GIẢI CHI TIẾT tích phân

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

VIP

CHỦ ĐỀ 15. TÍCH PHÂN
Câu 1.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
b

A.

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
a

a

b

b

a

a

∫
a

a

C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .
Câu 2.

b

B.

D.

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b

b

b

a

a

∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx .

Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định

nào luôn đúng?
a

a

A.

∫

f ( x)dx = 0 .

B.

a

∫

a

f ( x)dx = 1 .

C.

a

∫

a

f ( x)dx = −1 .

a

D.

∫ f ( x)dx = f (a) .
a

1

Câu 3.

Tích phân

∫ dx có giá trị bằng
0

A. −1 .
Câu 4.

B. 1 .

Cho số thực a thỏa mãn

a

∫e

x +1

C. 0 .

D. 2 .

dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng

−1

B. −1 .

A. 1 .

C. 0 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải
a

Ta có

x +1
dx e x +1=
e a +1 − e . Vậy yêu cầu bài toán tương đương
−1
∫e =
a

−1

e a +1 − 1 = e 2 − 1 ⇔ a = 1 .

Câu 5.

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) = cos 3 x .

B. f ( x) = sin 3 x .

x π
C. =
f ( x) cos  +  .
4 2

x π
D. =
f ( x) sin  +  .
4 2

Hướng dẫn giải
Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án:
π

•

π

•

π

1
=
3 xdx =
sin 3 x
0,
∫0 cos
3
0
π

1
− cos 3 x =
2,
∫0 sin 3xdx =
3
0

π

•

π

x π
x π
∫0 cos  4 + 2  dx = 4sin  4 + 2  0 = 2 ( 2 − 2 ) ,

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

π

π

x π
x π
−4 cos  +  =
2 2.
∫0 sin  4 + 2  dx =
4 2 0

•

Vậy chọn f ( x) = cos 3 x .
Câu 6.

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
e2

A.

π

1

∫ ln xdx .

B. ∫ 2dx .
0

1

2

C. ∫ sin xdx .

D.

0

∫ xdx .
0

Hướng dẫn giải
Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp án từ A đến D, mà
nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC. Ví dụ
1

•

dx
∫ 2=

2=
x0 2,
1

0

2

2

•
•

x2
xdx
=
= 2
∫0
2 0
π

− cos x
∫ sin xdx =

π
0

2,
=

0

nên nhận

e2

∫ ln xdx .
1

Câu 7.

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn

1

∫

2

f ( x)dx =

−1

A. f ( x) = e x .

B. f ( x) = cos x .

∫ f ( x)dx ?

−2

C. f ( x) = sin x .

D. f ( x)= x + 1 .

Hướng dẫn giải
Cách 1: Phương pháp tự luận
Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được:
1

•

2

− cos x −1 =
0=
∫ sin xdx =
∫ sin xdx  nhận,
1

−1

−2

1

•

=
=

xdx sin
x −1 2sin1 , và
∫ cos
1

−1
1

•

x
x
−1
∫ e dx= e −1= e − e , và
1

−1

•

=
xdx
∫ cos

=
x −2 2sin 2  loại,
sin
2

−2

2

∫ e dx=
x

2

e x −=
e 2 − e −2  loại,
2

−2

1

( x + 1) 2
(
1)
x
+
=
dx
= 2 , và
∫
2 −1
−1
1

2

2

( x + 1) 2
+
=
= 4  loại.
(
x
1)
dx
∫
2 −2
−2
2

Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x .
Cách 2: Phương pháp tự luận
Ta đã biết nếu f là hàm số lẻ và liên tục trên  thì

a

∫

f ( x)dx = 0 với mọi số thực a . Trong

−a

các lựa chọn ở đây, chỉ có hàm số y  f ( x)  sin x là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán.
Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm

2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Phép tính
1

2

−1

−2

1

2

−1

−2

Kết quả

∫ sin xdx − ∫ sin xdx

0

∫ cos xdx − ∫ cos xdx
1

2

−1

−2

≠0

x
x
∫ e dx − ∫ e dx
1

2

−1

−2

≠0

∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx

≠0

Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x .
5

Câu 8.

dx
có giá trị bằng
x
2

Tích phân I = ∫
A. 3ln 3 .

B.

1
ln 3 .
3

C. ln

5
.
2

D. ln

2
.

5

Hướng dẫn giải
Cách 1: Phương pháp tự luận
5

5
dx
5
= ln x 2 = ln 5 − ln 2 = ln .
x
2
2

I =∫

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
0,91629...

Bước 2: Lấy e0,91629... cho kết quả

5
5
 chọn ln .
2
2

Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)

Phép tính

Kết quả

5

0

5

 chọn ln

Kết quả

dx
− 3ln 3
x
2

≠0

5

dx
5
∫2 x − ln 2
dx 1
∫2 x − 3 ln 3

Phép tính

∫
5

≠0

dx
2
− ln
x
5
2

∫

≠0

5
.
2

π
2

Câu 9.

Tích phân I = ∫
π

dx

có giá trị bằng
sin x

3

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

3


Tán đổ Toán Plus

1 1
ln .
2 3
Hướng dẫn giải

A.

B. 2 ln 3 .

Giải chi tiết chủ đề 15

1
ln 3 .
2

C.

1

D. 2 ln .
3

Cách 1: Phương pháp tự luận
π
x
 2x
cos + sin 2 

dx
x
x
1 2


2
2
=
=
I ∫= ∫
dx
cot + tan  dx

∫
x
x
2π
2
2
π sin x

π
2sin cos
3
3
3
2
2
π

π

2

2

π


x
x2
= ln sin − ln cos 
2
2π

3


2
2  1
3

= ln
− ln
 − ln − ln

 2
2   2
2 
= ln 3.
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
0,549306...

