Phương trình tích phân toeplitz hankel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG THỊ VÂN

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
TOEPLITZ - HANKEL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

HOÀNG THỊ VÂN

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
TOEPLITZ – HANKEL

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60460102

Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo

Hà Nội - 2017

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo, người đã
định hướng chọn đề tài và tình hướng dẫn , giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình làm và hoàn thiện luận văn
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học ,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích , trường Đại học
Sư phạm Hà Nội II cenima toán trường đại học Bách khoa Hà Nội , đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn
cổ vũ , động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện
luận văn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2017
Tác giả

Hoàng Thị Vân


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ dạo và hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn
Xuân Thảo , luận văn chuyên ngành giải tích với đề tài “ Phương trình
tích phân Toeplitz – Hanken” được hoàn thành bởi nhận thức và tìm
hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn , tác giả đã thừa kế
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2017

Tác giả

Hoàng Thị Vân


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Biến đổi tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Nhân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Công thức nghịch đảo không đối xứng . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4. Định lý tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.5. Công thức nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1.6. Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2. Biến đổi tích phân Fourier cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.1. Định nghĩa về phép biến đổi tích phân Fourier cosine
22
1.2.2. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier cosine . .
22
1.3. Phép biến đổi tích phân Fourier sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.1. Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine .

24

1.3.2. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier sine .

24

1.4. Biến đổi tích phân Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.1. Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.2. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.3. Định lý Wiener – Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TOEPLITZ - HANKEl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.1. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.1. Khái niệm về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.2. Phân loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Tích chập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1. Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2. Tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3. Phương trình tích phân Toeplitz - Hankel . . . . . . . . . . . . .

40

2.3.1. Phương trình tích phân Toeplitz - Hankel với nhân
đặc biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.2. Phương trình tích phânToeplitz – Hankel có vế phải
đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân là một trong những phần được nghiên cứu
sớm nhất của toán học chiếm vị trí quan trọng trong toán học Giải
tích và tìm được ứng dụng thú vị trong các ngành khoa học như: Vật
lý quang học, điện , cơ học lượng tử, âm thanh,.... Những phép biến
đổi tích phân có vai trò đặc biệt trong lý thuyết và ứng dụng cần phải
kể đến là các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier
cosin, Laplace, Mellin, Hankel, Kontorovich,....
Một trong những vấn đề quan trọng của phép biến đổi tích phân là
nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng và các ứng dụng liên quan.
Khoảng cuối thế kỉ 19 , tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích
chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier. Những nghiên cứu về
tích chập tiếp theo được lần lượt giới thiệu là tích chập đối với các
phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev
và phép biếnđổi Stieltjes .... Đối với tích chập mà trong đẳng thức
nhân tử hóa có nhiều hơn một phép biến đổi được gọi là tích chập
suy rộng. Năm 1941 , Churchill đưa ra tích chập suy rộng đối với hai
phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine :
∞

1
f ∗ g (x) = √
1
2π

g (x) [f (|x − y|) − f (x + y)] dy; x > 0 (1)
0

Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học của tích chập suy rộng là việc
giải đúng phương trình tích phân Toeplitz – Hankel, dạng tổng quát


2

của phương trình này được xác định bởi
∞

[k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y) dy = g (x) ; x > 0

f (x) +

(2)

0

Trong đó g, k1 , k2 là những hàm đã cho, f là ẩn hàm. Phương trình
này có nhiều ứng dụng thú vị trong các lĩnh vực khoa học khác nhau
như lí thuyết tán xạ , lý thuyết động lực học chất lỏng , lý thuyết lọc
tuyến tính, trong nghiên cứu về va chạm đàn hồi , tán xạ khí quyển

, động lực học khí loãng , ...
Năm 2008, phương trình tích phân Toeplitz-Hankel có nhân đặc
biệt được công bố bởi tác giả Thao N.X. , Tuan V.K. và Hong N.T. ,
đã xét phương trình tích phân Toeplitz – Hankel có nhân Hankel k1
và nhân Toeplitz k2 xác định bởi :

k1 (t) =

1
√
sign (t
2 2

− 1) h1 (|t − 1|) −

1
√
sign (t
2 2

+ 1) h1 (|t + 1|)

− 1) h1 (|t − 1|) −

1
√
sign (t
2 2

+ 1) h1 (|t + 1|)

