GIẢI CHI TIẾT khối đa diện và thể tích khối đa diện

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
CHỦ ĐỀ 24. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

VIP

HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường
cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. .
2
Hướng dẫn giải:
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.
⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối
20 mặt đều.

Câu 3. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 4. Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là

A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
A.

a3 2
⋅
12

B.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.
B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

a3 2
⋅
4

C. a 3 .

D.

a3
⋅
6

Hướng dẫn giải:

Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a .
Gọi H là hình chiếu của A lên ( BCD ) .
Ta có: BH =
⇒ AH =
S ∆BCD =

S

a 3
3

AB 2 − BH 2 =

a 6
3

C

A

a2 3
a3 2
⇒ VABCD = .
4
12

O

B

Câu 6. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .
A. a 3

B.

a3 2
2

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

a3 2
.
6
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3
3

1


Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABCD )
Ta có: AH =
⇒ SH =

S

a 2
2

SA2 − AH 2 =

a 2
2

A

D

H
a3 2
S ABCD = a 2 ⇒ VS . ABCD =
C
B
6
Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S . ABC

biết AB = a , SA = a .
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
4

C. a 3 .

D.

a3
3

Hướng dẫn giải:
S ∆ABC =

S

a2 3
4

a3 3
⇒ VS . ABC =.
12
C

A
B

Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích S . ABCD
biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .
3

A. a .

3

a3
D.
⋅
3

3

B. 6a .

B. 2a .
Hướng dẫn giải:
S

S ∆ABCD
= 2=
a.a 2a 2 ⇒ VS . ABC =
2a 3

D
A

C
B
Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O. ABC vuông tại O có OA
= a, OB

= OC
= 2a là

2a 3
A.
⋅
3

2

a3
B. ⋅
2

a3
C.
⋅
6
Hướng dẫn giải:

D. 2a 3 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


A
1

=
OB.OC 2a 2

 SOBC =
2

=
= a
h OA
1
2a 3
⇒ VO. ABC = OA ⋅ SOBC =
3
3

C

O

B
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 2cm ,

=
AB 4=
cm, AC 3cm . Tính thể tích khối chóp.

A.

12 3
cm .
3

B.

24 3
cm .
5

24 3
cm .
3
Hướng dẫn giải:
S

1

=
AB. AC 6 cm 2
 S ABC =
2

=
h SA
= 2 cm
⇒ VS . ABC

D. 24cm3 .

C.

C

A

1
12
= SA ⋅ S ABC = cm3
3
3

B
Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy,=
AB a=
, AD 2a . Góc giữa SB
và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là
a3 2
A.
⋅
3

2a 3
B.
⋅
3

a3
C.
⋅
3
Hướng dẫn giải:

a3 2
D.

⋅
6

S
 SA AB
=
=
.tan ( 450 ) a

= a=
.2a 2a 2
 S ABCD
1
2a 3
⇒ VS . ABCD
=
=
SA.S ABCD
3
3

450

D

A

B

C

Câu 12. Hình chóp S . ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 . Khi đó thể
tích khối chóp S . ABCD là
A.

a3 2
⋅
2

B.

a3 2
⋅
3

a3 3
⋅
2
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 3
⋅
3

S

 SA = a 3

AC.cos ( 450 ) =
a ⇒ S ABCD =
a2
 AB =
⇒ VS . ABCD
=

D

1
a3 3
SA.S ABCD
=
3
3

A

B

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C

3


Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam giác đều và thuộc

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a ,
AC = a 3 .
A.

a3 6
⋅
12

a3 6
⋅
4

B.

∆ABC vuông tại B ⇒ BC=
=
S ∆ABC

a3 2
⋅
6
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3
⋅
4

AC 2 − AB 2= a 2 .

a2 2
1
=
BA.BC
2
2

S

a 3
Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH =
2
Ta có: ∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB
⇒ SH ⊥ ( ABC ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).

A

C

H

3

a 6
1
B
SH .S ∆=
ABC

3
12
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( SAB ) là tam giác vuông cân tại S
⇒ VS .=
ABC

và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết
BD = a , AC = a 3 .

a3 3
B.
⋅
4

3

A. a .

S

Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD ,
O là trung điểm của AC , BD .
∆ABO vuông tại O

⇒ AB=

AO 2 + OB 2= a .

=

S ABCD

1
a2 3
.
=
AC.BD
2
2

a3
D.
⋅
3

a3 3
C.
⋅
12
Hướng dẫn giải:

A

D

H

B

C

a
Gọi H là trung điểm AB . ∆SAB vuông cân tại S cạnh AB = a ⇒ SH =
.
2
Ta có: ∆SAB cân ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).

