Một số phương pháp giải bài toán biên của phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Đ

ỘT S

TH

N HƯ NG

PHƯ NG PH P GIẢI ÀI TO N I N

CỦ PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Đ

ỘT S

TH

N HƯ NG

PHƯ NG PH P GIẢI ÀI TO N I N

CỦ PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢ

N

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng thầy đã tận
tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc cho tôi, giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại
học, các thầy cô giáo khoa toán, cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ
K19 đợt 2 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập và hoàn thiện luận văn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2017

Tác giả

Đỗ Thị an Hương


LỜI C

ĐO N

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn
Văn Hùng, luận văn thạc sĩ chuyên nghành Toán giải tích với đề tài “
phương pháp giải bài toán i n

phương

nh i ph n hư ng

được hoàn

thành bởi sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2017
Tác giả

Đỗ Thị an Hương


MỤC LỤC
N

LỜI CẢ
LỜI C

ĐO N

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .........................................................................1
5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................1
6.

i n đ ng g p ....................................................................................................1

CHƯ NG 1.

ỘT S

KIẾN THỨC CHUẨN B .....................................................2

1.1. Sai số ........................................................................................................................2
1.1.1. Làm tròn s và sai s c a phép làm tròn s ........................................................2
1.1.2. Chữ s có nghĩ , hữ s chắc ..............................................................................3
1.1.3. Sai s tính toán .....................................................................................................4
1.1.4. Bài oán ngược c a sai s ....................................................................................5
1.2. Số gần đúng .............................................................................................................6
1.3. Sai phân và tính chất .............................................................................................. 7

1.3.1. Các khái niệm ơ ản ...........................................................................................7
1.3.2. Tính chất c a sai phân .........................................................................................9
1.4. Một số ki n thức về phương trình vi phân .........................................................11
1.4.1. Phương

nh i ph n uyến tính cấp m t .........................................................11

1.4.2. Phương

nh i ph n uyến tính cấp cao ..........................................................12

1.4.3. Định lí Pica – Lindolo ( Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) ...............13
CHƯ NG 2.

ỘT S

PHƯ NG PH P GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA

PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ..................................................................15
2.1. Bài toán biên của phương trình vi phân thường ...............................................16
2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn ..........................................................................16
2.3. Phương pháp bắn..................................................................................................23
CHƯ NG 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀ

P E ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

Đ I VỚI PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG .................................................30


3.1. Ví dụ về phương pháp sai phân hữu hạn ........................................................... 30

3.2. Ví dụ về phương pháp bắn ..................................................................................35
KẾT LUẬN ..................................................................................................................39
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................40


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tiễn, phương trình vi phân đ ng vai tr quan trọng trong nhiều
lĩnh vực như kĩ thuật, vật l , kinh tế

C nhiều phương pháp giải phương trình

vi phân thường trong đ việc tìm nghiệm đúng phương trình vi phân là r t kh
khăn. Người ta ch tìm nghiệm đúng được một vài phương trình vi phân đ c biệt
c n đa số là tìm nghiệm x p x . C th đối với một số bài toán, ngoài việc cho ở
dạng phương trình vi phân n c n k m theo một số điều kiện gọi là điều kiện
biên, các bài toán như vậy gọi là bài toán biên đối với phương trình vi phân,
cùng với sự đ nh hướng và tận tình ch bảo của thầ giá – TS. Ngu ễn Văn
Hùng tôi đã chọn đề tài
“

phương pháp giải ài oán i n

phương

nh i ph n hư ng .

