GIẢI CHI TIẾT vị trí tương đối

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
CHỦ ĐỀ 30. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

VIP

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Trong không gian Oxyz , Cho ba mặt phẳng (α ) : x + y + 2 z + 1 =
0 ; (β ) : x + y − z + 2 =
0;
(γ ) : x − y + 5 =
0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. (α ) / /(γ ) .
B. (α ) ⊥ ( β ) .
C. (γ ) ⊥ ( β ) .
Lời giải.

(α ) : x + y + 2 z + 1 =
0 có VTPT a = (1;1; 2 )

b (1;1; −1)
(β ) : x + y − z + 2 =
0 có VTPT=

c (1; −1;0 )
(γ ) : x − y + 5 =
0 có VTPT =
 


 ( 2; 2; −2 ) ≠ 0 ⇒ (α ) và ( γ ) không song song nhau
Ta có  a; c=


0 (α ) ⊥ ( β )
Ta có a.b =⇒

0 (α ) ⊥ ( γ )
Ta có a.c =⇒

0 ( β ) ⊥ (γ )
Ta có b.c =⇒
Do đó chọn đáp án A.
Câu 2.

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng ∆1 :

 x= 2 + t

∆2 :  y =
3 + 2t có một vec tơ pháp tuyến là
z = 1− t




A. . =
B. . n = (5; −6; −7)
C. n = (−2;6;7) .
n (5; −6;7)

Lời giải.
∆1 có một VTCP là u=
( 2; −3; 4 ) ,
1
u1
∆ 2 có một VTCP là=

x − 2 y +1 z
=
=;
2
4
−3


D. n =(−5; −6;7) .

(1; 2; −1) .

 

Do ( P ) song song với ∆1 , ∆ 2 nên ( P ) có một VTPT là n = u1 , u2  =
Do đó chọn đáp án B.

Câu 3.

D. (α ) ⊥ (γ ) .

( −5;6;7 )

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : 5 x + my + z − 5 =
0 và (Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 =
0
.Tìm m, n để ( P ) / / ( Q ) .
3
3
C. m =
; n = −10 . B. m =
− ;n =
10 .
3.
−5; n =
2
2
Lời giải.

( P ) : 5 x + my + z − 5 =
0 có VTPT a = ( 5; m;1)

(Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 =
0 có VTPT b = ( n; −3; −2 )

A. m =

D. m = 5; n = −3 .

0
−2m + 3 =
3


 

m=


( P ) // ( Q ) ⇔  a; b  =0 ⇔ n + 10 =0 ⇔  2
−15 − mn =
n = −10
0

Chọn đáp án A.
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1


Câu 4.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

( P ) : 2 x − my − 4 z − 6 + m =
0 và

(Q) : (m + 3) x + y + (5m + 1) z − 7 =
0 . Tìm m để ( P ) ≡ (Q) .

6
A. m = − .
5

B. m = 1 .

D. m = −4 .

C. m = −1 .

Lời giải.

2
1
−m
−4
−6 + m 
=
=
=

 m ≠ −3, −  ⇔ m = −1
1
5m + 1
5
m+3
−7 
Chọn đáp án A.

( P ) ≡ (Q ) ⇔

Câu 5.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 =
0 và

(Q) : 6 x − y − z − 10 =
0 .Tìm m để ( P) ⊥ (Q) .

A. m = 4 .

B. m = −4 .

C. m = −2 .

D. m = 2 .

Lời giải.

( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 =
0 có VTPT a = ( 2; m; 2m )

(Q) : 6 x − y − z − 10 =
0 có VTPT b = ( 6; −1; −1)

( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ a.b =0 ⇔ 2.6 + m. ( −1) + 2m. ( −1) =0 ⇔ m =4
Chọn đáp án A.
Câu 6.

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : y − 9 =
0 . Xét các mệnh đề sau:
(I) ( P ) / / ( Oxz )
(II) ( P ) ⊥ Oy
Khẳng định nào sau đây đúng:
A.Cả (I) và (II) đều sai.

C.(I) sai, (II) đúng.

B.(I) đúng, (II) sai.
D.Cả (I) và (II) đều đúng.

Lời giải.

( Oxz ) có VTPT a = ( 0;1;0 )

( P ) / / ( Oxz ) đúng

Oy có VTCP a = ( 0;1;0 ) cũng là VTPT của ( P )
( P ) ⊥ Oy đúng
Chọn đáp án A.
Câu 7.

Trong không gian Oxyz , cho điểm I (2;6; −3) và các mặt phẳng : (α ) : x − 2 =
0 ; (β ) : y − 6 =
0;
(γ ) : z − 3 =
0
A. (α ) ⊥ ( β ) .

B. ( β ) //(Oyz ) .

C. (γ )//oz .

D. (α ) qua I .

Lời giải.