− √12 h2 (t) ,
k2 (t) =

1
√
sign (t
2 2

+ √12 h2 (|t|) ,
(3)
với giả sử ϕ1 , ϕ2 , h2 là các hàm trong L1 (R+ )và , h1 (x) =

ϕ1 ∗ ϕ2 (x)
Fs Fc

là tích chập suy rộng của ϕ1 , ϕ2 đối với các phép biến đổi Fourier sine
và Fourier cosine xác định bởi:
∞

Fc f (y) =

2
π

f (x) cos xydx, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ )

(4)

f (x) sin xydx, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ )

(5)

0
∞

Fs f (y) =

2
π
0

Năm 2011, phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt được
công bố, trong đó phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (2) được
xét trong trường hợp các nhân bất kì, tuy nhiên vế phải g thoả mãn


3

một điều kiện ràng buộc như sau:
Với giả sử g1 , g2 , k1 , k2 ∈ L1 (R+ ) , g = g1 + g2 , và thoả mãn:

g1 (x) =

π
2

g2 ∗ l − g2 ∗ k1 − k2
Fc

(x) ,

(6)

Fs Fc

trong đó l là một hàm thuộc không gian L1 (R+ ) , xác định bởi :

(Fc l) (y) =

π
Fc (k1 + k2 ) (y)
2 1 + π2 Fc (k1 + k2 ) (y)

(7)

Cho đến nay, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt, bài toán tìm
nghiệm đóng cho phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (2) trong
trường hợp tổng quát vẫn đang là bài toán mở.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ,
hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo, tôi mạnh dạn nghiên
cứu đề tài: “Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel ” .
Luận văn được trình bày thành hai chương và phần tài liệu tham
khảo.
2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu một số phép biến đổi tích phân và tích chập
- Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier
sine, Hartley và tích chập.

+ Nghiên cứu phương trình tích phân Toeplitz – Hankel .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, phép biến đổi tích phân,
tích chập, tích chập suy rộng , biến đổi tích phân Fourier, biến đổi
tích phân Fourier cosine , biến đổi tích phân Fourier sine, biến đổi
tích phân Hartley, phương trình tích phân.


4

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm (như không gian hàm, lí
thuyết toán tử,. . . )
- Sử dụng các kỹ thuật về phép biến đổi tích phân
- Lí thuyết toán tử tuyến tính.
6. Đóng góp của luận văn
- Qua đề tài này tôi tìm hiểu một số kết quả mới được công bố của các
nhà toán học quan tâm về phương trình tích phân Toepli - Hankel và
trình bày một số phép biến đổi về tích phân Fourier, Fourier cosine,
Fourier sine.
- Khó khăn khi làm đề tài này là tôi thiếu kiến thức cơ sở về phép
biến đổi tích phân.


5

Chương 1
BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
Trong chương I tôi trình bày các vấn đề cơ bản và quan trọng của
một số phép biến đổi tích phân như: Biến đổi tích phân Fourier, biến đổi

tích phân Fourier sine, Fourier cosine, biến đổi tích phân Hartley. Các kết
quả chính trình bày ở đây được tham khảo từ tài liệu trong [ 2 ]

1.1. Biến đổi tích phân Fourier
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f (x) xác định trên [a, b]. Khi đó phép biến
đổi tích phân F của hàm f được xác định bởi
b

F {f (x)} = (If ) (k) =

K (x, k) f (x) dx
a

trong đó K (x, k) được gọi là nhân của biến đổi, là hàm số của hai biến

x, k
Toán tử F thường gọi là toán tử biến đổi tích phân hay biến đổi tích
phân. Biến k của hàm biến đổi (If ) (k) gọi là biến biến đổi.
Toán tử F là toán tử tuyến tính vì với các hằng số bất kì α, β bất kì,

f (x) và g (x) xác định trên [a, b] ta có:


6

b

F {αf (x) + βg (x)} =

[αf (x) + βg (x)] K (x, k) dx
a

b

=

b

αf (x) K (x, k) dx+ βg (x) K (x, k) dx
a

a
b

b

= α f (x) K (x, k) dx+β

g (x) K (x, k) dx

a

a

= αF {f (x)} + β F {g (x)}
Có rất nhiều phép biến đổi tích phân quan trọng như biến đổi Foureir,
Laplace, Hankel, Mellin. Chúng được xác định bởi các nhân K (x, k) khác
nhau và các giá trị a, b khác nhau
Ví dụ: a) Với K (x, k) = e−kx và [a, b] = (0, ∞) , ta có

∞

e−kx f (x) dx, k ∈ C

(If ) (k) =
0

là biến đổi Laplace
b) Với K (x, k) = xk−1 và [a, b] = (0, ∞) , ta có
∞

xk−1 f (x) dx, k ∈ C

(If ) (k) =
0

là biến đổi Mellin
Định nghĩa 1.1.2. Biến đổi tích phân Fourier của hàm f (x) được xác
định bởi tích phân
∞

1
(F f ) (y) = √
2π

f (x)e−iyx dx,
−∞

trong đó (F f ) (y) được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay biến đổi Fourier.
Nó thường được gọi là biến đổi Fourier phức .

