Dap an cham thi thu cua THPT Tam Nong

SỞ GD- ĐT PHÚ THỌ. ĐÁP ÁN CHẤM THI .(có 5 trang)
Trường THPT Tam Nông Môn: Toán , khối A.
Câu
ý Nội dung Điểm
Phần chung cho các thí sinh…. 7.00
I 2.00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Khi m=2 hàm số trở thành :
4 2
5 4.y x x= − +
• Tập xác định:D=
¡
.
• Sự biến thiên:
3 2
0
' 4 10 2 (2 5), ' 0
5
2
x
y x x x x y
x
=


= − = − = ⇔

= ±


0.25

• Bảng biến thiên:
x
-∞
5
2
−
0
5
2
+ ∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
0.25
• Hàm số đồng biến trên các khoảng
5 5
;0 và ;
2 2
   
− +∞
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
, hàm số nghịch biến
trên các khoảng
5 5
; và 0;
2 2
   
−∞ −
 ÷  ÷

 ÷  ÷
   
.
•
5 9
(0) 4, ( )
2 4
CD CT
y y y y= = = ± = −
0.25
• Đồ thị :Giao trục Ox: (-2;0), (-1;0), (1;0), (2;0)
0.25
2 Tìm các giá trị của tham số m để……(1,00 điểm)
• Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là nghiệm của phương trình:

2
4 2
2
1
(2 1) 2 0
2
x
x m x m
x m

=
− + + = ⇔

=


(*)
0.25
• Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau khi và chỉ khi
phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Trước hết (*) có 4 nghiệm phân biệt thì m > 0
0.25
• Với m> 0 thì các nghiệm (*) là :
1, 1, 2 , 2m m− −
theo thứ tự :

1, 2 , 2 , 1m m
− −
là cấp số cộng khi :
1
2 2 1 2
18
m m m= − ⇔ =

0.25
• Hoặc:
2 , 1, 1, 2m m
− −
là cấp số cộng khi :
9
2
m =
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là:
1
18
m =

,
9
2
m =
.
0.25
4
+∞
9
4
−
9
4
−
+∞
II 2.00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
• Điều kiện :
x
∈
¡
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
2 2
2
6cos cos 8 6sin cos 9sin sin x
6cos 1 sinx 2sin 9sin 7
(1 sinx)(6cos 2sin 7) 0
x x x x x
x x x

x x
+ = + − +
⇔ − = − +
⇔ − + − =
0.50
•
1 sinx 0 2
2
x k k
π
π
− = ⇔ = + ∈ ¢
•
6cos 2sin 7 0x x
+ − =
vô nghiệm vì :6
2
+ 2
2
= 40 < 7
2
= 49
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
2
2
x k k
π
π
= + ∈ ¢
0.50

2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm)
• Điều kiện:
0
1
0
x
y
x
≠



− ≥


• Phương trình đầu của hệ thành:
2
2
1 4 1 4
.5 1 3 t = 0 ( ói: t = - ) do ( ) 5
5 5 5 5
là hàm sô nghich biên, ( ) 1 3 là hàm sô dông biên trên
t t t t
t
t
v x y f t
g t
+
+
   

       
+ = + ⇔ = +
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
       
   
= + ¡
Với t = 0 suy ra x = y
0.25
• Với x= y thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta được:
2
1
1
1 1 1
2 3 1. ( ) 3 2 0
1
2
x
x
x x x x x x
x x x
x
x

− =


+ − − = ⇔ − − − + = ⇔


− =


0.25
•
1 1 5
1
2
x x y
x
±
− = ⇒ = =
0.25
•
1
2 2 5x x y
x
− = ⇒ = = ±
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm(x ; y) như trên
0.25
III 2.00
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi….(1,00 điểm)
• Hoành độ giao điểm của hai đường :
( ) ( )
2 2
0, là nghiêm phuong trinh: 0 0
1 1
x x
xe xe
y y x

x x
= = = ⇔ =
+ +
Vậy hình phẳng cần tính giới hạn bởi:
( ) ( )
[ ]
2 2
0, , 0, 1 và ta thâ : 0, 0;1
1 1
x x
xe xe
y y x x y x
x x
= = = = ≥ ∀ ∈
+ +
0.25
•
( ) ( )
1 1 1
1 2
2 2
0 0 0
1
1 1
x x x
xe e e
S dx dx dx I I
x
x x
= = − = −