(α ) : x − 2 =
0 có VTPT a = (1;0;0 )

(β ) : y − 6 =
0 có VTPT b = ( 0;1;0 )

(γ ) : z + 3 =
0 có VTPT c = ( 0;0;1)


A sai vì Oz có VTCP u = ( 0;0;1) và u.c= 1 ≠ 0

B sai vì ( β ) / /(Oyz ) sai vì b = ( 0;1;0 )
D sai vì thay tọa độ điểm I vào (α ) ta thấy không thỏa mãn nên I ∉ (α ) .
2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦



0 (α ) ⊥ ( β ) .
C đúng vì ta có a.b =⇒
Câu 8.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0

x − 12 y − 9 z − 1

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
= =
4
3
1
A. d ⊂ ( P ) .
B. d // ( P ) .
C. d cắt ( P ) .

và đường thẳng d :

D. d ⊥ ( P) .

Lời giải.

a ( 3;5; −1)
( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0 có VTPT=

x − 12 y − 9 z − 1
có VTCP b = ( 4;3;1)
d: = =
3
1
 4
a.b ≠ 0 ⇒ d không song song với ( P ) và d ⊄ ( P )
 

 a; b  ≠ 0 ⇒ d không vuông góc ( P )
 
Chọn đáp án A.

Câu 9.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 =0 và

đường thẳng d :

 x =−1 + 2t

 y= 3 + 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 z = 3t

A. d / /

( P) .

C. d cắt ( P ) .

B. d ⊂ ( P ) .

Lời giải.

a
( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 =0 có VTPT =

D. d ⊥ ( P) .

( 3; −3; 2 )

 x =−1 + 2t


d :  y= 3 + 4t có VTCP b = ( 2; 4;3)
 z = 3t


a.b = 0

Ta có  A ( −1;3;3) ∈ d ⇒ d / / ( P )

A∉( P)
Chọn đáp án A.

x= 1+ t

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 =
0 và đường thẳng d :  y = 1 + 2t .
 z= 2 − 3t

Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là:
A. Vô số.

B. 1.

C. Không có.

D. 2.

Lời giải.


( P ) : x + y + z − 4 =0 có VTPT a = (1;1;1)

x= 1+ t


d :  y = 1 + 2t có VTCP=
b
 z= 2 − 3t


(1; 2; −3)

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

3



a.b = 0

Ta có  A (1;1; 2 ) ∈ d ⇒ d ⊂ ( P )
A∈ P

Chọn đáp án A.

x − 12 y − 9 z − 1
và mặt
Câu 11. Trong không gian Oxyz , tọa độ giao điểm M của đường thẳng d : = =
4

3
1
phẳng ( P ) : 3 x + 5 y – z – 2 =
0 là
A. ( 0; 2;3) .

C. ( 0;0; 2 ) .

B. ( 0;0; −2 ) .

D. . ( 0; −2; −3) .

Lời giải.
=
 x − 4t 9 =
x 0

y 0
=
 y − 3t 9 =

. Vậy chọn đán án A.
Giải hệ 
⇒
 z − t =1
 z =−2
3 x + 5 y − z =2 t =−3
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + my − 3 z + m − 2 =
0 và đường thẳng d :

 x= 2 + 4t

 y = 1 − t . Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
 z = 1 + 3t

A. m ≠

1
.
2

B. m = −1 .

C. m =

Lời giải.

=
a
0 có VTPT
( P ) : 2 x + my − 3z + m − 2 =

1
.
2

D. m ≠ −1 .

( 2; m; −3)

 x= 2 + 4t


d :  y = 1 − t có VTCP =
b ( 4; −1;3)
 z = 1 + 3t


d cắt ( P ) ⇔ a.b ≠ 0 ⇔ 2.4 − m + ( −3) .3 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1
Chọn đáp án A.
Câu 13. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

đường

thẳng

 x= 2 − t

d :  y =−3 + t
 z = 1+ t


và

mặt

phẳng

( P) : m 2 x − 2my + (6 − 3m) z − 5 =
0.
Tìm m để d / /( P)
 m =1
A. 
.
 m = −6

 m = −1
B. 
.
 m=6

 m = −1
C. 
.
 m=6

D. m ∈∅ .

Lời giải.

Ta có d đi qua M (2; −3;1) và có VTCP u (−1;1;1)


Và ( P) có VTPT n(m 2 ; −2m;6 − 3m)
Để d song song với ( P) thì

4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


 

 (−1).m 2 − 2m + 6 − 3m =
−m 2 − 5m + 6 =
0
0
 m =1
0
 u ⊥ n
 u.n =
⇔
⇔
⇔ 2
⇔

2
 m = −6
2m − 2.(−3)m + 6 − 3m ≠ 0
 2m − m − 4 ≠ 0
 M ∉ ( P)
 M ∉ ( P)
Câu 14. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

x −1 y − 7 z − 3
và
d:= =
2
1
4

x − 6 y +1 z + 2
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
d ': = =
3
1
−2
A. song song.
B. trùng nhau.