Điều kiện đủ cho f (x) có biến đổi Fourier là f (x) khả tích tuyệt đối
trên (−∞, ∞) nên tích phân trên là hội tụ. Hơn nữa nó còn hội tụ đều
theo k . Vì vậy đối với các hàm khả tích tuyệt đối thì ta mới có định nghĩa
về biến đổi Fourier.


7

1.1.2. Nhân Fourier
Nếu phép biến đổi tích phân
∞

(If ) (y) =

K (y, x) f (x) dx

(1.1)

0

với nhân K (y, x) có phép biến đổi nghịch đảo
∞

f (x) =

k (y, x) (If ) (y) dy
0

thì khi đó ta có phép biến đổi (1.1) đối xứng và nhân K (y, x) được gọi là
nhân Fourier. Ta xét trường hợp có nhiều ứng dụng rộng rãi là:

K (y, x) = K (x, y) = K (yx)
Định lý 1.1.1. Điều kiện cần để hàm số K (yx) là nhân Fourier, đó là
nó thỏa mãn đẳng thức sau

K (s) K (s − 1) = 1
ở đó K (s) = (Mk) (s) - phép biến đổi Mellin của hàm K
Chứng minh

∞

k (x) xs−1 dx

Ta có K (s) =
0

Nhân hai vế (1.1) với y s−1 và lấy tích phân ta có
∞

∞

(If ) (y) y

s−1

dy =

0

∞

y

s−1

=

k (yx) f (x) dx

dy
0

0

∞

k (yx) y s−1 dx

f (x) dx
0

Đổi biến số, ta có :
∞

k (yx) y

s−1

dy = x

−s

0

∞

k (y) y s−1 dy
0

−s

= x K (s)


8

Do đó ta có :
∞

∞

f (x) x−s dxK (s)

(If ) (y) y s−1 dy =
0

0
∞

∞

y

Đặt I (s) =

s−1

xs−1 f (x) dx là biến đổi Mellin

(If ) (y) dy; F (s) =
0

0

các hàm (If ) (y) ; f (x), ta có

I (s) = F (1 − s) K (s)

(1.2)

Mặt khác ta có :
∞

∞

x

s−1

f (x) dx =

0

∞

x

s−1

0
∞

=

f (x)

(If ) (y) k (yx) dy
0

∞

k (yx) xs−1 dx

(If ) (y) dy
0
∞

=

0

−s

∞

k (y) y s−1 dy

(If ) (y) y dy
0

0

Từ đó ta có

F (s) = I (1 − s) K (s)
Thay s bởi (1 − s) ta có :

F (1 − s) = I (s) K (1 − s)
Từ (1.2) và (1.3) ta có:

K (s) K (s − 1) = 1
1.1.3. Công thức nghịch đảo không đối xứng
Định lý 1.1.2. Để phương trình tích phân
∞

(If) (y) =

f (x) k (yx) dx
0

có nghiệm dạng

∞

f (x) =

(If) (y) h (yx) dy
0

(1.3)


9

điều kiện cần là

K (s) H (1 − s) = 1
Ở đó

K (s) = (Mk) (s) ; H (s) = (Mh) (s)
Chứng minh
Thật vậy ta có
∞

(If) (y) y s−1 dy

(MIf) (s) =
0
∞

∞

y s−1 dy

=
0
∞

f (x) k (yx) dx
0

∞

−s

f (x) x dx

=
0
∞

=

f (x) x−s dx

0

k (yx) (yx)s−1 d (yx)

0
∞

k (y) y s−1 dy
0

Từ đó ta có

I (s) = F (1 − s) K (s)
Mặt khác ta có

(1.4)

∞

xs−1 f (x) dx

F (s) =
0
∞

∞

xs−1 dx

=
0
∞

=

(If) (y) h (yx) dy

0
−s

∞

h (y) y s−1 dy

(If) (y) y dy
0

0

= I (1 − s) H (s)
Thay s bởi 1 − s ta có

F (1 − s) = I (s) H (1 − s)
Từ (1.4) và (1.5) ta có

H (1 − s) K (s) = 1
Vậy định lý được chứng minh

(1.5)


