chuyên đề toán sơ cấp

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP
CHUYÊNĐỀ 1: SỬ DỤNG SỐ VÔ TỶ TRONG GIẢI TOÁN
Các bạn học sinh THCS được làm quen với số vô tỷ từ lớp 7 ,nhưng sử dụng số vô tỷ để
giải toán lại là một công việc còn mới mẻ bởi các em rất ít được làm quen với bài toán
dạng này .Với kién thức về số vôtỷ ở THCS ta có thể giải được một số bài toán hay và khó
với lời giải ngắn gọn và đẹp .
TRƯỚC HẾT CẦN CHÚ Ý : Nếu a là số nguyên dương không chính phương thì
a
là
một số vô tỷ .
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG :
BÀI TOÁN 1: Cho a,b,c là các số hữu tỷ và a ≠ 0 chứng minh rằng nếu x = m - n
2
là
nghiệm của phương trình ax
2
+bx +c = 0 (1) thì x = m – n
2
cũng là nghiệm của phương
trình đó .
LỜI GIẢI :Do x = m+ n
2
là nghiệm của (1) nên a(m + n
2
)
2
+ b (m + n
2
)+c= 0

⇔
( am
2
+ 2an
2
+ bm + cn )+(2amn + bn)
2
) = 0 (1
’
)
Nếu 2amn + bn
≠
0 thì từ (1
’
)
⇒

2
=
bnamn
cbmanam
+
+++
2
2
22
khi đó vế trái là số vô
tỷ ,vế phải là số hữu tỷ . Điều này vô lý .vậy 2amn + bn = 0 từ (1
’
)

⇒
am
2
+ 2an
2
+bm + c = 0
Do đó a( m – n
2
)
2
+ b( m – n
2
)
2
+ c =
(am
2
+ 2an
2
+bm + c) – (2amn + bn)
2
=0
Vậy x = m – n
2
cũng là nghiệm của (1) .
BÀI TOÁN 2 : tìm các số hữu tỷ x,y thỏa mãn
332
−
=

3x
-
3y
(2)
LỜI GIẢI : Do
332
−
> 0 nên x > y ≥ 0 . Ta có
(2)
⇔
2
3
- 3 = x
3
+ y
3
- 2
xy3

⇔
(x+y-2)
3
= 2
xy3
- 3 (2’)

⇒
(x+y-2)
2
3 = 12xy - 12

xy3
+ 9

⇒

xy3
=
4
34)2(
2
++−+−
xyyx

∈
Q
nếu x+y-2 ≠ 0 thì từ (2’) suy ra
3
=
2
332
−+
−
yx
xy
khi đó vế trái là số vô tỷ vế phải là số
hữu tỷ , điều này vô lý. vậy x+y-2 =0 từ (2’) suy ra 2
xy3
- 3 = 0 do x> y ≥ 0 nên suy
ra x =
2

3
, y =
2
1
( thỏa mãn x> y ≥ 0 )
BÀI TOÁN 3 : Cho bát giác lồi có các góc bằng nhau . Độ dài các cạnh là các số nguyên
dương .Chứng minh rằng các cạnh đối của bát giác đó bằng nhau .
1
LỜI GIẢI : Gọi bát giác đều làABCDEFGH . Đường thẳng AB lần lượt cặt cắt các đường
thẳng HG và CD tại M,N . Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng HG,CD tại P ,Q
(hình vẽ) do các góc của bát giác bằng nhau nên mỗi góc trong của nó là
8
180)28(
0
−

=135
0
Từ đó suy ra mỗi góc trong của tứ giác là
180
0
– 135
0
= 45
0
. Do đó các tam giác
MAH , NBC , PDE , QGF là các tam giác
vuông cân và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật .
Gọi độ dài các cạnh AB,BC,CD,DE, EF,FG,GH,HA theo thứ tự là a,b,c,d,e,f,g,h (với
a,b,c,d,e,f,g,h là các số nguyên dương ).