Bước 2: Lấy e0,549306... cho kết quả 1, 732050808... ≈ 3
 chọn

1
ln 3 .
2

Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Phép tính

Kết quả

π

π

2

2

dx 1
∫π sin x − 2 ln 3

0

3

π

π

2

2

≠0

3

dx

1

≠0

1

≠0

− 2 ln
∫
3
π sin x

3

dx
∫π sin x − 2 ln 3

Kết quả

Phép tính

dx

1

− ln
∫
2 3
π sin x
3

1
ln 3 .
2
Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn.

 chọn

Câu 10. Nếu

0

∫ (4 − e

− x /2

) dx =
K − 2e thì giá trị của K là

−2

A. 12,5 .

B. 9 .

C. 11.

D. 10 .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
0

K =∫ ( 4 − e − x /2 ) dx + 2e =( 4 x + 2e − x /2 ) −2 + 2e =2 − ( −8 + 2e ) + 2e =10 .
0

−2

Phương pháp trắc nghiệm
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

0

Dùng máy tính tính

∫ (4 − e

− x /2

Giải chi tiết chủ đề 15

) dx + 2e như hình

−2

bên, thu được giá trị K = 10 .
1

Câu 11. Tích phân I = ∫
0

1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2

2 ln 2
.
3
Hướng dẫn giải

B. −

A.

2 ln 2
.
3

C. −2 ln 2 .

D. 2 ln 2 .

Phương pháp tự luận
1
1
1  1
1 
1
2 ln 2

[
]
.
=
−
=
−
−
+
= −
dx
dx
x
x
ln
2
ln
1
0
∫0 ( x − 2)( x + 1) 3 ∫0  x − 2 x + 1 3
3

1

1

1
dx
∫0 x 2 − x − 2=

1

Học sinh có thể áp dụng công thức

x−a
1
+ C để giảm một bước
ln
a −b x −b

1

dx
∫ ( x −=
a )( x − b)

tính:
1

1
I= ∫ 2
dx =
2
x
x
−
−
0

1

1 x−2
∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ln x + 1
1

1

= −
0

2 ln 2
.
3

Phương pháp trắc nghiệm
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
−0.4620981...

Bước 2: Loại đáp án dương

2 ln 2
và loại đáp án nhiễu
3

“Không xác định”.
Bước 3: Chia giá trị −0.4620981... cho ln 2 , nhận được
−

2
3

 chọn −

2 ln 2
.
3

Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
của

5

5

1

1

∫ f ( x)dx = 2 và ∫ g ( x)dx =

−4 . Giá trị

5

∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là
1

A. −6 .

B. 6 .

D. −2 .

C. 2 .

Hướng dẫn giải
5

5

1

1

5

∫ [ g ( x) − f ( x)] dx =∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx =−4 − 2 =−6 .
Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu

1

3

∫ f ( x)dx = 2
0

3

thì tích phân

∫ [ x − 2 f ( x)] dx có

0

giá trị bằng

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

5


Tán đổ Toán Plus
A. 7 .

B.

5
.
2

Giải chi tiết chủ đề 15

C. 5 .

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
3

3

3

0

0

0

9
1
− 2× 2 = .
2
2

∫ [ x − 2 f ( x)] dx = ∫ xdx − 2∫ f ( x)dx =
Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu

5

∫

5

3

f ( x)dx = 2 và

1

∫

f ( x)dx = 7 thì

∫ f ( x)dx

có

3

1

giá trị bằng
B. −5 .

A. 5 .

D. −9 .

C. 9 .

Hướng dẫn giải
5

1

5

3

5

3

3

1

1

1

− ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
−7 + 2 =
−5 .
∫ f ( x)dx =
∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =

Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
3

−2

A. ∫ e dx = ( e x ) 1 .
3

x

C.

−2
−3

.

−3

1

2π

1

∫ x dx = ( ln x )

B.
2π

∫ cos xdx = ( sin x ) π

2

 x2

D. ∫ ( x + 1) dx = + x  .
 2
1
1

2

.

π

Hướng dẫn giải
−2

−2
1
Phép tính ∫ dx = ( ln x ) −3 là sai. Phép tính đúng là
x
−3

−2

−2
1
)
(
.
=
dx
ln
x
−3
∫x
−3

Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
b

A.

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a

B. F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) .
b

C.

∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .
a

D. Hàm số G cho bởi G=
( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn

b

∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) .
a

Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
b

A.

∫
a

C.

b

b

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
c

c

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

B.

∫
a

D.

c

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
a

c

b

c

c

a

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

b

A. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) .

Giải chi tiết chủ đề 15

a

b

∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) .

B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

a

C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
a

D. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) .
a

Hướng dẫn giải
Mệnh đề “Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) ” sai, mệnh đề đúng phải là
a

b

“Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) ”.
a

Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Xét các
khẳng định sau:
I.

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
b

II.

b

∫ [ f ( x) − g ( x)] dx =

∫

a

III.

a

b

f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
a

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx .
b

b

IV.

∫
a

f ( x)
dx =
g ( x)

∫ f ( x)dx

a
b

.

∫ g ( x)dx
a

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Hướng dẫn giải
b

Các công thức

b

∫
a

f ( x)
dx =
g ( x)

∫ f ( x)dx
a
b

và

∫ g ( x)dx

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx

là sai.

a

3

Câu 20. Tích phân

∫ x( x − 1)dx

có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới

0

đây?
2

A. ∫ ( x 2 + x − 3) dx .
0

3π

B. 3 ∫ sin xdx .
0

π

ln 10

C.

