lý thuyết hay tích phân

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

VIP

CHỦ ĐỀ 15. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số
f ( x), kí hiệu là

b

∫ f ( x)dx.
a

Ta

dùng

b

)dx
∫ f ( x=

kí

hiệu

để

b

F (=
x) a F (b) − F (a )

chỉ

hiệu

số

F (b) − F (a ) .

Vậy

b

F (=
x) a F (b) − F (a ) .

a

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

b

∫ f ( x)dx

b

hay

∫ f (t )dt. Tích phân
a

a

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b

∫ f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x) , trục Ox và hai

a
b

đường thẳng=
x a=
, x b. Vậy S = ∫ f ( x)dx.
a

2. Tính chất của tích phân
a

1.

∫

b

f ( x)dx = 0

2.

a
b

3.

∫

∫

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx

a

b

c

c

b

b

b

a

a

a

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
∫ f ( x)dx ( a < b < c )4.=
∫ k. f ( x)dx k.∫ f ( x)dx (k ∈ )

a
b

5. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =
a

b

b

∫

f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .

a

a

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
1

dx
.
3
0 (1 + x )

a) I = ∫

1

b) I = ∫
0

x
dx .
x +1

2x + 9
dx .
x+3
0

1

c) I = ∫

1

x
dx .
2
0 4− x

d) I = ∫

Hướng dẫn giải

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1


Tán đổ Toán Plus

d (1 + x)
0 (1 + x )

1

dx
0 (1 + x )

1

1

1

1

1
2(1 + x)

Chủ đề 15. Tích phân

3
8

a) I =
.
==
−
=
∫
∫
3
3
2
x
1 

dx =
1 − ln 2 .
( x ln( x + 1) ) 10 =

1 −
 dx =−
∫
x +1
x +1
0

b) I =
∫
0

0

1
2x + 9
3 

dx =
3 + 6ln 2 − 3ln 3 .
( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 =
2+
 dx =
∫
x+3
x +3
0
0

1

1

c) I =
∫

(

)

2
1
1 d 4− x
3
x
2 1
dx
=
−
=
ln
|
4
−
x
| =
ln .
∫
2
2
0

2 0 4− x
4
0 4− x

1

d) I =
∫

Bài tập áp dụng

∫(

1

1) I
=
3) I
=

∫x

)

1

3

2) =
I

( x − 1) dx .
4

5

0

0

1

16

∫x

2 x + 3 x + 1 dx .
dx
.
x+9 − x

4) I = ∫

1 − xdx .

0

0

II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

b

Sử dụng tính chất ∫ [f ( x) + g ( x)]dx =
a

Ví dụ 2: Tính tích phân=
I

b

b

a

a

∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2

∫ | x + 1| dx .

−2

Hướng dẫn giải
 x + 1,
− x − 1,

Nhận xét: x + 1 =

−1

−1 ≤ x ≤ 2
. Do đó
− 2 ≤ x < −1
−1

−1

2

 x2

 x2

I =+
|
x
1|
dx
|
x
1|
dx
|
x
1|
dx

x
1
dx
x
1
dx
x
5.
=+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+


 + x =
∫
∫
∫
∫( ) ∫( )
2
2





−2
−2
−1
−2
−1
−2
−1
2

2

2

Bài tập áp dụng
3

1)
=
I

2

2
∫ | x − 4 | dx .

2) =
I

∫| x

3

− 2 x 2 − x + 2 | dx .

−1

−4

π
3

3)
=
I

x
∫ | 2 − 4 | dx .
0

4) I =

π

2

∫π

−

2 | sin x | dx .

5)=
I

∫

1 + cos 2 xdx .

0

2

III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên
đoạn [a; b] và α ≤ u ( x) ≤ β . Giả sử có thể
viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục
=
trên đoạn [α ; β ]. Khi đó, ta có
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

b

=
I

f ( x)dx
∫=
a

Chủ đề 15. Tích phân

u (b )

∫

g (u )du.

u (a)

π
2

Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx .
0

Hướng dẫn giải
π
π 
Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x =
0 ⇒ u (0) =
0; x =⇒ u   =

1.
2

2

π

Khi =
đó I

2

1

2
xdx
∫ sin x cos=

u du
∫=

0

0

2

1 31 1
=
u

.
3 0 3

Bài tập áp dụng
1

1) I
=

1

2
∫ x x + 1dx .

∫x

2) I
=

0
e

3) I = ∫
1

3

x + 1dx .

0

e2

1 + ln x
dx .
x

4) I =

dx
.
2 + ln x

∫ 2x
e

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu

Có thể đặt
t=

1

Có

2

Có (ax + b) n

=

t ax + b

3

Có a f ( x )

t = f ( x)

4

Có

f ( x)

dx
và ln x
x
x

5

Có e dx

6

Có sin xdx

Ví dụ
I =∫

f ( x)

3

0

=
I

1

∫0 x( x + 1)
π

I =∫4
0

t = ln x hoặc biểu thức

chứa ln x

I =∫

chứa e x
t = cos x

e

1

t = e x hoặc biểu thức
=
I

x3 dx
. Đặt=
t
x +1

dx . Đặt t= x − 1

e tan x +3
=
t tan x + 3
dx . Đặt
cos 2 x
ln xdx
. Đặt=
t ln x + 1
x(ln x + 1)

ln 2 2 x

∫0

2016

x +1

e

=
t
3e x + 1dx . Đặt

3e x + 1

π

I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x
0

7

Có cos xdx

8

dx
Có
cos 2 x

9

dx
Có
sin 2 x

t = sin xdx

t = tan x

I =∫

π

0

I
=

∫

π

4
0

sin 3 x
=
t 2cos x + 1
dx Đặt
2cos x + 1
1
dx
=
cos 4 x

π

∫04 (1 + tan

2

x)

1
dx
cos 2 x

Đặt t = tan x
π

t = cot x

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

=
I

ecot x
4
=
∫π 1 − cos 2 x dx
6

∫

ecot x
dx . Đặt t = cot x

2sin 2 x

3


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo
hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ](*) sao cho=
ϕ (α ) a=
,ϕ ( β ) b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi
t ∈ [α ; β ]. Khi đó:
b

β

a

α

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt.
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1.

