BÀI TIỂU LUẬN CHUYÊN ĐỀ HÌNH SƠ CẤP

Lời nói đầu
Trong giảng dạy môn Toán ở trờng PT việc dự kiến các Hoạt động học tập của học
sinh trong tiết học là một thành tố không thể thiếu đợc theo quan điểm dạy học ĐMPP. Mỗi
HĐ học tập là một tình huống gợi động cơ học tập. Một HĐ học tập thờng gồm nhiều HĐ
thành phần với mục đích riêng. Thực hiện xong các HĐ thành phần thì mục đích chung của
cả HĐ cũng đợc thực hiện.
Giáo viên cần hình dung cách tổ chức HĐ học tập của học sinh nh thế nào (giao bài
tập cho cá nhân hay theo nhóm, giảI quyết bài toán gắn với thực tế hay hớng dẫn học sinh
suy lận từng bớc dẫn đến mục tiêu bài toán). Giáo viên phảI suy nghĩ công phu về các khả
năng diễn biến các HĐ, dự kiến các giảI pháp điều chỉnh để đảm bảo thời gian.
Về mặt kĩ thuật, cần coi trọng việc chuẩn bị các câu hỏi. Với mỗi HĐ cần có một số
câu hỏi then chốt, xoáy sâu vào trọng tâm, nhằm vào những mục đích nhận thức xác định,
đặc biệt là những phần trọng tâm, trên cơ sở đó khi lên lớp sẽ phát triển thêm những câu
hỏi phụ, tuỳ theo diễn biến của đối tợng học sinh. Tránh khuynh hớng hình thức dặt câu
hỏi quá dễ hoặc quá khó đối với học sinh, câu hỏi phảI có yêu cầu cao về nhận thức.
Để tổ chức các HĐ của học sinh đạt đợc theo yêu cầu bài giảng, một bớc quyết
định thành (bại) mục tiêu bài giảng đó là việc xác định động cơ và gợi động cơ cho các
HĐ. Do đó giáo viên cần chuẩn bị công phu không những về nội dung bài giảng mà phảI
đặt ra các tình huống gợi động cơ và các tình huống giải quyết vấn đề.
Chính vì lý do đó, tôI đa ra một số tình huống xác định động cơ và gợi động cơ cho
HĐ hình thành đinh lý và một số bài tập trong giảng dạy môn Toán ở trờng PT và đó cũng
chính là nộ dung của bài tiểu luận này.

1
Ví dụ 1
Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động khi dạy định lý cosin trong tam giác.
HĐ1: Đặt vấn đề
Trong thực tế khi cần phảI đo khoảng cách giữa hai điểm B và C mà không thể đo trực tiếp
đợc vì giữa hai điểm đó có chớng ngại, nh: một đầm lầy, một cánh rừng,(Hình 1.1)
Để có thể đo đợc khoảng cách BC trong những trờng
hợp đó, ngời ta thờng chon một điểm A sao cho từ A có

thể nhìn thấy B, C và ta có thể đo đợc các khoảng cách
AB = c, AC = b và góc BAC. Làm đợc nh vậy tam giác
ABC hoàn toàn đợc xác định bởi hai cạnh và góc xen
giữa. Khi đó khoảng cách AB sẽ đợc tính nh thế nào?
HĐ2: Gợi động cơ giảI quyết bài toán sau
Bài toán 1. Cho tam giác ABC biết AC = b, AB = c và
góc A. Tính cạnh a = BC (hình 1.2)
GV. Góc A là góc của hai vectơ nào?
HS. A là góc của hai vectơ
( , )AB AC
uuur uuur
.
GV. Trong các phép tính vectơ phép tính nào liên quan
tới cos
( , )AB AC
uuur uuur
?
HS. Phép tính tích vô hớng
. . . ( , )AB AC AB AC cos AB AC=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

GV. Có thể biểu diễn
BC
uuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur

nh thế nào?
HS.
BC AC AB=
uuur uuur uuur
(1)
GV. Từ (1) h y bình phã ơng vô hớng để đợc công thức tính a = BC.
HS. (1)
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 .BC AC AB AC AB = +
uuur uuur uuur uuur uuur

2 2 2
2 .cosa b c bc A = +
GV. Nh vậy chúng ta đ có công thức để tính cạnh chã a biết của một tam giác theo hai cạnh
đ biết và cosin của góc xen giữa. Ta gọi công thức này là định lý cosin trong tam giác.ã
Định lý. Với mọi tam giác ABC, ta có
2
Hình 1.1
C
BA
A
B C
A
B
C
Hình 1.2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos

2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= +
= +
= +
GV. Đặc biệt Khi tam giác ABC là tam giác vuông, chẳng hạn A = 90
0
, định lý cosin trở
thàh định lý quen thuộc nào?
HS. Ta có định lý Pitago
2 2 2
a b c= +
Do đó ta có thể nói định lý Pitago chỉ là một trờng hợp riêng của định lý cosin.
Ví dụ 2:
Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động giảI quyết bài toán sau và hình thành bài
toán tổng quát.
Bài toán 2.1 : Cho
ABC

vài M là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác; AM, BM, CM lần
lợt cắt BC, CA, AB tại A

, B

, C

.