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên của phương trình vi phân
thường
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải bài toán biên của phương trình vi
phân thường.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải bài toán biên của phương
trình vi phân thường.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về phương pháp sai phân hữu hạn,
phương pháp bắn giải bài toán biên của phương trình vi phân thường.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số.
6.

i n đ ng g p
Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề tài giải

bài toán biên của phương trình vi phân thường


2

CHƯ NG 1. MỘT S

KIẾN THỨC CHUẨN B

1.1. Sai số
1.1.1. Làm tròn s và sai s c a phép làm tròn s
Xét một số thập phân dạng tổng quát
a    p .10p  ...  i .10i  ...   ps .10ps 

(1.1)

trong đ  j  , j, a p  0, 0  a j  9
Nếu p  s  0 thì a là số nguyên
Nếu p  s  k  k  0 thì a là số thập phân có phần lẻ gồm k chữ số
Nếu s   thì a là số thập phân vô hạn
Ví dụ 1: 3148  3.103  1.102  4.101  8.100
Ta có p  s  0 nên a  3148 là số nguyên
Ví dụ 2: 31,48  3.101  1.100  4.101  8.102
Ta có p  s  2 nên a  31,48 là số thập phân có phần lẻ gồm 2 chữ số.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a đ được một số a
gọn hơn và gần đúng với số a.
Quy tắc làm tròn (thu gọn): Xét a ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i ,



phần bỏ đi là  thì: a   p .10p  ...  i1.10i1  i .10i



Trong đ
1
+ i   i nếu 0    .10i
2

1
+ i  i1 nếu   .10i
2
1

+ Nếu   .10i thì i   i với  i là chẵn và i  i1 với  i là lẻ vì tính toán
2

với số chẵn tiện hơn.
Ví dụ 3:
2,718281828  2,71828183  2,7182818  2,7182818  2,718282
 2,71828  2,7183  2,718  2,72  2,7


3

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là  a , như vậy a  a  a rõ ràng
1
a  .10i
2

Vì a*  a  a*  a  a  a  a  a , do đ khi làm tr n thì sai số tuyệt đối tăng
thêm  a
1.1.2. Chữ s có nghĩ , hữ s chắc
1.1.2.1. Chữ số có nghĩa
Xét số a ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đ chữ số có
nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả những chữ số “0” b kẹp giữa hai số khác 0
ho c nó là chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
* Ví dụ 4: a  0,0006408530
Giải
4 chữ số 0 ở v trí đầu tiên là những chữ số không c nghĩa. Toàn bộ những chữ
số còn lại là những chữ số c nghĩa.
1.1.2.2. Chữ số chắc
Xét số a ở dạng (1.1)
a    p .10p  ...  i .10i  ...   ps .10ps 

Chữ số  j ở dạng (1.1) là của số a là số chắc nếu:
a  .10 j ,  là tham số cho trước

Tham số  sẽ được chọn đ sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn
vẫn là chắc, rõ ràng a i là chữ số chắc thì a i1 cũng là chữ số chắc.
* Ví dụ 5: a  8,60432 , a  0,001  103 . Khi đ
a  8.100  6.101  0.102  4.10 3  3.10 4  2.10 5

Chọn   1 thì a có bốn chữ số chắc là: 8,6,0,4 còn lại hai chữ số không chắc là:

3,2
1
Chọn   thì a có ba chữ số chắc là: 8,6,0 còn lại ba chữ số không chắc là:
2


4

4,3,2

Ta ch việc xét chọn  giả sử số a được biết:
a    p .10p  ...  i .10i  ...   ps .10ps  và  i là chắc

Vậy i1 vốn là chắc. Ta chọn  đ sao cho khi thu gọn đến đúng bậc  i  1 thì
có i1 vẫn là chắc. Muốn vậy ta phải có:
 a   a  .10i1
.10i  0,5.10i1  10i1
  5  10
5


9

Trong thực tế người ta thường chọn  

1
ho c   1 . Nếu   1 thì người ta
2

1
nói chữ số là chắc theo nghĩa rộng, còn   thì người ta nói chữ số là chắc
2

theo nghĩa hẹp.
1.1.3. Sai s tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y  f  x1 , x 2 ,..., x n 
Gọi x*   x1* , x*2 ,..., x*n  , y*  f  x*  là giá tr đúng c n
x   x1 , x 2 ,..., x n  ; y  f  x  là giá tr gần đúng y* , x i  x*i  x i . Giả sử
f  x1 , x 2 ,..., x n  là hàm khả vi liên t c thì
y  y  y*  f  x1 , x 2 ,..., x n   f  x1* , x *2 ,..., x *n    f xi x i  x *i
n

i 1

Với f xi là đạo hàm tính tại đi m trung gian.
Vì f khả vi liên t c, x i khá bé nên:
n

y   f xi (x1 , x 2 ,..., x n ) x i

(1.2)

i 1

Vậy y 

y n 

ln f x i
y
i 1 x i

(1.3)