1
a3 3
.
⇒ VS . ABCD
=
SH .S ABCD
=
3
12
Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng

( ABC ) là trung điểm

H của BC . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 ,

SB = a 2 .
A.

a3 6
⋅
6

B.

a3 3
⋅
2

C.

a3 3
⋅
6

D.

a3 6
⋅
2

Hướng dẫn giải:
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


∆ABC vuông tại A

⇒ BC=

S

AC + AB = 2a .

2

2

1
a2 3
.
=
AB. AC
2
2

=
S ∆ABC

SH =

B

SB 2 − BH 2 = a .

A

H
a3 3
1
.
SH .S ∆=
ABC
C

3
6
Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
3a
( ABCD ) là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết SB = .
2

⇒ VS .=
ABC

A.

a3
⋅
3

B. a 3 .

∆ABH vuông tại A

⇒ BH=

SH =

a3
⋅
2
Hướng dẫn giải:
C.

D.

3a 3
⋅
2

S
a 5
.
2

AH 2 + AB 2=

SB 2 − BH 2 = a .

A

S ABCD = a 2 .

B

H

1
a3
.
⇒ VS . ABCD
=
SH .S ABCD
=

3
3

D

Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD =

C

a 13
. Hình chiếu của S lên ( ABCD ) là
2

trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là
A.

a3 2
⋅
3

B.

a3 2
⋅
3

C. a 3 12 .

D.

a3
⋅
3

Hướng dẫn giải:
S ABCD = a

S

2

HD 2 = AH 2 + AD 2 =
⇒ SH=
⇒ VS . ABCD
=

5a 2
4

SD 2 − HD 2=

13a 2 5a 2
−
= a 2
4
4

A

1

a3 2
.
SH .S ABCD
=
3
3

D

H

B

C

 bằng 1200 . Hình chiếu vuông góc của S
Câu 18. Hình chóp S . ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD
a
lên ( ABCD ) là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI = . Khi đó thể tích khối chóp S . ABCD
2
là

A.

a3 2
⋅
9

B.

a3 3
⋅
9

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

a3 2
⋅
3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 3
⋅
3

5


S

a

 SI =
2

 2 3a 2

S
=
=
. AD.sin BAD
 ABCD AB

A

a3 3
1
⇒ VS . ABCD
=
SI .S ABCD
=
3
3

D
I
C

B

Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số
A. 4 .

B.

1
⋅

2

C. 2 .

D.

VS . ABC
.
VS .MNC

1
⋅
4

Hướng dẫn giải:

S

M
VS . ABC
SA SB
=
=
.
4
VS .MNC SM SN

N

A

C

B
Câu 20. Cho khối chop O. ABC . Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B′, C ′ sao cho
2OA′ OA
, 4OB′ OB
, 3OC ′ OC . Tính tỉ số
=
=
=

A.

1
.
12

B.

1
.
24

VO. A ' B 'C '
VO. ABC

1
.
16

Hướng dẫn giải:

C.

D.

1
.
32

O

Ta có:
OA′ 1 OB′ 1 OC ′ 1
= =
=
;
;
OA 2 OB 4 OC 3
V
OA′ OB′ OC ′ 1 1 1 1
⇒ O. A′B’C ’ =
⋅
⋅
= ⋅ ⋅ =
VO. ABC
OA OB OC 2 4 3 24

B′

A′

C′

C

A

B

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi (α ) là mặt phẳng qua A và song song với BC . (α ) cắt SB , SC lần
lượt tại M , N . Tính tỉ số
A.

6

1
.
2

SM
biết (α ) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
SB
1
1
1
B.
.
C. .
D.

.
4
2 2
2
Hướng dẫn giải:

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


S
Ta có: MN //BC ⇒

SM SN
=
SB SC

VS . AMN SM SN  SM 
Ta có:=
=
.


VS . ABC
SB SC  SB 
V
1
SM
1
Ta có: S . AMN =⇒
=

VS . ABC 2
SB
2

M

2

N

A

C

B
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
a3 3
A.
⋅
4

a3 3
B.
⋅
3

a3 2
C.
⋅
3

Hướng dẫn giải:

a3 2
D.
⋅
2
C'

A'

h = a


a2 3
S =

4

B'

⇒ V = h.S =

a3 3
4
A

C

B
Câu 23. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A=

' A A=
' B A ' D . Tính thể tích khối

lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .
A. 3a 3 .

B. a 3 .

C. a 3 3 .
Hướng dẫn giải:

D. 3a 3 3 .

Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình chữ nhật ⇒ OA = OB = OD
′A A=
′B A′D nên A ' O ⊥ ( ABD ) (vì
Mà A=
A ' O là trực tâm giác ABD )
∆ABD vuông tại A

⇒ BD=
AB 2 + AD 2= 2a
⇒ OA = OB = OD = a
∆AA ' O vuông tại O

⇒ A 'O =

AA '2 − AO 2 = a 3

=
S ABCD AB
=
. AD a 2 3
VABCDA
=
A=
' O.S ABCD 3a 3 .
' B 'C ' D '

Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A ' lên ( ABC ) là
trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a 3 ,
AA ' = 2a .
A.

a3
⋅
2

B.

