Phương pháp và bài tập quan hệ vuông góc

WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC
(ÔN TẬP CHƢƠNG III)


Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :
















a  b  
a ; b   900 .

b / / c
 a  b.


a  c
 
 
a  b  a  b  0 .Nếu a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b
Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất
đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc .

a  ( ) 
 a b ;
b  ( ) 
a / / 
b  a
b 

a '  hch  a  
a '  hch  a  


b    b  a' ;
b  b  a .
b  a 
b  a ' 

ABC ; a  AB 
  a  BC
a  AC 
Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ
quả sau :
 a    a  b  






a  b  

a  c    a   .
b  c  O

a / /b    a   .
 / /  a  a   .
AB     M | MA  MB (  là mặt phẳng trung trực của AB).
ABC   







MA  MB  MC   MO    .
OA  OB  OC 

 P   Q  

a   P    a  Q 

a  c   P    Q 

WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN





 P   R

 Q    R   a   R 
 P    Q   a 

Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả
sau :








fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

P  ,  Q    900
 P    Q    

 P   a 
   P   Q 
a   Q  
 R    Q  
   P   Q  .
 P  / /  R 

Tính góc giữa hai đƣờng thẳng

Phương pháp :Có thể sử dụng một trong các cách sau:




Cách 1:(theo phương pháp hình học)

Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng
lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho

Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O .

Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính .
Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)

 

Tìm u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng  1  và   2 



 
u1  u2
 
Khi đó cos  1 ,  2   cos u1 , u2    .
u1  u2









Tính góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng

Phương pháp :


 

a     a
,  900 ;

 a / /
0

a     a ,   0 ;


a    
 

  a ,   a , a ' 
a '  hch a 
o Để tìm a '  hch a ta lấy tùy ý điểm M  a , dựng MH    tại H , suy ra

,  MAH
hch a  a '  AH ,  A  a      a


 





 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp :


Cách 1 : Dùng định nghĩa :

P  ,  Q     a
, b  trong đó :


WWW.DAYHOCTOAN.VN

a   P  

b   Q  

Q

q

p
Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn
R

P


WWW.DAYHOCTOAN.VN
fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn
 Cách 2 : Dùng nhận xét :

 R        P    Q 

P  , Q    
p,q .
 R    P   p    
 R    Q   q 



Cách 3 : Dùng hệ quả :

M  Q 



 
H  hch P  M
   P  ,  Q   MNH .

HN  m   P    Q  







Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp :Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ
điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :


Cách 1 :
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
 Xác định m   P    Q  .
Dựng MH  m   P    Q  ,



 MH   P 

suy ra MH là đoạn cần tìm .
Cách 2:Dựng MH / /  d    
o Chú ý :
 Nếu MA / /    d M ,    d A ,   .








Nếu MA     I 



d  M ,   
d  A ,   







IM
IA

Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng:




a   P 

Khi 

 a   P 
Khi a / /  P 

 d  a , P   0 .

 d  a ,  P    d  A ,  P   với A   P  .


Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :






 P    Q 

 d  P  , Q   0 .
P


Q





Khi  P  / /  Q 
 d  P  , Q   d  M , Q 
với A   P  .
Khi 

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN

      ' 

 d     ,   '   0 .



Khi 



Khi    / /   '  d



       '

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

   ,   '  d  M ,   '  d  N ,    với M     , N    ' .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
   và   ' là đường thẳng  a  cắt    ở M và cắt

  ' ở N




đồng thời vuông góc với cả    và   ' .

(a)


M

Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau    và   ' .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đườngthẳng đó .

'

N

Phương pháp :
Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến
mp(P) .
 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .
 Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .
Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau :
 Cách 1:Khi a  b
 Dựng một mp  P   b ,  P   a tại H .


Trong (P) dựng HK  b tại K .
Đoạn HK là đoạn vuông góc
chung của a và b .
Cách 2:
 Dựng  P   b ,  P  / / a .









Dựng a '  hch P  a , bằng cách lấy M  a

dựng đoạn MN    , lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a .
Gọi H  a ' b , dựng HK / / MN
 HK là đoạn vuông góc chung cần tìm .

WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn



Một số bài tập ôn tập chƣơng

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  a , AD  2a , các mặt phẳng

 SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  .
a) Chứng minh SA   ABCD  .
b) Chứng minh  SAC    ABCD  .
c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S. ABCD đều là các tam giác vuông .

d) Khi SA  a 6 . Tính góc giữa SD với mặt phẳng  ABCD  và góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và

 SCD  .









d) Tính các khoảng cách : d A ,  SCD  ; d CD ,  SAB  ; d  SD , AC  .
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a.
a) Tính đường cao của hình chóp .
b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy .
c) Tính d(O, (SCD)) .
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC .
e)Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vuông góc với (SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là
hình gì? Tính diện tích của thiết diện .
Cho hình chữ nhật ABCD có AD  6, AB  3 3 . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho MB  2MB và N là trung
điểm của AD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho SM  2 6 .
a) Chứng minh AD   SAB  ;  SBC    SAB  ;
b) Chứng minh  SBN    SMC  ;
c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng  SMC  :





d) Xác định vị trí điểm P SM sao cho 
PNC  ,  SMC   600 .
(Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) .
(*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuông góc với (ABC) .
a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) .

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của SBC. Chứng minh (MBE) vuông
góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC) .
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC . Chứng minh OH vuông góc với (SBC) .
d) Cho () qua A và song song với BC và () vuông góc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi ()
khi SA = 2a .
e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS không đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất .
a. Khi SA = a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD) .
a) Chứng minh SCD cân .
b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) .
c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC .

AOB  1200 . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc với (OAB) về cùng
Cho OAB cân tại O . OA = OB = a , 
một phía , lấy M , N sao cho AM  x , BN  y .
a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để OMN vuông tại O .
b) Cho OMN vuông tại O và x + y =

WWW.DAYHOCTOAN.VN

3a
.Tính x, y ( x < y ) .
2

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn


, OAB .
c) Với kết quả câu b) . Tính góc OMN





d) Giả sử M , N lưu động sao cho y  2 x . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định.
(*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt AI  x ,  0  x  a  .





a) Chứng minh khi x  4  15 a thì góc giữa DI và AC’ bằng 600 .
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy
nhỏ nhất .
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  a , SA  a 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA, SB , CD . Chứng minh rằng đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP . Tính khoảng cáh từ P đến

 SAB 

(CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) .

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng tại B , AB  a , AA '  2a , A ' C  3a . Gọi
M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng  IBC  .
(KHỐI D NĂM 2009) .

Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB '  a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng  ABC  bằng 600 ;

  600 . Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên mặt phẳng  ABC  trùng
ABC là tam giác vng tại C và BAC
với trọng tâm của tam giác ABC . Tính khoảng cách ttừ A ' đến mặt phẳng  ABC  và diện tích của tam giác ABC
.
(KHỐI B NĂM 2009).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D , AB  AD  2a , CD  a , ; góc giữa hai
mặt phẳng  SBC  và

 ABCD  bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh
 SCI  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , tính khoảng cách từ S

AD . Biết hai mặt phẳng  SBI  và
đến mặt phẳng  ABCD  và diện tích

của hình thang ABCD .
(KHỐI A NĂM 2009).
Cho hiǹ h chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc của đỉnh S trên

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh
4
M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC  theo a.
mă ̣t phẳ ng (ABCD) là điểm H th ̣c đoa ̣n AC, AH 

(KHỐI D NĂM 2010) .
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB  a , góc giữa hai mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  bằng 600.
Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A ' B ' C '  . Tìm điểm M
cách đều bốn điểm G , A , B , C tính khoảng cách từ M đến các điểm đó theo a .

(KHỐI B NĂM 2010) .
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vng góc với mặt phẳng  ABCD  và SH  a 3 .

Tính diện tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .
(KHỐI A NĂM 2010) .
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng , AB  BC  a , AA '  a 2 . Gọi M là
trung điểm của đoạn thẳng BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B ' C .
(KHỐI D NĂM 2008) .
Trong mặt phẳng  P  cho nửa đường tròn đường kính AB  2 R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho





SAB ,  SBC   60 0 . Gọi H , K
AC  R . Trên đường thẳng vng góc với  P  tại A lấy điểm S sao cho 

lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC .Chứng minh tam giác AHK vng và tính diện ABC và khoảng
cách từ S đến

 P .

WWW.DAYHOCTOAN.VN

(KHỐI A NĂM 2007) .

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

WWW.DAYHOCTOAN.VN

fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn



WWW.DAYHOCTOAN.VN

Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn