Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh của một lớp phương trình parabolic suy biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ LAN HƯƠNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM MẠNH
CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ LAN HƯƠNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM MẠNH
CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. ĐÀO TRỌNG QUYẾT

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đào Trọng
Quyết, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sĩ chuyên
ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành
tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2017
Tác giả

Ngô Thị Lan Hương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Trọng
Quyết, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài
"Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh của một lớp phương
trình Parabolic suy biến" được hoàn thành bởi nhận thức
của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả
đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân
trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Ngô Thị Lan Hương


Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1

4

2

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các khái niệm cơ bản

. . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . .

8

Tập hút toàn cục của một
lớp phương trình Parabolic
suy biến

10

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mạnh .

11

2.3

Tính liên tục của nghiệm mạnh . . . . . . . . .

18

2.4

Tập hút toàn cục của nghiệm mạnh . . . . . . .

23

KẾT LUẬN

29

Tài liệu tham khảo

30


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các phương trình vi
phân hàm, vấn đề đầu tiên đặt ra là nghiên cứu sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của bài toán (nghiệm ở đây có thể là nghiệm
mạnh hoặc nghiệm yếu). Sau đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm là một bài toán quan trọng và có nhiều ý nghĩa thực tiễn.
Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động
lực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn
cục. Đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và
chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang
xét. Trong những năm qua, sự tồn tại tập hút toàn cục đã được
nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
dựa trên những kết quả tổng quát của lí thuyết hệ động lực tiêu
hao vô hạn chiều, xem cuốn tham khảo [1]. Bên cạnh đó, lớp các
phương trình Parabolic suy biến là một trong các bài toán thời

sự được rất nhiều nhà toán học trong nước và ngoài nước nghiên
cứu chẳng hạn xem [2], [5]. Có thể kể đến lớp toán tử suy biến
kiểu Grushin
Gα u = x u + |x|2α y u, α ≥ 0,
được giới thiệu lần đầu trong [10]. Tiếp theo, Thuy và Tri trong
[8] xét toán tử suy biến có dạng

Pα,β u = x u + y u + |x|2α |y|2β z u; α, β > 0
Trong luận văn này, theo tài liệu tham khảo [2] của C.T.Anh
và L.T.Tuyet, chúng tôi trình bày sự tồn tại, duy nhất nghiệm
mạnh và dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh cho lớp phương


2

trình với toán tử suy biến Pα,β như trên.
Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham
khảo, luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trình bày các khái niệm về tập hút toàn cục.
Thiết lập kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cục
của hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều.
Chương 2: Tập hút toàn cục của một lớp phương
trình Parabolic suy biến.
Áp dụng kết quả tổng quát ở Chương 1 để nghiên cứu sự tồn
tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi lớp phương trình
Parabolic suy biến sau khi đã chứng minh được sự tồn tại, duy
nhất nghiệm mạnh của bài toán.

2. Mục đích nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm mạnh của lớp
phương trình Parabolic suy biến.
• Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh thông qua
chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh
bởi bài toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm mạnh của lớp
phương trình Parabolic suy biến.
• Chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh
bởi bài toán.


3

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm mạnh và tập hút toàn cục.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiệm mạnh và tập hút toàn cục của
lớp phương trình Parabolic suy biến.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp Galerkin.
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục: các phương pháp
của lí thuyết hệ động lực.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Thiết lập được kết quả về sự tồn tại của tập hút toàn cục. Áp
dụng được kết quả tổng quát này để xét sự tồn tại tập hút toàn
cục của một lớp phương trình Parabolic suy biến.


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tôi
trình bày lý thuyết cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ
được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của một
lớp phương trình parabolic suy biến xét trong chương 2.

1.1

Các khái niệm cơ bản

1.1.1

Khái niệm hệ động lực

Định nghĩa 1.1.1. Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm một
không gian metric đủ X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X
vào X thỏa mãn:
a) S(0) = I ;
b) S(t + s) = S(t).S(s) với mọi t, s ≥ 0;
c) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X);
d) với mọi u ∈ X, t → S(t)u ∈ C 0 ((0; +∞), X).
Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên
X . Khi đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái).
Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho không gian pha X
(chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính) thì giá trị dim X
gọi là số chiều của hệ động lực.

