Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

ĐINH XUÂN KHÁNH

ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

ĐINH XUÂN KHÁNH

ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Ngành: Toán học
Mã số: 9460101

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY
TS. PHAN XUÂN THÀNH

Hà Nội - 2018


MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

MỞ ĐẦU

Chương 1. KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHÓM VÀ HỌ TIẾN HÓA
1.1

1.2

1.3

11

Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . 11

1.1.2

Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ . . . . 16
1.2.1

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2

Tính ổn định và nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . 18

Họ tiến hoá, nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2. TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC
VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH FISHER-KOLMOGOROV

24

2.1

Nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian E-lớp . . 25

2.2

Sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định
trong không gian E-lớp và tính hút . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3

Ứng dụng trong mô hình Fisher-Kolmogorov . . . . . . . . . . 38

Chương 3. ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC KHÔNG ỔN ĐỊNH
THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN

45

TÍNH CÓ TRỄ

i


3.1

Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong
không gian E-lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2

Đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định và tính hút . . 54

3.3

Ứng dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov . . . . . . . . . . . 65

Chương 4. ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ỔN ĐỊNH ĐỊA
PHƯƠNG THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA

71

TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ

4.1

Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa có trễ . . . . . . 72

4.2

Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa phương thuộc
E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ . . . . . 80

4.3

Ứng dụng vào mô hình Hutchinson . . . . . . . . . . . . . . . 84

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN .

96

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới
sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy, TS. Phan Xuân Thành.
Tất cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và
chưa được tác giả khác công bố.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2018
T/M tập thể hướng dẫn

Tác giả

TS. Phan Xuân Thành

Đinh Xuân Khánh

1


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH.

Nguyễn Thiệu Huy, TS. Phan Xuân Thành, người thầy vô cùng mẫu mực đã
tận tình giúp đỡ tôi trên con đường nghiên cứu khoa học. Thầy đã chỉ bảo
tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học
đầy thú vị, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng
tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ người thầy đáng kính của
mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã
nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn
Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin được
chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu,
Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học
tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và toàn
thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường
toán học mình đã chọn.
Tác giả

2


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

: tập các số tự nhiên.

R

: tập các số thực.

R+

: tập các số thực không âm.

R−

: tập các số thực không dương.

C

: tập các số phức.
1/p

Lp (R)

:=

u:R→R u

p

p

|u(x)| dx

=

< +∞ , 1 ≤ p < ∞.

R

L∞ (R)

:= u : R → R u

∞

= ess sup |u(x)| < +∞ .
x∈R

L1,loc (R)

:= u : R → R u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R ,
trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.

C

:= C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= sup

u(t) .

t∈[−r,0]

L(X), L(C, X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.



t+1


M
:= f ∈ L1, loc (R+ ) sup |f (τ )|dτ < ∞ ,


t≥0
t

t+1

với chuẩn f

M

|f (τ )|dτ.

:= sup
t≥0
t

EI

: không gian hàm Banach chấp nhận được trên I.

X, Y

: không gian Banach.

3


Cb (R+ , X)

:= v : R+ → X | v liên tục và sup v(t) < ∞ ,
t∈R+

với chuẩn v
Cb (R, X)

Cb (R+ ,X)

:= sup v(t) .
t∈R+

:= v : R → X | v liên tục và sup v(t) < ∞
t∈R

với chuẩn v

Cb (R,X)

:= sup v(t) .
t∈R

Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục và sup
t∈[−r,∞)

với chuẩn v

Cb

:= sup
t∈[−r,∞)

4

v(t) .

v(t) < ∞, r > 0


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Các phương trình vi phân tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống tự nhiên, kỹ
thuật đa dạng, như là hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần
thể,... Bằng cách chọn không gian và toán tử thích hợp, các phương trình đó
có thể viết dưới dạng phương trình vi phân trừu tượng với các toán tử tác
động trong không gian Banach.
Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng
quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triển
gần đây của toán học để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của
nghiệm phương trình đó.
Luận án này nhằm nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại các đa tạp bất biến
thuộc lớp chấp nhận được, từ đó có thể tìm hiểu những tính chất tiệm cận
(ổn định, không ổn định,..) nghiệm của các phương trình tiến hóa mô tả các

hệ thống kể trên khi thời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán học
hiện đại như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm
liên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa
tạp bất biến, vv...
Bài toán về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được là vấn đề nhận
được sự quan tâm lớn của nhiều tác giả. Để nghiên cứu sự tồn tại của đa
tạp, người ta thường quan tâm đến đặc trưng nhị phân mũ của phần tuyến
tính trong các không gian hàm. Tính nhị phân mũ của phần tuyến tính trong
các phương trình tiến hóa được trình bày trong các tài liệu ([4, 20, 33, 34]).
Và điều kiện quan trọng của phần phi tuyến cho sự tồn tại của đa tạp là
tính liên tục Lipschitz đều với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Ta có thể tìm hiểu
sâu vấn đề này trong các tài liệu tham khảo ([2, 6, 10, 18, 29]). Tuy nhiên,
5


