Dãy cấp số cộng và cấp số nhân

DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

§1. PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Muốn chứng minh P(n) đúng n  N * .
Bước 1. Kiểm tra P(n) đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử P(n) đúng khi n = k. Ta chứng minh P(n) đúng với n = k+1. Do phương7 pháp
chứng minh quy nạp toán học P(n) đúng n  N * .
Chú ý. Nếu phải chứng minh rằng mệnh đề là đúng n  p( p  N * ) thì ở bước 1 ta phải kiểm
tra rằng mệnh đề đúng với n = p, ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n  k  p và chứng minh nó cũng đúng với n = k+1.
Trường hợp thường gặp nhất là p = 1.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng n  1, ta có:
1 2  3  n 

n(n  1)
2

(1).

Chứng minh. Ta chứng minh (1) bằng quy nạp.
Khi n = 1, ta có: VT = 1
VP =

n( n  1)
 1.
2

Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả thiết (1) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n  k  1, tức là:
1  2  3    k  (k  1) 

( k  1)(k  2)
.
2

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có:

k (k  1)
 k 1
2
k
 (k  1)(  1)
2
(k  1)(k  2)

.
2

(1  2  3   k )  (k  1) 

Tức là (1) đúng với n = k+1.
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học thì (1) đúng n  1.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Chứng minh rằng n  N * , ta có đẳng thức:

n(n  1)(2n  1)
.
6
Bài 2. Chứng minh rằng n  N biểu thức U n  13n  1 chia hết cho 6.
12  2 2  3 2    n 2 

Bài 3. Chứng minh rằng n  3 , ta có: 2 n  2n  1.
Bài 4. Chứng minh rằng n  N * , ta có: 1  2  3  4    2n  (2n  1)  n  1.
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau ( với n  N * ):

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
a) 2  5  8    (3n  1) 

n(3n  1)
;
2

1
2

b) 3  9  27    3 n  (3 n 1  3);
n(4n 2  1)
;
3
n 2 (n  1) 2
3
3
3
3
.

d) 1  2  3    n 
4

c) 12  3 2  5 2    (2n  1) 2 

Bài 6. Chứng minh với mọi số nguyên n, ta luôn có
1  3  5    (2n  1)  n 2 .

Bài 7. Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
2 2  4 2  6 2    ( 2n) 2 

2n(n  1)(2n  1)
.
3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

§2. DÃY SỐ
1. Định nghĩa. Một ánh xạ f từ tập các số tự nhiên vào tập số thực được gọi là một dãy số thực.
f :N R
n  f (n)

Kí hiệu un = f(n), ta viết dãy số dưới dạng u1, u2,…, un,… gọi là dạng khai triển của dãy đã
cho.
Dãy số thường được kí hiệu là (un) và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số đang xét.
2. Cách cho một dãy số:
+ Dãy số cho bởi công thức:
Ví dụ. Dãy số (un) cho bởi công thức un=

1

n

1 1
1
1, , ,..., ,...
2 3
n

+ Dãy số có thể cho bởi việc mô tả các số hạng liên tiếp của nó:
Ví dụ. Dãy số (un), trong đó un là chữ số thứ n trong cách viết thập phân của e = 2,71828…
u1  2, u 2  7, u 3  1, u 4  8, u 5  2,...

+ Dãy số cho bởi công thức truy hồi:
Ví dụ. Dãy số Phibonasi cho bởi công thức truy hồi sau:
u1  1, u 2  1

u n  u n 1  u n  2 (n  3).

Dạng khai triển của dãy số là:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
3. Dãy số đơn điệu. Dãy số bị chặn:
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un < un+1, n (1).
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un > un+1, n (2).
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số hằng nếu un = a, n .

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
Nếu (1) và (2) có thêm dấu bằng thì ta nói (un) không tăng, không giảm.
Chú ý.
+ Dãy số (un) tăng  n  N * , un1  un  0.
+ Nếu mọi số hạng của dãy số (un) đều dương thì:
Dãy số (un) tăng  n  N * ,

u n 1
 1.
un

Tương tự đối với dãy số giảm.
n 1
giảm.
n
Giải: Ta sẽ chứng minh un1  un  0(n  N * ).
(n  1)  1 n  2

Ta có: u n 1 
, do đó:
n 1
n 1
n  2 n 1
1
u n 1  u n 


 0.
n 1
n

n(n  1)

Ví dụ. Chứng minh dãy số u n 

Vậy dãy số đã cho giảm.
4. Dãy số bị chặn:
Định nghĩa.
+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại một số M sao cho
n  N * , un  M .