∫
0

e 2 x dx .

D. ∫ cos(3 x + π )dx .

0

Hướng dẫn giải
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

Phương pháp tự luận
Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (chỉ tính đến khi nhận được kết quả
đúng thì dừng lại):
ln 10

e2 x
e 2ln 10 − 1 9
,
e
dx
=
=
=
∫0
2 0
2
2

ln 10

•
•

2x

3π

3π

3 ∫ sin xdx =
−3cos x 0 =
6,
0

2

 x3 x 2

8
4
(
)
x
+
x
−
3
dx

=
+
−
3
x
= + 2 − 6 =− ,


∫0
3
 3 2
0 3
2

•

2

π

•

1
1
π
( sin 4π −
sin(3=
sin π ) 0 .
x +π) 0
=

3
3

+ π )dx
∫ cos(3x=
0

Vậy chọn

ln 10

∫

e 2 x dx .

0

Phương pháp trắc nghiệm
Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả:
Kết quả

Phép tính
3

∫ x( x − 1)dx −

ln 10

∫

0

3

e 2 x dx

0

0

3π

∫ x( x − 1)dx − ∫ sin xdx
0

0

3

2

∫ x( x − 1)dx − ∫ ( x

Vậy chọn

−

3
2

+ x − 3) dx

35
6

∫ x( x − 1)dx − ∫ cos(3x + π )dx

9
2

0

0

3

π

0

0

2

ln 10

∫

e 2 x dx .

0

Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho

b

∫ f ( x)dx ≥ 0 thì

f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] .

a

3

∫ f ( x)dx = 0 .

B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có

−3

C. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có

b

∫
a

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) .

D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì

b

5

∫ [ f ( x)]

2

1

3
f ( x)]
[
dx =

3

5

.
1

Hướng dẫn giải

8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

b

a

∫

Vì d (− x) =−
( 1)dx nên

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx=

a

∫

b

Giải chi tiết chủ đề 15
a

f ( x)(−1)dx=

b

∫ f ( x)d (− x) .
b

Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1

A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx =
0

B. Nếu

0

∫ f ( x)dx .

−1

1

∫

−1

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .
0

1

∫ f ( x)dx = 0 thì

C. Nếu

0

f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] .

−1
1

∫ f ( x)dx = 0 thì

D. Nếu

f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .

−1

Hướng dẫn giải
Hàm số y = x 3 −

•

0

x
thỏa
2

∫

1

−1

1

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx và

∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó là hàm lẻ trên

−1

0

[−1;1] .
1

•

1
Hàm số =
y x − thỏa ∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó làm hàm chẵn trên [−1;1] .
3
−1

•

Còn khi f là hàm chẵn trên  thì f ( x=
) f (− x) với mọi x ∈  . Đặt t =− x ⇒ dt =−dx

2

và suy ra
1

∫
0

1

1

1

0

0

0

−1

0

0

−1

f ( x)dx =

d (− x) − ∫ f (− x)d (− x) =
− ∫ f ( x)(=
−1)dx − ∫ f ( x)=
− ∫ f (t )dt =
∫ f (t )dt.

Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x sin x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
6

2

∫x

6

5

sin 5 xdx có giá trị bằng

1

A. F (2) − F (1) .

B. − F (1) .

D. F (1) − F (2) .

C. F (2) .

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức

b

)dx
∫ f ( x=

F (b) − F (a ) , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn

a

2

[a; b] , ta có

∫x

6

sin 5 xdx = F (2) − F (1) .

1

Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu

b

∫ f ( x)dx = α

thì tích phân

a

b2

∫

f (2 x)dx có giá trị bằng

a 2

A.

α

.
2
Hướng dẫn giải

B. 2α .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C. α .

D. 4α .

9

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

Phương pháp tự luận
Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx và

x

a 2

b 2

t

a

b

α
1
1
Vậy ∫ =
.
(2 x)2dx =
f (2 x)dx
f=
f (t )dt
∫
∫

2a2
2a
2
a 2
b2

b2

b

Phương pháp trắc nghiệm
Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một
hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán.
Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [0;1] . Khi đó
=
α

1

∫

1

xdx
∫=

)dx
f ( x=

0

0

1
,
2

suy ra
1/2

∫

1 α
.
=
4 2

1/2

f (2 x)dx=

0

∫ 2 xdx=
0

Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 3 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó tích phân
2

∫ 81x

3

sin 5 3 xdx có giá trị bằng

1

A. 3 [ F (6) − F (3) ] .

Hướng dẫn giải
Đăt t = 3 x ⇒ dt = 3dx và đổi cận
x

1
3

t
2

Vậy ∫ 81x sin 3=
xdx
3

1

5

C. 3 [ F (2) − F (1) ] .

B. F (6) − F (3) .

2

∫ (3x) (sin
3

D. F (2) − F (1) .

2
6
6

5

3 x)3
dx
=

∫t

3

sin 5=
tdt F (6) − F (3) .

3

1

Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

2

∫ f ( x)dx = 6 . Giá trị của tích phân
0

π 2

∫

f (2sin x) cos xdx là

0

A. −6 .

C. −3 .

B. 6 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải
Đặt=
t 2sin x ⇒ dt
= 2 cos xdx và

π 2

Vậy

∫
0

2

f (2sin x)=
cos xdx

0

π 2

t

0

2

2

f (t )
1
dt
=
f (t )dt 3 .
∫0=
2
2 ∫0
e

Câu 27. Bài toán tính tích phân I = ∫
1

10

x

ln x + 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
x

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

I. Đặt ẩn phụ=
t ln x + 1 , suy ra dt =

ln x + 1 ln x
dx
=
x

e

II. I
=

∫
1

2

∫

Giải chi tiết chủ đề 15

1
dx và
x

x

1

e

t

1

2

t ( t − 1) dt

1

2

 5 2 
III. I =
1+ 3 2 .
 t −  =
∫1 t ( t − 1) dt =
t 1

2

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.