C. cắt nhau.
D. chéo nhau.

Lời giải.

d có VTCP u = (2;1; 4) và đi qua M (1;7;3)

d ' có VTCP u=' (3; −2;1) và đi qua M '(6; −1; −2)
Từ đó ta có

 

MM ' = (5; −8; −5) và=
[u , u '] (9;10;7) ≠ 0
  
Lại có [u , u '].MM ' = 0
Suy ra d cắt d '

 x = 1 + 2t
 x = −2t


Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y= 2 − 2t và d ' :  y =−5 + 3t . Trong các mệnh
 z =t
 z= 4 + t


đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. song song.
B. trùng nhau.

C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Lời giải.

d có VTCP =
u (2; −2;1) và đi qua M (1; 2;0)

d ' có VTCP u ' = (−2;3;1) và đi qua M '(0; −5; 4)
Từ đó ta có

 

MM ' =(−1; −7; 4) và [u , u '] =
(−2;1;6) ≠ 0
  
Lại có [u , u '].MM=' 19 ≠ 0
Suy ra d chéo nhau với d ' .
x−7 y−2 z
x − 2 y z +1
và d ' : = =
.
= =
−6
9
12
4
−6 −8
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A. song song.
B. trùng nhau.

C. chéo nhau.
D. cắt nhau.

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d :

Lời giải.

d có VTCP u = (4; −6; −8) và đi qua M (2; 0; −1)

d ' có VTCP u ' = (−6;9;12) và đi qua M '(7; 2;0)
Từ đó ta có

  
MM ' = (5; 2;1) và [u , u '] = 0
  
Lại có [u , MM '] ≠ 0
Suy ra d song song với d ' .

 x =−1 + 12t
 x=


Câu 17. Hai đường thẳng d :  y= 2 + 6t và d ′ :  y=
 z= 3 + 3t
 z=


A. trùng nhau.
B. song song.
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7 + 8t
6 + 4t có vị trí tương đối là:.
5 + 2t
C. chéo nhau.

D. cắt nhau.
5


Lời giải.

d có VTCP u = (12;6;3) và đi qua M (−1; 2;3)

d ' có VTCP u ' = (8; 4; 2) và đi qua M ′(7;6;5)
Từ đó ta có

MM ' = (8; 4; 2)
  
  
Suy ra [u , MM ']=0 và [u , u '] = 0
Suy ra d trùng với d ' .

 x =−1 + t
x −1 y + 2 z − 4

và d ' :  y = −t có vị trí
Câu 18. Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d : = =
−2
1

3
 z =−2 + 3t

tương đối là:
A. trùng nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Lời giải.

d có VTCP u = (−2;1;3) và đi qua M (1; −2; 4)

d ' có VTCP u=' (1; −1;3) và đi qua M '(−1;0; −2)
Từ đó ta có

MM ' =
(−2; 2; −6)
 

  
=
[u , u '] (6;9;1) ≠ 0 và [u , u '].MM ' = 0
Suy ra d cắt d ' .
x −1 y + 2 z − 4
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = =
. và .
1
3
−2

cắt nhau. Tọa độ giao điểm I của d và d ' là
A. I (1; −2; 4) .
B. I (1; 2; 4) .
C. I (−1;0; −2) .

 x =−1 + t

d ' :  y = −t
 z =−2 + 3t


D. I (6;9;1) .

Lời giải.
−1 + t − 1 −t + 2 −2 + 3t − 4
= =
−2
1
3
−2 + t −t + 2 −6 + 3t
⇔
=
=
−2
1
3
⇔t=
2
Từ đó suy ra giao điểm I của d và d ' là I (1; −2; 4)
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 6 z + 17 =

0 ; và mặt phẳng
( P) : x − 2 y + 2 z + 1 =
0.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = 5 .
B. ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn.
C. Mặt phẳng ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) .
D. Khoảng cách từ tâm của ( S ) đến ( P ) bằng 1 .
Lời giải.
2
2
2
5 có tâm I ( 2; −3; −3) và bán kính R = 5
( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 3) =
6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


d  I ; ( P )  =

2 − 2. ( −3) + 2. ( −3) + 1
12 + ( −2 ) + 22
2

=1 < R = 5

⇒ ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn
Chọn đáp án A.

Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

(S )

có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt phẳng

(α ) : 2 x − 2 y − z + 3 =0 . Mặt cầu ( S ) có bán kính

C. R =

B. R = 2 .

A. R = 1 .
Lời giải.

( P)

R bằng:

 I ; ( P ) 
tiếp xúc (=
S ) ⇒ R d=

2
.
3

D. R =

2

.
9

2.2 − 2.1 − 1. ( −1) + 3
= 2
2
2
2
2 + ( −2 ) + ( −1)

Chọn đáp án A.
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 3 =
0 và điểm I (1;0; 2) . Phương trình
mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là:
A. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
1.

B. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) =
1.

C. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) =
3.

D. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
3.

2

2

2

2

2

2

Lời giải.

( P)

S ) ⇒ R d=
tiếp xúc (=
 I ; ( P ) 

2

2

2.1 − 2.0 − 2 − 3
= 1
2
2
2
2 + ( −2 ) + ( −1)

1
⇒ ( S ) : ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) =
2

2

Chọn đáp án A.
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 4 z − 5 =
0 . Phương trình mặt
phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) là:
A. 2 x − y + 3 z − 4 =
0 . B.
D.
x − y + 3z − 3 =
0.