5

1.1.2

Quỹ đạo và tập bất biến

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực.
a) Quỹ đạo dương của x ∈ X là tập hợp

γ + (x) = {S(t)x | t ≥ 0}.
Nếu E ⊂ X , quỹ đạo dương của E là tập hợp

γ + (E) = t≥0 S(t)E = z∈E γ + (z).
Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời
điểm τ của E bởi
γτ+ (E) = γ + (S(τ )E).
b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂ R là một ánh xạ
u : I → X thỏa mãn u(t+s) = S(t)u(s), với mọi s ∈ I, t ≥ 0
sao cho t + s ∈ I .
Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X , thì u gọi là
quỹ đạo âm xuyên qua z và kí hiệu là γ − (z). Nếu I = R và
u(0) = z , thì u gọi là quỹ đạo đầy đủ xuyên qua z và kí hiệu
là γ(z).
c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi là quỹ đạo tuần hoàn
nếu có số τ > 0 sao cho:

u(t + τ ) = u(t),

∀t ∈ R.

d) Phần tử u0 ∈ X gọi là một điểm cân bằng (điểm dừng,
điểm cố định) của hệ động lực (X, S(t)) nếu S(t)u0 =
u0 , với mọi t ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực. Tập
con Y của không gian pha X được gọi là
a) bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0;
b) bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0;
c) bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức là
S(t)Y = Y với mọi t ≥ 0.


6

1.1.3

Tập ω-giới hạn và tập α−giới hạn

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A ⊂ X .
a) Tập ω -giới hạn của A được định nghĩa bởi

ω(A) =

S(t)A
s≥0

t≥s

,
X

ở đó S(t)A = {ν = S(t)u : u ∈ A} và [Y ]X là bao đóng của
Y trong X .
b) Tập α−giới hạn của A được định nghĩa bởi

S(t)−1 A

α(A) =
s≥0

t≥s

,
X

ở đó S −1 (t)A = {ν : S(t)ν ∈ A}.
Bổ đề sau đây đưa ra đặc trưng của các tập ω -giới hạn và tập
α−giới hạn theo giới hạn của dãy.
Bổ đề 1.1.5. Giả sử A là một tập con khác ∅ của X . Khi đó
ω(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, yn ∈ A sao cho
n→+∞

n→+∞

tn −−−−→ +∞ và S(tn )yn −−−−→ y ,
α(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, xn ∈ X, zn ∈ A sao cho tn →
+∞, xn → y
với xn = uzn (−tn ) và uzn là một quỹ đạo âm xuyên qua z .
1.1.4

Tập hút toàn cục

Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lí thuyết các hệ
động lực tiêu hao vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.1.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một
tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu:
a) A là một tập đóng và bị chặn;
b) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;


7

c) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là

lim dist(S(t)B, A) = 0,

t→+∞

ở đó dist(E, F ) = sup inf d(a, b) là nửa khoảng cách
a∈E b∈F

Hausdorff giữa hai tập con E và F của X .
Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp
của định nghĩa.
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn
cục A. Khi đó:
a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A
(tính cực đại);
b) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì
B ⊃ A (tính cực tiểu);
c) A là duy nhất.