3a 3
⋅
2

C. a 3 3 .

D. 3a 3 3 .

Hướng dẫn giải:

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


Gọi H là trung điểm của BC
⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) .
ABC là tam giác vuông tại A

⇒ BC=

AB 2 + AC 2= 2a

1
BC = a
2
∆A ' AH vuông tại H

⇒ AH =

⇒ A' H =

AA '2 − AH 2 = a 3

1
a2 3
S ∆ABC =
AB. AC
=
2

2

3a 3
.
2
Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên ( ABCD ) là trọng
=
VABCA ' B 'C ' A=
' H .S ABC

 = 1200 ,
tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ABC
AA ' = a .
A. a 3 2 .

B.

a3 2
⋅
6

a3 2
⋅
3
Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 2
⋅
2

A'

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD
⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) .

B'

C'

D'

 =1800 − 
Ta có: BAD
ABC =600 .
 = 600
Tam giác ABD cân có BAD
nên tam giác ABD đều.

A

a 3
ABD là tam giác đều cạnh a ⇒ AH =
3

∆A ' AH vuông tại H ⇒ A ' H =

AA '2 − AH 2 =

B
H

C

D

a 6
3

a3 2
a2 3 a2 3
;
V
=
A
=
'
H
.
S
2
2.
S=
=
S
=
ABCDA ' B ' C ' D '

ABC
ABCD
ABD
2
4
2
V
Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Tính tỉ số ABB 'C ' .
VABCA ' B 'C '

A.

1
⋅
2

B.

1
⋅
6

1
⋅
3
Hướng dẫn giải:

Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành
1
1

⇒ S BB 'C ' =
S BB 'C 'C ⇒ VA. BB 'C ' =
VA. BB 'C 'C
2
2
1
Ta có: VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
2
⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
8

C.

D.

2
.
3
C'

A'
B'

A

C

B

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


⇒ VABB=
'C '

V
1
1
'
VABCA ' B 'C ' ⇒ ABB 'C=
3
VABCA ' B 'C ' 3

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ diện
A’BB’C’ là
A.

a3 3
⋅
12

B.

a3 3
⋅
4

a3 3

⋅
6
Hướng dẫn giải:
C.

a3
⋅
12

C'

A'

=
=′ a
h BB


a2 3
=
S
 A′B′C ′

4
⇒ VA′BB=
′C ′

D.

B'

a3 3
1
BB′.S A′B=
′C ′
3
12

A

C

B
Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
300. Hình chiếu A′ lên ( ABC ) là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là
A.

a3 3
⋅
6

B.

a3 3
⋅
2

a3 3
⋅
12

Hướng dẫn giải:

C.

D.

a3 3
⋅
8


a 3 3 a
0
⋅
=
 A′I = AI .tan ( 30 ) =

2
3
2

2
a 3
S
 ABC = 4
a3 3
A′I .S ABC =
⇒ VABC . A’ B’C ’ =
8

Câu 29. Lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại =
A, BC 2=
a, AB a . Mặt bên

( BB’C’C ) là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
A.

a3 3
.
3

B. a 3 2 .

C. 2a 3 3 .

D. a 3 3 .

Hướng dẫn giải:
=
=′ 2a
h BB

2
2
 AC = BC − AB = a 3
a2 3
1
AB. AC
=
2

2
⇒ VABC . A’ B’C ’ = BB′.S ABC = a 3 3
⇒ S ABC
=

C'

A'
B'

A

C

B

Câu 30. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB ' . Tính tỉ số
VABCMN
.
VABC . A ' B 'C '
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

9


A.

1
.
3

B.

1
.
6

1
.
2
Hướng dẫn giải:

C.

Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành
1
S BB 'C 'C
⇒ S BCMN =
2
1
VA. BB 'C 'C
⇒ VA.BCMN =
2
1
Ta có: VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
2
⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
V

1
1
⇒ VA.BCMN= VABCA ' B 'C ' ⇒ A.BCMN = .
3
VABCA ' B 'C ' 3

D.