 π π
đặt x | a | sin t ; t ∈  − ; 
a 2 − x 2 :=

 2 2

2.

x 2 − a 2 : đặt
=
x

3.

 π π
x 2 +=
a 2 : x | a | tan t ; t ∈  − ; 
 2 2
a+x
hoặc
a−x

4.

|a|
 π π
; t ∈  − ;  \ {0}
sin t
 2 2

a−x
: đặt x = a.cos 2t
a+x

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để
3

tính tích phân I =

x 2 dx

∫

thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫

x2 + 1

0

0

3

x3 dx
x2 + 1

thì

nên đổi biến dạng 1.
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
1

a)=
I

∫

1

dx
.
2
1
+
x
0

b) I = ∫

1 − x 2 dx .

0

Hướng dẫn giải
a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π

π

1

2

2

0

0

0

π
2

.

π

Vậy I =∫ 1 − x 2 dx =∫ | cos t |dt =∫ cos tdt =sin t |02 =1.
b) Đặt x = tan t , ta có dx=
π
1

dx
Vậy =
=
I ∫
2
0 1+ x

4

∫ dt=

x = 0 → t = 0

1 + tan t dt . Đổi cận: 
π .
 x = 1 → t = 4

(

2

π

t=
|04

0

π
4

)

.

IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí : Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

( x)v '( x)dx
∫ u=

a

b

( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx ,
b

a

b

b

b

a

a

a

hay viết gọn là ∫ udv
= uv |ba − ∫ vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P ( x).Q( x)dx
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

P(x): Đa thức

Dạng
hàm

P(x): Đa thức

P(x): Đa thức

P(x): Đa thức

cos ( kx )

Q(x): e kx

Q(x): ln ( ax + b )

Q(x):

* u = P( x)

* u = P( x)

Q(x): sin ( kx ) hay

* u ln ( ax + b )
* dv là Phần còn lại * dv là Phần còn =
của biểu thức dưới lại của biểu thức * dv = P ( x ) dx
dấu tích phân
dưới dấu tích phân

Cách
đặt

Chủ đề 15. Tích phân
1
1
hay
2
cos 2 x
sin x

* u = P( x)
* dv là Phần còn lại của
biểu thức dưới dấu tích
phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
π
2

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) I = ∫ x sin xdx.

e −1

b) I
=

∫ x ln( x + 1)dx .
0

0

Hướng dẫn giải
u = x
ta có
dv = sin xdx

a) Đặt 

du = dx
.

v = − cos x

π
2

Do đó I =
( − x cos x )
∫ x sin xdx =

π

|02

π

π

2

+ ∫ cos xdx =
0 + sin x |02 =
1.

0

0

1

du =
dx

=
u ln( x + 1)
x +1

ta có 
b) Đặt 
2
dv = xdx
v = x − 1

2
e −1

I=

∫
0

e −1

e −1


x2 − 1
1
e 2 − 2e + 2 1  x 2
−  − x
x ln( x + 1)dx = ln( x + 1)
 − ∫ ( x − 1)dx =
2 0
2 0
2
2 2



e −1
0

e 2 − 2e + 2 1 e 2 − 4e + 3 e 2 + 1
=
−
=
.
2

2
2
4

Bài tập áp dụng
π
1

1)
=
I

∫ (2 x + 2)e dx .
x

2

2) I = ∫ 2 x.cos xdx .

0

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

0

2π

3) I =

∫

0

x
x .sin dx .
2
2

1

4)=
I

∫ ( x + 1)

2 2x

e dx .

0

5


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
b

A.

b

a

a

b

∫

B.

a

a

b

C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .
a

Câu 2.

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b

b

b

a

a

∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx .

D.

a

Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào luôn đúng?
a

A.

∫

a

f ( x)dx = 0 .

B.

∫

a

f ( x)dx = 1 .

∫

C.

a

a

a

f ( x)dx = −1 .

D.

∫ f ( x)dx = f (a) .
a

a

1

Câu 3.

Tích phân

∫ dx có giá trị bằng
0

A. −1 .
Câu 4.

B. 1 .

Cho số thực a thỏa mãn

a

∫e

x +1

C. 0 .

D. 2 .

dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng

−1

B. −1 .

A. 1 .
Câu 5.

Câu 6.

D. 2 .

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) = cos 3 x .

B. f ( x) = sin 3 x .

x π
C. =
f ( x) cos  +  .
4 2

x π
D. =
f ( x) sin  +  .
4 2

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
e2

A.

1

∫ ln xdx .

B. ∫ 2dx .
0

1

Câu 7.

C. 0 .

π

A. f ( x) = e .

B. f ( x) = cos x .

D.

0

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn
x

2

C. ∫ sin xdx .

∫ xdx .
0

1

2

−1

−2

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ?

C. f ( x) = sin x .

D. f ( x)= x + 1 .

5

Câu 8.

dx
có giá trị bằng
x
2

Tích phân I = ∫
A. 3ln 3 .

B.

1
ln 3 .
3

C. ln

5
.
2

D. ln

2
.
5

π
2

Câu 9.

Tích phân I = ∫
π

dx
có giá trị bằng
sin x

3

A.

6

1 1
ln .
2 3

B. 2 ln 3 .

C.

1
ln 3 .
2

1
D. 2 ln .
3

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus
0

∫ (4 − e

Câu 10. Nếu

− x /2

Chủ đề 15. Tích phân

) dx =
K − 2e thì giá trị của K là

−2

A. 12,5 .

B. 9 .
1

Câu 11. Tích phân I = ∫
0

A.