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại một số m sao cho
n  N * , u n  m.

+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
m và M sao cho
n  N * , m  u n  M .

Bài tập:
Bài 1. Viết 5 số hạng đầu của dãy:
1
2n
2n 2  1
c) u n  2
n 1

a) u n 

b) un  (1) n .2n.

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số:

u1  3
u n 1  2u n (n  1).

a) 

u1  11

b) 

*
u n 1  10u n  1  9n, n  N .

Bài 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u n 

1
2
n 1

b) u n 

2n 1
.
2n

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
c) u n  1  n  1

d) u n 

2n  1
.
3n  1

Bài 4. Xét tính bị chặn của dãy số (un):
a) u n 

1
, (n  1).
n(n  1)

b) un  (1) n  cos n.

Bài 5. Với giá trị nào của a thì dãy số (un), với u n 

na  2
, là dãy số tăng? dãy số giảm?
n 1

u1  1
u n 1  u n  2n  1(n  1).

Bài 6. Cho dãy số 

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Dự đoán công thức u n và chứng minh bằng qui nạp.
u1  1

Bài 7. Dãy số (u n ) được xác định bằng công thức 

3
u n 1  u n  n (n  1).

a) Tìm công thức của số hạng tổng quát;
b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số.
u1  5
u n 1  u n  3n  2

Bài 8.Dãy số (u n ) được xác định bằng công thức 
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát;
b) Chứng dãy số tăng.

Bài 9. Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau
u1  2

a) 
1
u n 1  2  n (n  1);
u1  2
u n 1  u n  1;

b) 

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ

DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
c)

1

u1 
2

u n 1  3u n .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

§3. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
I. CẤP SỐ CỘNG:
1. Định nghĩa. Cấp số cộng (un) là dãy số (un), trong đó
u1 = a, un+1 = un + d ( n  1).
d được gọi là công sai của cấp số cộng.
a là số hạng đầu. Nếu n hữu hạn thì (un) được gọi là cấp số cộng hữu hạn.
2. Tính chất.
+ (un) là cấp số cộng  u n1 

u n  u n2
, n  1.
2

+ u n  u1  (n  1)d .
+ Sn là tổng của n số hạng: S n  u1  u 2  ...  u n 



Hệ quả. S n  nu1 


n(u1  u n )
.
2

(n  1)d 
.
2 

Ví dụ 1. Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai
của nó.
a) un = 5 - 2n;
Giải:
a)

b) u n 

n
 1;
2

c) u n  3n ;

d) u n 

7  3n

.
2

u n1  u n  [5  2(n  1)]  (5  2n)  2
 u n1  u n  2, n.

Dãy số (5  2n), n  N * là cấp số cộng.
 n 1   n  1
u n 1  u n  
 1    1 
2

 2  2
b)
1
 u n 1  u n  , n.
2
n 
Dãy số   1, n  N * là cấp số cộng.
2 
c) un1  un  3n1  3n  2.3n không phải là hằng số khi n thay đổi.

Do đó dãy 3 n , n  N * không phải là cấp số cộng.
d) u n 1  u n 

7  3(n  1) 7  3n 7  3n  3  7  3n  3



.

2
2
2
2

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
  3
 u n1  u n  
.
 2 

Do đó dãy số đã cho là một cấp số cộng.
Ví dụ 2. Một cấp số cộng (un) có 8 số hạng, số hạng thứ nhất là 30 và số hạng cuối cùng là
114. Tìm các số hạng của cấp số cộng này.
Giải:
Giả sử cấp số cộng đã cho có công sai là d.
Theo đề bài ta có:
u1  30.
u8  114
 u1  (8  1).d  114
 30  7d  114
114  30
d
 12.
7

Vậy 8 số hạng của cấp số cộng đã cho là: 30; 42; 54; 66; 78; 90; 102; 114.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm công sai d của một cấp số cong hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 1 và số hạng cuối là
u15 = 43.
Bài 2. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng dưới đây, biết:
u 7  u 3  8
u 2 .u 7  75

a) 

u 2  u 3  u 5  10
u1  u 6  17.

b) 

Bài 3. Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng số là 400. Tìm số
hạng và công sai.
Bài 4. Một cấp số cộng có số hạng thứ 54 là -61 và số hạng thứ 4 là 64. Tìm số hạng thứ 23.
Bài 5. Tìm 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương
là 293.
Bài 6. Xác định x để 3 số 10  3x;2 x 2  3;7  4 x lập thành một cấp số cộng.
Bài 7. Cho các số u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 lập thành một cấp số cộng, biết rằng:
u1  u 2  u 3  u 4  u 5  15
 2
2
2
2
2
u1  u 2  u 3  u 4  u 5  55

1; 2; 3; 4; 5
Tìm u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 .
ĐS: 
5; 4; 3; 2;1

(d  1)
(d  1).