1.1.5

Tính tiêu hao

Định nghĩa 1.1.8. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm
(tương ứng, tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn
B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hút các tập bị chặn) của X .
Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một
tập B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại T =
T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T . Tập B0 như vậy gọi là
một tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)). Một hệ động lực
tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao.
Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm.
Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các
hệ động lực hữu hạn chiều.
1.1.6

Tính compact tiệm cận

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là một không gian Banach. Hệ


8

động lực (X, S(t)) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t)
có thể biểu diễn dưới dạng

S(t) = S (1) (t) + S (2) (t),
ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau đây:

(1.1)

a) với bất kì tập bị chặn B ⊂ X ,

rB (t) = sup S (1) (t)y

X

→ 0, t → +∞;

y∈B

b) với bất kì tập bị chặn B trong X , tồn tại t0 sao cho tập hợp

γ (2) (t0 )B =

S (2) (t)B

(1.2)

t≥t0

là compact trong X , ở đây [γ] là bao đóng của tập γ .
Một hệ động lực là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta
có thể lấy S (1) (t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1). Rõ ràng bất kì một
hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều cũng là compact.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn
tại một tập compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn
B ⊂ X , tồn tại t0 (B) sao cho S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B). Nói
riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ

compact.
Bổ để sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm
cận.
Bổ đề 1.1.10. Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu
tồn tại một tập compact K sao cho lim dist(S(t)B, K) = 0, với
x→x0

mọi tập B bị chặn trong X.

1.2

Sự tồn tại của tập hút toàn cục

Để đơn giản trong mục này ta giả sử không gian pha X là một
không gian Banach, mặc dù các kết quả chính vẫn đúng với một
lớp rộng hơn các không gian pha. Định lí sau đây là kết quả chính


9

của mục này.
Định lý 1.2.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao và
compact tiệm cận. Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ
(X, S(t)) thì A = ω(B) là một tập compact khác rỗng và là tập
hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)). Hơn nữa, tập hút toàn
cục A là liên thông trong X .


10

Chương 2

Tập hút toàn cục của một
lớp phương trình Parabolic
suy biến
Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [2], chúng tôi trình
bày sự tồn tại duy nhất nghiệm mạnh và dáng điệu tiệm cận của
nghiệm mạnh của một lớp phương trình Parabolic suy biến.

2.1

Đặt bài toán

Cho Ω là miền bị chặn trong RN = RN1 × RN2 × RN3 với biên
trơn ∂Ω, ta xét bài toán biên ban đầu như sau:

∂u


− Pα,β u + f (u) = g(X), X ∈ Ω, t > 0,

∂t
(1)
u(X, t) = 0,
X ∈ ∂Ω, t > 0,


u(X, 0) = u (X),
X ∈ Ω,
0

ở đó X = (x, y, z) ∈ Ω, x = (x1 , · · · , xN1 ), y = (y1 , · · · , yN2 ),
z = (z1 , · · · , zN3 ). Toán tử suy biến

Pα,β u = x u + y u + |x|2α |y|2β z u; α, β > 0
Ta giả sử hạng tử phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều
kiện sau:


11

• (F) f : R → R là một hàm thuộc lớp C 1 sao cho ∀s ∈ R,
C1 |s|p − C0 ≤ f (s)s ≤ C2 |s|p + C0 , ∀p ≥ 2,
(2)
f (0) = 0 và f (s) ≥ −C3 ,
(3)
ở đó C0 , C1 , C2 , C3 là các hằng số dương. Kí hiệu
s

F (s) =

f (σ)dσ,
0

ta có

C4 (|s|p − 1) ≤ F (s) ≤ C5 (|s|p + 1),
ở đó C4 , C5 là các hằng số dương;
• (G) g ∈ L2 (Ω)

(4)

Để nghiên cứu bài toán (1), ta sử dụng các không gian Sobolev
S01 (Ω) và S02 (Ω), được định nghĩa là bổ sung đủ của C0∞ (Ω) với
chuẩn như sau:

u

2
S01 (Ω)

(|∇x u|2 + |∇y u|2 + |x|2α |y|2β |∇z u|2 )dX,

:=
Ω

u

2
S02 (Ω)

|Pα,β u|2 dX.