5

a. Sai số của phép toán cộng trừ
n

n

i 1

i 1

Nếu y   x i thì y'xi  1 , vì vậy ta có y   x i
n

Chú ý rằng: Nếu tổng đại số y   x i bé về giá tr tuyệt đối thì

i 1

y
lớn, phép
y

tính sẽ kém chính xác. Ta khắc ph c bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu
quả của hai số bằng nhau.
b. Sai số của phép toán nhân, chia
n

Giả sử y 

x
i 1
n

x
i 1

i

. Áp d ng (1.2) và (1.3) ta có:
p i

y  x1  x 2  ...   x q và y  y y

c. Sai số của phép tính luỹ thừa
Xét y  x    , x  0  , khi đ y  y x
Như vậy,

Nếu   1 thì độ chính xác tăng lên
Nếu   1 (phép ngh ch đảo) thì độ chính xác là không đổi
1
Nếu   ,k 
k

*

(phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.

d. Sai số của phép tính lôgarit
Xét y  ln x , ta có y  x .
1.1.4. Bài oán ngược c a sai s
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức y  f  x1 , x 2 ,..., x n  .
Yêu cầu đ t ra là cần tính x i như thế nào đ y   , với  là cho trước.
Theo bi u thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có:
n

y  
i 1

f
x i  
x i


6

B t đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu x i 


n f 'xi

Kết luận: Nếu các biến x i c vai tr “đều nhau” thì ta c th l y x i 


,
n f ' xi

khi đ y   .
Ví dụ 6: Một hình tr có có chều cao h  3 m , bán kính đáy R  2 m . Tìm
h, R, số  đ th tích V được tính chính xác đến 0,1 m3 .

Giải
V  R 2 h ; v  0,1 m3 ; h  3 m ; R  2 m ; n  3

0,1
V
 0,001
 2Rh  37,7 suy ra R 
37,7
R
V
0,1
 R 2 h  12 suy ra r 
 0,003
r
3.12

0,1

V
 0,003
 R 2  12,6 suy ra h 
3.12,6
h

Vậy R  0,001 chính xác tới

1
1000

h  0,003 chính xác tới

3
1000

1.2. Số gần đúng
Ta nói rằng a là một số gần đúng của a * nếu như a không sai khác a * nhiều,
hiệu số   a*  a là sai số thực sự của a .
Nếu   0 thì a là giá tr gần đúng thiếu, còn nếu   0 thì a là giá tr gần đúng
thừa của a * .
Vì a * nói chung không biết nên cũng không biết  , tuy nhiên có th tìm được
a  0 thoả mãn điều kiện a*  a  a

Số  a nhỏ nh t thoả mãn (1.4) được gọi là sai số tuyệt đối của a.

(1.4)


7

T số a 

a
được gọi là sai số tương đối của a.
a

Rõ ràng a , a càng nhỏ càng tốt.
Ví dụ 7: Cho x  n ; a  3,14 ; a *  n

3,14  a *  3,15 ; a  0,01

3,14  a *  3,145 ; a  0,005
Ví dụ 8: Cho x  e ; a  2,71 ; a *  e

2,71  a *  2,718 ; a  0,008
2,71  a *  2,718 2; a  0,0002
Trong phép đo n i chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt.
Ví dụ 9: A  500 m ; a  0,09
B  3 km ; b  10 m
a 

0,09
9
 0,00018 
500
50000

b 

10
1

3000 300

Phép đo B chính xác hơn phép đo A.
Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
1.3. Sai phân và tính chất
1.3.1. Các khái niệm ơ ản
Xét dãy số x n  ; dạng khai tri n của nó là: x 0 , x1 ,..., x n ,... .
Ví d , dãy số tự nhiên kí hiệu là
Dãy số nguyên dương



có dạng n  0,1,2,...,n,... ,

có dạng n  1,2,...,n,... ,

1 
1   1
Dãy số điều hoà    1, ,..., ,... .
n 
n   2

Có th xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n. Kí hiệu x  n   x n .


