Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ XUÂN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO YẾU
TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ XUÂN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO YẾU
TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Hà Đức Vượng, thầy
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận
văn này.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn
thể các Thầy, Cô giáo khoa Toán đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích,
Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Xuân


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, luận văn
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Điểm bất động của ánh xạ co yếu
trong không gian metric từng phần do tôi tự làm.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Xuân

2

Mục lục

Bảng kí hiệu

3

Mở đầu

4

1

Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2

Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric từng
phần

26

2.1

Không gian metric từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


3

Bảng kí hiệu

N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

R+

Tập số thực không âm

∅

Tập rỗng

T :X→X

Ánh xạ T từ tập hợp X vào tập hợp X

(X, d)

Không gian metric

d(x, y)

Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

(X, p)

Không gian metric từng phần

✷

Kết thúc chứng minh


4

Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Xét ánh xạ f : M → M với M là một tập tùy ý, không rỗng. Nếu có
điểm xo ∈ M thỏa mãn f (xo ) = xo thì xo được gọi là điểm bất động của
ánh xạ f trên tập M .
Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên "Lý thuyết
điểm bất động" (fixed point theory) gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán
học lớn như Banach, Brouwer, Schauder, Sadovski, Tikhonov, Ky Fan,. . .
Một hướng nghiên cứu chính của Lý thuyết điểm bất động là điểm bất
động của lớp ánh xạ co, mở đầu bởi nguyên lý ánh xạ co Banach (1922):
Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều có điểm bất động duy
nhất [1]. Tức là cho (X, d) là không gian metric đầy đủ, ánh xạ f : X → X
thỏa mãn: d(f x, f y)
mãn: 0

kd(x, y), ∀x, y ∈ X . Trong đó k là hằng số thỏa

k < 1. Khi đó f có điểm bất động duy nhất trên X.

Sau đó nhiều nhà toán học đi theo hướng nghiên cứu này và hằng số k
được mở rộng thành các hàm, với từng điều kiện cụ thể đã hình thành nên
các lớp ánh xạ co khác nhau. Ta gọi chung là lớp ánh xạ co yếu.
Kết quả mạnh nhất của lớp ánh xạ co yếu là định lý Meir – Keeler

(1964).


5

Năm 1994, Matthews đã đưa ra khái niệm metric từng phần (partial
metric) và không gian metric từng phần được định nghĩa như sau:
X là một tập không rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ thỏa mãn:

1. p(x, x)

p(x, y), ∀x, y ∈ X ;

2. Nếu p(x, x) = p(x, y) = p(y, y) thì x = y, ∀x, y ∈ X ;
3. p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ X ;
4. p(x, y)

p(x, z) + p(z, y) − p(z, z), ∀x, y, z ∈ X .

Khi đó, p được gọi là metric từng phần và cặp (X, d) được gọi là không
gian metric từng phần [4].
Năm 2013, H. P. Mashiha, F. Sabetghadam là hai nhà toán học người
Iran cùng với N. Shahzad người Saudi Arabia đã công bố các kết quả về
điểm bất động của các ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần
trong bài báo: "Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an
Application" [3].
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của lớp ánh xạ co,
dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:
"Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không metric từng phần" .

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động trong không gian metric từng phần, các
kết quả mở rộng về điểm bất động trong không gian metric từng phần.


6

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian metric từng phần. Các định lý điểm bất động
trong không gian metric từng phần.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về các định lý điểm bất động trong không gian metric từng
phần dựa trên hai bài báo:
- "Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an Application"
(2013) của H. P. Masiha, F. Sabetghadam, N. Shahzad [3].
- " Partial metric topology " (1994) của S. G. Matthews [4].

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, vận dụng một số phương pháp của giải tích hàm để
phục vụ cho mục đích nghiên cứu.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Qua đề tài này chúng tôi xây dựng luận văn là một bài tổng quan về các
điểm bất động cho lớp ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần.
Luận văn giúp người đọc hiểu sâu hơn về điểm bất động trong không gian
metric từng phần cho lớp ánh xạ co yếu.
Luận văn gồm hai chương nội dung:
Chương 1, Kiến thức chuẩn bị . Trong chương này chúng tôi trình bày

7

một số kiến thức cơ bản về không gian tôpô, không gian metric, không
gian metric đầy đủ cùng với ví dụ và phản ví dụ minh họa. Cuối cùng,
chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach.
Chương 2, Điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric
từng phần. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niềm về metric
từng phần, không gian metric từng phần (partial metric space ), sự hội tụ
trong không gian metric từng phần. Cuối cùng, chúng tôi trình bày về định
lý điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian metric từng phần.