Bài 8. Hãy chọn phương án đúng trong các câu sau:
a) Cho 5 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có tổng bằng 40, còn tổng bình phương của
chúng bằng 480. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất trong các số hạng ấy.
A. 16
B.12
C. 14
D. 18.

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
b) Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng.
A. 120

B. 140

C. 150

D. 160.

u 2  u 3  u 6  13
u 3  u 6  23

c) Một cấp số cộng (un) có: 
Tìm công sai của cấp số.
A. 1

B. 2

C. 3

D. Một đáp án khác.
u 2  u 5  u 3  10
u 4  u 6  26

d) Hãy tìm số hạng u1 và công sai d của cấp số cộng (un), biết rằng: 
A. u1  1; d  3

B. u1  1; d  2

C. u1  2; d  1

D. u1  3; d  1.

Bài 9. Dãy số nào sau đây là tăng?

A. u n  (1) n 1 sin ;
B. u n  (1) 2n .(5n  1);

n
1
3n  (1) n
;
C. u n 
D. u n 
.
4n  (1) n1
n 1  n
u1  1
Bài 10. Cho dãy số (un): 
thì u5 bằng:
2
u n 1  u n  n
A. 29
B. 30
C. 31
D.32
Bài 11. Cho dãy số un = 101- 2n. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. un không tăng cũng không giảm;
B. un tăng;
C. un giảm;
D. un giảm và bị chặn.
Bài 12. Kết luận nào sau đây là sai?
u
A. Nếu u n 1  u n  0, n  N* thì dãy un giảm; B. Nếu n 1  1, n  N* thì un tăng;
un
*
C. Nếu tồn tại m  R sao cho u n  m, n  N thì un bị chặn dưới;
D. un bị chặn dưới thì bị chặn.

Bài 13. Dãy số nào sau đây không là cấp số cộng?
A. u n  3n  1;
B. 25, 21,17,13, 9,... ; C. u n  (n  1) 2  n 2 ; D. u n  2 n  1.
Bài 14. Cho cấp số cộng biết u1  3 và u 8  24 thì u10 bằng:
A. 26
B.28
C. 30
D. 32
Bài 15. Cho một đa giác có số đo các cạnh tạo thành một cấp số cộng có công sai d  3 cm , chu vi của
đa giác là 158 cm, cạnh dài nhất là 44 cm. Thì số cạnh của đa giác là:
A.3
B.4
C.5
D.6
Bài 16. Cho cấp số cộng (un) với u n  9  5n thì S100 bằng:
A. 23450
B. -24350
C. 24350
D. -2435

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
Bài 17. Cho cấp số cộng (un). Tìm u1 và d biết u 4  10 và u 7  19 .
A. u1  1, d  3
B. u1  1, d  2
C. u1  2, d  2

D.Các kết quả trên đều sai.
Bài 18. Cho cấp số cộng (un), biết u1  2u 5  0 và S4 =14 thì u10 bằng:
A. 19
B. -19
C. 18
D.-18
Bài 19. Cho cấp số cộng (un) có S6 = 18 và S10 = 110 thì công sai d bằng:
A. 2
B. 3
C. 4
D.-4
Bài 20. Một cấp số cộng có 11 số hạng mà tổng của chúng bằng 176. Hiệu số hạng đầu và cuối bằng 30.
Khi đó công sai d và u1 bằng:
A. u1  1, d  3;
B. u1  1, d  3;
C. u1  1, d  3;
D. u1  1, d  2.
1
Bài 21. Cho cấp số cộng (un) biết u1  5 và d  . Kết luận nào sau đây là sai?
2
B. S10  

A. u101  45;

55
;
2

C.