C. 11.

D. 10 .

C. −2 ln 2 .

D. 2 ln 2 .

1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2

2 ln 2
.
3

B. −

2 ln 2
.
3

5

5

1

1

∫ f ( x)dx = 2 và ∫ g ( x)dx =

Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

−4 . Giá trị

5

∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là

của

1

A. −6 .

B. 6 .

Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu

D. −2 .

C. 2 .
3

∫

3

f ( x)dx = 2 thì tích phân

∫ [ x − 2 f ( x)] dx có
0

0

giá trị bằng

A. 7 .

B.

5
.
2

Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu

C. 5 .

D.

5

∫ f ( x)dx = 2
1

1
.
2

3

và

∫ f ( x)dx = 7

5

thì

1

∫ f ( x)dx

có

3

giá trị bằng
A. 5 .
B. −5 .
C. 9 .
Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
3

−2

A. ∫ e dx = ( e x ) 1 .
x

3

B.

C.

1

∫ x dx = ( ln x )

−2
−3

.

−3

1

2π

D. −9 .

2π

∫ cos xdx = ( sin x ) π

2

 x2

D. ∫ ( x + 1) dx = + x  .
 2
1
1
2

.

π

Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] .
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
b

A.

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a

B. F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) .
b

C.

∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .
a

D. Hàm số G cho bởi G=
( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn

b

∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) .
a

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
b

∫

A.

a

b

∫

C.

a

b

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
c

c

c

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
a

b

B.

∫
a

b

D.

c

∫
a

c

b

a

c

c

c

a

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
b

A. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) .
a

b

∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) .

B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

a

C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
a

D. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) .
a

Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Xét
các khẳng định sau:
b

I.

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
a

II.

III.

a

a

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx .
b

b

IV.

∫
a

f ( x)
dx =
g ( x)

∫ f ( x)dx
a
b

.

∫ g ( x)dx
a

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1 .

B. 2 .
3

Câu 20. Tích phân

∫ x( x − 1)dx

C. 3 .

D. 4 .

có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới

0

đây?
2

A. ∫ ( x 2 + x − 3) dx .
0

8

3π

B. 3 ∫ sin xdx .
0

π

ln 10

C.

∫
0

2x

e dx .

D. ∫ cos(3 x + π )dx .
0

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho

b

∫ f ( x)dx ≥ 0 thì

f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] .

a

3

∫ f ( x)dx = 0 .

B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có

−3

C. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có

b

∫
a

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) .
b

D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì

5

∫ [ f ( x)]

2

3 5

[ f ( x)]
dx =
3

1

.
1

Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1

A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx =
0

B. Nếu
C. Nếu

0

1

−1

0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì
1

∫ f ( x)dx = 0 thì

0

∫ f ( x)dx .

−1

f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .

f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] .

−1

D. Nếu

1

∫ f ( x)dx = 0 thì

f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .

−1

Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 6 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
2

∫x

6

sin 5 xdx có giá trị bằng

1

A. F (2) − F (1) .

B. − F (1) .

D. F (1) − F (2) .

C. F (2) .

Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu

b

∫ f ( x)dx = α

thì tích phân

a

b2

∫

f (2 x)dx có giá trị bằng

a 2

A.

α
2

.

B. 2α .

C. α .

D. 4α .

Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 3 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó tích
2

phân ∫ 81x3 sin 5 3 xdx có giá trị bằng
1

A. 3 [ F (6) − F (3) ] .

B. F (6) − F (3) .

C. 3 [ F (2) − F (1) ] .

Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

D. F (2) − F (1) .

2

∫ f ( x)dx = 6 . Giá trị của tích phân
0

π 2

∫

f (2sin x) cos xdx là

0

A. −6 .

B. 6 .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C. −3 .

D. 3 .
9


Tán đổ Toán Plus

e

Câu 27. Bài toán tính tích phân I = ∫
1

Chủ đề 15. Tích phân

ln x + 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
x

I. Đặt ẩn phụ=
t ln x + 1 , suy ra dt =

ln x + 1 ln x
dx
=
x

e

II. I
=

∫
1

2

1
dx và
x

x

1

e

t

1

2

t ( t − 1) dt

∫
1

2

 5 2 
1+ 3 2 .
III. I =
 t −  =
∫1 t ( t − 1) dt =
t 1

2

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.

C. Sai từ Bước I.
π 3

D. Sai ở Bước III.

sin 2 x

∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa

Câu 28. Xét tích phân I =

I về dạng

0

nào sau đây
π 4

A. I = − ∫
0

π 4

2t
dt .
1+ t

B. I =

∫

0

2t
dt .
1+ t

1

1

2t
dt .
1 1+ t

2t
C. I = − ∫
dt .
1 1+ t

D. I = ∫
2

2

Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức
nào luôn đúng?
b

A.

∫

b

f ( x) dx >

a

∫

B.

a

b

C.

∫

b

f ( x)dx .

f ( x) dx ≥

a

∫
b

b

a

a

a

b

∫ f ( x)dx .

b

f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx .
a

∫ f ( x ) dx > ∫

D.

a

f ( x) dx .

Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1

1

1

B. ∫ (1 + x) x dx =
0.

A. ∫ sin(1 − x)dx =
∫ sin xdx .
0

0

0

π 2

π

1

x
C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx .
2
0
0

∫x

D.

−1

2017

2
(1 + x)dx = .
2019

Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức
nào luôn đúng?
A.

2

2

−2

0

∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx .
2

C.

2

∫

−2

B.

2

0

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .

D.

∫

−2

−2

1

Câu 32. Bài toán tính tích phân=
I

∫ f ( x)dx = 0 .