− x + 2 y − 2 z + 1 =0 .

C. 2 x − 2 y + z + 7 =
0.

Lời giải.

( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) ⇒ ( P ) qua M (1;1;1) và có VTPT IM với

I ( −1; 2; −2 ) là tâm của mặt cầu ( S )

= ( 2; −1;3)
Ta có IM
⇒ ( P ) : 2 x − y + 3z − 4 =
0
Chọn đáp án A.
Câu 24. Trong không gian Oxyz , ho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 =

0 , mặt phẳng

0 . Giá trị của
( P ) : 4x + 3y + m =

 m > 11
A. 
.
 m < −19

m để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) .

B. −19 < m < 11 .

C. −12 < m < 4 .

m > 4
D. 
.
 m < −12

Lời giải.
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 =
0 có tâm I (1;0;1) và bán kính R = 3
cắt mặt cầu ( S ) ⇔ d  I ; ( P )  < R ⇔

( P)

4.1 + 3.0 + m
42 + 32

<3

⇔ m + 4 < 15 ⇔ −19 < m < 11
Chọn đáp án A.
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z − 11 =
0 . Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;1)
và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H , khi đó H có tọa độ là:
A. H (−3; −1; −2) .

B. H (−1; −5;0) .

C. H (1;5;0) .

D. H (3;1; 2) .

Lời giải.
( S ) có tâm I (1; −2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H ⇒ H là hình chiếu của I lên

( P)
 x = 1 + 2t

Đường thẳng đi qua I (1; −2;1) và vuông góc với ( P ) là d :  y =−2 + 3t ( t ∈ R )
z = 1+ t


H (1 + 2t ;3t − 2;1 + t ) ∈ d

H ∈ ( P ) ⇔ 2 (1 + 2t ) + 3 ( 3t − 2 ) + (1 + t ) − 11 = 0 ⇔ t =1
⇒ H ( 3;1; 2 )
Chọn đáp án A.
9 và
( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3) =
để ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C )

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

1 . Giá trị của
( P ) : 2x + y + 2z =
A. −

17
1
≤a≤ .
2
2

B. −

a

17
1
2
2

2

C. −8 < a < 1 .

2

2

mặt phẳng

D. −8 ≤ a ≤ 1 .

Lời giải.
2
2
2
9 có tâm I ( a; 2;3) và có bán kính R = 3
( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3) =

( P)
⇔

cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C ) ⇔ d  I ; ( P )  < R

2.a + 2 + 2.3 − 1
22 + 12 + 22

< 3 ⇔ 2a + 7 < 9 ⇔ −8 < a < 1

x y −1 z − 2
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : =
và và mặt cầu
=
2
1
−1
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 =0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:
A. 0.
B. 0.
C. 2.
D. 3.

Lời giải.

u
Đường thẳng ∆ đi qua M = ( 0;1; 2 ) và có VTCP=

(S ) :

( 2;1; − 1)

I (1;0; − 2 ) và bán kính R=2
Mặt cầu ( S ) có tâm=

 
Ta có MI = (1; −1; −4 ) và u , MI  =
( −5;7; −3)
 
u , MI 

498

⇒ d=

( I , ∆)  =
6
u
8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Vì d ( I , ∆ ) > R nên ∆ không cắt mặt cầu ( S ) .
x + 2 y z −3
=
= và và mặt cầu (S):
−1
1
−1
2
2
2
x + y + z − 2 x − 4 y + 6 z − 67 =
0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:
A. 3.
B. 0.
C. 1
D. 2.

Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

Lời giải.
Đường thẳng ∆ đi qua M =



( −2;0;3) và có VTCP u =( −1;1; − 1)
Mặt cầu ( S ) có tâm=
I (1; 2; − 3) và bán kính R=9

 
MI ( 3; 2; −6 ) và u , MI  =( −4; −9; −5 )
Ta có =
⇒ d=
( I , ∆)

 
u , MI 


=

u

366
3

Vì d ( I , ∆ ) < R nên ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt.
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1; −2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục
Oy là:

2
2
2
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
9.
10 .
C. ( x + 1) + ( y − 2 ) ( z + 3) =
10 .
2

2

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
10 .

2

2

2

2

Lời giải.
Gọi M là hình chiếu của I (1; −2;3) lên Oy, ta có: I ( 0; −2;0 ) .


IM =( −1;0; −3) ⇒ R =d ( I , Oy ) =IM = 10 là bán kính mặt cầu cần tìm
Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
10.
2

2

2

Câu 30. Trong không gian Oxyz , Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I (1; −2;3) và đường
x +1 y − 2 z + 3
. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:
thẳng d có phương trình = =
2
1
−1
2
2
2
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
50 .
5 2.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) =
5 2.
2

2

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) =
50 .
2

2

2

2

Lời giải.


