Đáp án đề thi vào 10 chuyên toán tỉnh bến tre 2018 2019

SỞ GIÁO DUC VÀ ĐÀO TẠO
BẾN TRE
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HOC PHỔ THÔNG CHUYÊN BẾN TRE
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 150 phút ( không kể giao đề )

Câu 1: ( 2 điểm )
Cho biểu thức P =

a b + a −b a − b
với a, b là hai số thực dương.
1 + ab

a) Rút gọn biểu thức P :

1
.
( a + b )(a + b)

b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 2019 + 2 2018 và b = 2020 + 2 2019 .
Câu 2: ( 1,5 điểm )
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng p 2 − 1 chia hết cho 24.
b) Cho phương trình x 2 − 2mx − m − 4 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m đề phương trình đã cho có
1
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa 2
đạt giá trị lớn nhất.
x1 + x2 2

Câu 3: ( 1,5 điểm )
a) Giải phương trình: x 3 + 1 = x 2 − 3x − 1 .
 x2 + 4 y 2 = 2
b) Giải hệ phương trình: 
.
( x − 2 y )(1 − 2 xy ) = 4
Câu 4: ( 2 điểm )
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 3 − xy + 2 = x + y .
b) Cho hai số thực a, b thỏa a + b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =

4 1
+ .
a b

Câu 5: ( 3 điểm )
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy
điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO
cắt đường thẳng d tại điểm D.
a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp.
NE. AD
= 2R .
b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và
ND
c) Chứng minh rằng CA.CN = CO.CD
d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất.


Câu 1: ( 2 điểm )
a b + a −b a − b
với a, b là hai số thực dương.

1 + ab
1
a) Rút gọn biểu thức P :
.
( a + b )(a + b)
b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 2019 + 2 2018 và b = 2020 + 2 2019 .
Bài giải
ab ( a − b ) + ( a − b ) ( a − b )(1 + ab )
=
= a− b
a) P =
1 + ab
1 + ab
1
⇒ P:
= P.( a + b )(a + b) = ( a − b )( a + b )(a + b) = (a − b)(a + b) = a 2 − b 2
( a + b )(a + b)

Cho biểu thức P =

b) P = a − b = 2019 + 2 2018 − 2020 + 2 2019 = ( 2018 + 1) 2 − ( 2019 + 1) 2 = 2018 − 2019
Câu 2: ( 1,5 điểm )
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng p 2 − 1 chia hết cho 24.
b) Cho phương trình x 2 − 2mx − m − 4 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m đề phương trình đã cho có
1
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa 2
đạt giá trị lớn nhất.
x1 + x2 2
Bài giải
p

a) Ta có nhận xét sau: Nếu
là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p 2 ≡ 1(mod 24) (1).
Lại có: −1 ≡ 23(mod 24) (2).
(1) + (2) ⇒ p 2 − 1 ≡ 24(mod 24) ≡ 0(mod 24) .
Vậy p 2 − 1 chia hết cho 24 với p là số nguyên tố lớn hơn 3.
b) Điều kiện : ∆ ' > 0
⇔ m2 + m + 4 > 0
1
15
⇔ (m + ) 2 + > 0 ( với mọi m ).
2
4
Theo Vi-ét ta được: x1 + x2 = 2m ; x1 x2 = −m − 4
1
1
1
1
1
4
=
=
=
≤
=
2
2
2
2
Ta có : x1 + x2
( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 4m + 2m + 8 2( 2m + 1 ) 2 + 31 31 31

4
4
2 2
1
4
−1
⇔ m=
Vậy Max 2
.
2 =
x1 + x2
31
4
Câu 3: ( 1,5 điểm )
a) Giải phương trình: x 3 + 1 = x 2 − 3x − 1 .
 x2 + 4 y 2 = 2
b) Giải hệ phương trình: 
.
( x − 2 y )(1 − 2 xy ) = 4
Bài giải
 x 3 + 1 ≥ 0
 x ≥ −1
⇔ 2
a) Điều kiện :  2
.
 x − 3x − 1 ≥ 0
 x − 3x − 1 ≥ 0


x 3 + 1 = x 2 − 3x − 1

⇔ ( x + 1)( x 2 − x + 1) = x 2 − 3 x − 1
Đặt a = ( x + 1); b = ( x 2 − x + 1) ; ( a ≥ 0, b > 0 )
Phương trình tương đương :