1
là một số hạng của (un); D.Kết quả A, B, C đều sai.
3

II. CẤP SỐ NHÂN:
1. Định nghĩa. Cấp số nhân (un) là dãy số (un), trong đó
u1 = a, un+1 = un.q ( n  1).
q  0 được gọi là công bội của cấp số nhân.
a là số hạng đầu.
Nếu n hữu hạn thì (un) được gọi là cấp số nhân hữu hạn.
2. Tính chất.
+ un21  un .u n2 , n  1.
+ un  u1 .q n1 , n  1.
+ q  1, u1 :
S n  u1 .

1 qn
.
1 q

3
5

  5
n
 2

Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số  .2 n , 

   1 

,    
  2 

n


 là các cấp số nhân.



Giải:
3
5

3
5
3 
Suy ra dãy số  .2n  là cấp số nhân với công bội q = 2.
5 
u
 5   5  1
b) n 1   n 1  :  n   .
un
2  2  2
1
 u n 1  u n . , n.
2

a) u n  .2 n , u n 1  .2 n 1  u n 1  u n .2, n.

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
 5 
là cấp số nhân với công bội q = 1/2.
n 
2 

Do đó dãy số 
c)
u n 1  1 
  
un
 2

n 1

n

1
 1
:    
2
 2
 1
 u n .  , n.
 2

 u n 1



n



1
 1
Dãy số      là cấp số nhân với công bội q   .



 2  

2

Ví dụ 2. Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh của hình vuông thành
bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2. Từ hình vuông
C2 lại tiếp tục làm như trên để được hình vuông C3,...Tiếp tục làm quá trình trên ta nhận dãy các
hình vuông C1, C2, C3, ..., Cn,...Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh rằng dãy
số (an) là một cấp số nhân.
Giải:
Cạnh của hình vuông C1 là a1 = 4.
Cạnh của hình vuông C2 là a2 = 12  32 .
2

2

10
 a   3a 
Cạnh của hình vuông C3 là a3 =  2    2   a2 .
.
4
 4  4 

Tổng quát cạnh của Cn+1 là:
2

2

10
 a   3a 
a n 1   n    n   a n .
, n.
4
 4  4 

Vậy dãy số (an) là cấp số nhân với số hạng đầu là u1 = 4, công bội q 

10
.
4

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm công bội của một cấp số nhân hữu hạn, biết số hạng đầu u 1 = 2 và số hạng cuối cùng
là u11 = 64.
Bài 2. Cho 3 số dương a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng 3 số:

1
1
(a  b  c), (ab  bc  ca ) , 3 abc cũng lập thành một cấp số nhân.
3
3

Bài 3. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh:
(a  b  c)(a  b  c)  a 2  b 2  c 2 .

Bài 4. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh:
(a 2  b 2 )(b 2  c 2 )  (ab  bc) 2 .

Bài 5. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một
cấp số nhân. Tìm các số đó.

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
Bài 6. Chứng minh nếu 3 số

2 1 2
, ,
là một cấp số cộng thì 3 số x, y, z là một cấp số nhân.
yx y yz

Bài 7. Tính tổng:
a) S  10  100  1000  ...  10

...


0 .
n số 0
...1
b) S  1  11  111    11


.

n số 1
c) S  7  77  777    777
...
7 .
n số 7
d) S  9  99  999    999
...
9 .
n số 9
Bài 8. Dãy nào sau đây không là cấp số nhân?

u1  2
u1  2

; D. 
A. u n  (5) ;
B. u n  (1) .3 ; C. 
7 .
2

u n 1  u n
u n 1  5 u n
Bài 9. Cho cấp số nhân  4, x,  9 thì x bằng:
A. 6;
B. -6; C.Hai kết quả A, B đều đúng;
D.Hai kết quả A, B đều sai.
Bài 10. Cấp số nhân có u1  2 và u11  64 thì công bội q bằng:
2 n 1

n

3n 1

B.  2;
C.  2;
D.  2.
u 4  u 2  72
Bài 11. Cấp số nhân có 
thì:
u 5  u 3  144
A. u1  6, q  2;
B. u1  12, q  2;
C. u1  12, q  2; D. u1  24, q  2;
Bài 12. Cấp số nhân có 9 số hạng có u1  5; u 9  1280 thì tổng S bằng:
A. 1275; B. -425; C.Hai kết quả A, B đều đúng; D. Hai kết quả A, B đều sai.
d 9
Bài 13. Cho cấp số cộng 3, a, b và cấp số nhân 3, a, d biết  . Hai cấp số này đều là dãy tăng thì b
b 5
bằng:
3

27
.
A. 15;
B. ;
C. 27;
D.
5
25
Bài 14. Tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, C, D theo thứ tự tạo thành cấp số nhân. Biết C = 4A thì
số đo A bằng:
A. 240;
B.300;
C. 360;
D. Các kết quả A, B, C đều sai.
Bài 15. Cho cấp số nhân (un), biết u1  3, u 2  6. Hãy chọn kết quả đúng:
A. u 5  24;
B. u 5  48;
C. u 5  48;
D. u 5  24.
Bài 16. Cho cấp số cộng 6, x, -2, y. Hãy chọn kết quả đúng:
A.