D. Sai ở Bước III.

Hướng dẫn giải
2

∫

Bước III sai. Phép tính đúng là I =

1

π 3

4 ( 2 + 1)
2 5 2 3

.
t ( t − 1) dt= 
t −
t  =
3
15
5
1
2

sin 2 x

∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa

Câu 28. Xét tích phân I =

I về dạng

0

nào sau đây
π 4

A. I = − ∫
0

π 4

2t
dt .

1+ t

B. I =

∫
0

2t
dt .
1+ t

1

1

2t
C. I = − ∫
dt .
1 1+ t

2t
dt .
1 1+ t

D. I = ∫
2

2

Hướng dẫn giải

Ta có t =
cos x ⇒ dt =
− sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 , khi x =
π 3

π 3

π
3

thì t =

12

1
. Vậy
2

1

sin 2 x
2sin x cos x
2t
2t
I=
−∫
dt =
dt .
∫0 1 + cos x dx =
∫0 1 + cos x dx =

∫
1
1
+
t
+
t
12
1
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức
nào luôn đúng?
b

A.

∫

b

f ( x) dx >

a

∫
a

B.

a

b

C.

∫ f ( x)dx .
b

f ( x) dx ≥

∫

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≥ ∫
b

f ( x)dx .

D.

a

∫
a

f ( x) dx .

b

f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx .
a

Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1

1

0

0

A. ∫ sin(1 − x)dx =
∫ sin xdx .
π

1

B. ∫ (1 + x) x dx =
0.
0

π 2

x

C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx .
2
0
0

1

D.

∫x

−1

2017

2
(1 + x)dx = .
2019

Hướng dẫn giải
Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

11


Tán đổ Toán Plus

1

0

1

1

0

Giải chi tiết chủ đề 15

• Đặt t =−
1 x ⇒ dt =−dx ⇒ ∫ sin(1 − x)dx =− ∫ sin tdt =∫ sin tdt
0

π 2

π

x
1
x
• Đặt t = ⇒ dt = dx ⇒ ∫ sin dx = ∫ 2sin tdt
2
2
2
0
0
1

1

•

∫x

2017

−1

 x 2018 x 2019 
 12018 12019   (−1) 2018 (−1) 2019 
2
+
=
+
+
(1 + x)dx= 


−
=
2019  2019
 2018 2019  −1  2018 2019   2018

1

Vậy ∫ (1 + x) x dx =
0 sai.
0

Cách 2: Nhận xét tích phân
Ta thấy (1 + x) x ≥ 1 với mọi x ∈ [0;1] nên

1

1

1

0

0

0

x
1 , vậy “ ∫ (1 + x) x dx =
0 ” là
∫ (1 + x) dx ≥ ∫ 1dx =

khẳng định sai.
Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm
Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả:
Kết quả

Phép tính
1

∫ (1 + x)

x

>0

dx

0

1

1

0

0

∫ sin(1 − x)dx − ∫ sin xdx

0

π 2

π

x
∫0 sin 2 dx − 2 ∫0 sin xdx
1

∫x

2017

(1 + x)dx −

−1

0

2
2019

0

1

suy ra ∫ (1 + x) x dx =
0 là khẳng định sai.
0

Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức
nào luôn đúng?
2

A.

∫

−2

2

C.

∫

−2

2

2

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .

B.

∫ f ( x)dx = 0 .

−2

0

2

0

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .

D.

∫

−2

−2

2

f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx .
0

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây:
•

Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a; a ] thì

a

∫

f ( x)dx = 0 ,

−a

12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP

Tán đổ Toán Plus

Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a ] thì

•

a

∫

−a

Vậy trong bài này ta chọn

Giải chi tiết chủ đề 15

a

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .
0

2

∫ f ( x)dx = 0 .

−2

Phương pháp trắc nghiệm
Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác

định trên [−2; 2] và tính toán. Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [−2; 2] . Khi đó
2

2



∫

f ( x)dx = 0 ,

2

0

−2

−2



∫ f ( x)dx ≠ 2 ∫ f ( x)dx ,

Vậy chọn

∫

−2

−2



2



f ( x)dx ≠ 2 ∫ f ( x)dx ,
0

2

2

−2

0

∫ f ( x)dx ≠ −2∫ f ( x)dx .

2

∫ f ( x)dx = 0 .

−2

1

∫ ( x + 1)

Câu 32. Bài toán tính tích phân=
I

2

dx được một học sinh giải theo ba bước sau:

−2

I. Đặt ẩn phụ =
t ( x + 1) 2 , suy ra =
dt 2( x + 1)dx ,
II. Từ đây suy ra

dt
dt
dx ⇒
dx . Đổi cận
=
=
2( x + 1)
2 t

1

4

−2

1

III. Vậy I =∫ ( x + 1) 2 dx =∫

x

−2

1

t

1

4

4

t

1
7
dt = t 3 = .
3
3
2 t
1

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai từ Bước I.
B. Sai ở Bước III.

C. Sai từ Bước II.

D. Bài giải đúng.

Hướng dẫn giải
Khi đặt =
t ( x + 1) 2 với −2 ≤ x ≤ 1 thì không suy ra

t= x + 1 được, vì x + 1 có thể bị âm khi

−2 ≤ x ≤ −1 .

Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Đề bài

Bài

1

∫e

1

x2

xdx

1

1
∫0 x 2 − x − 2 dx
π

3

∫ sin 2 x cos xdx
0

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1

1 x2 ( 2 ) e x
e −1
e
=
xdx
e d=
x
=
∫0
∫
20
2 0
2
1

0

2

Bài giải của học sinh
1

2

x2

1

1
∫0 x 2 − x − 2 dx=

[ln x 2 − x − 2 ] 0=
1

ln 2 − ln 2= 0

Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi x = π
thì t = −1 . Vậy

13


Tán đổ Toán Plus

π

π

1

−1

2t 3
4
sin
2
x
cos
xdx
=
2
sin
x
cos
xdx
=
−
2
t
dt
==
∫0
∫0
∫1
3 −1 3
2

1 + (4 − 2e) ln x
dx =
∫1
x
e

1 + (4 − 2e) ln x
dx
∫1
x
e

4

Giải chi tiết chủ đề 15
2

e

∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x )
1

e

= x + (4 − 2e) ln 2 x  1 =3 − e

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 5,0 điểm.
B. 2,5 điểm.

C. 7,5 điểm.

D. 10,0 điểm.

Hướng dẫn giải
Bài toán 2 giải sai. Cách giải đúng là
1

1
∫0 x 2 − x − 2 dx =

1
1 x−2
∫0 ( x + 1)( x − 2) dx = 3 ln x + 1
1

1

0

2
= − ln 2
3

Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn. Lời giải đúng là:
e
1 + (4 − 2e) ln x
2
(
)



dx
1
(4
2
e
)
ln
x
d
ln
x
ln
x
(2
e
)
ln
x
=
+
−
=
+
−
=3 − e
[
]



∫1
∫1
1
x
e

e

Kinh nghiệm
Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng.
Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên
hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
b

A.

a

a

a

b

B.

[ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx .

b

[ f ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx .

∫

f=
( x)G ( x)dx

a

b

a

b

b

a

b

D.

b

f ( x)G ( x)dx
∫=
a

C.

b

f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx .
∫=
b

b

f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx .
∫=
b

a

a

a

0

Câu 35. Tích phân I =

∫ xe

−x

dx có giá trị bằng

−2

A. −e 2 + 1 .

B. 3e 2 − 1 .

C. −e 2 − 1 .

D. −2e 2 + 1 .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Sử dụng tích phân từng phần, ta được
0

I=

∫ xe

−x

dx

−2

0
0
0
0
0

0
0


=
− ∫ xd ( e − x ) =
− ( xe − x ) −2 − ∫ e − x dx  =
− ( xe − x ) −2 + ∫ e − x dx =
− ( xe − x ) −2 − ( e − x ) −2 =
−e 2 − 1.


−2
−2
−2

Phương pháp trắc nghiệm

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

0

Dùng máy tính tính

∫ xe

−x

Giải chi tiết chủ đề 15

dx như hình bên, thu được kết quả như

−2

hình bên. Loại được đáp án 3e 2 − 1 . Sau đó thử từng đáp án còn
lại để tìm ra kết quả.
Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong  . Trong các
phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
b

b

a

a

C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .

B.

D.

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx .
b

b

a

a

∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx .

Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
a

A.

a

∫ f ( x)dx = 1.

B.

a

∫ f ( x)dx = 0 .

a

C.

a

∫ f ( x)dx =

a

−1 .

a

D.

∫ f ( x)dx = f (a) .
a

1

Câu 38. Tích phân

∫ dx có giá trị bằng
0

B. −1 .

A. 2 .
Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn

a

∫e

x +1

C. 0 .

D. 1 .

dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng

−1

B. −1 .

A. 0 .

D. 1 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
a

Ta có

∫e

a

dx e x +1=
e a +1 − e . Vậy yêu cầu bài toán tương đương
=
−1

x +1

−1

e a +1 − 1 = e 2 − 1 ⇔ a = 1 .

Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) = cos 3 x .

B. f ( x) = sin 3 x .

x π
f ( x) cos  +  .
C. =
4 2

x π
f ( x) sin  +  .
D. =
4 2

Hướng dẫn giải
Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án:
π

•

3 xdx
=
∫ cos
0

π

•

π

1
sin 3 x
0
=
3
0
π

1
− cos 3 x =
2
∫0 sin 3xdx =
3
0

π

•

π

x π
x π
∫0 cos  4 + 2  dx = 4sin  4 + 2  0 = 2 ( 2 − 2 )

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

15


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

π

π

x π
x π
−4 cos  +  =
2 2.
∫0 sin  4 + 2  dx =
4 2 0

•

Vậy chọn f ( x) = cos 3 x .
Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ?
π

e2

1

B. ∫ 2dx .

A. ∫ sin xdx .

0

0

D.

1

2

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ?

−1

−2

C. f ( x) = e .

B. f ( x) = sin x .

∫ xdx .
0

1

Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn
A. f ( x) = cos x .

2

∫ ln xdx .