5 + 37
x=

a + b = 0
2
(TM)
⇒ 2a = b ⇔ 2 ( x + 1) = ( x 2 − x + 1) ⇔ x 2 − 5 x − 3 = 0 ⇒ 
⇔ 2a 2 + ab − b 2 = 0 ⇒ 
2
a
=
b

5 − 37

⇔ (a + b)(2a − b) = 0
x =

2
5 + 37
5 − 37
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x =
hoặc x =
.
2
2

 x2 + 4 y2 = 2
 x 2 − 4 xy + 4 y 2 = 2(1 − 2 xy )
( x − 2 y ) 2 = 2(1 − 2 xy )
⇔
⇔
b) 
( x − 2 y )(1 − 2 xy ) = 4
( x − 2 y )(1 − 2 xy ) = 4
( x − 2 y )(1 − 2 xy ) = 4
Đặt a = x − 2 y; b = 1 − 2 xy . Hệ phương trình tương đương
x = 1
 a 2 = 2b
a = 2
x − 2 y = 2

⇔
⇔
⇒

−1 .
b
=
2
1
−
2
xy
=
2
y

=
ab
=
4




2
−1
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; ) .
2
Câu 4: ( 2 điểm )
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 3 − xy + 2 = x + y .
4 1
b) Cho hai số thực a, b thỏa a + b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = + .
a b
Bài giải
2
a) Biến đổi phương trình thành : ( x + 1)( x − x − y ) = −2
b 2 − 2a 2 = ab

  x + 1 = −2
  x = −3
 2

  x − x − y = 1   y = 11
 x + 1 = 2
 x = 1



  x 2 − x − y = −1   y = 1
⇒

 x + 1 = 1
 x = 0
 2
 y = 2
  x − x − y = −2  
  x + 1 = −1
  x = −2
 2

  x − x − y = 2   y = 4
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên ( x; y ) = (−3;11);(1;1);(0; 2);( −2; 4) .
4 1 4a + 4b a + b
4b a
4b a
+ =
+
= 5+
+ ≥ 5+ 2
. = 5+ 4 = 9.
a b
a
b
a b
a b
2
1

Vậy Min T = 9 ⇔ a = ; b = .
3
3

b) T =


Câu 5: ( 3 điểm )
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy
điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO
cắt đường thẳng d tại điểm D.
a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp.
NE. AD
= 2R .
b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và
ND
c) Chứng minh rằng CA.CN = CO.CD
d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
a) Bạn đọc tự chứng minh
b) O là trực tâm của ∆AND nên ba điểm N,O,E thẳng hàng.
NB. AB NB.2 R
=
= R.NB
Ta có: S ANB =
2
2
BD. AB BD.2 R
S ABD =
=

= R.BD
2
2
⇒ S AND = S ANB + S ABD = R (NB+ BD) = R.ND
NE. AD
⇒
= R.ND
2
NE. AD
⇒
= 2R
ND
c) Chứng minh ∆CAO : ∆CDN ⇒ CA.CN = CO.CD
d) Ta có ∆ABN vuông tại B có MB là đường cao nên theo hệ
thức lượng, ta được:
AM . AN = AB 2 = (2 R ) 2 = 4 R 2
Theo BDT Cô- Si, ta có:
2 AM + AN ≥ 2 2 AM . AN = 2 8 R 2 = 4 2 R (không đổi).
AN
⇔ M là điểm chính giữa cung »AB .
Vậy Min 2AM + AN = 4 2R ⇔ AM =
2

Chú ý : Đây là lời giải của cá nhân, nếu có gì sai sót mong các bạn thông cảm.
Trần Nguyễn Đắc Lãm, lớp 9 / 2 .
THCS Tân Lợi Thạnh, Giồng Trôm, Bến Tre.