−2

∫ ( x + 1)

2

2

f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx .
0

dx được một học sinh giải theo ba bước sau:

−2

I. Đặt ẩn phụ =
t ( x + 1) 2 , suy ra =
dt 2( x + 1)dx ,
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

II. Từ đây suy ra

Chủ đề 15. Tích phân

dt
dt
=
dx ⇒
=
dx . Đổi cận
2( x + 1)

2 t

1

4

−2

1

III. Vậy I =∫ ( x + 1) 2 dx =∫

x

−2

1

t

1

4

4

t

1
7

dt = t 3 = .
3
3
2 t
1

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai từ Bước I.
B. Sai ở Bước III.
C. Sai từ Bước II.
D. Bài giải đúng.
Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Đề bài

Bài

Bài giải của học sinh

1

∫e

1

x2

2

1

x2

xdx

0

1

1

1
∫0 x 2 − x − 2 dx=

1
∫0 x 2 − x − 2 dx

2

1

1 x2 ( 2 ) e x
e −1
e
=
xdx
e d=
x
=

∫0
∫
20
2 0
2
1

[ln x 2 − x − 2 ] 0=
1

ln 2 − ln 2= 0

Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi
π

∫ sin 2 x cos xdx

3

x = π thì t = −1 . Vậy
π

π

2

1 + (4 − 2e) ln x
dx =
∫1
x

e

1 + (4 − 2e) ln x
dx
∫1
x
e

4

1

−1

2t 3
4
sin
2
x
cos
xdx
2
sin
x
cos
xdx
2
t
dt
=

=
−
==
∫0
∫0
∫1
3 −1 3

0

2

e

∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x )
1

e

= x + (4 − 2e) ln 2 x  1 =3 − e

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 5,0 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 7,5 điểm.

D. 10,0 điểm.

Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một
nguyên hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

b

A.

a

a

a

b

B.

[ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx .

b

[ f ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx .

∫
a

f=
( x)G ( x)dx

b

a

b

D.

b

f ( x)G ( x)dx
∫=
a

C.

b

f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx .
∫=
b

b

b

a

b

f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx .
∫=
b

a

a

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

a

11


Tán đổ Toán Plus

0

Câu 35. Tích phân I =

∫ xe

−x

Chủ đề 15. Tích phân

dx có giá trị bằng

−2

B. 3e 2 − 1 .

A. −e + 1 .

2

C. −e 2 − 1 .

D. −2e 2 + 1 .

Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong  . Trong các
phát biểu sau, phát biểu nào sai?
b

A

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
a

a

b

b

∫

B.

a

a

b

C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .
a

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b

b

b

a

a

∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx .

D.

a

Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
a

A.

∫

a

f ( x)dx = 1 .

B.

a

∫

a

f ( x)dx = 0 .

∫

C.

a

a

f ( x)dx = −1 .

D.

a

∫ f ( x)dx = f (a) .
a

1

Câu 38. Tích phân

∫ dx có giá trị bằng
0

B. −1 .

A. 2 .
Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn

a

∫e

x +1

C. 0 .

D. 1 .

dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng

−1

B. −1 .

A. 0 .

D. 1 .

D. 2 .

Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) = cos 3 x .

B. f ( x) = sin 3 x .

x π
f ( x) cos  +  .
C. =
4 2

x π
f ( x) sin  +  .
D. =
4 2

Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ?
π

e2

1

A. ∫ sin xdx .

B. ∫ 2dx .

0

0

∫ xdx .
0

1

2

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ?

−1

B. f ( x) = sin x .

D.

1

Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn
A. f ( x) = cos x .

2

∫ ln xdx .

B.

−2

C. f ( x) = e .

D. f ( x)= x + 1 .

C. 3ln 3 .

D. ln

x

5

dx
có giá trị bằng
x
2

Câu 43. Tích phân I = ∫
A.

1
ln 3 .

3

B. ln

5
.
2

2
.
5

π
2

Câu 44. Tích phân I = ∫
π

dx
có giá trị bằng
sin x

3

1
A. 2 ln .
3

12

B. 2 ln 3 .

C.

1
ln 3 .
2

D.

1 1
ln .
2 3

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus
0

∫ (4 − e

Câu 45. Nếu

− x /2

Chủ đề 15. Tích phân

) dx =
K − 2e thì giá trị của K là

−2

A. 9 .

B. 10 .
1

Câu 46. Tích phân I = ∫
0

C. 11.

D. 12,5 .

1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2

A. −2 ln 2 .

B.

2 ln 2
.
3

C. −

2 ln 2
.
3

D. Không xác định.

5

5

1

1

∫ f ( x)dx = 2 và ∫ g ( x)dx =

Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

−4 . Giá trị

5

∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là

của

1

A. −2 .

B. 6 .

Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu

D. −6 .

C. 2 .
3

∫

3

f ( x)dx = 2 thì tích phân

∫ [ x − 2 f ( x)] dx có
0

0

giá trị bằng
A. 7 .

B.

5
.
2

Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu

C. 5 .

D.

5

∫ f ( x)dx = 2
1

1
.
2

3

và

∫ f ( x)dx = 7

5

thì

1

∫ f ( x)dx

có

3

giá trị bằng
A. −9 .
B. 5 .
C. 9 .
Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
2

 x2

(
)
A. ∫ x + 1 dx = + x  .
 2
1
1
2

2π

C.

2π

∫π cos xdx = ( sin x ) π

3

B. ∫ e x dx = ( e x ) 1 .

3

1

−2

.

D. −5 .

D.

1

∫ x dx = ( ln x )

−2
−3

.

−3

Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] .
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
A. F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) .
b

B.

∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .
a

b

C.

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a

D. Hàm số G cho bởi G=
( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn

b

∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) .
a

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát
biểu nào sai?
b

∫

A.

a

b

∫

C.

a

c

b

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
a

c

b

a

b

∫

D.

c

c

b

a

c

c

c

a

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
c

∫

B.

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) .
a

b

∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) .

B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

a

C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì

b

∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .

a

b

D. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) .
a

Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Một
học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:
b

I.

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
a

a

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .

II.

a

b

b

III.

b

b

b

∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx .
a

a

IV.

a

∫
a

f ( x)
dx =
g ( x)

∫ f ( x)dx
a
b

.