8

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian tôpô, cơ sở lân cận trong không gian tôpô, không gian metric, không
gian metric đầy đủ cùng với các ví dụ và phản ví dụ minh họa. Cuối cùng,
chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và ví dụ minh họa cho
một ứng dụng của định lý.

1.1

Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1. [1] Cho X là một tập hợp khác rỗng, một họ τ các tập
con của X đóng kín với phép giao hữu hạn, hợp tùy ý các tập hợp. Tức là
1. ∅, X ∈ τ.

2. Nếu Gα ∈ τ, ∀α ∈ I thì

Gα ∈ τ .
α∈I

n

3. Nếu Gj ∈ τ (1, n) thì

Gj ∈ τ.
j=1

Họ τ được gọi là một tôpô trên tập hợp X .
Khi đó (X, τ ) là một không gian tôpô. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là
một điểm, mỗi tập hợp G ∈ τ là một tập mở ( hay τ - mở).


9

Ví dụ 1.1.1. Cho X = ∅ là một tập hợp tùy ý.
Khi đó τ = {∅, X} là một tôpô trên X ( tôpô thô).
Thật vậy, hiển nhiên ∅ ∈ τ, X ∈ τ và ∅ ∪ X = X ∈ τ, ∅ ∩ X = X ∈ τ.
Ví dụ 1.1.2. Họ τ gồm tất cả các tập hợp con của X là một tôpô trên X
(tôpô rời rạc).

Chứng minh. Thật vậy, do ∅ là tập con của mọi tập hợp, X là tập con của
chính nó nên ta có ∅ ∈ τ, X ∈ τ.
⊂ X nên

Nếu Gα ∈ τ với ∀α ∈ I thì

α∈I

α∈I

∈ τ.

Nếu G1 , G2 là các tập con tùy ý của X, tức là G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ⊂ X
nên
G1 ∩ G2 ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.2. [1] Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ∈ X.
A được gọi là lân cận của x0 nếu tồn tại tập mở G ∈ τ sao cho x0 ∈ G và
G ⊂ A.

Nhận xét 1.1.1. Nếu U(x) là tập hợp tất cả các lân cận của điểm x thuộc
không gian tôpô (X, τ ) thì U(x) có các tính chất sau:
1. x ∈ U với mọi U ∈ U(x).
2. Nếu U ∈ U(x) và V ∈ U(x) thì U ∩ V ∈ U(x).


10

3. Nếu U ∈ U(x) và U ⊂ V thì V ∈ U(x).
4. Nếu U ∈ U(x) thì tồn tại V ∈ U(x) sao cho V ⊂ U (ta có thể lấy V
là phần trong của U ).
Ngược lại, giả sử X là một tập hợp tùy ý và với mỗi phần tử x ∈ X chỉ ra
được một tập hợp không rỗng U(x) các tập con của X . Khi đó các điều
kiện trên thỏa mãn thì ta có thể xác định một tôpô duy nhất trên X , bằng
cách xác định các tập mở sao cho với mỗi x thì U(x) là tập hợp tất cả các
lân cận của x. Tập A ⊂ X là mở nếu ∀x ∈ A đều tồn tại U ∈ U(x) sao

cho U ⊂ A.
Một tập con V(x) của U(x) các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân
cận của x nếu với mỗi U ∈ U(x) đều tồn tại V ∈ U(x) sao cho V ⊂ U.

Định nghĩa 1.1.3. [1] Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực
hoặc phức). Một tôpô trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số
của X nếu các phép toán cộng hai vectơ, nhân vô hướng với một vectơ
trong X là liên tục.
Nghĩa là:
a) Với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X và V là một lân cận tùy ý của x + y thì tồn
tại lân cận V1 của x, lân cận V2 của y sao cho V1 + V2 ⊂ V.
b) Với mỗi x ∈ X, α ∈ K và V là lân cận tùy ý của αx thì ∃ > 0 và lân
cận U của x sao cho ∀β ∈ K mà |β − α| < thì βU ⊂ V.

Ví dụ 1.1.3. R là không gian vectơ tôpô thực.


11

Chứng minh. Thật vậy R là không gian vectơ thực. Họ các khoảng trên R
là một tôpô trên R. Tôpô này được gọi là tôpô tự nhiên.
Phép cộng các số thực, phép nhân các số thực là liên tục nên tôpô tự nhiên
tương thích với cấu trúc đại số trên R. Do đó R là không gian vectơ tôpô
thực (hay không gian tuyến tính tôpô thực).