2
.
3

A'

B'

C'

M

N

A

B

C

Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A′. ABC và khối lăng trụ đó là
1

1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
2
3
6
Hướng dẫn giải:
C'
A'

B'

1
1
=
AA′.S ABC
VABC . A′B′C ′
3
3
VA′ABC
1
⇒
=
VABC . A′B′C ′ 3

=
VA′ABC

A

C

B

Câu 32. Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tỉ số thể tích giữa khối A′. ABD và khối lập phương là:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
6
4
8
3
Hướng dẫn giải:
A'
1
D'
VA’. ABD = AA′.S ABD
3
C
'

B'
1
1
1
AA′. AB. AD
AA′.S ABCD
= =
3
2
6
1
D
A
= VABCD. A’ B’C ’ D’
6
C
B
VA’. ABD
1
.
⇒
=
VABCD. A’ B’C ’ D’ 6
VẬN DỤNG THẤP
Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
( ABCD) bằng α . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo h và α .

A.

10

3h3
.
4 tan 2 α

B.

4h 3
.
3 tan 2 α

8h3
.
3 tan 2 α
Hướng dẫn giải:
C.

D.

3h3
.
8 tan 2 α

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Gọi O là tâm của mặt đáy thì
SO ⊥ mp ( ABCD ) . Từ đó, SO là đường
cao của hình chóp.Gọi M là trung điểm
đoạn CD.

Ta có:
CD ⊥ SM ⊂ ( SCD)

=
α.
CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD) ⇒ SMO

=
CD ( SCD) ∩ ( ABCD)
1
.SABCD.SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM
3
SO
h
h
Tam giác SOM vuông tại tại O, ta có: tan α =
=
.
⇒ OM =
OM OM
tan α

V =

4h 2
2h
. Suy ra: B = SABCD =
. SO = h.
⇒ AB =
tan 2 α

tan α
4h 3
1 4h 2
.
.h
=
.
3 tan 2 α
3 tan 2 α
Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và
mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
Vậy VS.ABCD =

3a 3 3
.
4
Hướng dẫn giải:

A. V =

B. V =

3a 3 3
.
8

C. V =

 AD ⊥ AB
Ta có: 

⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD
 AD ⊥ SB
⊥ SA.
=
⇒ SAB
600 .

8a 3 3
.
3

D. V =

4a 3 3
.
3

S

SABCD = 4a2.
Xét tam giác SAB tại vuông tại B, ta có:

A

D

α

=
SB AB

=
tan 600 2a 3 .

2a
8a 3 3
1 2
C
B
Vậy V = .4a . 2a 3 =
.
3
3
Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC = a , mặt phẳng

( A ' BC ) tạo với đáy một góc 30° và tam giác

A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối

lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
a3 3
.
8
Hướng dẫn giải:

A.

B.

3a 3 3
.

4

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C.

3a 3 3
.
8

D.

3a 3 3
.
2

11


V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’.
 BC ⊥ AB
Do 
⇒ BC ⊥ A′B .
 BC ⊥ AA′
 BC ⊥ AB ⊂ ( ABC )

Và  BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC )

=
 BC ( ABC ) ∩ ( A ' BC )

C’

B’

)

) (

(

A’



⇒ (
ABC ), ( A ' BC ) =
AB, A ' B =
ABA '

A

C
30o

Ta có:

a
1
S ∆A′BC = A′B.BC

2
B
.
2
2.S ∆A′BC 2.a 3
⇒ A′=
=
= 2a 3
B
BC
a


=
AB A′B.cos=
ABA′ 2a 3.cos
=
300 3=
a; AA′ A′B.sin=
ABA′ 2a 3.sin
=
300 a 3
.h S ABC . AA
VABC . A ' B=
B=
=′
'C '

1
3a 3 3

1
.
.3a.a.a 3
=
. AB
.BC. AA′ =
2
2
2

Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc
của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc bằng
45° . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .

A. V =

3a 3
.
16

B. V =

3a 3
.
8

3a 3
.
4
Hướng dẫn giải:

C. V =

3a 3
.
2

A’

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AB, AC, AM.
VABC . A ' B 'C ' = S ∆ABC . A ' H .
a2 3
.
4
Ta có IH là đường trung bình của tam giác
AMB , MB là trung tuyến của tam giác đều
ABC.
 IH // MB
Do đó: 
⇒ IH ⊥ AC
 MB ⊥ AC

D. V =

B’

C’

S ∆ABC =

H

A
I

B
a

M
C

 AC ⊥ A ' H
⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I

 AC ⊥ IH

 AC ⊥ IH ⊂ ( ABC )

Mà:  AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ 
A ' IH là góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C ) và
( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') =
AC

A ' IH =
45°
( ABCD ) ⇒ 
Trong tam giác A ' HI vuông tại H, ta có: tan=
45°

12

A' H
⇒ A=
' H IH .tan 45o .
HI

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


a 3
1
a 2 3 a 3 3a 3
. Vậy V =
= IH
=
MB
=
=
.
2
4
4
4
16
Câu 37. Cho hình chóp đều S . ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng 600 , khoảng cách

giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
A.

a3 3

.
12

B.

a3 3
.
18

3a
. Thể tích của khối chóp S . ABC theo a bằng
2 7
a3 3
.
16
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3 3
.
24

Gọi M là trung điểm của BC .
Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA, ( H ∈ SA) .