8

* Các định nghĩa
Định nghĩ 1. Ta gọi sai phân hữu hạn c p 1 của hàm số x  n   x n với
n  : n  0,  1,  2,...,  n,... ( ho c n 



, ho c n  ) là hiệu:

x n  x n 1  x n .

Ví d , hàm x n cho dưới dạng bảng
n

0

1

2

3

4

xn

1

3

4

7

6

có sai phân hữu hạn c p 1 là
x 0  x1  x 0  3  1  2; x1  x 2  x1  4  3  1 ;
x 2  x 4  x3  7  4  3; x 3  x 4  x 3  6  7  1 .

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với t sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu
hạn là sai phân, còn sai phân c p 1 gọi tắt là sai phân.
Định nghĩ 2. Ta gọi sai phân c p 2 của hàm x n là sai phân của sai phân c p 1
của x n , và nói chung sai phân c p k của hàm x n là sai phân của sai phân c p
k  1 của hàm số đ .

Như vậy, sai phân c p 2 của hàm x n là
2 x n    x n   x n 1  x n  x n 2  x n 1   x n 1  x n   x n 2  2x n 1  x n ;

Sai phân c p 3 của hàm x n là
3 x n     2 x n    2 x n 1  x 2 n  x n 3  2x n 2  x n 1   x n 2  2x n 1  x n 
 x n 3  3x n 2  3x n 1  x n

Nói chung, sai phân c p k của hàm x n là
 x n     x n    x n 1   x n    1 Cik x n k i ,
k

k 1

k 1

k 1

k

i 0

trong đ Cik 

k!
.
i!(k  i)!

Ví d , xét hàm x n trong đ nh nghĩa (1.5) ta có

i

(1.5)


9

2 x 0  x 2  2x1  x 0  4  2.3  1  1 ,
2 x1  x 3  2x 2  x1  7  2.4  3  2 ,
2 x 2  x 4  2x 3  x 2  6  2.7  4  4 .
3 x 0  x 3  3x 2  3x1  x 0  7  3.4  3.3  1  3 ,
3 x1  x 4  3x 3  3x 2  x1  6  3.7  3.4  3  6 ,
4 x 0  x 4  4x 3  6x 2  4x1  x 0  6  4.7  6.4  4.3  1  9 .

Từ công thức (1.5), suy ra một số tính ch t của sai phân sau đây:
1.3.2. Tính chất c a sai phân

Tính chất 1. Sai phân các c p đều có th bi u diễn qua các giá tr của hàm số.
Chứng minh: Đ chứng minh tính ch t 1, ta chứng minh công thức (1.5).
n

Thật vậy, với k  1 ta có  k x n    1 Cik x n k i ,
i

i 0

Ta chứng minh (1.5) đúng với k  1, tức là
k

k

 x n   x n 1   x n    1 C x n 1k i    1 Cik x n k i .
k 1

k

i

k

i 0

i
k

i

i 0

Trong tổng thứ hai ta đổi ch số i  i' 1, sau đ thay i ' bằng i , ta được
k

i

  1 C x
i
k

i 0

k 1

n  k i

i ' 1

k 1

i

   1 C x n k 1i '    1 Cik1x n k 1i
i ' 1
k

i 0

i 0

Bởi vậy
k

k 1

 x n    1 C x n k 1i   (1)i Cik1x n k 1i
k 1

i

i 0
k

i
k

i 0

k 1

   1 Cik x n  k 1i  x n  k 1   (1)i Cik1x n k 1i  (1) k 1 x n
i

i 0
k

i 0

   1 (Cik  Cik1 )x n k 1i  x n k 1  (1) k 1 x n

i

i 0
k

   1 Cik 1 x n  k 1i  x n  k 1  (1) k 1 x n
i

i 0

k 1

   1 Cik 1 x n  k 1i
i 0

i


10

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.5) đúng với mọi n nguyên dương.
Tính chất 2. Sai phân mọi c p của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
k (ax n  byn )  ak x n  bk yn , k  1,2,...