2;

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

A. x  2, y  5;
B. x  4, y  6;
C. x  2, y  6;
D. x  4, y  6.
Bài 17. Cho cấp số nhân  2, x,  18, y . Hãy chọn kết quả đúng:
A. x  6, y  54; B. x  10, y  26; C. x  6, y  54; D. x  6, y  54.
u 2  4
Bài 18. Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng, nếu biết 
là:
u14  40
43
A. S= -63;
B. S =  ;
C. S  34;
D. S  330.
42
Bài 19. Cho cấp số cộng: 1, 5, 9, 13,... Giá trị của u17 là:
27
A.  29;
B. ;
C.  27;
D.65.
5
Bài 20. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
5n  1
;
A. u n  3n  5;
B. u n 
C. u n  n 2 ;

D. u n  2n.
3
Bài 21. Cho cấp số cộng, biết u1  1, u 2  5. Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng bao nhiêu?
A. 380;
B. 190;
C. 95;
D. 195.
Bài 22. Ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng, góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Công
sai d > 0 của cấp số cộng đó bằng:
A. 100;
B. 200;
C.300;
D.400.
Bài 23. Tổng S  2  4  6    200 có giá trị bằng:
A. 10100;
B. 10600;
C. 12000;
D. Kết quả khác.
Bài 24. Cho cấp số cộng có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên là S10  100, S100  10. Khi
đó, tổng của 110 số hạng đầu tiên là:
A. 22;
B. -90;
C. 110;
D. -110.
Bài 25. Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng.
Khi đó một cạnh có thể có độ dài bằng:
A. 22;
B. 58;
C. 81;
D. 91.

Bài 26. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
A. 1, 2, 3, 4,...;
B.-1, -2, -3, -4,...;
C.1, 1, 1, 1, ...;
D. 2, 4, 8, 16,...
Bài 27. Trong dãy các số lẻ 1, 3, 5, 7,...Hãy tính số lẻ thứ 100?
A. 101;
B. 99;
C. 199;
D.201.
u 3  u 5  30
Bài 28. Số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng, nếu biết: 
là:
S12  129
5
3
, d  ; D. u1  1, d  4.
2
2
Bài 29. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai
có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,...Hỏi có bao nhiêu hàng?
A. 39;
B.77;
C.154;
D.308.
Bài 30. Ba số lập thành một cấp số cộng, tổng của chúng bằng 15 và tổng các bình phương của chúng
bằng 107. Công sai d (d > 0) của cấp số cộng đó bằng:
A. 4;
B. 5;
C. 6;

D. 7.

A. u1  3, d  4;

B. u1  1, d  3;

C. u1 

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ


DAYHOCTOAN.VN GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ
BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
u 7  u 3  8
Bài 31. Cho cấp số cộng (un) có các số hạng dương thỏa mãn điều kiện: 
. Số hạng đầu và
u 2 .u 7  75
công sai của cấp số cộng đó là:
A. u1  3, d  2;
B. u1  2, d  3;
C. u1  5, d  4;
D.Kết quả khác.
Bài 32. Biết Cn1 , Cn2 , Cn3 lập thành một cấp số cộng với n > 3, thế thì n bằng:
A. 5;
B.7;
C.9;
D.11.
Bài 33. Số đo các góc của một tứ giác lồi tạo thành một cấp số nhân, biết góc có số đo lớn nhất gấp 8 lần
góc có số đo nhỏ nhất. Góc có số đo nhỏ nhất và công bội q (q > 1) của cấp số nhân đó là:

3
A. 200, q = 3;
B. 240, q = 2;
C. 280 , q  ;
D. Một kết quả khác.
2
Bài 34. Độ dài c, b, a các cạnh của tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Công bội của cấp số nhân đó bằng:

A.

1 2
1 3
; B.
;
2
2

C.

1 5
;
2

D.

1 6
.
2

DAYHOCTOAN.VN
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC –HUẾ