 BC ⊥ AM
Ta có: 
⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ MH .

 BC ⊥ SO
Do đó MH là đường vuông góc chung của SA và BC .
3a
 = 600 .
Suy ra MH =
. Ta có: SM ⊥ BC ⇒ (
( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA
2 7
Đặt OM =
x ⇒ AM =
3 x, OA =
2x .
=
⇒ SO OM .tan
=
600 x 3 và
SA
=

(

x 3

)

2

2

Trong SAM ta có:

SA.MH = SO. AM
3a
a .
⇔ x 7. = x 3.3 x ⇔
=
x
2 7
2 3
Khi đó:
AM =3 x =3.
=
VS . ABC

S

+ ( 2 x )= x 7 .

H
C

A

a

a 3
=
⇒ AB =a .
2
2 3

1
1 a2 3 a a2 3
=
.S ∆ABC .SO =
.
.
3
3 4 2
24

O

N

B

Câu 38. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2 3a , BD = 2a , hai mặt
phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

a 3
. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a .
4

a3 3
C.
.
3
Hướng dẫn giải
Ta có tam giác ABO vuông tại O và

a3 3
A.
.
16

a3 3
B.
.
18

a3 3
D.
.
12

S

AO = a 3 ,
BO = a . Do đó
AO
tan 600 ⇒ 
ABO =
600 .
=3 =
BO
Suy ra ∆ABD đều.

I
D

2a 3

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C

A
O

B

13


Ta có:

( SAC ) ⊥ ( ABCD )

⇒ SO ⊥ ( ABCD
( SBD ) ⊥ ( ABCD )

SO
( SAC ) ∩ ( SBD ) =
.
Trong tam giác đều ABD , gọi H là
trung điểm AB,
K là trung điểm BH,
suy ra DH ⊥ AB và DH = a 3 ; OK / / DH và=
OK

1
a 3
.
=
DH
2
2

Suy ra OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) .
Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có: OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) .
⇒ OI =
d O; ( SAB )  .

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao:

1
1
1
a
.
=
+
⇒ SO =
2
2
2
OI
OK
SO
2

1
1
1 1
a3 3
.S ∆ABCD .SO
.4.
.4. =
.OA.OB.SO
=
=
S ∆ABO .SO
3
3
3 2
3
Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình chóp
là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .
=
VS . ABCD

A. 2a 3 3 .

B. 4a 3 3 .

Gọi M là trung điểm của CD ,
trong ∆SOM kẻ đường cao OH
.
⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH =
a.

C. 6a 3 3 .
Hướng dẫn giải:

S

Đặt CM = x . Khi đó OM = x ,

A

SM = x 3 ,
2
SO
= SM 2 − x=
x 2.
Ta có: SM .OH = SO.OM

⇒ CD
= a 6, =
SO a 3

a

A

a 6
2

⇔ x 3.
=

a x 2.x ⇒=
x

D. 8a 3 3 .

D
M

O
B

H

x

C

1
1
1 2
.=
S ABCD .SO =
.CD 2 .SO
=
.6a .a 3 2a 3 3 .
3
3
3
Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) . ABCD là hình thang vuông tại A và B biết
=

VS . ABCD

AB = 2a . =
AD 3=
BC 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a biết góc giữa ( SCD ) và

( ABCD )

bằng 600 .

A. 2 6a 3 .

14

B. 6 6a 3 .

C. 2 3a 3 .
Hướng dẫn giải:

D. 6 3a 3 .

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Dựng AM ⊥ CD tại M .
 = 600 .
Ta có: SMA
AD + BC
. AB 4a 2
=

2

S ABCD
=

( AD − BC )

CD =
=
S ABC
S ACD

S

2

+ AB 2 = 2a 2

1
=
AB.BC a 2
2
= S ABCD − S ABC = 3a 2

S ACD =

A

D
M

C

B

2 S ACD 3 2
1
AM .CD ⇒ AM =
a
=
2
2
CD

1
 3 6 a=
. VS . ABCD =
Ta có: SA AM
=
=
.tan SMA
SA.S ABCD 2 6a 3 .
3
2
Câu 41. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình thang vuông tại A và B biết
AB = 2a . =
AD 3=
BC 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến

mặt phẳng ( SCD) bằng

3 6
a.
4

A. 6 6a 3 .

B. 2 6a 3 .

Dựng AM ⊥ CD tại M .
Dựng AH ⊥ SM tại H .