=
u
Đường thẳng ( d ) đi qua I ( −1; 2; −3) và có VTCP

( 2;1; − 1) ⇒ d ( A, d )=

 
u , AM 


= 5 2

u

Phương trình mặt cầu là : ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) =
50.
2

Câu 31. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

2

mặt

2

phẳng

ba

mặt

( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 =0 và ( R ) : − x + 2 y + nz =0 . Tính tổng
( P ) / / (Q )
A. −6 .

B. 1.

C. 0.

( P ) : x + y + z − 1 =0 ,
m + 2n , biết rằng ( P ) ⊥ ( R ) và
phẳng

D. 6.

Lời giải.

( P ) : x + y + z − 1 =0 có VTPT a = (1;1;1)

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

9




( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 =0 có VTPT b = ( 2; m; 2 )

( R ) : − x + 2 y + nz =0 có VTPT c = ( −1; 2; n )

( P ) ⊥ ( R ) ⇔ a.c =0 ⇔ n =−1
2 m 2
= = ⇔m=2
1 1 1
Vậy m + 2n = 2 + 2 ( −1) = 0

( P ) / / (Q ) ⇔

Chọn đáp án A
Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P) :

x − 2 y + 3 z + −4 = 0 và đường thẳng d :

x − m y + 2m z
. Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P )
= =
1
3
2
thuộc mặt phẳng ( Oyz ) .

A. m =

4
.
5

B. m = −1 .

C. m = 1 .

D. m =

12
.
17

Lời giải.
 3

d ∩ ( P ) =A ∈ ( Oyz ) ⇒ A  0; a − 2; a 
 2

3
a − 2 + 2m
a
2
A ∈ d=
⇒ 0−m
=
3
2
a = −2m
a = −2

⇒ 3
⇒
 2 a − 2 + 2m =−3m m = 1

Chọn đáp án A.

 x =−1 + t
x −1 y + 2 z − 4


Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = =
và d ' :  y = −t cắt
−2
1
3
 z =−2 + 3t

nhau. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
A. 6 x + 9 y + z − 8 =
B. 6 x + 9 y + z + 8 =
0.
0.
C. −2 x + y + 3 z − 8 =
D. 6 x − 9 y − z − 8 =
0.
0.
Lời giải.

d có VTCP u = (−2;1;3) và đi qua M (1; −2; 4)

d ' có VTCP u=' (1; −1;3) và đi qua M '(−1;0; −2)
Từ đó ta có

MM ' =
(−2; 2; −6)
 

  
=

[u , u '] (6;9;1) ≠ 0 và [u , u '].MM ' = 0
Suy ra d cắt d ' .
  
Mặt phẳng ( P) chứa d và d ' đi qua giao điểm của d và d ' ; có VTPT n =[u , u ']
Từ phương trình đường thẳng d và d ' , ta có:

10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


−1 + t − 1 −t + 2 −2 + 3t − 4
= =
1
3
−2
−2 + t −t + 2 −6 + 3t
⇔
=
=
1
3
−2
2
⇔t=
Từ đó suy ra giao điểm I của d và d ' là I (1; −2; 4) .
  
Khi đó ta có ( P) đi qua I (1; −2; 4) và có VTPT n =[u , u '] = (6;9;1)
Phương trình mặt phẳng ( P) cần tìm là
6( x − 1) + 9( y + 2) + ( z − 4) = 0 ⇔ 6 x + 9 y + z + 8 = 0

x +7 y −5 z −9
x y + 4 z + 18
Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = =
và d=
':
=
3
−1
4
3
−1
4
. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
A. 63 x + 109 y + 20 z + 76 =
B. 63 x − 109 y + 20 z + 76 =
0.
0.
D. 63 x − 109 y − 20 z − 76 =
C. 63 x + 109 y − 20 z + 76 =
0.
0.
Lời giải.

d có VTCP =
u (3; −1; 4) và đi qua M (−7;5;9)

d ' có VTCP u=' (3; −1; 4) và đi qua M '(0; −4; −18)




 
Từ đó ta có MM ' = (7; −9; −27) , u cùng phương với u ' và [u; MM '] ≠ 0
Suy ra d song song d ' . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d ' .

 
(P) đi qua M (−7;5;9) và có VTPT
=
n u;=
MM ' ( 63;109; −20 )
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là
63( x + 7) + 109(y − 5) − 20(z − 9) =
0⇔
63 x + 109 y − 20 z + 76 =
0

0
Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 =
. Biết mp ( Q ) cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) =
25 theo một đường tròn có bán kính r = 3
2

. Khi đó mặt phẳng ( Q ) có phương trình là:
A. x − y + 2 z − 7 =
0.
C. 2 x − 2 y + z + 7 =
0.
Lời giải.
( S ) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính R = 5

B. 2 x − 2 y + z + 17 =
0.
D. 2 x − 2 y + z − 17 =
0.

Gọi M là hình chiếu vuông góc của I lên ( Q )

(Q )

cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có bán kính r = 3

⇒ IM = R 2 − r 2 = 52 − 32 = 4
( Q ) // ( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 = 0 ⇒ ( Q ) : 2 x − 2 y + z + m = 0 ( m ≠ 7 )
d  I ; ( Q=
)

2.0 − 2. ( −2 ) + 1.1 + m
= IM
= 4
2
2
2
2 + ( −2 ) + 1

m = 7
⇔ m + 5 = 12 ⇔ 
 m = −17
0
Vậy ( Q ) : 2 x − 2 y + z − 17 =
Chọn đáp án A.