:=
Ω

Từ các kết quả trong [8], ta thấy rằng phép nhúng S01 (Ω) →
2N
Lr (Ω) là compact với mọi 2 ≤ r < Nα,βα,β
−2 ; ở đó Nα,β = N1 +

N2 + (α + β + 1)N3 . Ta sẽ chứng minh bổ đề 2.2.2 bên dưới rằng
phép nhúng S02 (Ω) → S01 (Ω) là compact.
2.2

Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mạnh

Trước tiên chúng ta nhắc lại định nghĩa nghiệm mạnh.
Định nghĩa 2.2.1. Một hàm u(.) được gọi là nghiệm mạnh của
bài toán (1) trong khoảng (0, T ) nếu
u ∈ C 0 ([0, T ]; S01 (Ω)) ∩ L∞ (0, T ; Lp (Ω)) ∩ L2 (0, T ; S02 (Ω)),
du
du
∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)), u(0) = u0 và
− Pα,β u + f (u) = g
dt
dt
trong L2 (Ω), ∀t ∈ [0, T ].


12

Kết quả sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng
minh sự tồn tại của nghiệm mạnh.
Bổ đề 2.2.2. Nếu Ω là một miền bị chặn thì phép nhúng
S02 (Ω) → S01 (Ω) là compact. Hơn nữa, với mọi u ∈ S02 (Ω) ta
có:
1/2
u S01 (Ω) ≤ u S 2 (Ω) u 1/2 .
0

Chứng minh. Với mọi u ∈ C0∞ (Ω), ta có:

u

2
S01 (Ω)

(|∇x u|2 + |∇y u|2 + |x|2α |y|2β |∇z u|2 )dX

=
Ω

=−

|u|2 dX)1/2 (

uPα,β udX ≤ (
Ω

= u u

Ω
S02 (Ω)

|Pα,β u|2 dX)1/2
Ω

.

(4)

Chú ý rằng u ≤ C u S01 (Ω) , vì S01 (Ω) → L2 (Ω), ta có
u S01 (Ω) ≤ C. u S02 (Ω) hay phép nhúng S02 (Ω) → S01 (Ω) là liên
tục. Tính compact của phép nhúng này được suy ra từ tính
compact của phép nhúng S01 (Ω) → L2 (Ω) và từ đó u ∈ S02 (Ω)
∂u
nếu và chỉ nếu
∈ S01 (Ω), ∀j = 1, · · · , N .
∂xj
Định lí sau đây trình bày sự tồn tại duy nhất nghiệm mạnh.
Định lý 2.2.3. Với giả thiết (F)-(G) khi đó với bất kì u0 ∈
S01 (Ω) ∩ Lp (Ω) và T > 0, bài toán (1) tồn tại duy nhất nghiệm
mạnh u thỏa mãn
u ∈ C 0 ([0, T ]; S01 (Ω)) ∩ L∞ (0, T ; Lp (Ω)) ∩ L2 (0, T ; S02 (Ω)).
Chứng minh. (i) Sự tồn tại: Cho {w1 , w2 , · · · } là một cơ sở của
S02 (Ω) ∩ Lp (Ω), trực giao trong L2 (Ω). Cho Pn là phép chiếu
trực giao trong L2 (Ω) vào không gian hữu hạn chiều sinh bởi
{w1 , w2 , · · · , wn }. Ta tìm một nghiệm xấp xỉ un có dạng
n

un (t) =

unj (t)wj
j=1


13

sao cho




dun
− Pα,β un + Pn f (un ) = Pn g,
dt
 u (0) = P u .
n
n 0

(5)

Chú ý rằng
Pn un = un , (Pn f (un ), un ) = (f (un ), Pn un ) = (f (un ), un ),
(Pn g, un ) = (g, Pn un ) = (g, un ),
ở đó (., .) biểu thị tổng trong trong L2 (Ω).
Bây giờ ta thiết lập một vài ước lượng tiên nghiệm cho un . Ta có
1d
un 2 + un 2S01 (Ω) + f (un )un dX
2 dt
Ω

=

gun dX.
Ω

Từ (2) và bất đẳng thức Cauchy, ta suy ra
d
un 2 + un 2S01 (Ω) + 2C1 |un |p dX
dt