C. 2 3a 3 .
Hướng dẫn giải:

S

3 6
Ta có: AH =
a .
4
AD + BC
=
S ABCD =
. AB 4a 2
2

CD =

( AD − BC )

2

H

+ AB 2 = 2a 2

A

1
=
S ABC =
AB.BC a 2
2
S ACD = S ABCD − S ABC = 3a 2

1
1
1
=
+
⇒ AS=
2
2
AH
AM
AS 2

D
M

AH . AM
AM 2 − AH 2

C

B

2 S ACD 3 2
1
S ACD =
AM .CD ⇒ AM =
=
a
2
CD
2

Ta có:

D. 6 3a 3 .

=

3 6
a
2

1
=

SA.S ABCD 2 6a 3
3
Câu 42. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và ( ABC ) bằng 60°
=
VS . ABCD

= 60° . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên ( ABC )
, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC

trùng với trọng tâm của ∆ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a bằng
13a 3
A.
.
108

7a3
B.
.
106

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

15a 3
C.
.
108
Hướng dẫn giải:

9a 3
D.

.
208

15


Gọi M , N là trung điểm của AB, AC

B'

C'

và G là trọng tâm của ∆ABC .


B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ BB
', ( ABC ) ==
B
' BG 600 .

)

(

A'

1
1
=
.S ∆ABC .B ' G

. AC.BC.B ' G
3
6

Xét ∆B ' BG vuông tại G , có B
' BG = 600

=
VA '. ABC

B

a 3
⇒ B ' G =. (nửa tam giác đều)
2

60°

C
G

M

N

60°

A

 = 600

Đặt AB = 2 x . Trong ∆ABC vuông tại C có BAC
AB
⇒ tam giác ABC là nữa tam giác đều ⇒ AC =
= x, BC = x 3
2
3
3a
Do G là trọng tâm ∆ABC ⇒ BN =
.
BG =
2
4
2
Trong ∆BNC vuông tại C : BN
=
NC 2 + BC 2
3a

 AC = 2 13
2
2
2
x
9a
9a
3a

⇔
=
+ 3x 2 ⇔ x 2 =

⇒x=
⇒
16
4
52
2 13
 BC = 3a 3

2 13
1 3a 3a 3 a 3 9a 3
.
=
.
.
.
6 2 13 2 13 2
208
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm
a
O của tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng .Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C '
6
.
Vậy, VA ' ABC
=

A.

3a 3 2
.
8

B.

3a 3 2
.
28

3a 3 2
.
4
Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của BC ,
ta có ( A ' AM ) ⊥ ( A ' BC ) theo giao tuyến

C.

C'

B'

⇒ OH ⊥ ( A ' BC )
a
.
6

a2 3
.
S ∆ABC =
4

Xét hai tam giác vuông A ' AM và OHM có
 chung nên chúng đồng dạng.
góc M

16

3a 3 2
.
16

A'

A'M .
Trong ( A ' AM ) kẻ OH ⊥ A ' M ( H ∈ A ' M ) .

Suy ra: d ( O, ( A ' BC=
=
) ) OH

D.

A

C

H
O

M

B

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


a
OH
OM
Suy ra:
=
⇒ 6 =
A' A A'M
A' A

1 a 3
.
1
3 2
⇒
=
A' A
A ' A2 + AM 2

3
a 3
A ' A2 + 

 2 

2

.

a 6
a 6 a 2 3 3a 3 2
.
⇒ A ' A = . Thể tích: V
=
S
=
.
A
'
A
=
.
ABC . A ' B ' C '
∆ABC
4
4
4
16
VẬN DỤNG CAO
Câu 44. Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS = 2 NC . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp A.BMNC và S . AMN . Tính tỉ số

V1
.
V2

A.

V1 2
=
V2 3

B.

V1 1
=
V2 2

C.

V1
= 2.
V2

D.

V1
=3
V2

Hướng dẫn giải
S

VS . AMN SM SN 1 2 1
=
⋅

= ⋅ = ;
VS . ABC
SB SC 2 3 3

VS . AMN + VA.BMNC =
VS . ABC .
Suy ra,

N

M

VA.BMNC
= 2.
VS . AMN

C

A

B

Câu 45. Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS = 2 NC , P là điểm trên cạnh SA sao cho PA = 2 PS . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích của
các khối tứ diện BMNP và SABC . Tính tỉ số
A.

V1 1
= .
V2 9

B.

V1 3
= .
V2 4

V1
.
V2

C.

V1 2
= .
V2 3

D.

V1 1
= .
V2 3

Hướng dẫn giải

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

17

S

1
⋅ d ( N , ( SAB)) ⋅ S BMP
VN .BMP 3
=
;
1
VC .SAB
⋅ d (C, ( SAB)) ⋅ S SAB
3
d ( N , ( SAB)) NS 2
= =
,
d (C, ( SAB)) CS 3

P

N

M

1
1 1
S BPS=
⋅ S SAB
2
2 3
VN .BMP 2 1 1
= ⋅ = .

