the tich khoi da dien giai chi tiet BTN

CHUN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. HÌNH HỌC PHẲNG
1.
Các hệ thức lượng trong tam giác vng:
Cho tam giác ABC vng tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A

B

2.

H

C

M

 BC 2 = AB 2 + AC 2
 AH .BC = AB .AC
 AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .CB
1
1
1
=
+
, AH 2 = HB .HC

2

2
AH
AB
AC 2
 2AM = BC

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vng:




Cạnh huyền
Cạnh
đối






α

Cạnh kề




Chọn
Chọn góc
góc nhọn

nhọn là α
cạn
nh
hđ
đố
ố
đii 
cạ
ii  đ
sinα
α ==
sin
;;
÷
cạn
nh
hh
huyề
uyề
n  h
hoọcïc÷
cạ
n

cạn
nh
hkkề
ề  kkhô
hô
ng

g
cạ
n
cosα
α ==
cos
;;
÷
cạn
nh
hh
huyề
uyề
n  h
hưư ÷
cạ
n

cạn
nh
hđ
đố
ố
đoà
oà
n
cạ
ii  đ
n
tanα

α ==
tan
;;
÷
cạn
nh
hkkề
ề  kkeế
t÷
cạ
tá

cạn
nh
hkkề
ề  kkế
ế
cạ
tt 
cot α
α ==
cot
;;
÷
cạn
nh
hđ
đố
ố
đoà

oà
n÷
cạ
ii  đ
n


3.
Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a. Định lý cosin:
A

b2 + c2 - a2
2bc
2
a
+
c2 - b2
* b2 = a2 + c2 - 2ac cosB Þ cosB =
2ac
a2 + b2 - c2
2
2
2
* c = a + b - 2abcosC Þ cosC =
2ab
* a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA =

b

c

B
b. Định lý sin:

a

C


A
c

b

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

R
a

B

C

c. Công thức tính diện tích tam giác:

A

c

1
1
1
. b = ch
.c
 SD ABC = a.ha = bh
2
2
2

1
1
1
SD ABC = absinC = bc sin A = ac sin B
2
2
2
abc
, SD ABC = pr
.
 SD ABC =
4R
 p = p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

b

B

C

a

p - nửa chu vi
r - bán kính đường tròn nội tiếp
d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

A
K

N

B

4.

AB 2 + AC 2 BC 2
2
4
2
2
BA + BC
AC 2
* BN 2 =
2
4
* AM 2 =

C

M

CA2 + CB 2 AB 2
* CK =
2
4
2

Định lý Thales:

A
M

N
*

B

AM
AN
MN
=
=
=k
AB
AC
BC
2
æ
ö
AM

÷
÷
=ç
= k2
ç
÷
ç
èAB ÷
ø

* MN / / BC Þ

C

SD AMN
SDABC

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)


5.

Din tớch a giỏc:
B

a. Din tớch tam giỏc vuụng:

1
ị SD ABC = AB.AC
2 ẵ tớch 2 cnh

Diờn tớch tam
giỏc vuụng bng
C
A
gúc vuụng.

b. Din tớch tam giỏc ờu:

A

ỡù
a2 3 2
ùù S
=
(cnh) . 3
D ABC
Diờn tớch tam giỏc
ùù u:
Su
=4
D
ị ớ
4
ùù
h
a 3
= h =
ùù hu:
(cnh) . 3
Chiu cao

C tam giỏc
2D
ùợ
u

A

c. Din tớch
hinh vuụng v hinh ch nhõt:
B

B

a

2

ỡù SHV = a2
ùù
Diờn tớch hinh
vuụng
bng cnh binh phng.
ị
ớ
O
ù
ng cheo hinhù AC
vuụng
=bng
BD cnh

= a nhõn
2
2.
ùợ

a
D

C hinh ch nhõt bng di nhõn rng.
Diờn tớch

d. Din tớch hinh thang:
1
SHinh Thang = .(ỏy ln + ỏy be) x chiu cao
2
B

A

D

ị S=

A
Diờn tớch t giỏc cú hai ng cheo vuụng gúc
nhau bng ẵ tớch hai ng cheo.
Hinh thoi cú hai ng cheo vuụng gúc nhau
ti trung iờm cua mụi ng.