Ω

1
≤ 2C0 |Ω| +
g 2,
λ1
trong đó λ1 > 0 là giá trị riêng thứ nhất của toán tử −Pα,β trong
Ω, (chú ý rằng u 2S 1 (Ω) ≥ λ1 u 2 , với mọi u ∈ S01 (Ω)).
0
Lấy tích phân từ 0 đến t, 0 < t ≤ T ta có
t

un (t)

2

+

t

un

2
S01 (Ω) ds

|un |p dXds

+ 2C1

0

0
2

Ω

g
T ≤ K, với mọi t ∈ [0, T ].
λ1
Bất đẳng thức này cho thấy {un } bị chặn trong
L∞ (0, T ; L2 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; S01 (Ω)) ∩ Lp (0, T ; Lp (Ω)).
≤ u0

2

+ 2C0 T |Ω| +


14

Mặt khác, nhân (5) với −Pα,β un và lấy tích phân trên Ω, ta có
1d
un 2S01 (Ω) + Pα,β un 2
2 dt

f (un )Pα,β un dX −

=
Ω

gPα,β un dX.

(6)

Ω

Lấy tích phân từng phần của (6) và sử dụng bất đẳng thức
Cauchy, ta có:
1d
1
un 2S01 (Ω) + Pα,β un 2
2 dt
2
1
≤ − f (un )(|∇x un |2 + |∇y un |2 + |x|2α |y|2β |∇z un |2 )dX + g 2 .
2
Ω

Từ (3) suy ra
d
un 2S01 (Ω) + Pα,β un 2 ≤ 2C3 un
dt
Lấy tích phân từ 0 đến t, 0 ≤ t ≤ T ta có:

2
S01 (Ω)

+ g 2.

(7)

t

un (t)

2
S01 (Ω)

Pα,β un (s) 2 ds

+
0

t

≤ 2C3

un (s)

2
S01 (Ω) ds

+ un (0)

2
S01 (Ω)

+ g 2T

0

≤ 2C3 K + u0

2
S01 (Ω)

+ g 2 T.

Bất đẳng thức này cho thấy
L∞ (0, T ; S01 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; S02 (Ω)).

{un }

bị

chặn

trong

dun
}.
Tiếp theo ta chứng minh tính bị chặn của {
dt
dun
Nhân (5) với
và lấy tích phân trên Ω, ta có
dt


dun

dt

2

1d 
+
un
2 dt

2
S01 (Ω)

1
F (un )dX  ≤ g
2

+2
Ω

2

1 dun
+
2 dt

2

.

15

Lấy tích phân từ 0 đến t, t ∈ [0, T ] ta có
t

dun
(s)
dt

2

ds + un (t)

2
S01 (Ω)

+2

0

F (un (t))dX
Ω

≤ un (0)

2
S01 (Ω)

F (un (0))dX + g 2 T.

+2
Ω

Sử dụng (4) ta có:
t

dun
(s)
dt

2

ds + un (t)

2
S01 (Ω)

|un (t)|p dX − 2C4 |Ω|

+ 2C4

0

Ω

≤ un (0)

2
S01 (Ω)

|un (0)|p dX + 2C5 |Ω| + g 2 T.

+ 2C5
Ω

Do đó
t

dun
(s)
dt

2

ds + un (t)

2
S01 (Ω)

0

|un (t)|p dX − 2C4 |Ω| ≤ M,

+ 2C4
Ω

ở đó

M := un (0)

2
S01 (Ω)

|un (0)|p dX + 2C5 |Ω| + g 2 T.

+ 2C5
Ω

dun
} bị chặn trong L2 (0, T ; L2 (Ω)) và {un } bị chặn
dt
trong L∞ (0, T ; Lp (Ω)).
Suy ra {

Mặt khác, vì

Pn f (un ) = Pn g −
L2 (0, T ; L2 (Ω)).

dun
+ Pα,β un , nên {Pn f (un )} bị chặn trong
dt

Từ các kết quả trên, tồn tại một dãy con {un } sao cho

un
un

u trong L2 (0, T ; S02 (Ω)),
u *-yếu trong L∞ (0, T ; Lp (Ω)),

16

du
dun
trong L2 (0, T ; L2 (Ω)),
dt
dt
Pn f (un )
χ trong L2 (0, T ; L2 (Ω)).
Bây giờ ta chỉ ra f (un )
χ trong L2 (ΩT ) với ΩT = Ω × (0, T ).
Ta có thể viết
(f (un ) − χ)φdXdt =
ΩT

(Pn f (un ) − χ) φ dX dt
ΩT

(Qn f (un ) − χ)φdXdt, với mọi φ ∈ L2 (ΩT ), Qn = I − Pn .

+
ΩT

Ta đã biết số hạng thứ nhất ở vế trái có giá trị bằng 0.
Với số hạng thứ hai, chú ý rằng các hàm có dạng
n

φ=

αj (t)φj ,
j=1

ở đó αj ∈ L2 (0, T ) và φj ∈ C0∞ (Ω) là trù mật trong L2 (ΩT ) và
n

Qn f (un )(
ΩT

n

αj (t)φj )dXdt =
j=1

f (un )(
ΩT

αj (t)Qn φj )dXdt
j=1

Vì Qn φj → 0 trong L2 (Ω) với mỗi j , ta có Pn f (un ) là hội tụ
tuyệt đối.
Bây giờ ta chứng minh χ = f (u). Ta có S02 (Ω)
S01 (Ω) ⊂
L2 (Ω) và với các ước lượng trên, theo bổ đề Aubin-Lions ([7],
chương 1), tồn tại một dãy con {uµ } sao cho uµ → u trong
L2 (0, T ; S01 (Ω)).
Do đó tồn tại một dãy con {uµj } của {uµ } sao cho

uµj (X, t) → u(X, t) với (X, t) ∈ Ω × (0, T ).
Vì f (.) liên tục nên ta có:
f (uµj (X, t)) → f (u(X, t)) với (X, t) ∈ Ω × (0, T ).
Theo Bổ đề 1.3 trong ([7], chương 1) ta có f (uµj )
f (u) trong
2
2
L (0, T ; L (Ω)). Vì giới hạn yếu là duy nhất, ta có f (u) = χ.


17

Hơn nữa, lấy qua giới hạn (5) ta có
du
− Pα,β u + f (u) = g trong L2 (0, T ; L2 (Ω)).
dt
du
Vì u ∈ L2 (0, T ; S02 (Ω)),
∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) và S02 (Ω)
dt
1
2
S0 (Ω) ⊂ L (Ω), theo Định lí 1.8 trong ([6], trang 33), ta có
u ∈ C 0 ([0, T ]; S01 (Ω)). Bây giờ ta chứng minh u(0) = u0 .
Chọn một hàm thử φ ∈ C 1 ([0, T ]; S01 (Ω)∩Lp (Ω) với φ(T ) = 0,
ta có
T

T

du
( , φ)dt +
dt
0

(∇x u∇x φ + ∇y u∇y φ + |x|2α |y|2β ∇z u∇z φ)dXdt
0

Ω
T

T

(f (u), φ)dt =

+

(g, φ)dt.

0

0

Lấy tích phân từng phần theo biến thời gian, ta có
T

T

(∇x u∇x φ + ∇y u∇φ + |x|2α |y|2β ∇z u∇z φ)dXdt

−(u, φ ) +
0

0

Ω
T

T

(f (u), φ)dt =

+
0

(g, φ)dt + (u(0), φ(0)).
0

Làm tương tự trong các trường xấp xỉ Galerkin
T

T

(∇x un ∇x φ + ∇y un ∇φ + |x|2α |y|2β ∇z un ∇z φ)dXdt

−(un , φ ) +
0

0

Ω

T

+

T

(f (un ), φ)dt =
0

(g, φ)dt + (un (0), φ(0)).
0

Cho n → ∞ ở bất đẳng thức cuối ta có


18

T

T

(∇x u∇x φ + ∇y u∇φ + |x|2α |y|2β ∇z u∇z φ)dXdt

−(u, φ ) +
0

0

Ω
T

T

(g, φ)dt + (u0 , φ(0)).