Định nghĩa 1.1.4. [1] Cho X, Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ T : X →
Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở G mà
G ∩ T x0 đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho
T (U ) ∩ G = ∅.

Nếu ánh xạ T nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ X thì T là nửa liên tục
dưới trên tập X.
T được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu mọi tập mở G chứa T x0 đều

tồn tại lân cận U của x0 sao cho
T (U ) ⊂ G.

Ánh xạ T là nửa liên tục tại x0 nếu vừa là nửa liên tục dưới vừa là nửa liên
tục trên tại x0 .
Nhận xét 1.1.2. Ánh xạ F : X → R, X là một không gian tôpô nào đó và
x0 ∈ X. F gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu ∀ > 0, tồn tại lân cận U

của x0 sao cho ∀x ∈ U ta có F (x) > F (x0 ) − .
Như vậy, hàm số F là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi tập mức dưới
{x ∈ X : F (x) ≤ α, α ∈ R}


12

là một tập đóng.

1.2

Không gian metric

Định nghĩa 1.2.1. [1] Một tập hợp X = ∅, ánh xạ
d:X ×X →R

được gọi là metric, nếu
1. d(x, y) ≥ 0,

d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X .

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X .
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Khi đó cặp (X, d) được gọi là không gian metric. Số d(x, y) gọi là khoảng
cách giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm của không
gian.

Nhận xét 1.2.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Khi đó ta có:
n−1

1. d (x1 , xn ) ≤

d (xi , xi+1 ) , ∀xi ∈ X, i = 1, ...n, n ∈ N ∗ .

i=1

2. |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v), ∀x, y, u, v ∈ X .
3. |d(x, y) − d(y, u)| ≤ d(x, u), ∀x, y, u ∈ X .

Ví dụ 1.2.1. Cho X = [0; 1]. Đặt d (x, y) =
với x, y ∈ [0, 1].
Ta có (X, d) là một không gian metric.

0 nếu x = y
2|x−y| nếu x = y


13

Chứng minh. Ta kiểm tra d lần lượt thỏa mãn định nghĩa 1.1.1.
Vì 2|x−y| > 0,

∀x, y ∈ [0, 1] nên ta có d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ [0, 1].

d(x, y) = 0 ⇔ x = y là hiển nhiên.

Mặt khác ta có d(x, y) = 2|x−y| = 2|y−x| = d(y, x).
∀x, y ∈ [0, 1].

Vậy d (x, y) = d (y, x) ,
Cuối cùng ta chứng minh

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ [0, 1].

(1.1)

Trường hợp 1: x = y = z thì
d(x, y) = 0
d(x, z) = 0
d(z, y) = 0

nên (1.1) đúng.
Trường hợp 2: x = y = z thì d(x, y) = 0 . Ta có 0 < d(x, z) + d(z, y) nên
(1.1) đúng.
Trường hợp 3: x = z = y thì d(x, z) = 0,
d(x, y) ≤ d(z, y) = d(x, y)

nên (1.1) đúng.

Trường hợp 4: y = z = x thì d(z, y) = 0,
d(x, y) ≤ d(x, z) = d(x, y)

nên (1.1) đúng.


14

Trường hợp 5: x = y = z . Ta chứng minh
2|x−y| ≤ 2|x−z| + 2|z−y| .

Thật vậy, ta có
2|x−y| + 2|z−y| ≥ 2

2|x−z| 2|z−y|

|x + z| + |z − y|
2
= 2.2
|x − z| + |z − y|
+1
2
.
=2

∀x, y ∈ [0, 1] thì:
|x − y| < 1 +

|x − z| + |z − y|
2

nên 2|x−y| + 2|z−y| > 2|x−y| .
Vậy d là một metric và cặp (X, d) là một không gian metric.

Nhận xét 1.2.2. Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định các metric khác
nhau để được các không gian metric khác nhau. Chẳng hạn trên cùng tập
hợp Rk , ngoài metric Eukleides, ta có thể xác định các metric sau đây:
Với hai phần tử bất kỳ x = (x1 , x2 , ...., xk ) , y = (y1 , y2 , ...., yk ) thuộc Rk ,
ta đặt:
k

|xi − yi |, d2 (x, y) = max |xi − yi | .

d1 (x, y) =
i=1

1≤i≤k

Nhận xét 1.2.3. Trong không gian metric (X, d), một hình cầu mở có tâm
tại điểm x ∈ X , bán kính > 0 là
Bd (x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < } .


15

Metric d sinh ra một tôpô τ (d) trên X mà có cơ sở lân cận gồm họ các
hình cầu mở {Bd (x, ) : x ∈ X}.
Ta gọi τ (d) là tôpô sinh bởi metric d (hay ngắn gọn là tôpô metric ).

Định nghĩa 1.2.2. [1] Cho (X, d) là một không gian metric, dãy {xn } gồm

các phần tử trong X . Dãy {xn } được gọi là hội tụ tới một điểm x0 ∈ X
nếu
lim d (xn , x0 ) = 0.

n→∞

Tức là ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 thì d(xn , x0 ) < ε.
Phần tử x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn }.
Kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞ .
n→∞

Định nghĩa 1.2.3. [1] Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn } ⊂ X được
gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu
lim d (xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Tức là
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 : d (xn , xm ) < ε.

Nhận xét 1.2.4. Cho (X, d) là một không gian metric. Mọi dãy hội tụ trong
X đều là dãy Cauchy.

Thật vậy, giả sử (X, d) là một không gian metric, dãy {xn } ⊂ X là dãy
hội tụ, tức là lim xn = x0 . Ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy.
n→∞


16

Vì lim xn = x0 nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
n→∞

ε
d(xn , x0 ) < , ∀n ≥ n0 .
2
ε
d(xm , x0 ) < , ∀m ≥ n0 .
2

Do đó ta có:
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x0 ) + d(x0 , xm )
< ε,

∀n, m ≤ n0 .

Hay
lim d(xn , xm ) = 0.

n→∞

Vậy {xn } là dãy Cauchy.
Định nghĩa 1.2.4. [1] Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X .

Ví dụ 1.2.2. Tập hợp tất cả các hàm số thực xác định và liên tục trên [a, b],
kí hiệu C[a,b] , với metric
d(x, y) = max |x (t) − y(t)|
a≤t≤b

là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử {xn (t)} là một dãy Cauchy tùy ý trong
không gian C[a,b] .
Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0


17

thì
d(xn , xm ) = max |xn (t) − xm (t)| < ε.
a≤t≤b

(1.2)

Với mỗi t cố định, dãy {xn (t)} là dãy số thực Cauchy, nên nó hội tụ tức là
phải tồn tại giới hạn lim xn (t).
n→∞

Giả sử
lim xn (t) = x(t), t ∈ [a, b].

n→∞

Vậy hàm số x(t) xác định trên [a, b].
Vì các bất đẳng thức (1.2) không phụ thuộc t nên cho qua giới hạn khi
m → ∞, ta được:
|xn (t) − x (t)| < ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b].

(1.3)

Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ dãy {xn (t)} hội tụ đều đến hàm số x(t)
trên [a, b] nên x(t) ∈ C[a,b] .
Do đó dãy Cauchy {xn (t)} hội tụ đến x(t) trong không gian C[a,b] .
Vậy không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ.

L là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0, 1].
Ví dụ 1.2.3. Cho C[0,1]
L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định
Khi đó C[0,1]

như sau

1

|x (t) − y (t)|dt,

d(x, y) =
0

L .
trong đó x = x(t), y = y(t); x, y ∈ C[0,1]

(1.4)


18

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ánh xạ d được xác định bởi (1.4) là
một metric.

1. Ta có
L
|x(t) − y(t)| ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
, ∀t ∈ [0, 1].

Suy ra
1
L
|x (t) − y (t)|dt ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
.
0

Hay
L
d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
.

Nếu d(x, y) = 0 thì ta có
1

|x (t) − y (t)|dt = 0.
0

Tức là
|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [0, 1].

Vậy ta có x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, 1], hay x = y .

2. Ta có
L

|x(t) − y(t)| = |y(t) − x(t)|, ∀x, y ∈ C[0,1]
, ∀t ∈ [0, 1].

Suy ra
1

1
L
|y (t) − x (t)|dt, ∀x, y ∈ C[0,1]
.

|x (t) − y (t)|dt =
0

0


19

Hay
L
d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[0,1]
.
L ta có
3. Với mọi x, y, z ∈ C[0,1]

|x (t) − y (t)| = |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)|
≤ |x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|, ∀t ∈ [0, 1].