B.

x

D. f ( x)= x + 1 .

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được:
1

•

− cos x
∫ sin xdx =

2

=
0=
∫ sin xdx  nhận,

1
−1

−1

−2

1

•

2

=
xdx
∫ cos

=
xdx
∫ cos

sin
=
x
2sin1 , và
1
−1

1

−1
x
x
∫ e dx= e −1= e − e , và

1

−1

2

x
x
2
−2
∫ e dx= e −=2 e − e  loại,
2

−2

2 1

( x + 1)
dx
= 2 , và
∫−1 ( x + 1)=
2 −1
1

•

2

−2

−1

•

=
x −2 2sin 2  loại,
sin

2

( x + 1) 2
(
1)
x
+
=
dx
= 4  loại.
∫−2
2 −2
2

Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x .
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Phép tính
1

2

−1

−2

1

2

−1

−2

∫ sin xdx − ∫ sin xdx

∫ cos xdx − ∫ cos xdx
1

2

−1

−2

x
x
∫ e dx − ∫ e dx
1

2

−1

−2

∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx

Kết quả
0

≠0
≠0
≠0

Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x .
5

dx
có giá trị bằng
x
2

Câu 43. Tích phân I = ∫
A.
16

1
ln 3 .
3

B. ln

5
.
2

C. 3ln 3 .

D. ln

2
.
5

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

Hướng dẫn giải
[Cách 1: Phương pháp tự luận]
5

5
dx
5
= ln x 2 = ln 5 − ln 2 = ln .
x
2

2

I =∫

[Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm]
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
0,91629...
5
5
 chọn ln .
2
2

Bước 2: Lấy e0,91629... cho kết quả

[Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm]
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Kết quả

Phép tính
5

Kết quả

dx
− 3ln 3
x
2

≠0

5

dx
5
∫2 x − ln 2

∫

0

5

5

dx 1
∫2 x − 3 ln 3
 chọn ln

Phép tính

dx
2
− ln
x
5
2

∫

≠0

≠0

5
.
2
π
2

Câu 44. Tích phân I = ∫
π

dx
có giá trị bằng
sin x

3

1
A. 2 ln .
B. 2 ln 3 .
3
Hướng dẫn giải
[Cách 1: Phương pháp tự luận]
π
2

dx
=

I ∫=
π sin x
3

C.

1
ln 3 .
2

D.

1 1
ln .
2 3

π
 2x
2 x
 cos + sin 
2
1
x
x


2
2  dx
=
cot + tan  dx


∫π
∫
x
x
2π
2
2
2sin cos
3
3
2
2
π

2

.

π

2
2  1
3

x
x2 
= ln sin − ln cos  = ln
− ln
 − ln − ln

 = ln 3.
2
2π  2
2   2
2 

3

[Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm]
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
0,549306...
Bước 2: Lấy e0,549306... cho kết quả 1, 732050808... ≈ 3
 chọn

1
ln 3 .
2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

17


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

[Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm]
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Kết quả

Phép tính
π

π

2

2

dx 1
∫π sin x − 2 ln 3

dx

1

≠0

1

≠0

− 2 ln
∫
3
π sin x

0

3

3

π

π

2

2

dx
∫π sin x − 2 ln 3

Kết quả

Phép tính

1

dx

− ln
∫
2 3
π sin x

≠0

3

3

1
ln 3 .
2
Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn.

 chọn

Câu 45. Nếu

0

∫ (4 − e

) dx =
K − 2e thì giá trị của K là

− x /2

−2

A. 9 .

B. 10 .

C. 11 .

D. 12,5 .

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
0

K =∫ ( 4 − e − x /2 ) dx + 2e =( 4 x + 2e − x /2 ) −2 + 2e =2 − ( −8 + 2e ) + 2e =10 .
0

−2

[Phương pháp trắc nghiệm]
0

Dùng máy tính tính

∫ (4 − e

− x /2

) dx + 2e như hình bên,

−2

thu được giá trị K = 10 .
1

Câu 46. Tích phân I = ∫
0

1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2

A. −2 ln 2 .

B.

2 ln 2
.
3

C. −

2 ln 2
.
3

D. Không xác định.

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
1

1
dx
∫0 x 2 − x − 2=

18

1
1
1  1
1 
1
2 ln 2
[
]
.
dx
−
=
dx
ln
x
−
2
−
ln
x
+
1
=
−
0
∫0 ( x − 2)( x + 1)=
∫
3 0  x − 2 x + 1 
3

3
1

1

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Học sinh có thể áp dụng công thức
1

1
tính: I = ∫ 2
dx =
x
−
x
−
2
0

Giải chi tiết chủ đề 15

x−a
1
+ C để giảm một bước
ln
a −b x −b

1

dx
∫ ( x −=
a )( x − b)

1
1 x−2
∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ln x + 1
1

1

= −
0

2 ln 2
3

[Phương pháp trắc nghiệm]
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
−0.4620981...

Bước 2: Loại đáp án dương

2 ln 2
và loại đáp án nhiễu
3

“Không xác định”.
Bước 3: Chia giá trị −0.4620981... cho ln 2 , nhận được
−

2
3

 chọn −

2 ln 2
.
3

Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
của

5

5

1

1

∫ f ( x)dx = 2 và ∫ g ( x)dx =

−4 . Giá trị

5

∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là
1

A. −2 .

B. 6 .

D. −6 .

C. 2 .

Hướng dẫn giải
5

5

1

1

5

∫ [ g ( x) − f ( x)] dx =∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx =−4 − 2 =−6 .
1

3

∫ f ( x)dx = 2

Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu

3

thì tích phân

∫ [ x − 2 f ( x)] dx có
0

0

giá trị bằng
A. 7 .

B.

5
.
2

C. 5 .

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
3

3

3

0

0

0

9
1
− 2× 2 = .
2
2

∫ [ x − 2 f ( x)] dx = ∫ xdx − 2∫ f ( x)dx =
Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu

5

∫

3

f ( x)dx = 2 và

1

∫

5

f ( x)dx = 7 thì

1

∫ f ( x)dx

có

3

giá trị bằng
A. −9 .