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

11


Câu 36. Trong

không

gian

Oxyz ,

mặt

phẳng ( P ) chứa

trục

và

Ox

cắt

mặt

cầu

giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 =theo
0
phương trình là:
A. y − 2 z =
B. y + 2 z =
C. y + 3 z =
D. y − 3 z =
0.
0.
0.
0.
Lời giải.
(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 =
0 có tâm I (1; −2; −1) và bán kính R = 3

( P)

cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r= 3= R

⇒ I ∈( P)


Chọn điểm M (1;0;0 ) ∈ Ox ⇒ IM =
( 0; 2;1)

 
 ( 0; −1; 2 )
n  a; IM=
=



( P ) qua O ( 0;0;0 ) và có VTPT n = ( 0; −1; 2 ) ⇒ ( P ) : y − 2 z = 0
Chọn đáp án A.
Câu 37. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng
 x= 11 + 2t
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16 là:
( d ) có phương trình: ( d )  y = t
z =
 −25 − 2t
A. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
280 .

B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z − 1) =
289 .

C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
17 .

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
289 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải.

Đường thẳng ( d ) đi qua M (11; 0; −25 ) và có VTCP=
u
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). =
Có: IH d=
( I , AB )

2

2

2

2

( 2;1; − 2 )

 
2
u , MI 
 AB 



2
=
15 R = IH + 
17

 =
 2 
u

.
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
289.
x+5 y−7 z
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
và điểm M (4;1;6) . Đường thẳng
2
1
−2
d cắt mặt cầu ( S ) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Phương trình của mặt cầu ( S ) là:

A. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
9.

B. ( x + 4 ) + ( y + 1) + ( z + 6 ) =
18. .

C. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
18.

D. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
16.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải.


d đi qua N (−5;7;0) và có VTCP =
(−9;6; −6) .
u (2; −2;1) ; MN =
Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đến đường thẳng d ⇒ MH = d ( M , d ) = 3 .
2

 AB 
Bán kính mặt cầu ( S ) : R =
MH + 
18 .
 =
 2 
2

2

⇒ PT mặt cầu ( S ) : ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) =
18.
Câu 39. Trong

không

gian

2

2

Oxyz ,

cho

2

cho

mặt

cầu

(S)

có

phương

trình:

x + y + z − 2 x + 4 y − 6 z − 11 =
0 và mặt phẳng ( P) có phương trình 2 x + 2 y − z − 7 =
0.
2

12

2

2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Phương trình mặt phẳng (Q) song song với ( P) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có chu
vi bằng 6π .
A. 2 x + 2 y − z + 17 =
0.
C. 2 x + 2 y − z + 7 =
0.

B. 2 x + 2 y − z − 7 =
0.
D. 2 x + 2 y − z − 19 =
0.

Lời giải.
( S ) có tâm I (1; −2;3) , bán kính R = 5 .

Do (Q) / /( P) ⇒ (Q) : 2 x + 2 y − z +=
D 0 ( D ≠ −7)
Đường tròn có chu vi 2π .r = 6π ⇔ r = 3 ⇒ d ( I , (Q)) = d = R 2 − r 2 = 52 − 32 = 4
⇔

2.1 + 2(−2) − 3 + D
22 + 22 + (−1) 2

 D = −7

= 4 ⇔ −5 + D = 12 ⇔ 
 D = 17

Vậy (Q) có phương trình 2 x + 2 y − z + 17 =
0
VẬN DỤNG CAO
Câu 40. Trong

không

gian Oxyz ,

cho

đường

thẳng

 x= 2 + t

∆:  y =
1 + mt và
 z = −2t


mặt

cầu.

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =

1 Giá trị của m để đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( S ) là:
15
5
15
5
A. m > .hoặc m <
B. m = .hoặc m =
2
2
2
2
5
15
D. m ∈  .
C. < m < .
2
2
Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 =
0 (1)
15

m > 2
Để ∆ không cắt mặt cầu ( S ) thì (1) vô nghiệm, hay (1) có ∆ ' < 0 ⇔ 
.
m< 5


2
Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
1 và đường thằng
 x= 2 + t

∆:  y =
1 + mt . Giá trị của m để đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) là:
 z = −2t

15
5
hoặc m <
2
2
5
15
C. < m < .
2
2

A. m >

B. m =

15
5
hoặc m = .
2
2

D. m ∈  .

Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13


(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 =
0 (1)
15

m=

≠
a
0

2 .
Để ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) thì (1) có nghiệm kép, hay (1) có 
⇔
∆′ =0
m= 5

2
Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 =
1 và đường thẳng

 x= 2 + t

∆:  y =
1 + mt . Giá trị của m để đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt là:
 z = −2t

A. m ∈  .
C. m =

.