Suy ra

1

1

|x (t) − y (t)|dt ≤
0

1

|x (t) − z (t)|dt +
0

|z (t) − y (t)|dt.
0

Hay
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
L . Do đó C L là một không gian metric.
Vậy d là một metric trên C[0,1]
[0,1]
L là không gian metric không đầy đủ. Tức là tồn tại dãy
Ta chứng minh C[0,1]
L .
Cauchy không hội tụ trong C[0,1]
L như sau
Thật vậy, với n ≥ 3 xét dãy hàm {xn } ⊂ C[0,1]

1



1,
0
≤
t
≤


2

n
1
1 1
xn (t) =
−nt + + 1,
≤t≤ +

2
2
2 n


1
1

 0,
+ ≤ t ≤ 1.
2 n

Khi đó, với mọi số tự nhiên m, n ≥ 3 ta có
1

|xm (t) − xn (t)|dt.

d(xm , xn ) =
0


20

Nếu m ≥ n thì
1
1
+m
2

1
2

|xm (t) − xn (t)|dt +

d (xm , xn ) =
0

|xm (t) − xn (t)|dt
1
2

1
+ n1
2

1

|xm (t) − xn (t)|dt +

+
1
1
+m
2

1
+ n1
2
1
+ n1
2

1
1
+m
2

|m − n| t −

=

1
dt +
2

1
2

Với t ∈

|xm (t) − xn (t)|dt

nt −

n
− 1 dt.
2

1
1
+m
2

1 1
1
, +
ta có
2 2 m
t−

1
≥ 0.
2

Suy ra
1
1
|t − | = t − .
2
2

Với t ∈

1
1 1 1
+ , +
ta có
2 m 2 n
nt −

n
− 1 ≤ 0.
2

Suy ra
|nt −

n
n
− 1| = −nt + + 1.
2
2

Do đó

1
1
+m
2

1
+ n1
2

(m − n) t −

d (xm , xn ) =
1
2

1
= (m − n) t2 − t
2

1
2

−nt +

dt +

n
+ 1 dt
2

1
1
+m
2

1
2
1
2

+

1
m

n
n
+ − t2 +
+1 t
2
2

1
2

+

1
n

1
2

+

1
m


21

1 1
1
−
.
2 n m
Nếu m ≤ n thì bằng cách làm tương tự ta được:
=

1
2

d (xm , xn ) =

1
1
−
m n

.

Do đó
d (xm , xn ) =

1 1
1
− , ∀m, n ≥ 3.
2 m n

Suy ra
lim d (xm , xn ) =

m,n→∞

lim

m,n→∞

1
2

1
1
−
m n

= 0.

L .
Vậy {xn } là dãy Cauchy trong C[0,1]

L .
Tuy nhiên dãy này không có giới hạn trong C[0,1]
L sao cho:
Thật vậy, giả sử có x0 ∈ C[0,1]

lim xn = x0 .

n→∞

Hay
1



|x (t) − x0 (t)|dt = 0.

lim d (xn , x0 ) = lim 

n→∞



n→∞

0

Mặt khác ta có
1

|xn (t) − x0 (t)|dt

d (xn , x0 ) =
0
1
2

1
+ n1
2

|1 − x0 (t)|dt +

=
0

1

n
−nt + + 1 − x0 (t) dt +
2
1
2

1
+ n1
2

Ta suy ra
x0 (t) =

|x0 (t)|dt.


 1,
 0,

1
0≤t≤
2
1
≤t≤1
2


22

Ta thấy
lim − xn = 1,
t→( 12 )
lim + xn = 0.
t→( 21 )

(1.5)
(1.6)

1
L , trái với giả
Chứng tỏ x0 (t) không liên tục tại t = . Do đó x0 (t) ∈
/ C[0,1]
2

thiết.
L có dãy Cauchy không hội tụ về phần tử
Vậy trong không gian metric C[0,1]
L nên C L là không gian metric không đầy đủ.
nào trong C[0,1]
[0,1]

Định lý 1.2.1. [1] (Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong
X . Khi đó, tồn tại duy nhất x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ .

Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X , ta đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 , ...
Khi đó ta có dãy lặp xn+1 = T xn , với n = 0, 1, 2, ...
Theo định nghĩa ánh xạ co, ta có: d (x1 , x2 ) = d (T x0 , T x1 ) ≤ kd (x0 , x1 ) .
d (x2 , x3 ) = d (T x1 , T x2 ) ≤ kd (x1 , x2 ) ≤ k 2 d (x0 , x1 ) .
..........
d (xn−1 , xn ) = d (T xn−2 , T xn−1 )
≤ kd xn−2 , xn−1 ≤ ..... ≤ k n−1 d (x0 , x1 ) .
d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ kd xn−1 , xn ≤ k n d (x0 , x1 ) .

Từ đó suy ra: d (xn , xn+1 ) ≤ k n d (x0 , x1 ) .