 + H)eνr (N1 Λ1 T1+ ϕ
N (1 + H)eνr ( hν

E

∞

+ N2 Λ 1 ϕ

+ N N1 eν

E

ϕ

E

∞ ),

) } < 1,

thì tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa phương S thuộc E-lớp
cho nghiệm của phương trình (4.4).

4.3

Ứng dụng vào mô hình Hutchinson

Xem xét phương trình Hutchinson suy rộng với sự khuếch tán phụ thuộc
thời gian.

∂w(x, t)
∂ 2 w(x, t)


= a(t)[
+ ηw(x, t)]


∂t
∂x2




+ψ(t)w(x, t − 1)(1 + w(x, t)) với 0 < x < π, t ≥ 0,
∂w(0, t) ∂w(π, t)


=
= 0, t ≥ 0,




∂x
∂x


w(x, θ) = φ(x, θ) ∈ C với 0 < x < π, θ ∈ [−1, 0],

(4.8)

ở đây, η ∈ R và η = n2 với mọi n ∈ N; hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn
điều kiện 0 < γ0 ≤ a(t) ≤ γ1 với mọi t ∈ R+ và các hằng số γ0 , γ1 cố
định. Tiếp theo, chúng ta đặt X := C 2 [0, π], C := C([−1, 0], X), và cho
A : X ⊃ D(A) → X được định nghĩa bởi Ay = y + ηy, với miền xác định
D(A) = {y ∈ X : y (0) = y (π) = 0}.

22


Ta định nghĩa hàm f : R+ × C → X bởi f (t, ϕ) := ψ(t)(δ−1 ϕ)(1 + ϕ) với ϕ ∈
C := C([−1, 0], X) trong đó δ−1 là hàm Dirac delta tập trung tại −1,

 d u(·, t) = A(t)u(·, t) + f (t, ut (·, θ)),
dt
u (·, θ) = φ(·, θ) ∈ C.
0

Bây giờ chúng ta chọn ω(t) := be−αt với t ∈ R+ , với các hằng số α > ν, và
b > 0. Đặt ϕ(t) = (1 + 2ρ)ω(t) với t ∈ R+ chúng ta thấy rằng ϕ ∈ Lp (R+ )
với 1 ≤ p < +∞ và theo Định lý 4.2.2 chúng ta có: nếu
(1 + 2ρ)bN (1 + H)eνr

1
νq

1
q

N N1

và
(1 + 2ρ)bN (1 + H)e

1
αp

νr

1
νq

1
q

1
p

+

2α
p(α + ν)(α − ν)

2α
p(α + ν)(α − ν)

1
p

<

1
p

<1

1
2

thì tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa phương thuộc Lp -lớp
cho nghiệm đúng của phương trình (4.8).

Kết luận Chương 4
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại đa tạp bất biến chấp
nhận được ổn định địa phương của phương trình tiến hóa có trễ liên tục trong
điều kiện tuyến tính có nhị phân mũ và phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện
ϕ-Lipschitz. Kết quả đạt được:
• Chỉ ra sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa
phương thuộc E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ.
• Chỉ ra được ứng dụng của đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa
phương cho mô hình Hutchinson trong thực tế.
Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2], trong Danh mục
công trình đã công bố của luận án.

23