Chứng minh rằng:
1
MA MB MC
AA BB CC

+ + =

(1)
HĐ1: Gợi động giảI quyết bài toán 2.1
HĐTP1. Phân tích bài toán, xét các trờng hợp riêng
GV. H y xét bài toán trên với đoạn thẳng AB (hình 2.1). ã
HS. Khi đó M là điểm bất kỳ trên đoạn AB và ta có: B

A

, B


A, C



M
GV. H y kiểm tra đẳng thức (1) có đúng không?ã
HS. Ta có:
1
MA MB MC MB MA MM
AA BB CC AB AB CM

+ + = + + =

GV. Điều này chứng tỏ bài toán trên vẫn đúng khi
ABC

chỉ là đoạn thẳng.
HĐTP2. Gợi động cơ hình thành lời giảI bài toán 2.1.
GV. Bài toán đ cho thuộc dạng nào?ã
HS. Chứng minh đẳng thức hình học.
GV. Ta có thể sử dụng phơng pháp nào?
HS. Ta có thể sử dụng một trong các PP sau:
Biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tơng đơng, xuát phát từ một đẳng thức đúng biến
đổi tơng đơng với đẳng thức cần chứng minh..
3
M
B
A
Hình 2.1
K
H
A'
M
C
B
A
Hình 2.2
GV. H y xuất phát từ đẳng thức đúng chứng minh bài toán?ã
HS. Ta có:
MBC
ABC
S

MA MH
AA AK S

= =

Hoàn toàn tơng tự, ta có:
;
MAC
MAB
ABC ABC
S
SMB MC
BB S CC S

= =

Do đó VT(1) =
MA MB MC
AA BB CC

+ +

=
MBC
ABC
S
S
1
MAC
MAB

ABC ABC
S
S
S S
+ + =

ĐPCM
HĐTP3: Gợi động cơ hình thành bài toán tổng quát.
GV. Ta có tam giác, tứ diện lần lợt là các đơn hình trong mặt phẳng và trong không gian,
do đó ta có bài toán tơng tự trong không gian.
Bài toán tổng quát
Bài toán 2.2: Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kỳ thuộc miền trong của tứ diện. Gọi A

,
B

, C

, D

, lần lợt là giao điểm của AM, BM, CM, DM với các mặt phẳng (BCD), (ACD),
(ABD), (ABC)
Chứng minh rằng:
1
MA MB MC MD
AA BB CC DD

+ + + =

(2)

HĐTP4: Gợi động cơ giảI quyết bài toán tổng quát.
Gọi K, H lần lợt là hình chiếu của M, A trên
mp(BCD). Hoàn toàn tơng tự ta có:
;
;
MBCD MACD
ABCD ABCD
MABC
MBAD
ABCD ABCD
V V
MA MH MB
AA AK V BB V
V
VMC MD
CC V DD V

= = =


= =

Do đó:
VT(2) =
MA MB MC MD
AA BB CC DD

+ + +

=

1
MBCD MACD MABC
MBAD
ABCD ABCD ABCD ABCD
V V V
V
V V V V
+ + + =
ĐPCM
Nh vậy bài toán đợc giảI quyết.
Ví dụ 3
4
K
H
A'
M
D
C
B
A
Hình 2.3
K
H
A'
M
D
C
B
A
Hình 2.3

C
Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động giảI quyết bài toán sau và hình thành bài
toán tổng quát.
Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác.
Đặt S
A
= S
MBC
, S
B
= S
MAC
, S
C
= S
MAB
Chứng minh rằng:
. . . 0
A B C
S MA S MB S MC+ + =
uuur uuur uuuur r
HĐ1: Gợi động giảI quyết bài toán 3.1
HĐTP1: Định hớng phân tích, xét các trờng hợp riêng của bài toán.
* Khi tam giác ABC là đoạn thẳng AB, lúc đó
M là điểm bất kỳ thuộc đoạn AB
* Khi đó S
Â
= MB, S
B
= MA và ta có:

.
MA
MA MA
MB
=
uuur uuur

. . 0 . . 0
B A
MB MA MA MA S MA S MA + = + =
uuur uuur uuur uuur
ĐPCM
Nh vậy khi tam giác ABC là đoạn thẳng AB thì bài toán 3.1 vẫn đúng.
HĐTP2. Gợi động cơ giảI quyết bài toán 3.1. (hình 3.2 )
* Dựng hình bình hành ANMP.
* Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên đ-
ờng thảng MC.
GV. H y biểu diến vectơ ã
MA
uuur
qua hai vectơ

MB
uuur
và
MC
uuuur
.
HS. Ta có:
. .MA MN MP x MB y MC= + = +

uuur uuuur uuur uuur uuuur
(*)
Trong đó:

MAC
B
MBC A
S
SMN AP AH
x
MB MB BK S S
= = = = =
Hoàn toàn tơng tự ta có:
C
A
S
y
S
=
Thay x và y vào (*) ta đợc:
. . . . . . 0
C
B
A B C
A A
S
S
MA x MB y MC MB S MA S MB S MC
S S
= + = + + =

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur r


ĐPCM
Vậy bài toán 3.1 đợc chứng minh.
HĐTP3. Khai thác các trờng hợp riêng.
GV. Từ bài toán 3.1 ta có lớp các bài toán tơng tự, cụ thể nh sau:
Bài toán 3.1.1: Khi M

G (trọng tâm tam giác ABC). Khi đó
1
3
A B C ABC
S S S S = = =
Và do đó ta có:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
5
BM
A
Hình 3.1
H
K
N
P
M
C
B
A
Hình 3.2