Suy ra MA = MH =
2
h
, NB = NC =
2
b
, PD = PE =
2
d
, QG = QF =
2
f
Ta có MN = PQ nên
dfbhae
d
e
fb
a
h
−−+=−⇔++=++
2)(
2222
nếu e – a ≠ 0 thì
Q
ae
dfbh
∈
−
−−+
=

2
điều này vôlý .Vậy e-a=0
⇔
e = a
chứng minh tương tự ta có c = g , b = f , d = h
BÀI TOÁN 4 :Cho 2 thùng Avà B đựng nước với dung tùy ý và 2 các gáo với dung tích
lần lượt là
2
lít và 2-
2
lít .Hỏi có thể dùng 2 gáo đó để chuyển 1 lít nước từ thùng này
sang thùng kia hay không?
LỜI GIẢI :
Gỉa sử có thể dùng gáo 1(dung tích 1 lít ) và gáo 2( dung tích 2-
2
) lít để chuyển 1 lít
nước từ thùng A sang thùng B bằng cách đong m lít gáo 1 và n lít gáo 2 (m,n
)N
∈
Với qui ước m>0 nếu đong từ Asang B và m<0 nếu đong từ B sang A .Tương tự với n.
Ta có :
m
)22(2
−+
n
= 1
⇔
(n-m)
2
= 2n-1 . nếu m ≠ n thì m=n=

Q
∈
2
1
(vô lý )
nếu m ≠ n thì
Q
mn
n
∈
−
−
=
12
2
(vô lý)
vậy không thể dùng 2 gáo trên để chuyển 1 lít nước từ thùng này sang thùng kia .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP :
BÀI 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

214312
5
11
+−−=+−
yyx
x
2
BÀI 2: Chứng minh số 99999 + 111111
3

không thể biểu diễn được dưới dạng (A+B
3
)
2
với A,B là các số nnguyên .
BÀI 3 :Chứng minh rằng số
{
}
2.10
n
với n=0,1,2,3,….. từng đôi một khác nhau

{ }
a
ký hiệu chỉ phần lẻ của số thực a
CHUYÊN ĐỀ 2 : SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀO
VÀO GIẢI TOÁN
ĐẶT VẤN ĐỀ : Sử dụng định lý ta-lét và tam giác đồng dạng ta có thể tính được độ dài
đường phân giác trong tam giác theo độ dài cạnh của tam giác .Các công thức về độdài
đường phân giác sẽ giúp ta giải được nhiều bài toán lý thú .
BÀI TOÁN MỞ ĐẦU:
Xét tam giác ABC Với các cạnh BC=a , AC=b ,AB=c gọi 3 đường phân giác trong của
∆
ABC là AD = d
a
BE = d
b
CF = d
c
.

H
1
CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Để tính độ dài AD theo ,a,b,c trước hết tính BD,CD .Theo tính chất đường phân giác
trong ta có :
cb
a
cb
BC
cb
CDBD
b
CD
c
BD
+
=
+
=
+
+
==
từ đó có BD=
cb
ac
+
(1) và

CD =
cb
ab
+
(2) trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia CK
Sao cho
BADBCK
∠=∠
tia CK cắt tia AD tại K (Hình 1)
Ta có
CDKADB
∠=∠
và
CKDABD
∠=∠
Suy ra
ABD
∆
đồng dạng với
CKD
∆
(g.g) suy ra
CDBDDKAD
KD
CD
BD
AD
..
=⇔=
ABD

∆
đồng dạng
AKC
∆
(g.g) suy ra
AKADACAB
AC
AK
AD
AB
..
=⇔=
từ 2 đẳng
3
thức trên ta có : AD.AK-AD.DK = AB.AC-BD.CD .Chú ý rằng AK-DK= AD
Nên AD
2
= AB.AC – BD.CK Hay d
a
2
= bc – BD.CD (3)
Từ (1) , (2) , (3) suy ra d
a
2
= bc -
2
2
)( cb
bca
+

(4)
Hay d
a
2
= bc(1-
2
2
)( cb
a
+
) (5)
Để ý rằng (b+c)
2
– a
2
= (b+c-a)(b+c+a) = 2p(2p-2a) = 4p(p – a) nên từ (5) ta có
)(
2
)(
)(4
2
2
apbcp
cb
hayd
cb
bcapp
d
aa
−