B. 5 .

D. −5 .

C. 9 .

Hướng dẫn giải
5

∫
3

1

5

3

5

3

1

1

1

f ( x)dx =
− ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
−7 + 2 =
−5 .
∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =

Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

19


Tán đổ Toán Plus

2

 x2

A. ∫ ( x + 1) dx = + x  .
 2
1
1
2

2π

C.

2π

∫π cos xdx = ( sin x ) π

3

Giải chi tiết chủ đề 15

B. ∫ e x dx = ( e x ) 1 .
3

1

−2

.

1

∫ x dx = ( ln x )

D.

−2
−3

.

−3

Hướng dẫn giải
−2

Phép tính

−2
1
∫−3 x dx = ( ln x ) −3 là sai. Phép tính đúng là

−2

1

∫ x dx = ( ln x )

−2
−3

.

−3

Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
A. F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) .
b

B.

∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .
a

b

C.

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a

D. Hàm số G cho bởi G=
( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn

b

∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) .
a

Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát

biểu nào sai?
A.

C.

b

c

b

a

a

c

b

b

a

a

c

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

B.

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

D.

b

c

b

a

a

c

b

c

c

a

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) .
a

B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) .
a

C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
a

b

D. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) .

a

Hướng dẫn giải
Mệnh đề “Nếu f ( x) ≥ M ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≥ M (a − b) ” sai, mệnh đề đúng phải là
a

b

“Nếu f ( x) ≥ M ∀x ∈ [a; b] thì

∫ f ( x)dx ≥ M (b − a) ”.
a

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Một
học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:
b

I.

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
a

a

II.

a

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
b

b

III.

b

∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx .
a

b

b

a

∫

IV.

a

a

f ( x)
dx =
g ( x)

∫ f ( x)dx
a
b

.

∫ g ( x)dx
a

Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai?
A. 3 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

Hướng dẫn giải
b

Các phát biểu

b

∫
a

f ( x)
dx =
g ( x)

∫ f ( x)dx

a
b

b

và

∫ g ( x)dx

b

b

∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx
a

a

là sai.

a

a

3

Câu 55. Tích phân

∫ x( x − 1)dx

có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?

0

π

3π

B. 3 ∫ sin xdx .

A. ∫ cos(3 x + π )dx .

0

0

ln 10

2

C. ∫ ( x 2 + x − 3) dx .
0

D.

∫

e 2 x dx .

0

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (Chỉ tính đến khi nhận được kết quả
đúng thì dừng lại):
ln 10

e2 x
e 2ln 10 − 1 9
=
e
dx
=
=
,
∫0
2 0
2
2

ln 10

•
•

2x

3π

3π

3 ∫ sin xdx =
−3cos x 0 =
6,
0

2

 x3 x 2

8
4
(
)
x
+
x
−
3
dx
=
+
−
3
x

 = + 2 − 6 =− ,
∫0
3
 3 2

0 3
2

•

2

π

•

+ π )dx
∫ cos(3x=
0

Vậy chọn

1
1
π
( sin 4π −
sin(3=
x +π) 0
sin π ) 0 .
=
3
3

ln 10

∫

e 2 x dx .

0

[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả:
Phép tính

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

Kết quả

21


Tán đổ Toán Plus

3

∫ x( x − 1)dx −

Giải chi tiết chủ đề 15

ln 10

∫

0

e 2 x dx

0

0

3π

3

∫ x( x − 1)dx − ∫ sin xdx
0

0

3

2

∫ x( x − 1)dx − ∫ ( x

Vậy chọn

−

3
2

+ x − 3) dx

35
6

∫ x( x − 1)dx − ∫ cos(3x + π )dx

9
2

0

0

3

π

0

0

2

ln 10

∫

e 2 x dx .

0

Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có

3

∫ f ( x)dx = 0 .

−3
b

a

a

b

B. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) .
C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho

b

∫ f ( x)dx ≥ 0 thì

f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] .

a

D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì

5

∫ [ f ( x)]

2

3 5

[ f ( x)]
dx =

1

3

.
1

Hướng dẫn giải
b

Vì d (− x) =−
( 1)dx nên

∫
a

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx=

b

a

∫

a

f ( x)(−1)dx=

b

∫ f ( x)d (− x) .
b

Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1

A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx =
0

B. Nếu

0

∫

−1

C. Nếu

0

∫ f ( x)dx .

−1

1

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .
0

1

∫ f ( x)dx = 0 thì

f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] .

−1

D. Nếu

1

∫ f ( x)dx = 0 thì

f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .

−1

Hướng dẫn giải
•

x
Hàm số y = x − thỏa
2
3

0

1

1

−1

0

−1

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx và ∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó là hàm lẻ trên

[−1;1] .

22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 15

1

1
thỏa ∫ f ( x)dx = 0 , nhưng nó làm hàm chẵn trên [−1;1] .
3
−1

•

Hàm số =
y x2 −

•

Còn khi f là hàm chẵn trên  thì f ( x=
) f (− x) với mọi x ∈  . Đặt t =− x ⇒ dt =−dx
và suy ra
1

∫

1

1

0

0

f ( x)dx =
dx − ∫ f ( x)d (− x)
− ∫ f ( x)(−1)
=

0

1

−1

0

0

0

−1

= − ∫ f (− x)d (− x) =
− ∫ f (t )dt =
∫ f (t )dt.

Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =

sin x
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
x

2

sin x
dx
x
1

∫

có giá trị bằng
A. F (2) − F (1) .