Suy ra,
VC .SAB 3 6 9
S BPM=

C

A

B

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
( ABCD) bằng 45° , M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB . Tính thể tích
V của khối tứ diện DMNP .

A. V =

a3
6

B. V =

a3
4

C. V =

a3
12

D. V =

a3
2

Hướng dẫn giải
Ta có:

S SMN SM SN 1
=
⋅
= .
S SAB
SA SB 4

S

S BNP 1 S AMP 1
Tương tự,
.
,
=
=
S SAB 4 S SAB 4

Suy ra

S MNP 1
= (có thể khẳng định
S SAB 4

M
N

S MNP 1
= nhờ hai tam giác MNP và
S SAB 4

A

BAS là hai tam giác đồng dạng với tỉ số
1
k = ).
2
V
1
Do đó D.MNP = (1)
VD.SAB 4
V=
V=
D . SAB
S . DAB

VS . ABCD
=

D

45°

P

O
B

C

1
VS . ABCD . (2)
2

1
1
4a 3
(3). Từ (1), (2) và (3):
SO.S ABCD
= OP.tan 45°.S ABCD
=
3
3
3

1 1 4a 3 a 3
.
=
. .
4 2 3
6
Câu 47. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a ; cạnh bên
=
VDMNP

AA′ = 2a . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC . Tính
thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
1
A. V = a 3 .
2

a3
B. V = .
3

C. V = a .
3

2a 3
D. V =
.
3

Hướng dẫn giải
18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


B'

A'

Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung

tuyến BH cũng là đường cao của nó, và
1
HB
AC
= HA
= HC
=
= a.
2

A′H=

A′A2 − AH 2=

VABC . A′B′C ′ = A′H ⋅ S ABC

C'
a 2

2a 2 − a 2= a .
1
= A′H ⋅ BH ⋅ AC = a 3
2

B

A
a

a

H
a

C

Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi G1 , G2 , G3 và G4
lần lượt là trọng tâm các mặt ABC , ABD, ACD và BCD . Biết AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a .
Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 .
A. 4a 3

B. a 3

Trong trường hợp tổng quát, ta
chứng
minh được VG1G2G3G4

C. 108a 3
Hướng dẫn giải

D. 36a 3

D

1
= VABCD .
27

Thật vậy,
ta có (G2G3G4 )  (CBA) và

G2G3G4 ) CBA (tỉ số đồng dạng

G3
G2

G4

A

SG G G4
1
1
2
và
k=
k = ) . Từ đó: 2 3 =
SCBA
9
3

C

G1
M

d (G1 , (G2G3G4 )) = d (G4 , ( ABC ))
1
1
B
=

d ( D, ( ABC )) (do G4 M
DM )
3
3
VG G G G
d (G1 , (G2G3G4 )) SG2G3G4 1 1 1
Suy ra 1 2 3 4 =
⋅
= ⋅ =
VABCD
d ( D, ( ABC ))
SCBA
3 9 27

1
1 1
4a 3
VABCD =⋅ . AB. AC. AD =
⇒ VG1G2G3G4 =
27
27 6
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB
= CD
= 11m , BC
= AD
= 20m , BD
= AC
= 21m . Tính thể tích khối
tứ diện ABCD .

A. 360m3

B. 720m3

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

C. 770m3
Hướng dẫn giải

D. 340m3

19


Dựng tam giác MNP sao cho C, B,
A
D lần lượt là trung điểm các cạnh
MN, MP, NP.
Do BD là đường trung bình tam
z
1
x
giác MNP nên BD = MN hay
11
2
21
20
1
AC = MN .
y

2
B
Tam giác AMN vuông tại A (do
M
20
21
có trung tuyến bằng một nửa cạnh
11
tương ứng), hay AM ⊥ AN .
C
Tương tự, AP ⊥ AN và
N
AM ⊥ AP .
1
1
1
1
Ta có S MBC = S MNP , S NCD = S MNP , S BPD = S MNP .Suy ra S BCD = S MNP .
4
4
4
4
1
Từ đó, VABCD = VAMNP
4