trong các mô hình thực tế phần phi tuyến có hệ số Lipschitz có thể phụ
thuộc vào thời gian và không đủ nhỏ. Gần đây, bằng cách sử dụng phương
pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm chấp nhận được người ta đã đưa
ra được điều kiện tổng quát hơn cho phần phi tuyến đối với sự tồn tại đa
tạp tích phân (xem [23, 22, 21]), đó là điều kiện liên tục Lipschitz không đều
(tính ϕ-Lipschitz) với ϕ là hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận
được. Sự tồn tại của các đa tạp bất biến kiểu mới này đã được chứng minh
trong các kết quả của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy.
Luận án "Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình
vi phân" nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được ổn
định hoặc không ổn định thuộc không gian E-lớp, chứng minh tính hút của
đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định. Từ đó, áp dụng các kết quả
thu được cho một số mô hình thực tế.
Cụ thể như sau: Chúng tôi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính có dạng

d
u(t) = A(t)u(t) + f (t, u),
dt

t ∈ R,

(1)

và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ liên tục
d
u(t) = A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ R hoặc t ∈ R+ ,

(2)

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trong không
gian Banach X và sinh ra họ tiến hóa U (t, s), phần phi tuyến f là toán tử
ϕ-Lipschitz; ut là hàm lịch sử ut (s) = u(t + s).
Một số kết quả ban đầu về không gian hàm chấp nhận được, nhị phân
mũ và đa tạp bất biến chấp nhận được đã được Nguyễn Thiệu Huy và một
số tác giả khác nghiên cứu. Luận án này nhằm phát triển và bổ sung các kết
quả về sự tồn tại các đa tạp bất biến chấp nhận được đối với các phương
trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn nữa và ứng dụng vào các
mô hình hệ thống cụ thể.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
6

• Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Việc xét tính chất nghiệm của các phương trình (1), (2) mang đến
những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi vật
chất theo thời gian xảy ra trong thực tế và trong các vấn đề của kỹ
thuật và công nghệ. Từ đó có thể đưa ra những nhận định và ước lượng
về quy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông qua
những dữ liệu ban đầu và phổ của hệ thống vốn có thể tính được trong
hiện tại và quá khứ.
Nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp bất biến ổn định hoặc không
ổn định đưa ra cấu trúc hình học của nghiệm đối với phương trình vi
phân nửa tuyến tính, mặt khác nó giúp làm đơn giản hóa khi nghiên
cứu tính chất nghiệm trên các đa tạp thay cho việc nghiên cứu nghiệm
bất kỳ của phương trình.
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng;
Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định của
các phương trình (1), (2) và tính hút của các đa tạp không ổn định.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong Luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
• Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm giải tích (Analytic Semigroup) và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn
nghiệm các phương trình kể trên.
• Sử dụng lý thuyết đặt chỉnh của các bài toán không ô-tô-nôm tuyến
tính.
• Lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết nhiễu tuyến
tính và phi tuyến của hệ động lực vô hạn chiều. Lý thuyết các đa tạp
bất biến thông thường và đa tạp chấp nhận được.
7


4. Ý nghĩa các kết quả của luận án

Luận án nhằm phát triển và bổ sung lý thuyết về sự ổn định, không
ổn định, nhị phân mũ và một số tính chất định tính khác của nghiệm các
phương trình tiến hóa dạng parabolic nửa tuyến tính vốn là mô hình của các
quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và công nghệ. Bổ sung lý thuyết về đa tạp
bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định thuộc không gian hàm
Banach chấp nhận được E-lớp, từ đó đơn giản hóa việc đánh giá quy mô và
tích chất trong tương lai của các hệ thống thông qua các điều kiện ban đầu
đã biết ở hiện tại và quá khứ.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở sử dụng trong các chương
tiếp theo. Trước tiên là khái niệm về không gian hàm Banach chấp
nhận được trên nửa đường thẳng R+ (hoặc toàn bộ đường thẳng R)
(xem [20]). Tiếp theo là khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số
tính chất của nó. Sau đó là khái niệm về họ tiến hóa, nhị phân mũ của
họ tiến hoá (xem [20, 21, 22]).
• Chương 2: Nhằm nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận
được không ổn định thuộc E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến
tính có dạng

 du = A(t)u(t) + f (t, u) với t ∈ R
dt
u(0) = u ∈ X,
0

(3)

trong đó, toán tử tuyến tính A(t) có thể không bị chặn sinh ra họ tiến
hóa (U (t, s))t≥s trên không gian Banach X, toán tử phi tuyến f lấy giá

trị trong không gian Banach và thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz. Sau
khi đưa ra điều kiện tồn tại đa tạp bất biến không ổn định của phương
8


Luận án đủ ở file: Luận án full