+
+ +
∫ ∫ ∫
0.25
S
A
B
C
D
H
•
( )
( )
1
2
2
2
0
1
1
2 1
0
0
dat:
1
1
1
1
nê : 1
1 1 2

x
x
x
x x
u e
du e dx
e
I dx
dx
dv
v
x
x
x
e e e
n I dx I
x x

=

=


= ⇒
 
−
=
=
+
 

+
+


−
= + = − + +
+ +
∫
∫
0.25
• Từ đó :
( )
1
2
e
S Dvdt= −
0.25
2 Tính thể tích và tính khoảng cách….(1,00 điểm)
Từ giả thiết :
( )
vuô tai C
vuong tai C
SA ABCD
ACD ng
SCD
⊥

⇒ ∆

∆


.
Và góc BAD bằng 90
0
và BA= BC= a nên tam giác ABC vuông cân tại B suy ra góc CAD
bằng 45
0
hay tam giác ACD vuông cân tại C có
2 2AC CD a AD a= = ⇒ =
3
1 1 2
. ( ) ( ( ) ( ))
3 3 6
SBCD SBCD
V SA dt BCD SA dt ABCD dt ABD V a= = − ⇔ =
(đvtt). ∆SAB ⊥tại
A nên:
2
2
3, và dông dang nên ta có :
3
SH SA SH SA
SB a SHA SAB
SA SB SB SB
 
= ∆ ∆ = ⇒ = =
 ÷
 
0.50
1

. mà : ( ,( )). ( )
3
3 3 .
( ,( )) .
( ) . ( ) 3
SHCD
SHCD SBCD SHCD
SBCD
SHCD SBCD
V
SH SH
V V V d H SCD dt SCD
V SB SB
V SH V
a
d H SCD
dt SCD SB dt SCD
= ⇔ = =
⇒ = = =
0.50
IV Chưng minh bất đẳng thức 1.00
3 3 3
, , 0, . . 1 dat : , ,
x, y,z > 0 và . . 1," " 1
a b c a b c a x b y c z
x y z x y z
> = = = =
⇒ = = ⇔ = = =
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1

1 1
1 1 1a b b c c a
x y xyz y z xyz z x xyz
+ + ≤ ⇔ + + ≤
+ + + + + +
+ + + + + +
(*)
0.50
Ta có:
( )
3 3 3 3
3 3 3 3
( )
1 1 1
(1)
( )
x y xyz x y xy xyz x y xyz xy x y z
z
xy x y z x y z
x y xyz x y xyz
+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +
⇔ ≤ ⇔ ≤
+ + + +
+ + + +
Hoàn toàn tương tự có :
3 3 3 3
1 1
(2), (3)
x y
x y z x y z

y z xyz z x xyz
≤ ≤
+ + + +
+ + + +
Từ (1),(2),(3) suy ra (*) đúng ta có điều chứng minh dấu ” =” khi a=b=c=1
0.50
Va Dành cho ban cơ bản… 3.00
1 Hình học giải tích…….. (2.00 điểm)
a Chứng minh đường thẳng AB song song mặt phẳng (P)… (1,00 điểm)
• Có
( 4;0;4)AB −
uuur
, mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là :
(2; 1;2)n −
r
.
•
. 4.2 0 2.4 0 và : ( ) / /( )AB n A P AB P= − + + = ∉ ⇒
uuur r
0.5
• Mặt phẳng (Q) trung trực của AB nhận
( 4;0;4)AB −
uuur
làm véc tơ pháp tuyến và đi
qua trung điểm
(2;0;2)I
của AB nên có phương trình:

4( 2) 0( 0) 4( 2) 0 0x y z x z− − + − + − = ⇔ − =
0.5

b Tìm C trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều (1,00 điểm)
• Tam giác ABC đều khi và chi khi AB=AC=BC
Hay
( )
AB AC AB AC
AC BC C Q
= =
 
⇔
 
= ∈
 
do C∈(P) suy ra :
( ) ( )C P Q
AB AC
∈ ∆ = ∩


=

0.25
• Xác định phương trình của ∆ :…
2 2 4 0
4 4 ,
0
x t
x y z
y t t
x z
z t

=

− + − =


⇒ = − + ∈
 
− =


=

¡
0.25
• Vì C∈ ∆ nên C(t;-4+4t;t)mà CA= CB nên CA
2
= CB
2
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
0
32 4 4 4 9 20 0
20
9
t
AB AC t t t t t
t
=



= ⇔ = − + − + + ⇔ − = ⇔

=

• Có hai điểm là
20 44 20
(0; 4;0) và ( ; ; )
9 9 9
C C−
0.50
2 Tìm phần thực của số phức…(1,00 điểm)
Tìm số n thỏa mãn:
( ) ( )
4 5
log 3 log 6 4n n− + + =
(*) điều kiện n >3
• Ta thấy n = 19 là một nghiệm của (*) mà hàm số:
( )
4 5
( ) log 3 log ( 5)f t t t= − + +

đồng biến
• Nên khi n >19 thì : f(n)>4 khi: 3 < n < 19 thì: f(n)< 4
Vậy n=19 là duy nhất
0.50
• Dạng lượng giác của số phức:
w 1 2( os isin )
4 4
i c

π π
= + = +
• Với n= 19 áp dụng công thức Moavrơ ta được:

19 19 19
19 19 3 3
w ( 2) os isin ( 2) os isin
4 4 4 4
z c c
π π π π
   
= = + = +
 ÷  ÷
   
Suy ra phần thực của Z là :
( )
19
19
3 2
2 os ( 2) . 512
4 2
c
π
= − = −
.
0.50
Vb Dành cho chương trình nâng cao .. 3.00
1 Hình giải tích ..(2,00 điểm)
a Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau và tính khoảng cách..(1 điểm)
• Đường thẳng d

1
đi qua điểm M
1
(4;1;-5) và có véc tơ chỉ phương
(3; 1; 2)u = − −
r
Đường thẳng d
2
đi qua điểm M
2
(2;-3;0) và có véc tơ chỉ phương
' (1;3;1)u =
r
0.75
•
( )
1 2 1 2
, ' 5; 5;10 , ( 2; 4;5) , ' . 60 0u u M M u u M M
   
= − = − − ⇒ = ≠
   
r ur uuuuuur r ur uuuuuur
• Nên hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau
•
( )
1 2

1 2
2 2 2
, '
60 60
, 2 6
5 6
5 5 10
, '
u u M M
d d d
u u
 
 
= = = =
 
+ +
 
r ur uuuuuur
r ur
0.25
b Viết phương trình mặt cầu ….(1,00 điểm )
• Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d
1
, d
2
tại hai điểm A và B
khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥
( )
1 2
,d d d

dấu bằng xảy ra khi I là trung
điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
0.25
• Ta tìm A, B :
'
AB u
AB u

⊥


⊥


uuur r
uuur ur
A∈d
1
, B∈d
2
nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)
⇒
AB
uuur
(….)
…
⇒

A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)
⇒
I(2; 1; -1)
0.50
• Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R=
6
Nên có phương trình là:
( )
2
2 2
2 ( 1) ( 1) 6x y z− + − + + =
0.25
2 Tìm dạng lượng giác của số phức …(1,00 điểm)
• Áp dụng công thức:
log log log
, ; , ói : , 0, 0, 1
a b b
x c a
x a x o a C v a c b b= ∀ > = > > ≠
Phương trình đã cho tương đương với :
2 2 2
3 3 3
log ( 2 6) log ( 2 6) log ( 2 6)
3 4 5
n n n n n n− + − + − +
+ =
Đặt : t =
( )
2
3

log 2 6n n− +
ta được phương trình:
3 4
3 4 5 1 2
5 5
t t
t t t
t
   
+ = ⇔ + = ⇔ =
 ÷  ÷
   

(Hàm số :
3 4
( ) nghich biên và : (2) 1
5 5
t t
f t f
   
= + =
 ÷  ÷
   
)
0.25
• Với t = 2 ta có phương trình:
( ) ( )
2 2 2
3
3

log 2 6 2 2 6 9 2 3 0
1
n
n n n n n n
n
=

− + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔

= −

Do n∈ N nên n = 3.
0.25
• Ta có:
1 3. 2 os isin
3 3
i c
π π
 
   
− = − + −
 ÷  ÷
 ÷
   
 
nên :
• Với n= 3, áp dụng công thức Moavrơ :
( )
( )
3

(1 3. ) 8 os .sin( ) .z i c i
π π
= − = − + −
0.50
Ghi chú :
• Trong đáp án chỉ trình bày một cách giải nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì đều được điểm tối
đa theo từng phần của đáp án.
• Thí sinh viết sai các kí hiệu phép toán, sử dụng sai thuật ngữ thì không chấm điểm