15
5
.hoặc m =
2
2

15
5
.hoặc m <
2
2
5
15
D. < m < .
2
2

B. m >

Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 =1
⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 =
0 (1)
Để ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt, hay (1) có
5
15
∆' > 0 ⇔ < m < .
2
2
Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc của
hệ trục tọa độ, B (a;0;0) , D(0; a;0) , A′(0;0; b) (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh
a
CC ′ . Giá trị của tỉ số để hai mặt phẳng ( A′BD) và ( MBD ) vuông góc với nhau là:
b
1
1
A. .
B. .
C. −1 .
D. 1.
2
3
Lời giải.
 
b

Ta có AB =

DC ⇒ C ( a; a;0 ) ⇒ C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a; 
2

Cách 1.

 
b  
Ta có MB =  0; −a; −  ; BD = ( −a; a;0 ) và A
=
' B ( a;0; −b )
2

 

   ab ab

Ta có u  MB
; BD   ; ; −a 2  và  BD; A ' B  = ( −a 2 ; −a 2 ; −a 2 )
=
=
 2 2


Chọn v = (1;1;1) là VTPT của ( A ' BD )

ab ab
a
( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇔ u.v = 0 ⇔ + − a 2 = 0 ⇔ a = b ⇒ = 1
2
2

b
Cách 2.

14

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


=
 A ' B A ' D  A ' X ⊥ BD
với X là trung điểm BD
AB =
AD =
BC =
CD =
a⇒
⇒
=
 MB MD
 MX ⊥ BD

⇒ (
A ' BD ) ; ( MBD )  =
A ' X ; MX


a a 
X  ; ;0  là trung điểm BD
2 2 
  a a


=
A ' X  ; ; −b 
2 2

  a a b 
MX = − ; − ; − 
 2 2 2
( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇒ A ' X ⊥ MX
 
⇒ A ' X .MX =
0

(

2

)

2

2
a a b
⇒ −   −   + =0
2
2 2

⇒

a

=
1
b

Câu 44. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

( P) : x + 2 y + 2 z + 4 =
0

và

mặt

cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 1 =0. Giá trị của điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , ( P ) ) đạt
GTNN là:
5 7 7

B.  ; ;  .
A. (1;1;3) .
3 3 3
1 1 1
D. (1; −2;1) .
C.  ; − ; −  .
3 3 3
Lời giải.
Ta có: d ( M , ( P)) =>
3 R =⇒
2 ( P) ∩ ( S ) =
∅.

 x= 1+ t

1 + 2t , t ∈ .
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt:  y =
 z = 1 + 2t

1 1 1
5 7 7
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: A  ; ;  , B  ; − ; − 
3 3 3
3 3 3
Ta có: d ( A, ( P)) =
5 ≥ d ( B, ( P )) =
1. ⇒ d ( A, ( P )) ≥ d ( M , ( P )) ≥ d ( B, ( P)).
Vậy: ⇒ d ( M , ( P)) min =⇔
1 M ≡ B.

cho mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 9 =
0 và mặt cầu
( S ) : ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 =
100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ nhất là:
 11 14 13 
 29 26 7 
A. M  − ; ;  .
B. M  ; − ; −  .
3
3
 3 3 3
 3
 29 26 7 
 11 14 13 
C. M  − ; ; −  .
D. M  ; ; −  .
3
3
 3 3
3 3

Câu 45. Trong

không

gian

Oxyz ,

Lời giải.
Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; −2;1) .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) : d ( I ;( P))= 6 < R nên ( P) cắt ( S ) .
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

15


Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P) lớn nhất ⇒ M ∈ (d ) đi qua I và vuông góc với ( P)

 x= 3 + 2t

Phương trình (d ) :  y =−2 − 2t .
z = 1− t

Ta có : M ∈ (d ) ⇒ M (3 + 2t ; −2 − 2t ;1 − t )
 10
 29 26 7 
t = 3 ⇒ M 1  3 ; − 3 ; − 3 


Mà : M ∈ ( S ) ⇒ 

10
 11 14 13 
− ⇒ M2  − ; ; 
t =
3
 3 3 3


 11 14 13 
Thử lại ta thấy : d ( M 1 , ( P)) > d ( M 2 , ( P )) nên M  − ; ;  thỏa yêu cầu bài toán
 3 3 3
x −1 y −1 z + 2
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho các điểm I (1;0;0 ) và đường thẳng d : = =
. Phương
1
2
1
trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
20
2
A. ( x + 1) + y 2 + z 2 = .
3
16
2
C. ( x − 1) + y 2 + z 2 = .
4

20
2
B. ( x − 1) + y 2 + z 2 = .
3
5
2
D. ( x − 1) + y 2 + z 2 =.
3

Lời giải.