Thật vậy, theo (1.5) ta có
k

 (ax n  by n )    1 Cik (ax n k i  by n k i )
i

k

i 0

k

k

   1 C (ax n  k i )    1 Cik (by n  k i )
i

i
k

i 0

k

i

i 0
k

 a   1 Cik x n k i  b  1 Cik y n k i  a k x n  b k y n
i

i 0

i

i 0

Tính chất 3. Sai phân c p k của đa thức bậc m là
1. Đa thức bậc m  k , nếu k  m
2. Hằng số, nếu k  m
3. Bằng 0 khi k  m
Chứng minh. Theo tính ch t 2, sai phân mọi c p là toán tử tuyến tính, nên ta ch
việc chứng minh cho đơn thức Pm (n)  n m là đủ.
1. Ta có, n m   n  1  n m  C0m  C1m n  ...  Cmm n m  n m
m

 C0m  C1m n  ...  Cmm1 n m1  Pm1 (n)

Giả sử tính ch t này đúng với k  s  m , ta chứng minh n đúng với
k  s 1 m

Thật vậy,
s1n m    s n m   s (n  1)m  s n m  Pms (n)  Pms1 (n)

2. Khi k  m , theo chứng minh trên, ta có
k n m  Pmm (n)  Po (n)  C  const ;

3. Khi k  m , ta có
k n m  km m n m  km C  km1C  0 .


11

Tính chất 4

N

 x
k

n a

n

  k 1x N1   k 1x a với k 



.

Chứng minh
N

N

n a

n a

  k x n   ( k1x n )
  k 1 x a 1   k 1 x a   k 1 x a 2   k 1 x a 1  ...   k 1 x N 1   k 1 x N
  k 1 x N 1   k 1 x a

Đ c biệt lưu trường hợp k  1, ta có
N

 x
n a

n

 x N1  x a .

1.4. Một số ki n thức về phương trình vi phân
1.4.1. Phương

nh i ph n uyến tính cấp m t

Phương trình vi phân tuyến tính c p một có dạng
y' a(x) y  b(x)

(1.6)

Nếu b(x) là hàm hằng bằng 0 thì (1.6) gọi là phương trình vi phân tuyến tính
thuần nh t, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nh t.
Phương trình vi phân tuyến tính c p một thuần nh t có dạng
y' a(x) y  0

(1.7)

là phương trình phân ly biến số được và có nghiệm tổng quát là
y  C e

 a  x  dx

(1.8)

Đ tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nh t ta dùng
phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng. Thay C bởi hằng số C  x  đ
y  C(x)e 

 a  x  dx

(1.9)

Là nghiệm của (1.6). Khi đ
y  C(x) e 

 a  x  dx

 a(x) C(x) e 

 a  x  dx

,


12

Thay vào phương trình đã cho được C(x)  b(x) e 

a(x) dx

, tích phân hai vế, cuối

cùng nhận được nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nh t
(1.6) là:
y  (  b(x) e 

1.4.2. Phương

a(x) dx

dx  C) e 

 a  x  dx

(1.10)

nh i ph n uyến tính cấp cao

1.4.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính c p n có dạng
y(n)  a1 (x) y(n1)  a 2 (x) y(n 2)  ...  a n (x) y  b(x)

(1.11)

Nếu b(x) là hàm hằng bằng 0 thì (1.11) gọi là phương trình vi phân tuyến tính
thuần nh t, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nh t. Phương trình thuần nh t có vế trái trùng với vế trái trùng với vế trái của
phương trình không thuần nh t (1.11) gọi là phương trình thuần nh t tương ứng
với phương trình không thuần nh t (1.11).
1.4.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng
Đ giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nh t với hệ số hằng

y(n)  a1 y(n 1)  a 2 y(n 2)  ...  a n y  0 ( a i là hằng số thực: i  1, 2,..., n ) (1.12)