∫ g ( x)dx
a

Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai?
A. 3 .

B. 1 .
3

Câu 55. Tích phân

∫ x( x − 1)dx

C. 2 .

D. 4 .

có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?

0

π

A. ∫ cos(3 x + π )dx .
0

3π

ln 10

2

C. ∫ ( x 2 + x − 3) dx .

B. 3 ∫ sin xdx .
0

D.

∫

e 2 x dx .

0

0

Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có

3

∫ f ( x)dx = 0 .

−3
b

a

B. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) .
a

b

C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho

b

∫ f ( x)dx ≥ 0 thì

f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] .

a

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì

5

∫ [ f ( x)]

2

Chủ đề 15. Tích phân
3 5

[ f ( x) ]
dx =
3

1

.
1

Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1

A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì ∫ f ( x)dx =
0

B. Nếu

0

∫

−1

C. Nếu

0

∫ f ( x)dx .

−1

1

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .
0

1

∫ f ( x)dx = 0 thì

f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] .

−1

D. Nếu

1

∫ f ( x)dx = 0 thì

f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .

−1

2

sin x
dx
x
1

sin x
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =
x

∫

có giá trị bằng
A. F (2) − F (1) .

B. − F (1) .

D. F (2) + F (1) .

C. F (2) .

Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a < b . Nếu

b

∫ f ( x)dx = α

thì tích phân

a

b2

∫

f (2 x)dx có giá trị bằng

a 2

A. α .

B. 2α .

C.

Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =

α

2

D. 4α .

.

sin x
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
x

2

sin 3x
dx
x
1

∫

có giá trị bằng
B. 3 [ F (6) − F (3) ] .

A. F (6) − F (3) .
Câu 61. Giả sử hàm số

f

C. 3 [ F (2) − F (1) ] .

liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

D. F (2) − F (1) .

2

∫ f ( x)dx = 6 .

Giá trị của

0

π 2

∫

f (2sin x) cos xdx là

0

A. 3 .

C. −3 .

B. 6 .
e

Câu 62. Bài toán tính tích phân I = ∫
1

ln x + 1 ln x

dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
x

I. Đặt ẩn phụ=
t ln x + 1 , suy ra dt =

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

D. −6 .

1
dx và
x

x

1

e

t

1

2

15


Tán đổ Toán Plus

e

II. I
=

∫
1

ln x + 1 ln x
dx
=
x

2

Chủ đề 15. Tích phân

t ( t − 1) dt

∫
1

2

 5 2 
III. I =
1+ 3 2 .
 t −  =
∫1 t ( t − 1) dt =
t 1


2

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.

B. Sai từ Bước II.
π 3

C. Sai từ Bước I.

D. Sai ở Bước III.

sin 2 x

∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến t = cos x , ta có thể đưa

Câu 63. Xét tích phân I =

I về dạng

0

nào sau đây
π 4

1

2t
A. I = ∫

dt .
1 1+ t

∫

B. I =

0

2t
dt .
1+ t

π 4

1

2t
C. I = − ∫
dt .
1 1+ t

2

D. I = − ∫
0

2t
dt .
1+ t

2

Câu 64. Cho hàm số y = f ( x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng
thức nào luôn đúng?
A.

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≥ ∫
b

C.

b

∫

f ( x) dx .

∫

B.

a

f ( x) dx ≥

a

b

f ( x) dx >

b

b

∫

f ( x)dx .

∫

D.

a

a

∫ f ( x)dx .
a

b

f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx .
a

Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1

A. ∫ (1 + x) x dx =
0.
0

π 2

π

1

1

0

0

B. ∫ sin(1 − x)dx =
∫ sin xdx .
1

x
C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx .
2

0
0

∫x

D.

2017

−1

2
(1 + x)dx = .
2019

Câu 66. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức
nào luôn đúng?
2

A.

∫

−2

C.

2

2

f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx .

B.

2

0

−2

−2

0

2

∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .

D.

∫ f ( x)dx = 0 .

−2
1

Câu 67. Bài toán tính tích phân=
I

∫

−2

0

2

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .

∫ ( x + 1)

2

dx được một học sinh giải theo ba bước sau:

−2

I. Đặt ẩn phụ =
t ( x + 1) 2 , suy ra =
dt 2( x + 1)dx ,
II. Từ đây suy ra

16

dt
dt
=
dx ⇒
=
dx . Bảng giá trị

2( x + 1)
2 t

x

−2

1

t

1

4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

1

4

Chủ đề 15. Tích phân

4

1
7

III. Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫
dt = t 3 = .
3
3
1
1 2 t
−2
2

t

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai ở Bước III.

B. Sai từ Bước II.

C. Sai từ Bước I.

D. Bài giải đúng.

Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Đề bài

Bài

Bài giải của học sinh

1

∫e

1

x2

2

1

x2

xdx

0

1

1

1
∫0 x 2 − x − 2 dx=

1
∫0 x 2 − x − 2 dx

2

1

1 x2 ( 2 ) e x
e −1
e
=
xdx
e d=
x
=
∫0
∫
20
2 0
2
1

[ln x 2 − x − 2 ] 0=
1

ln 2 − ln 2= 0

Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi
x = π thì t = −1 . Vậy

π

∫ sin 2 x cos xdx

3

π

π

2

1 + (4 − 2e) ln x
dx =
∫1
x
e

1 + (4 − 2e) ln x
dx
∫1
x
e

4

1

−1

2t 3
4
=
=
−
==

sin
2
x
cos
xdx
2
sin
x
cos
xdx
2
t
dt
∫0
∫0
∫1
3 −1 3

0

2

e

∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x )
1

e

= x + (4 − 2e) ln 2 x  1 =3 − e

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 7,5 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 5,0 điểm.

D. 10,0 điểm.

Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a; b] . Đẳng
thức nào sau đây luôn đúng?
b

A.

a

a

a

b

B.

[ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx .

b

[ f ( x) g ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx .

∫

f=
( x)G ( x)dx

a

b

a

b

b

a

b

D.

b

f ( x)G ( x)dx
∫=
a

C.

b

f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx .
∫=
b

b

f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx .
∫=
b

a

a

a

0

Câu 70. Tích phân I =

∫ xe

−x

dx có giá trị bằng

−2

A. −2e 2 + 1 .

B. 3e 2 − 1 .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C. −e 2 + 1 .

D. −e 2 − 1 .

17


Tán đổ Toán Plus

Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần

b

F ( x) g ( x)dx
∫=
a

Chủ đề 15. Tích phân
b

[ F ( x)G ( x)] a − ∫ f ( x)G ( x)dx ,
b

a

trong đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích
phân từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?
e

e
 2

( ln x ) xdx  x ln x  − 1 ∫ xdx , trong đó F ( x) = ln x , g ( x) = x .
A. ∫ =
 2
1 2 1
1
e

1

1

B. ∫ =
xe x dx ( xe x ) 0 − ∫ e x dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = e x .
1

0

0

π

π

π

C. ∫=
x sin xdx ( x cos x ) 0 − ∫ cos xdx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = sin x .
0

0

1

1 x +1
 2 x +1 
2
D. ∫=
x 2 dx  x
dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = 2 x +1 .
 −∫


ln
2
ln
2
0
0
0
1

x +1

π

Câu 72. Tích phân



π

∫ x cos  x + 4  dx có giá trị bằng
0

(π − 2 ) 2
(π + 2 ) 2
(π − 2 ) 2
(π + 2 ) 2
.
B. −
.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0; 2] . Biết
A.

rằng

2

F (0) = 0 ,

F (2) = 1 ,

G (0) = −2 ,

G (2) = 1

∫ F ( x) g ( x)dx = 3 .

và

Tích phân

0

2

∫ f ( x)G( x)dx có giá trị bằng
0

A. 3 .

C. −2 .

B. 0 .

D. −4 .

Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết
rằng

F (1) = 1 ,

2

∫ F ( x) g ( x)dx

F (2) = 4 ,

G (1) =

3
,
2

2

G (2) = 2

và

67

∫ f ( x)G( x)dx = 12 .

Tích phân

1

có giá trị bằng

1

A.

11
.
12

B. −

145
.
12

C. −

Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và

11
.
12

b

∫ x sin xdx = π ,

D.

145
.
12

đồng thời a cos a = 0 và

a

b

b cos b = −π . Tích phân ∫ cos xdx có giá trị bằng
a

A.

18

145
.
12

B. π .

C. −π .

D. 0 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

1 − ln x
u
dx .Đặt =
2x

e

Câu 76. Cho tích phân: I = ∫
1

0

1 − ln x .Khi đó I bằng

0

B. I = − ∫ u du .

A. I = ∫ u du .
2

2

1

1

2

Câu 77. Tích phân I = ∫
1

Chủ đề 15. Tích phân
1

0

u2
C. I = ∫ du . D. I = − ∫ u 2 du .
2
0
1

x2
dx có giá trị bằng
x 2 − 7x + 12

A. 5ln 2 − 6 ln 3 .

B. 1 + 2 ln 2 − 6 ln 3 .

C. 3 + 5ln 2 − 7 ln 3 .

D.

1 + 25ln 2 − 16 ln 3 .
2

Câu 78. Tích phân I = ∫ x5 dx có giá trị là:
1

A.

19
.
3

B.

32
.
3

C.

16
.
3

D.

21
.
2

C.

1
.
8

D. 12 .

1

xdx
bằng
3
+
x
(
1)
0

Câu 79. Tích phân I = ∫
1
A. − .
7

B.

1
.
6

π
2

2 − x, dv =
sin xdx thì I
∫ (2 − x) sin xdx . Đặt u =

Câu 80. Cho tích phân=
I

bằng

0

π

π
π

π

2

0

0

π

π

π

2

B. −(2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx .

A. −(2 − x) cos x 02 − ∫ cos xdx .

π

2

C. (2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx .

2

D. (2 − x) 02 + ∫ cos xdx .

0

0

1

Câu 81. Tích phân

x7
∫0 (1 + x 2 )5 dx bằng

1 (t − 1)3

dt .
2 ∫1 t 5
4

Câu 82. Tích phân I =

3

∫ x( x
1

A. ln

(t − 1)3
∫1 t 5 dt .

C.

1 (t − 1)3
dt .
2 ∫1 t 4

D.

3 (t − 1)3
dt .
2 ∫1 t 4

C.

1 3
ln .
5 2

D.

1 3
ln .
4 2

3

2

A.

B.

1
4

+ 1)

3
.
2

2

4

dx bằng

B.

1 3
ln .
3 2

2

2

Câu 83. Cho hai tích phân I = ∫ x dx , J = ∫ xdx .Tìm mối quan hệ giữa I và J
3

0

0

A. I .J = 8 .

B. I .J =

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

32
.
5

128
C. I − J = .
7

64
D. I + J = .
9

19


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

a

Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx= e 4 − e 2 , khi đó a có giá trị bằng
1

A. −1 .

B. 3.

C. 0 .

D. 2.

2

Câu 85. Tích phân

∫ ke dx (với k là hằng số )có giá trị bằng
x

0

B. e 2 − 1 .

A. k (e 2 − 1) .
Câu 86.

D. e 2 − e .

C. k (e 2 − e) .

Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ?
1

2
3

2

C. ∫ 3ke3 x dx .

B. ∫ ke x dx .

A. ∫ k (e 2 − 1)dx .

D. ∫ ke 2 x dx .

0

0

0

2
3

0

Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau:
1

1

(I) ∫ dx = 2 ;

(II)

∫ kdx = 2k ;

Số phát biểu đúng là
A. 4.

(IV) ∫ 3kx 2 dx = 2k .