B. − F (1) .

D. F (2) + F (1) .

C. F (2) .

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức

b

)dx
∫ f ( x=

F (b) − F (a ) , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn

a

2

[a; b] , ta có

sin x
dx = F (2) − F (1) .
x
1

∫

Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu

b

∫ f ( x)dx = α

thì tích phân

a

b2

∫

f (2 x)dx có giá trị bằng

a 2

A. α .

B. 2α .

C.

α
2

D. 4α .

.

Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Đăt t = 2 x ⇒ dt = 2dx và

b2

Vậy

f (2 x)dx
∫=

a 2

x

a 2

b 2

t

a

b

1
1
α
.
f=
(2 x)2dx =
f (t )dt
∫
∫
2a2
2a
2
b2

b

[Phương pháp trắc nghiệm]
Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một
hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán.

Ví dụ f ( x) = x với x ∈ [0;1] . Khi đó
=

α

1

∫
0

1/2

suy ra

∫
0

1/2

f (2 x)dx=

∫ 2 xdx=
0

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1

f ( x=
)dx

xdx
∫=

0

1
2

1 α
.
=
4 2

23


Tán đổ Toán Plus

Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =

Giải chi tiết chủ đề 15

sin x
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
x

2

sin 3x
dx
x
1

∫

có giá trị bằng
B. 3 [ F (6) − F (3) ] .

A. F (6) − F (3) .

C. 3 [ F (2) − F (1) ] .

D. F (2) − F (1) .

Hướng dẫn giải
Đăt t = 3 x ⇒ dt = 3dx và

x

1
3

t
2

sin 3 x
Vậy ∫
dx
=
x
1

Câu 61. Giả sử hàm số

2

6

sin 3 x
3dx
∫1 3x =
f

2
6

sin t
dt F (6) − F (3) .
=
t
3

∫

liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

2

∫ f ( x)dx = 6 .

Giá trị của

0

π 2

∫

f (2sin x) cos xdx là

0

A. 3 .

C. −3 .

B. 6 .

D. −6 .

Hướng dẫn giải
Đăt=
t 2sin x ⇒ dt
= 2 cos xdx và

x
t
π 2

Vậy

2

∫

f (t )

dt
∫=
2

f (2sin x)=
cos xdx

0

0
e

Câu 62. Bài toán tính tích phân I = ∫
1

II. I
=

∫
1

ln x + 1 ln x
=
dx
x

2

∫

π 2

0

2

2

1
f (t )dt 3 .
=
2 ∫0

ln x + 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
x

I. Đặt ẩn phụ=
t ln x + 1 , suy ra dt =

e

0

1
dx và

x

x

1

e

t

1

2

t ( t − 1) dt

1

2

 5 2 
III. I =
1+ 3 2 .
 t −  =
∫1 t ( t − 1) dt =
t 1

2

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Bài giải đúng.

B. Sai từ Bước II.

C. Sai từ Bước I.

D. Sai ở Bước III.

Hướng dẫn giải
Bước III sai. Phép tính đúng là I =

2

∫
1

24

4 ( 2 + 1)
2 5 2 3
.
t ( t − 1) dt= 
t −
t  =
3
15
5
1
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

π 3

Giải chi tiết chủ đề 15

sin 2 x

∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa

Câu 63. Xét tích phân I =

I về dạng

0

nào sau đây
π 4

1

2t
A. I = ∫
dt .
1 1+ t

B. I =

∫
0

π 4

1

2t
dt .
1+ t

2t
C. I = − ∫
dt .
1 1+ t

2

D. I = − ∫
0

2t
dt .
1+ t

2

Hướng dẫn giải
Ta có t =

cos x ⇒ dt =
− sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 , khi x =
π 3

π 3

π
3

thì t =

12

1
. Vậy
2

1

sin 2 x
2sin x cos x
2t
2t
I=
−∫
dt =
dt .
∫0 1 + cos x dx =
∫0 1 + cos x dx =
∫

1
+
t
1
+
t
1
12
Câu 64. Cho hàm số y = f ( x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng
thức nào luôn đúng?
A.

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≥ ∫
b

C.

∫

b

f ( x) dx .

B.

∫

a

∫

∫ f ( x)dx .

f ( x) dx ≥

a

b

f ( x) dx >

b

a

b

f ( x)dx .

D.

a

∫
a

b

f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx .
a

Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1

A. ∫ (1 + x) x dx =
0.
0

π 2

π

1

1

0

0

B. ∫ sin(1 − x)dx =
∫ sin xdx .

1

x
C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx .
2
0
0

D.

∫x

2
(1 + x)dx = .
2019

2017

−1

Hướng dẫn giải
[Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân]
1

0

1

0

1

0

• Đặt t =−
1 x ⇒ dt =−dx ⇒ ∫ sin(1 − x)dx =− ∫ sin tdt =∫ sin tdt
π 2

π

x
1
x
• Đặt t = ⇒ dt = dx ⇒ ∫ sin dx = ∫ 2sin tdt
2
2
2
0
0
1

1

•

∫x

−1

2017

 x 2018 x 2019 
 12018 12019   (−1) 2018 (−1) 2019 
2
(1 + x)dx= 
+
+
+
 = 
−
=
2019  2019
 2018 2019  −1  2018 2019   2018

1

Vậy ∫ (1 + x) x dx =
0 sai.
0

[Cách 2: Nhận xét tích phân]
Ta thấy (1 + x) ≥ 1 với mọi x ∈ [0;1] nên
x

1

∫ (1 + x)

x

0

1

1

0

0

dx ≥ ∫ 1dx =
1 , vậy “ ∫ (1 + x) x dx =
0 ” là

khẳng định sai.
[Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả:
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

25