B

Cị
D

II. CAC PHNG PHAP CHNG MINH HèNH HC
1. Chng minh ng thng song song vi mt phng :
ùù
d ậ (a) ỹ
ù
d P d ùý ị d P (a) (nh lý 1, trang 61, SKG HH11)
ù
dÂè (a)ùùù
ỵ


( b) P (a)ỹùù ị

ý
d è (b) ùù
ùỵ

2

C

H

e. Din tớch t giỏc co hai ng cheo vuụng
goc:

( AD + BC ) .AH

d P (a) (Hờ qu 1, trang 66, SKG HH11)

1
SH .Thoi = AC .BD
2


ùù
d ^ d 'ỹ
ù
(a) ^ d 'ùý ị d P (a) (Tớnh cht 3b, trang 101, SKG HH11)
ù
d ậ (a) ùùù
ỵ
2. Chng minh hai mt phng song song:
(a) ẫ a,a P (b)ùỹ
ùù
(a) ẫ b,b P (b) ùý ị (a) P (b) (nh lý 1, trang 64, SKG HH11)
ùù
a ầb =O
ùù
ỵ
ùù
(a) P (Q)ỹ

ý ị (a) P (b) (Hờ qu 2, trang 66, SKG HH11)
(b) P (Q) ùù
ỵ
ùù

(a) ạ (b)ỹ
ù
(a) ^ d ùý ị (a) P (b) . (Tớnh cht 2b, trang 101, SKG HH11)
ù
(b) ^ d ùùù
ỵ
3. Chng minh hai ng thng song song: Ap dung mt trong cỏc nh lớ sau
Hai mt phng (a),( b) cú iờm chung S v lõn lt cha 2 ng thng song song a,b thi giao
tuyn cua chỳng i qua iờm S cựng song song vi a,B.
ùù
S ẻ (a) ầ ( b) ỹ
ù
(a) ẫ a, ( b) ẫ bùý ị (a) ầ ( b) = Sx ( P a Pb) . (Hờ qu trang 57, SKG HH11)
ùù
a Pb
ùù
ỵ
Cho ng thng a song song vi mt phng (a) . Nu mt phng (b) cha a v ct (a) theo
giao tuyn b thi b song song vi a.
ùù
a P (a),a è ( b) ỹ
ý ị b P a . (nh lý 2, trang 61, SKG HH11)
(a) ầ ( b) = b ùù
ùỵ
Hai mt phng cựng song song vi mt ng thng thi giao tuyn cua chỳng song song vi
ng thng ú.
ỹ
ùù
(a) P (b)
ý ị (P ) ầ (b) =d Â,d ÂP d . (nh lý 3, trang 67, SKG HH11)

(P ) ầ (a) = dùù
ỵ
Hai ng thng phõn biờt cựng vuụng gúc vi mt mt phng thi song song vi nhau.
ùù
d ạ d ỹ
ù
d ^ (a) ùý ị d ^ d  (Tớnh cht 1b, trang 101, SKG HH11)
ù
dÂ^ (a)ùùù
ỵ
S dung phng phỏp hinh hc phng: ng trung binh, nh lớ Talet o,
4. Chng minh ng thngvuụng gúc vi mt phng:
nh lý (Trang 99 SGK HH11). Nu mt ng thng vuụng gúc vi hai ng thng ct nhau
nm trong mt mt phng thi nú vuụng gúc vi mt phng y.
ùù
d ^ a è (a)ỹ
ù
d ^ b è (a) ùý ị d ^ ( a ) .
ù
a ầ b = {O}ùùù
ỵ


Tớnh cht 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai ng thng song song. Mt phng no vuụng
gúc vi ng thng ny thi vuụng gúc vi ng thng kia.
ùù
d Pd ỹ
ý ị d ^ ( a) .
dÂ^ (a)ùù
ỵ