Ta tìm nghiệm dưới dạng y  ex . Đạo hàm ex các c p 0,1,2,...,n và thay vào
phương trình ta được
ex (n  a1n 1  a 2 n 2  ...  a n 1  a n )  0

Giải phương trình đ c trưng
n  a1n 1  a 2 n 2  ...  a n 1  a n  0

(1.13)

- Nếu  là nghiệm thực bội k của phương trình (1.13), thì các hàm
ex , x ex ,..., x k 1 ex là k nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.12).

- Nếu     i là nghiệm phức bội k của phương trình (1.13) thì   i cũng
là nghiệm phức bội k của phương trình (1.13). Khi đ theo công thức Euler
y1  e

ix

 ex  cosx + i sinx  ;


13

y2  e

Suy ra

i x

 ex  cosx  i sinx 

y  y2
y1  y2
 ex sin x
 ex cosx và 1
2
2

là các nghiệm của phương trình (1.12). Do đ các hàm

ex cosx , xex cosx , , x k 1ex cosx
ex sin x , xex sin x , , x k 1ex sin x
đều là nghiệm của (1.12).
Điều đ c nghĩa là bằng cách giải phương trình đ c trưng tìm được đủ n
nghiệm thì ta c được ngay hệ thống n nghiệm độc lập tuyến tính của phương
trình vi phân (1.12) và do đ c nghiệm tổng quát.
1.4.3. Định lí Pica – Lindolov ( Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử f  x, y  xác đ nh và liên t c trong miền G:



G   x, y  : x  x 0  a; y  y0  b

Đồng thời thoả mãn điều kiện Lipsit theo biến y . Khi đ tồn tại một dãy nghiệm
gần đúng của phương trình

dy
 f  x, y  trên đoạn  x 0  h; x 0  h  và dãy

dx

nghiệm này là các hàm liên t c hội t đều đến nghiệm duy nh t của phương
 b
trình đã cho và thoả mãn điều kiện ban đầu y  x 0   y0 ; h  min  a; 
 M

M  max y  x, y  ; (x, y)  G

Chứng minh
L y

0 (x)  y0
x

1 (x)  y0   f  t, 0  t   dt
x0
x

2 (x)  y0   f  t, 1  t   dt
x0

.

(1.14)


14

x

n (x)  y0   f  t, n 1  t   dt
x0

Dãy hàm {n (x)} gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho. Ta đi chứng
minh dãy {n (x)} hội t đều. Gọi (x) là nghiệm đúng của phương trình. Ta c
x

(x)  y0   f  t,   t   dt , đ t n (x)  (x)  n (x)
x0
x

Ta có (x)  n (x)   f  t, (t)   f  t, n 1 (t)   dt
x0

Từ đ ta c
x

n (x)  (x)  n (x) 

 f (t, (t)  f (t, 

n 1

(t)) dt

x0

Vì f  x, y  thoả mãn điều kiện Lipsit theo biến y. Do vậy
x

x

n  x    L (x)  n 1 (x) dt  L  (x)  n 1 (x) dt
x0

(1.15)

x0

( L là hằng số Lipsit của hàm số f )
Với n  0 ta có 0 (x)  (x)  0 (x)  (x  x 0 )  '()
Vì  '()  (, ()  M nên 0 (x)  M (x  x 0 )
Áp d ng liên tiếp (1.15) ta được
(x  x 0 )2
1 (x)  L  0 (t) dt  LM  (t  x 0 ) dt  LM
2
x0
x0
x

x

(t  x 0 )
(x  x 0 )3
2
2 (x)  L  1 (t) dt  L M 
dt  L M
2
3!

x0
x0
x

2

x

2

..
(x  x 0 )n 1
n (x)  L M
; (n  0,1, 2...)
(n  1)!
n

Từ đ ta c n   thì n (x)  0 và n (x)  (x) trên đoạn  x 0 ; x 0  h 
Ta chứng minh (x) là duy nh t