(III) ∫ xdx = 2 x ;

−1

−1

1

1

−1

B. 3.

0

C. 1.

D. 2.

Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

5

5

∫ f ( x)dx =

∫ g ( x)dx = 5

−7 và

và

1

1

5

19 Giá trị của k
∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx =

là:

1

A. 2 .

B. 6 .

D. −2 .

C. 2.

Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên  . Nếu

5

∫ 2 f ( x)dx = 2 và
1

3

∫

5

f ( x)dx = 7 thì

∫ f ( x)dx

có giá trị

3

1

bằng:
B. −6 .

A. 5 .

Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu

D. −9 .

C. 9 .
2

2

1

1

−1
∫ f ( x)dx = 4 và tích phân ∫ [ kx − f ( x)] dx =

giá trị k bằng
A. 7 .

B.

5
.
2

C. 5 .

D. 2.

e

Câu 91. Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx bằng
1

e

A. − ( x 2 − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx .
e

1

1

e

C. ( x 2 − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx .
e

1

1

e

B. ( x 2 − 5 x) ln x + ∫ ( x − 5)dx .
e

1

1

e

D. ( x − 5) ln x 1 − ∫ ( x 2 − 5 x)dx .
e

1

π
2

Câu 92. Tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx có giá trị bằng
0

A.
20

−5π
.
8

B.

π
2

.

C.

3π
.
8

D.

π
8

.

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

π

Câu 93. Tích phân I = ∫ 2
0

A. 4.
2π

Câu 94. Tích phân
I
=

∫

4sin 3 x
dx có giá trị bằng
1 + cos x
B. 3.

Chủ đề 15. Tích phân
C. 2.

D. 1.

1 + sin xdx có giá trị bằng

0

A. 4 2 .

B. 3 2 .

C.

D. − 2 .

2.

π
3

Câu 95. Tích phân I = ∫ sin 2 x tan xdx có giá trị bằng
0

3
A ln 3 − .
5

Câu 96.

B. ln 2 − 2 .

3
C. ln 2 − .
4

3
D. ln 2 − .
8

Cho hàm số f(x) liên tục trên  và f ( x) + f (− x) =
cos 4 x với mọi x ∈  . Giá trị của tích
π
2

∫

phân I =

f ( x)dx là

−π
2

A. −2 .

B.

0

∫ (5 − e

Câu 97. Nếu

−x

3π
.
16

3
C. ln 2 − .
4

3
D. ln 3 − .
5

C. 7.

D. 12,5 .

) dx =
K − e 2 thì giá trị của K là:

−2

A. 11.

B. 9 .
π

Câu 98. Cho tích phân=
I

2

∫

.Đặt u
1 + 3cos x .sin xdx =

3cos x + 1 .Khi đó I bằng

0

2

3

2
B. ∫ u 2 du .
30

2
A. ∫ u 2 du .
31
Câu 99. Tích phân I = ∫

8ln x + 1
dx bằng
x

A. −2 .

B.

e

1

5

Câu 100. Tích phân

∫x

2

13
.
6

2

3

2
C. u 3 .
9 1

D. ∫ u 2 du .

3
C. ln 2 − .
4

3
D. ln 3 − .
5

C. 7.

D. 12,5 .

C. 7.

D. 4.

C. −2 .

D. 5.

1

− 2 x − 3 dx có giá trị bằng

−1

A. 0.

B.

64
.
3

2

Câu 101. Tìm a để ∫ (3 − ax)dx =
−3 ?
1

A. 2.
Câu 102. Nếu

B. 9 .
5

∫k

2

( 5 − x3 ) dx =
−549 thì giá trị của k là:

2

A. ±2

B. 2.

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

21


Tán đổ Toán Plus

x2 − x + 4
∫2 x + 1 dx bằng
3

Câu 103. Tích phân
A.

Chủ đề 15. Tích phân

1
4
+ 6 ln .
3
3

1
4
+ 6 ln .
2
3

B.

1
4
− ln .
2
3

C.

Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên  thỏa f ( x) + f (− x) =

D.

1
4
+ ln .
2
3

2 + 2 cos 2 x , với mọi x ∈  . Giá trị

π
2

∫

của tích phân I =

f ( x)dx là

−π

2

B. −7 .

A. 2.

C. 7.

D. −2 .

C. 7.

D.2.

2

122
Câu 105. Tìm m để ∫ (3 − 2 x) 4 dx =
?
5
m

A. 0.

B. 9 .

4.2 TÍCH PHÂN
I. VẬN DỤNG THẤP
1
2

1

Câu 106. Giá trị của tích phân I = ∫
A.

π
6

.

dx là

1 − x2

0

B.

π
4

.

π

C.

.

3

D.

π
2

.

1

dx
là
1 + x2
0

Câu 107. Giá trị của tích phân I = ∫
AI =

π
2

B. I =

.

Câu 108. Giá trị của tích phân I =

3 −1

∫
0

A. I =

5π
.
12

Câu 109. Tích phân
=
I

∫x

2

C. I =

π

.

D. I =

3π
.
12

D. I =

4

5π
.
4

dx
là
x + 2x + 2
2

B. I =
1

3π
.
4

π
6

.

C. I =

π
12

.

x 3 + 5dx có giá trị là

0

A.

4
10
6−
3.
3
9
2

Câu 110. Tích phân

∫

B.

4
10
7−
5.
3
9

4
10

6−
5.
3
9

C.

D.

2
10
6−
5.
3
9

4 − x 2 dx có giá trị là

0

A.

π
4

.

B.
1

Câu 111. Tích phân
=
I

∫x

π
2

.

π

C.

3

.

D. π .

x 2 + 1dx có giá trị là

0

A.

22

3 2 −1

.
3

B.

2 2 −1
.
3

2 2 −1
.
2

C.

D.

3 2 −1
.
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

0

Câu 112. Tích phân
I

=

∫x

3

Chủ đề 15. Tích phân

x + 1dx có giá trị là

−1

A. −

9
.
28

B. −

3
.
28

C.