10

1.1.4. Định lý tích phân Fourier
1. Tích phân Dirichlet
Định nghĩa 1.1.3. Ta nói hàm f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên
khoảng (a, b) nếu

a. Hàm f chỉ có hữu hạn các cực trị trên khoảng (a, b) .
b. Hàm f chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại một trên (a, b) .
∞

N

f (x)dx hội tụ thì

Định lý 1.1.3. Nếu
0

f (x)dx bị chặn với mọi
0

N
Chứng minh
∞

f (x)dx hội tụ nên với mọi ε bé tùy ý , tồn tại số I , số M > 0

Do
0

, sao cho với mọi N ≥ M , ta có:
N

f (x)dx − I < ε
0
N

hay I − ε <

f (x)dx < I + ε
0
∞

Khi 0 ≤ N ≤ M , đặt K = max

f (x)dx

[0,M ] 0

Lấy L = max {K, |I − ε| , |I + ε|} ,ta có
N

f (x)dx < L
0

Định lý 1.1.4. Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong
khoảng (a, b), khi đó ta có
b

lim

b

f (x) sin ωxdx = 0 = lim

ω→∞

f (x) cosωxdx

ω→∞

a

a


11

Chứng minh
Giả sử : a1 < a2 < ... < ap ; ai ∈ (a, b) là các điểm cực trị hoặc gián
đoạn của hàm f (x) , ta có:
b

p

ar+1

f (x) sin (ωx) dx =

f (x) sin (ωx) dx
r=0 a
r

a

Trong các khoảng (ar , ar+1 ) hàm f (x) liên tục, đơn điệu tăng hoặc
đơn điệu giảm . Sử dụng định lý giá trị trung bình thứ hai thì tồn tại

ξ để có
ar+1

ξ

sin (ωx) dx + f (ar+1 − 0) ×

f (x) sin (ωx) dx = f (ar + 0)
ar
ar+1
ξ

ar
r+1 )
+ f (ar+1 − 0) cos(ωξ)−cos(ωa
sin (ωx) dx = f (ar + 0) cos(ar ω)−cos(ωξ)
ω
ω

Do đó ta có :

ar+1

lim

f (x) sin (ωx) dx = 0

ω→∞
ar

Từ đó ta có :
b

lim

f (x) sin (ωx) dx =

ω→∞

ar+1

p

lim

r=0

a

f (x) sin (ωx) dx = 0

ω→∞
ar

Lập luận tương tự, ta cũng nhận được :
b

lim

f (x) cos (ωx) dx = 0

ω→∞
a

Vậy định lý được chứng minh
Định lý 1.1.5. Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong
khoảng (a, b) , 0 ≤ a < b , khi đó ta có
b

lim

ω→∞ a

f (x) sin(ωx)
x dx =

0
π
2f

,a > 0
(0+ )

,a = 0


12

Chứng minh

Trường hợp a > 0 . Chia (a, b) thành các khoảng nhỏ như trong định
lý 1.1.4 và có
ar+1

f (x)
ar

sin(ωx)
x dx

ξ

sin(ωx)
x dx

= f (ar + 0)
ar

ωar

sin t
t dt

+ f (ar+1 − 0)
ξ
ωar+1

ωξ

= f (ar + 0)

ar+1

+ f (ar+1 − 0)
ωξ

sin t
t dt,

sin(ωx)
x dx

ξ ∈ (ar , ar+1 )
(1.6)

Do các tích phân suy rộng hội tụ, nên với mọi ε > 0 bé tùy ý, tồn tại

M > 0, sao cho mọi N1 > M, N2 > M ,ta có
N1

N2

sin t
π
ε
dt −
< ;
t
2
2

0
∞

( Do có
0

sin t
t dt

π
ε
sin t
dt −
<
t
2
2

0

=

π
2

). Từ đó có:
N2

sin t

dt < ε
t

N1

Tức là khi N2 > N1 , thì có
N2

lim

N1 →∞

sin t
dt = 0
t

N1

Từ đó và từ (1.6) ta có:
ar+1

lim

f (x) sin (ωx) dx = 0

ω→∞
ar

Do đó
b

lim

f (x)