15

Giả sử có hai hàm (x) và (x) là nghiệm của phương trình đã cho và thoả mãn
điều kiện ban đầu cho trước
x

x

x0

x0

Xét (x)  y0   f  t,   t   dt ; (x)  y0   f  t,   t   dt
x

(x)  (x)   f  t,   t    f  t,   t   dt 
x0

x

x

x0

x0

x

 f  t,   t    f  t,   t   dt

x0

 L  (t)  (t) dt  L  sup (t)  (t) dt  L sup (t)  (t) (x  x 0 )
t

t

xx

 L sup (x)  (x) a ;
x

0

 a

Suy ra (x)  (x)  La sup (x)  (x) ; x
x

sup (x)  (x)  La sup (x)  (x) ;
x

x

Tương đương (1  La)sup (x)  (x)  0
x

1  La   0 suy ra sup (x)  (x)  0
x

(x)  (x)  0; x

Suy ra    . Vậy (x) là duy nh t.


16

CHƯ NG 2. MỘT S

PHƯ NG PH P GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA

PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
2.1. Bài toán biên của phương trình vi phân thường
Xét phương trình vi phân c p 2
y''  f  x, y, y'

(2.1)

xác đ nh trên khoảng a  x  b . Với f là hàm ba biến thực và y là hàm chưa
biết với biến độc lập x .
Nghiệm tổng quát của (2.1) chứa hai hằng số tuỳ ý, vậy đ xác đ nh tính
duy nh t nghiệm ta cần đ t thêm hai điều kiện trên y . Khi một trong hai điều
kiện được cho tại x  a và x  b thì bài toán được gọi là bài toán biên và các
điều kiện liên quan được gọi là điều kiện biên.
Loại đơn giản nh t của điều kiện biên là:
ya   

(2.2.a)

y b  

(2.2.b)

với ,  là các số cho trước. Tuy nhiên, các điều kiện thường là:
1 y  a    2 y'  a   1

(2.3.a)

1 y  b   2 y'  b   2

(2.3.b)

với i , i , i  i  1, 2 là các số cho trước. Điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy
nh t nghiệm của bài toán trên có th xem tại Keller (1968).
Trong phần này c

hai phương pháp tìm nghiệm của bài toán biên.

Phương pháp đầu tiên là phương pháp sai phân hữu hạn. Phương pháp này về
bản ch t là thay một bài toán biên bằng một dãy các bài toán hệ phương trình đại
số tuyến tính có nghiệm duy nh t. Còn phương pháp thứ hai là phương pháp
bắn. Phương pháp này thay một bài toán biên bằng một dãy các bài toán giá tr
ban đầu đã c cách giải.
2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn
Xét phương trình vi phân tuyến tính c p hai
y''  p  x  y' q  x  y  r(x)

(2.4)


17

với điều kiện biên (2.2.a) và (2.2.b). Chia đoạn  a,b thành N đoạn nhỏ với độ
dài h , các đi m lưới được cho bởi x i  x 0  ih với x 0  a, x N  b và h 

ba
.
N

Kí hiệu yi là giá tr gần đúng của y  x i  tại x i . Từ (2.2a) và (2.2b) ta thu được
y0   và y N   . Các giá tr y1 , y2 , ..., y N1 tương ứng là giá tr tại đi m lưới

của các khoảng mà ta cần xác đ nh. Điều này được minh hoạ như sau

Tại x  x n , phương trình vi phân (2.4) trở thành
y''  x n   p  x n  y'  x n   q  x n  y  x n   r  x n 

(2.5)

Cách đơn giản đ x p x phương trình (2.5) là thay thế đạo hàm y'(x n ) và
y''  x n  bằng x p x sai phân

y'  x n  
y''  x n  

1
 yn1  yn1 
2h

1
 yn1  2yn  yn1 
h2

Khi đ phương trình (2.5) trở thành
1
1
y  2yn  yn 1   pn
 yn1  yn 1   q n yn  rn
2  n 1

h
2h

(2.6)

với pn  p  x n  , qn  q  x n  và rn  r  x n  .
Thu gọn phương trình (2.6) ta được
hpn