3
.
28

D.

9
.
28

C.

16 − 10 2
.
4

D.

16 − 11 2
.
3

C.

1
.
166

D.

1
.
165

C.

52
.
5

D.

51
.
5

1

x 2 dx
là
0 ( x + 1) x + 1

Câu 113. Giá trị của tích phân I = 2 ∫
A.

16 − 10 2
.
3

B.

16 − 11 2
.
4

1

∫ x (1 − x ) dx là

Câu 114. Giá trị của tích phân
=
I

3 6

5

0

A.

1
.
167

B.

2x2 + x −1
dx là
x +1

3

Câu 115. Giá trị của tích phân I = ∫

0

A.

53
.
5

3− x
dx là
1+ x

1

0

π
2

54
.
5

B.

Câu 116. Giá trị của tích phân I = ∫
A.

1
.

168

− 2+2.

Câu 117. Giá trị của tích phân

B.

π
3

− 2+2.

C.

π
3

− 3+2.

D.

π
2

− 3+2.

1

∫ ( 2 x + 1)

5

dx là

0

1
A. 30 .
3

1
B. 60 .
3

Câu 118. Giá trị của tích phân

1

∫x
0

A. ln 2 .

2
D. 30 .
3

C. 2 ln 2 .

D. 2 ln 3 .

4x + 2
dx là
+ x +1

2

B. ln 3 .

Câu 119. Giá trị của tích phân

2
C. 60 .
3

2

dx

∫ (2 x − 1)

2

là

1

A

1
.
2

B.

Câu 120. Giá trị của tích phân

3

∫ 3.
0

3
A. 3 + 3ln .
2

1
.
3

4

0

1
.
2

1

.
4

D.

2
.
3

x −3
dx là
x +1 + x + 3

3
B. 3 + 6 ln .
2

Câu 121. Giá trị của tích phân: I = ∫
A. 2 ln 2 −

C.

(1 +

x +1
1+ 2x

)

1

B. 2 ln 2 − .
3

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

3
B. −3 + 6 ln .
2
2

3
D. −3 + 3ln .
2

dx là

C. 2 ln 2 −

1
.
4

1
D. ln 2 − .
2

23


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

( 7 x − 1)99
Câu 122. Giá trị của tích phân: I = ∫
dx là
101
0 ( 2 x + 1)
A.

1

1
 2100 − 1 .
900

B.

1
 2101 − 1 .
900

C.

1
 299 − 1 .
900

D.

1
 298 − 1 .
900

C.

1
.
2001.21002

D.

1
.
2002.21002

2

x 2001
dx có giá trị là
(1 + x 2 )1002
1

Câu 123. Tích phân I = ∫
A.

1
.
2002.21001

Câu 124. Giá trị của tích phân

B.

1
.
2001.21001

2π
3

∫ cos(3x −
π

2π
)dx là
3

3

3
.
3

A. −

2
.
3

B. −

C. −

2 3
.
3

D. −

.

D.

2 2
.
3

π
2

Câu 125. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx là
0

A.

π
6

.

B.

π
8

.

π

C.

4

π
2

.

π

x sin x
dx là
2
1
cos
x
+
0

Câu 126. Giá trị của tích phân: I = ∫
A.

π2
2

.

B.

π2
6

.

C.

π2
8

.

D.

π2
4

.

π

Câu 127. Giá trị tích phân
J
=

∫ ( sin
2

4

x + 1) cos xdx là

0

A.

2
.
5

B.

3
.
5

4
.
5

D.

6
.
5

C. ln 2 .

D.

1
ln 2 .
2

D.

1
ln 2 .
3

D.

12
.
19

C.

π
2

Câu 128. Giá trị tích phân I = ∫
π

sin x − cos x
dx là
1 + sin 2 x

4

A.

3
ln 2 .
2

B.

1
ln 3 .
2

π
2

sin x
dx là
1 + 3cos x
0

Câu 129. Giá trị tích phân I = ∫
A.

2
ln 2 .
3

B.

2
ln 4 .
3

1
ln 4 .
3

C.

2

Câu 130. Giá trị của tích phân
=
I 2 ∫ 6 1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx là
1

A.
24

21

.
91

B.

12
.
91

C.

21
.
19

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 15. Tích phân

π
4

cos x
dx là
(sin x + cos x)3
0

Câu 131. Giá trị của tích phân I = ∫
A.

1
.
8

B.

3
.
8

C.

5
.
8

D.

7
.
8

C.

1
.
2

D.

1
.
6

π

Câu 132. Giá trị của tích phân I =

2

sin xdx

∫ ( sin x + cos x)

3

là

0

A

1
.
4

B.

1
.
3

π
2

Câu 133. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 4 x sin 2 xdx là
0

A. I =

π
32

B. I =

.

π

C. I =

16

.

π
8

.

D. I =

π
4

.

π
2

4
4
6
6
Câu 134. Giá trị của tích phân I =
∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx là
0

A. I =

32
π.
128

B. I =

33

π.
128

C. I =

31
π.
128

D. I =

30
π.
128

π
4

Câu 135. Giá trị của tích phân I = ∫
0

A.

4
.
3

B.

sin 4 x

sin 6 x + cos 6 x
1
.
3

dx là

C.

2
.
3

D.

5
.
3

π

xdx
là
sin x + 1
0

Câu 136. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =

π

4

B. I =

.

π
2

C. I =

.

π
3

.

D. I = π .

π

sin 2007 x
dx là
2007
2007
sin
x
+
cos

x
0
2

Câu 137. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =

π
2

B. I =

.

π
4

.

C. I =

3π
.
4

D. I =

5π
.
4

π

Câu 138. Giá trị của tích phân

2

∫ cos

11

xdx là

0

A.

250
.
693

B.

254
.
693

C.

252

.
693

D.

256
.
693

π
2

Câu 139. Giá trị của tích phân ∫ sin10 xdx là
0

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

25