ω→∞
a

sin (ωx)
dx =
x

ar+1

∞

lim

r=0

f (x) sin (ωx) dx = 0

ω→∞
ar


13

Trường hợp a = 0, lập luận tương tự như trên ta có
k

b

b

sin (ωx)
f (x)
dx +
x

sin (ωx)
dx =
f (x)
x
0

0

f (x)

sin (ωx)
dx
x

k

(1.7)
Ở đó k ∈ (0, a1 ) sao cho |f (k) − f (0+ )| bé tùy ý. Theo trường hợp
vừa xét ta có tích phân thứ hai trong vế phải (1.7) tiến đến 0 khi

ω → ∞. Ta lại có:
k

f (x)
0

sin(ωx)
x dx

ξ
+

= f (0 )
0
k

= f (0+ )

sin(ωx)
x dx

sin(ωx)
x dx

0
kω

= f (0+ )
0

sin t
t dt

k

+ f (k)
ξ

sin(ωx)
x dx
k

+ [f (x) − f (0+ )]
ξ
kω

+ [f (k) − f (0+ )]
ξω

sin(ωx)
x dx

sin t
t dt

(1.8)
∞

Do tích phân
0

sin t
t dt

hội tụ, từ định lý 1.1.3 ta có
ξω

kω

sin t
dt <
t
0

sin t
dt < L
t
0

Do đó có
ωk

sin t
dt < ε2L
t
ωξ

Ta chọn k sao cho |f (k) − f (0+ )| <

ε

2L , ε

dương bé tùy ý.

Từ đó có
ωk

sin t
dt < ε
t

[f (k) − f (0+ )]
ωξ


14

Do đó
ωk

sin t
dt = 0
t

lim [f (k) − f (0+ )]

ω→∞

(1.9)

ωξ

thay (1.7) và (1.8) vào (1.9) ta có
b

lim

f (x)

ω→∞

π
sin (ωx)
dx = f (0+ )
x
2

,b > 0

0

Tổng quát định lý 1.1.5 ta nhận được kết quả sau
Định lý 1.1.6. Cho hàm số f (x + u) thỏa mãn điều kiện Dirichlet
trong khoảng 0 < a < b, khi đó ta có:


f (x + 0) + f (x − 0)


b


 f (x + 0)
2
sin wu
lim
du =
f (x + u)
w→∞ π

u
f (x − 0)


a


0

, a<0, a=0, a<0=b
, còn lại

Chứng minh
Khi a = 0 < b, theo định lý 1.1.4 có ngay
b

lim

f (x + u)

ω→∞

π
sin ωu
du = f (x + 0)
u
2

0

Khi a < b ≤ 0 , sử dụng định lý 1.1.4 ta có
b

lim

ω→∞ a

f (x + u) sinuωu du = lim

ω→∞

=

−a
−b

f (x − u) sinuωu du
, −a > −b > 0

0
π
2f

(x − 0)

, −a > −b = 0

hay
b

lim

f (x + u)

ω→∞
a

sin ωu
du =
u

0
π
2f

,a < b < 0
(x − 0)

,a < b = 0

15

Khi a < 0 < b , ta có :
−a

b

a

b

sin ωu
f (x − u)
du+
u

sin ωu
du =
f (x + u)
u
0

f (x + u)

sin ωu
du
u

0

Theo định lý 1.1.5 ta nhận được:
b

lim

f (x + u)

ω→∞

π
sin ωu
du = [f (x − 0) + f (x + 0]
u
2

a

Khi 0 ∈
/ [a, b] , dễ dàng nhận được từ định lý 1.1.5
Vậy định lý được chứng minh
2. Định lý tích phân Fourier
Định lý 1.1.7. Cho hàm f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên R
và có f (x) ∈ L1 (R) .Khi đó ta có:
∞

1
π

∞

dα

1
[f (x + 0) + f (x − 0)] .
2

f (y) cos α (y − x) dy =

−∞

0

(1.10)
Chứng minh:
Ta có
∞

A=

m
0
m

0
k

=
0

0

∞

k
∞
k

dα f (y) cosα (y − x) dy
0

0
m

0

m

0

f (y) cosα (y − x) dy

k
∞

f (y) cosα (y − x) dy

dα
0

∞

dα

0
m

cosα (y − x) dα −

f (y) dy

0
k

cosα (y − x) dα −

f (y) dy

+
=

0
m

m

f (y) cosα (y − x) dy

dα

cosα (y − x) dα −

f (y) dy

∞

m

cosα (y − x) dα −

f (y) dy

k

Mặt khác do f ∈ L1 (R) nên với mọi ε < 0 bé tùy ý, tồn tại K sao
cho ta có
∞

f (y) dy <
k

ε
, ∀k > K
2m

(1.11)