Tớnh cht 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mt phng song song. ng thng no vuụng
gúc vi mt phng ny thi cng vuụng gúc vi mt phng kia.
( a ) P ( b) ỹùù ị d ^ a
ý
( ).
d ^ ( b) ùù
ùỵ
nh lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nu hai mt phng ct nhau v cựng vuụng gúc vi mt
phng th ba thi giao tuyn cua chỳng vuụng gúc vi mt phng th ba ú.
( a ) ^ ( P ) ỹùùù
( b) ^ ( P ) ùýù ị d ^ ( P ) .
( a ) ầ ( b) = dùùùỵ
nh lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nu hai mt phng vuụng gúc thi bt c ng thng no
no nm trong mt phng ny v vuụng gúc vi giao tuyn u vuụng gúc vi mt phng kiA.
( a ) ^ ( P ) ỹùùù
a = ( a ) ầ ( P ) ùý ị d ^ ( P )
ù
d è ( a ) ,d ^ aùùù
ỵ
5. Chng minh hai ng thng vuụng gúc:
ả
0
Cỏch 1: Dựng nh ngha: a ^ b a,b = 90 .
r r
rr
r r
r r
Hay a ^ b a ^ b a.b = 0 a . b .cos a,b = 0

( )

( )

Cỏch 2: Nu mt ng thng vuụng gúc vi mt trong hai ng thng song song thi phi
vuụng gúc vi ng kia.
ùù
b//c ỹ
ý ị a ^ b.
a ^ cùù
ỵ
Cỏch 3: Nu mt ng thng vuụng gúc vi mt mt phng thi nú vuụng gúc vi mi ng
thng nm trong mt phng ú.
ùù
a ^ ( a)ỹ
ý ị a ^ b.
b è ( a ) ùù
ùỵ
Cỏch 4: (S dung nh lý Ba ng vuụng goc) Cho ng thng b nm trong mt phng ( P )
v a l ng thng khụng thuc ( P ) ụng thi khụng vuụng gúc vi ( P ) . Gi a l hinh chiu
vuụng gúc cua a trờn ( P ) . Khi ú b vuụng gúc vi a khi v chi khi b vuụng gúc vi a.
a ' = hcha (P )ùỹ
ù ị b ^ a b ^ a '.
ý
ùù
bè (P )
ùỵ
Cỏch khỏc: S dung hinh hoc phng (nu c).
6. Chng minh mp( a ) ^ mp( b) :
ã
Cỏch 1: Theo nh ngha: ( a ) ^ ( b) ( a ) ,( b) = 900. Chng to gúc gia hai mt phng bng

(

90.

)


 Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):
III. HÌNH CHÓP ĐỀU
1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
S
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng
nhau.
2. Hai hình chóp đều thường gặp:
A

a. Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi
đó:

O
B

Đáy ABC là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .

·
·
·
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
= SBO
= SCO
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.





 Tính chất: AO = 2 AH , OH = 1 AH , AH = AB 3 .
3
3
2
Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên
bằng cạnh đáy.
b. Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD .
Đáy ABCD là hình vuông.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
·
·
·

·
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
= SBO
= SCO
= SDO
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
.





S

A

I

D

O
C

B

IV. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
S
1

1. Thể tích khối chóp: V = B .h
3
B : Diện tích mặt đáy.
hA
: Chiều cao của khối chóp.
B

C

D
O
C


A

C

A

C

2. ThểBtích khối lăng trụ: VB= B .h
A’

B : Diện tích mặt đáy.
C’của khối
A’ chóp.
h : Chiều cao

C’

B’
Lưu ý: Lăng trụ đứng cóB’chiều cao cũng là
cạnh bên.
c
a
3. Thể tích hình hộp chữ nhật:a V =a abc
..
b

Þ Thể tích khối lập phương: V a= a3

S

VS .A ¢B ¢C ¢

4. Tỉ số thể tích:

VS .ABC

=

SA ¢ SB ¢ SC ¢
.
.
SA SB SC

B
’

A
’

. A′B′C ′
5. Hình chóp cụt ABC
C
A

V =

h ’
B ¢
B + B ¢+ BB
3

(

)

Với B, B ¢, h là diện tích hai đáy và chiều cao.
C

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .

D. .
2
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 3. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

Câu 4. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
A.

a3 2
×
12

B.

a3 2
×
4

C. a 3 .

D.

a3
×
6

Câu 6. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .


A. a 3

B.

a3 2
2

C.

a3 2
.
6

D.

a3
3

Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp
S . ABC biết AB = a , SA = a .

a3 3
A.
.
12

a3 3
B.
.
4

3

C. a .

a3
D.
3

Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích
S . ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .

A. a 3 .

B. 6a 3 .

B. 2a 3 .

D.

a3
×
3

Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O. ABC vuông tại O có OA = a, OB = OC = 2a là
A.

2a 3
×
3

B.

a3
×
2

C.

a3
×
6

D. 2a 3 .

Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 2cm ,
AB = 4cm, AC = 3cm . Tính thể tích khối chóp.
A.

12 3
cm .
3

B.

24 3
cm .
5

C.

24 3
cm .
3

D. 24cm3 .

Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB = a, AD = 2a . Góc giữa
SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là

a3
×

C.
3

2a 3
B.
×
3

a3 2
A.
×
3

D.

a3 2
×
6

Câu 12. Hình chóp S . ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 . Khi đó thể
tích khối chóp S . ABCD là
A.

a3 2
×
2

B.

a3 2

×
3

C.

a3 3
×
2

D.

a3 3
×
3

Còn nữa ……………..
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.4
1
A

2
B

3
A

4
D

5
A

6
C

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU


Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
1
A. 4 .

B. 2 .
C. 3 .
D. .
2
Hướng dẫn giải:
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.
⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối
20 mặt đều.

Câu 3. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

Câu 4. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
A.

a3 2
×
12

B.

a3 2
×
4

C. a 3 .

D.

a3
×
6

Hướng dẫn giải:
Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a .

S

Gọi H là hình chiếu của A lên ( BCD ) .
Ta có: BH =

a 3
3

⇒ AH = AB 2 − BH 2 =
S ∆BCD =

a 6
3

C

A
O

a2 3
a3 2
.
⇒ VABCD =
4
12

B

Câu 6. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .
a3 2
.
6
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABCD )
A. a 3

Ta có: AH =

B.

a3 2
2

C.

D.

a3
3

S

a 2
2

⇒ SH = SA2 − AH 2 =
S ABCD = a 2 ⇒ VS . ABCD =

a 2
2

a3 2
6

A

D
H

B

C


Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp
S . ABC biết AB = a , SA = a .
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
4

C. a 3 .

D.

a3
3

Hướng dẫn giải:
S ∆ABC =

S

a2 3
4

⇒ VS . ABC =

a3 3
.
12

C

A
B

Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích
S . ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .

A. a 3 .

B. 6a 3 .

B. 2a 3 .

D.

a3
×
3

Hướng dẫn giải:
S

S ∆ABCD = 2a.a = 2a 2 ⇒ VS . ABC = 2a 3

D

A
B

C

Còn nữa ……………..
THẦY CÔ XEM HƯỚNG DẪN BÊN DƯỚI ĐỂ XEM TẤT CẢ BỘ TÀI LIỆU

*** SIÊU ƯU ĐÃI ***
“ Chuyên đề trên được trích một phần BỘ SÁCH 12 BTN.
CAM KẾT!
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi,
NHCH…
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn


- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề

nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản PDF xem trước.
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903
/>( Hoặc tìm facebook theo số điện thoại 0912801903 ) là xem được toàn bộ tài liệu.

GIỚI THIỆU

ĐẦY ĐỦ TÀI LIỆU TOÁN 10 – 11 - 12
Bản word - Giải chi tiết
150.000/ 1 bộ sách file word đủ chương trình

Chỉ 500.000 có ngay 20 bộ sách file word và > 300 đề minh họa 2018.

HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU:
Bước 1: Thầy cô copy đường link và dán vào trình duyệt google hoặc cộc cộc như hướng dẫn
Đường link :
/>
Bước 2: Thầy cô dán đường link vào trình duyệt google hoặc cộc cộc là mở và xem tài liệu


Điện thoại hỗ trợ :
Zalo:
FACEBOOK

0912 801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
0912 801 903
/>
( Hoặc tìm facebook theo số điện thoại 0912801903 ) là xem được toàn bộ tài liệu.
Hoặc nhắn tin “ Xem bộ sách….. + địa chỉ gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi
mail bộ sách 10,11,12 bản PDF vào mail để thầy cô tham khảo trước khi quyết

định mua bản Word.