1 
2



 hpn
2
 yn 1  (2  h q n )y n  1 
2



Phương trình (2.7) có th


2
 y n 1  h rn


(2.7)

được tính tại các đi m lưới bằng cách thay

n  1, 2,..., N  1 . Hơn nữa từ các giá tr pn , q n và rn đã biết, nó bi u diễn một

phương trình đại số tuyến tính liên quan đến yn 1 , yn và y n 1 . Từ các phương


18

trình đ ta được một hệ gồm N  1 phương trình tuyến tính của N  1 ẩn

y1 , y2 ,..., y N1 .
Với y0   , phương trình (2.7) ở bước thay đầu tiên, ứng với n  1 nghĩa là
hp 
 hp 

  2  h 2 q1  y1  1  1  y 2  h 2 r1  1  1  
2 
2 



Với y N   , phương trình (2.7) ở bước thay cuối cùng ứng với n  N  1 , nghĩa
là
 hp N1 
 hp N1 
2
2
1  2  y N2  (2  h q N1 )y N1  h rN1  1  2  






Giá tr của yn  n  1, 2,..., N  1 có th được tìm bằng cách giải hệ phương trình
Ay  c

Trong đ


 hp1 
2
...
0
   2  h q1  1  2 







hp 2
hp
2
2
(1

)


(2

h
q
)
(1

)
2


2
2
A

hp N 2 

...
(1 
)


2


hp N 1
2

0
...

(1 
) (2  h q N 1) 


2
hp 
 2


h r1  1  1   

2 
 y1 



 y 
2


h
r
2
 2 


 , c
y




2


h rN 2
 y N 2 


y 
 N 1 
 h 2 r  1  hp N 1   
 N 1 
2  



Ví dụ 2.1
Đ minh hoạ cho phương pháp sai phân hữu hạn, ta xét bài toán biên sau:
y''  xy' 3y  e x ,

y(0)  1,

y(1)  2 với h  0.2


19

Trong ví d này ta biết y0 , y5 cần phải tính y1 , y2 , y3 , y 4

Thay đạo hàm c p một và c p hai tại x  x n bằng x p x sai phân ta được

1
1
 yn1  2yn  yn1   x n .
 yn 1  yn 1   3yn  e xn
0,04
0,04

Phương trình trên tương đương với phương trình

1  0,1x n  yn1  1,88yn  1  0,1x n  yn1  0.04ex

n

L y n  1,2,3 và 4 lần lượt ta được hệ phương trình sau
1,88y1  0,98y2

 0,04e0,2  1,02

1,04y1  1,88y2  0,96y3

 0,04e0,4

1,06y2  1,88y3  0,94y 4  0,04e 0,6
1,08y3  1,88y4  0,04e0,8  1,84

Giải hệ ta được
y1  1,4651, y2  1,8196, y3  2,0383, y4  2,1023

Giả sử phương trình (2.4) cho bởi các điều kiện biên (2.3a) và (2.3b) với

 2 , 2  0 . Trong trường hợp này, ta không biết giá tr của y 0 và y N . Đ giải
được bài toán dạng này, ta cần thêm hai phương trình đ tạo ra một hệ phương
trình đại số mà có cách giải. Ta có th xây dựng bằng cách đ t n  0 và
n  N trong (2.7) đ được
hp0 

 hp0 
2
2
1  2  y1  (2  h q 0 )y0  1  2  y1  h r0





hp

và 1  N
2



 hp N 
2
2
 y N1  (2  h q N )y N  1  2  y N1  h rN




(2.8)
(2.9)

Các giá tr y 1 và y N1 là x p x của y  x  tại x  x o  h và x  x N  h , nhưng
hai giá tr này nằm ngoài đoạn  a,b  . Đ loại hai giá tr y 1 và y N1 ra khỏi