P
D

 x2 + y 2 =

4.202

AM
AN
AP
. Đặt
. Ta có  y 2 + z 2 =
4.212 ,
=
x
=
,y =
,z
m
m
m
 x2 + z 2 =
4.112


 x 2 = 160

1
1
suy ra  y 2 =1440 ⇒ xyz =1440 ⇒ VABCD = VAMNP =360m3
6
4
 z 2 = 324

(AM, AN, AP đôi một vuông góc nên VAMNP =

1
AM . AN . AP )
6

2
(a 2 + b 2 − c 2 )(a 2 − b 2 + c 2 )(−a 2 + b 2 + c 2 )
12
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là vuông; mặt bên ( SAB) là tam giác đều và nằm trong
=
V

mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) bằng

3 7a
7

. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
1
A. V = a 3 .
3

B. V = a 3 .

C. V =

2 3
a .
3

D. V =

3a 3
.
2

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH là
chiều cao khối chóp đã cho.
Kí hiệu x là độ dài cạnh đáy.
3 3
3
x .
x và VS . ABCD =
6
2
Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD) ;

Ta có SH =

Kẻ HL ⊥ SK (L ∈ SK ) .
Suy ra HL ⊥ ( SCD) và

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD))
= HL

=

HS ⋅ HK

=
HS + HK 2
2

S

21
x
7

L
A

D

H
K
X

B

C

21
3 7a
3 3

3
3 3
=
x
⇒=
x a 3 . Suy ra VS=
=
x
(a=
3)3
a
. ABCD
7
7
6
6
2
Câu 51. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2 SM ,
SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các khối

Theo gt,

đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S ,
( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số
4
5

3
4
D.

4
3
Hướng dẫn giải
Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC .
Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của (α ) với các đường thẳng BC , AC .
A.

B.

5
4

V1
.
V2

C.

Ta có NP //MQ //SC . Khi chia khối ( H1 ) bởi mặt phẳng (QNC ) , ta được hai khối chóp N .SMQC
và N .QPC .
V
d ( N , ( SAC )) S SMQC
Ta =
có: N .SMQC
;
⋅
VB. ASC
d (B, ( SAC )) S SAC

S

d ( N , ( SAC )) NS 2
;
= =
d (B, ( SAC )) BS 3

S AMQ
S ASC

M

2

S SMQC 5
4
 AM 
=
⇒
=.

 =
9
S ASC
 AS  9

Suy ra

VN .SMQC
VB. ASC

=

N

2 5 10
⋅ =
3 9 27

VN .QP C d ( N , (QP C )) SQPC
=
⋅
VS . ABC d (S, (A BC )) S ABC

C
A

Q
P
B

NB CQ CP
1 1 2 2
=⋅
⋅
=
=
⋅ ⋅ =
SB CA CB
3 3 3 27
V1 VN .SMQC VN .QP C 10 2 4

V1
4
V 4
=
+
= +
= ⇒
= ⇒ 5V1 =4V2 ⇒ 1 =
V
VB. ASC VS . ABC 27 27 9 V1 + V2 9
V2 5

Câu 52. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng ( SAB) ,
( SAC ) và ( SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) các góc bằng nhau. Biết AB = 25 , BC = 17 ,

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

21


AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp
S . ABC .
B. V = 680 .
C. V = 578 .
D. V = 600 .
A. V = 408 .
Hướng dẫn giải
Gọi J là chân đường cao của hình chóp
S
S.ABC; H, K và L lần lượt là hình chiếu của J

,
trên các cạnh AB, BC và CA . Suy ra, SHJ

 và SKJ
 lần lượt là góc tạo bởi mặt
SLJ
phẳng ( ABC ) với các mặt phẳng (S AB) ,
( SBC ) và ( SAC ) . Theo giả thiết, ta có


 , suy ra các tam giác
SHJ
= SLJ
= SKJ
vuông SJH , SJL và SJK bằng nhau. Từ đó,
JH
= JL
= JK . Mà J nằm trong tam giác
ABC nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.
Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính được
diện tích S của tam giác ABC là S = 204 .
Kí hiệu p là nửa chu vi tam giác ABC, r là

bán kính đường tròn nội tiếp của ABC. Ta có
S 204
x BH
= BL ,
=
r =

= 6 . Đặt=
p 34
y CL
=
= CK ,

z=17

y=9

K

C

A
J

z=17

y=9

H
L
x=8
x=8

B

z

K

y

C

A
y
J

z

L

=
= AK .
z AH

17
x + y =

Ta có hệ phương trình  x + z =
25 .
y + z =
26


H
x

x
B

Giải ra được ( x; y; z ) = (8;9;17)

JB =

JH 2 + BH 2 = 62 + 82 = 10 .
= ( SB

Ta có SBJ
= JB
= 10 .
, ( ABC ))= 45° , suy ra SJB là tam giác vuông cân tại J. SJ
Thể tích V của khối chóp S.ABC
là V
=

1
=
SJ .S ABC 680
3

Tài liệu này thuộc Series TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

VIP KYS







Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email
Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%
Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K
Nhận tài liệu, sách độc quyền dành riêng cho VIP

Đăng kí VIP tại: bit.ly/vipkys
22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