(f (u), φ)dt =

+

0

0

vì un (0) = Pn u0 → u0 (trong L2 (Ω)) khi n → ∞. Vậy u(0) = u0 .
(ii) Tính duy nhất: Cho u, v là hai nghiệm của bài toán (1)
với giá trị ban đầu u0 , v0 .
Xét w = u − vthỏa mãn
 dw
− Pα,β w + f (u) − f (v) = 0,
dt
w(0) = u + v .
0
0
Do đó

1d
w
2 dt

2

+ w

2
S01 (Ω)

+ (f (u) − f (v))(u − v)dX = 0
Ω

Sử dụng (3) ta có:
d
w 2 + 2 w 2S01 (Ω) ≤ 2C3 w 2
dt
d
⇒
w 2 ≤ 2C3 w 2 .
dt
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có w(t) ≤ w(0) 2 .e2C3 t .
Ta có điều phải chứng minh.

2.3

Tính liên tục của nghiệm mạnh

Trước tiên, tương tự lập luận được sử dụng trong Định lí 2.2.3
để có ước lượng nghiệm xấp xỉ un , ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.3.1. Với giả thiết (F)-(G), khi đó với mọi T > 0,

19

nghiệm u(X, t) của bài toán (1) thỏa mãn
T

sup

u(t) ≤ N,

0≤t≤T

u(t)

2
S01 (Ω) dt

≤ N,

0

T

|u(X, t)|p dXdt ≤ N,

sup

u(t)

0≤t≤T

0

≤ N,

Ω
T

T

2
du
(X, t) dXdt ≤ N,
dt

2

|Pα,β u(X, t)| dXdt ≤ N,
0

S01 (Ω)

0

Ω

Ω

ở đó N là một hằng số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R là số sao
cho

u(0) S01 (Ω)∩Lp (Ω) ≤ R.
Bổ đề 2.3.2. Với giả thiết (F)-(G), khi đó với mọi T > 0,
nghiệm u(X, t) của bài toán (1) thỏa mãn
T

|u(X, t)|2p−2 dXdt ≤ N,
0

Ω

ở đó N là một hằng số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R là số sao
cho
u0 S01 (Ω)∩Lp (Ω) ≤ R.
Chứng minh. Nhân (1) với |u|p−2 u và lấy tích phân trên Ω ta có
1d
|u|p dX + f (u)|u|p−2 udX
p dt
Ω

Ω

Pα,β u|u|p−2 udX +

=
Ω

g|u|p−2 udX.
Ω

(8)

20

Sử dụng (2) và bất đẳng thức Young, ta có:

f (u)|u|p−2 udX ≥ C1
Ω

|u|2p−2 dX − C0
Ω

C1
≥
2

|u|p−2 dX
Ω

|u|2p−2 dX − C.
Ω

Mặt khác,

Pα,β u|u|p−2 udX +
Ω

g|u|p−2 udX
Ω

|Pα,β u||u|p−1 dX +

≤

|g||u|p−1 udX

Ω

≤

Ω

C1
4

|u|2p−2 dX + C
Ω

|Pα,β u|2 dX + C
Ω

Từ (8)-(10) suy ra:
d
p C1
|u|p dX +
dt
4
Ω

|g|2 dX.

(10)

Ω

|u|2p−2 dX ≤ C + C
Ω

|Pα,β u|2 dX.
Ω

Lấy tích phân từ 0 đến T ta có:
T

p C1
|u(T )|p dX +
4

|u|2p−2 dXdt
0

Ω

Ω
T

|u0 |p dX + CT + C

≤

|Pα,β u|2 dXdt.
0

Ω

ω

Sử dụng Bổ đề 2.3.2 ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.3.3. Với giả thiết (F)-(G), khi đó với mọi T > 0,
nghiệm u(X, t) của bài toán (1) thỏa mãn

sup
0≤t≤T

t

du
≤ N,
dt

ở đó N là một hằng số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R là số sao