+
=
+
−
=
(6)
Từ (4) (5) (6) với chú là (b+c)
2

≥
4bc ta có các bất đẳng thức đối với độ dài các đường
phân giác trong của tam giác :
bc -
bcd
a
a
<≤
2
2
4
(7) ;
)(
2
appd
a
−≤
(8) đẳng thức ở (8) xảy ra khi AB=AC.
Dối với d
a
,d

b
ta cũng có các công thức tương tự.
MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
BÀI TOÁN 1 :
Gọi d
a
,d
b
,d
c
là độ dài 3 đường phân giác của tam giác ABC với p = AB+BC+CA
Chứng minh rằng :
a, ab+bc+ca -
2
222
222
)(
4
1
pdddcba
cba
≤++≤++

b, d
a
+d
b
+d
c

3p
≤

LỜI GIẢI :
a, Từ công thức (8) ta có d
a
2
+d
b
2
+d
c
2

≤
p(p-a)+p(p-b)+p(p-c) = 3p
2
-2p
2
=p
2
ápdụng (7) ta có :d
a
2
+d
b
2
+d
c
2

)(
4
1
222
cbacabcab
++−++≥
b, áp dụng BĐT bunhiacopxki va (a) tacó (d
a
+d
b
+d
c
)
2

2
222
3)(3 pddd
cba
≤++≤
từ đó suy ra
điều cần chứng minh.
Đẳng thức ở (a) xảy ra cũng như ở (b) xảy ra khi a=b=c hay tamgiác ABCđều .
BÀI TOÁN 2: Gỉa sử đường phân giác trong BE , CF của tam giác ABC cắt đường tròn
ngoại tiếp tmam giác ABC tại M,N .chứng minh rằng EM=FN thì tam giác ABCcân tại A
LỜI GIẢI :
Sử dụng tính chất các góc nội tiếp ta có :
ABC
∆

đồng dạng
MCE
∆
nên
CE
ME
BE
AE
=
(9)
∆
ACF đồng dạng tam giác
∆
NBF nên
BF
NF
CF
AF
=
(10 )

4
Từ (9) (10)và sử dụng (1) (2) (6) ta được
EM =
))(()(
.
2
bcabcaacca
cab
BE

CEAE
−++++
=
(11)
FN =
))(()(
.
2
cbacbaabba
bac
CF
BFAF
−++++
=
(12) từ EM = FN suy ra
ac.(a+c)
))(( bcacbaac
−+++
= ab.(a+b)
))(( cbacbaab
−+++
từ đó suy ra c(a+c)
)( bcac
−+
= a(a+b)
)( cbab
−+
suy ra
b
3

(a+b)
2
(a+b-c)- c
3
(a+c)
2
(a+c-b) = 0
⇒

((b-c)(a+b+c)[b
2
(a+b)(a+b-c)+c
2
(a+c)(a+c-b) +bc(a+b)(a+c)] = 0
⇒
b = c
Hay AB = AC
BÀI TOÁN 3 : cho tam giác ABC ,biết rằng 2 phaan giác BE và CF bằng nhau chứng minh
rằng ABC là tam giác cân .
LỜI GIẢI : Sử dụng công thức (4) theo giả thiết ta có d
b
= d
c

⇒
d
b
2
= d
c

2
0
)()(
[
)()(
222
2
2
2
=
+
−
+
+−⇒
+
−=
+
−⇒
ca
b
ba
c
bcbc
ba
abc
ab
ca
acb
ac
0

)()(
(2)(
.
22
22233
=
++
−+−+−
+−⇒
caba
bcabcabc
bcbc
bc
caba
bcaabcbc
bcbc
=⇒=
++
+++++
+−⇒
0
)()(
)(2
1)[(
22
222
hay AB = AC
Một số bài toán luyện tập
BÀI 1 Chứng minh rằng minh rằng d
a.

.d
b
.d
c

pS
≤
BÀI 2 Chứng rằng d
a
2
+d
b
2
+d
c
2

S33
≥

5