16

Từ đó ta có:
∞

m

f (y) cosα (y − x) dy ≤

dα
0

∞

m

ε
|f (y)|dy < , ∀k > K
2

dα
0

k

k

Do đó có:
∞

∞

m

cosα (y − x) dα ≤

f (y) dy
0

k

<

f (y + x) sinymy dy

k+x
∞
1
k
k+x

|f (y + x)| dy

<

ε
2k

(1.12)
Từ (1.11) và (1.12) ta có:
∞

|A| ≤
<

m

0
1
2ε

0
1
k

∞

m

cosα (y − x) dα +

f (y) dy

f (y) cosα (y − x) dy

dα
0

0

+1 <ε

Từ đó ta có:
∞

lim

m

cosα (y − x) dα = lim

f (y) dy

m→∞
0

∞

m

0

f (y) cosα (y − x) dy

dα

m→∞
0

0

(1.13)
Lập luận tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
0

lim

m→∞
−∞

m

m

cosα (y − x) dα = lim

f (y) dy

f (y) cosα (y − x) dy

dα

m→∞

0

0

0

−∞

(1.14)
Cộng từng vế của (1.13) và (1.14) , ta có:

∞

lim

m→∞
−∞

m

cosα (y − x) dα = lim

f (y) dy

dα

m→∞

0

∞

m

0

−∞

f (y) cosα (y − x) dy


17

Vận dụng định lý 1.1.6 và từ công thức (1.10) ta được:
∞

1
1
[f (x + 0) + (x − 0)] = lim
m→∞ π
2

f (x + u)

sin mu
u

−∞

=
=
=
=

∞
1
f (y) sin m(y−x)

dy
lim π
y−x
m→∞ −∞
∞
∞
1
lim
f (y)dy
cos α (y − x) dα
m→∞ π −∞
−∞
m
∞
lim π1 dα
f (y) dy cos α (y − x) dy
m→∞ 0
−∞
m
∞
1
dα
f (y) dy cos α (y − x) dy
π
−∞
0

Chú ý: Nếu hàm f (x) liên tục tại x = 0 thì ta có:

f (x + 0) = f (x − 0) = f (x)

Vì vậy ta nhận được:
∞

1
f (x) =
π

∞

dα
0

f (y) cos α (y − x) dy

(1.15)

−∞

1.1.5. Công thức nghịch đảo
Trong trường hợp hàm f (x) xác định với mọi x > 0, ta nhận được hai
công thức quan trọng của tích phân Fourier. Giả sử đã biết hàm f (x) , x >

0; khi đó ta sẽ mở rộng chẵn hàm f tại x < 0 như sau:
f (x) = f (−x) , x > 0
Từ đó ta có:
1
π

=

∞

∞

dy cos α (y − x) dy

dα
0
1
π

∞

0

∞

f (y) cos α (y − x) dy +

dα
0

0

1
π

∞

0

f (y) cos α (y − x) dy

dα
0

−∞


18

=
=
=

1
π
1
π
1
π

∞

∞

f (y) cos α (y − x) dy +

dα
0

∞

0
∞

∞

∞

f (−y) cos α (−y − x) dy

dα
0

0

f (y) [cos α (y − x) + cos α (y + x)] dy

dα
0
∞

1
π

0

∞

cos αxdα

0

f (y) cos αydy
0

Từ đó và từ (1.15) ta có:
∞

2
f (x) =
π

∞

cos αxdα
0

f (y) cos αydy
0

Do đó ta có định lý sau:
Định lý 1.1.8. Cho hàm f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet f ∈ L1 (R+ )
và có:

∞

2
π

Fc (α) := (F f ) (α) =

f (y) cos αydy
0

Khi đó ta có:

∞

f (x) =

2
π

Fc (α) cos αdα
0

Tương tự ta mở rộng lẻ hàm f (x) , x > 0 như sau:

f (x) = −f (−x) , x < 0
Khi đó ta có:
1
π

=

∞

α

f (y) cos α (y − x) dy

dα
0
1
π

∞

−α

∞

f (y) [cos α (y − x) − cos α (y + x)] dy

dα
0

0

Từ đó và từ (1.15) ta có:
∞

2
f (x) =
π

sin αxdx
0

Như vậy ta có định lí sau:

∞

f (y) sin αydy
0