M (1;1; − 2 ) và có VTCP u = (1; 2;1)
Đường thẳng ( ∆ ) đi qua =

 
Ta có MI
= ( 0; −1; 2 ) và u , MI  = ( 5; −2; −1)
 
u , MI 

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). =
Có: IH d=

( I , AB ) =
u
Xét tam giác IAB, có IH= R.

5.

3
2 IH 2 15
⇒ R=
=
2
3
3

20
2
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y 2 + z 2 = .
3

 x=2

Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho d :  y = t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 z + 5 =
0. Tọa
z = 1− t

độ điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , d ) đạt GTLN là:
A. (1; 2; −1) .

B.. (2; 2; −1) .

C. (0; 2; −1) .

.D. ( −3; −2;1) .

Lời giải.
Ta có: d ( I , d )= 1= R suy ra (S) tiếp xúc với d và tiếp điểm là H (2; 2; −1)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d ⇒H(2; 2; -1).
x= 1+ t

y 2 , t ∈ .
Đường thẳng IH có pt: =
 z = −1

Tọa độ giao điểm của IH và (S) là: A(0; 2; −1), B ≡ H (2; 2; −1).
Ta có: d ( A, (d )) =
AH =
2 ≥ d ( B, ( P )) =
BH =

0.
16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


⇒ d ( A, (d )) =
2 ≥ d ( M , (d )) ≥ d ( B, (d )) =
0.
Vậy M (0; 2; −1) .

0 và mặt
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : 2 x – 2 y + z + 15 =
100 . Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng (α ) cắt
cầu ( S ) : (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 5) 2 =
( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
x +3 y −3 z +3
x +3 y −3 z +3
A. = =
.
B. = =
.
16
11
−10
1
4
6
 x =−3 + 5t
x +3 y −3 z +3


.
D. = =
.
C.  y = 3
1
1
3
 z =−3 + 8t

Lời giải.
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5 ) , bán kính R = 10 . Do d (I, (α )) < R nên ∆ luôn cắt ( S) tại A ,
B.
Khi đó AB = R 2 − ( d (I, ∆) ) . Do đó, AB lớn nhất thì d ( I , ( ∆ ) ) nhỏ nhất nên ∆ qua H , với
2

 x= 2 + 2t

H là hình chiếu vuông góc của I lên (α ) . Phương trình BH :  y= 3 − 2t
z= 5 + t


H ∈ (α ) ⇒ 2 ( 2 + 2t ) − 2 ( 3 – 2t ) + 5 + t + 15 =0 ⇔ t =−2 ⇒ H ( −2; 7; 3) .

x +3 y −3 z +3
Do vậy AH = (1; 4;6) là véc tơ chỉ phương của ∆ . Phương trình của = =
1
4
6
0 và mặt

Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : 2 x – 2 y + z + 15 =
100 . Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng (α ) cắt
cầu ( S ) : (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z − 5) 2 =
( S ) tại A , B . Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
x +3 y −3 z +3
x +3 y −3 z +3
A. = =
.
B. = =
.
1
4
6
16
11
−10
 x =−3 + 5t
x +3 y −3 z +3

C.  y = 3
.
D. = =
.
16
−11
10
 z =−3 + 8t


Lời giải.

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5 ) , bán kính R = 10 . Do d (I, (α )) < R nên ∆ luôn cắt ( S) tại A ,
B.
Khi đó AB = R 2 − ( d (I, ∆) ) . Do đó, AB nhỏ nhất thì d ( I , ( ∆ ) ) lớn nhất nên ∆ là đường thẳng
2

nằm

=
u∆

trong (α), qua A và vuông góc với
 
 AI=

 , nα  (16;11; −10)
x +3 y −3 z +3
Vậy, phương trình của ∆ :
.
=
=
16
11
−10

Câu 50. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

điểm

AI . Do đó ∆ có véctơ chỉ phương

A ( 3;0; 2 ) ,

B ( 3;0; 2 )

và

mặt

cầu

x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 =
25 . Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu

( S ) theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
A.  4
x − y − 5 z + 17 =
0.

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

B.
 3 x − 2 y + z − 7 =
0.

17


C.  4
x − y + 5 z − 13 =
0.

D.  3 x + 2 y + z –11 =
0.

Lời giải.
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0; −2;1) , bán kính R = 5 . Do=
IA
đó (α ) luôn cắt ( S ) theo đường tròn ( C ) có bán kính
=
r

17 < R nên AB luôn cắt ( S) . Do

(

R 2 − d ( I , (α ) )

)

2

. Đề bán kính r

nhỏ nhất ⇔ d ( I , ( P ) ) lớn nhất.

Mặt phẳng (α ) đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mp ( ABC ) .


Ta có AB = (1; −1; −1) , AC =(−2; −3; −2) suy ra ( ABC ) có

 
 AB, AC  =
n=

 (−1; 4; −5)

 
(α) có véctơ pháp tuyến nα = n, AB  =(−9 − 6; −3) =−3(3; 2;1)

véctơ

pháp

tuyến

⇔ x + 2 y + z –11 =0 .
Phương trình (α ) :  3 ( x – 2 ) + 2 ( y –1) + 1( z – 3) =0   3

Contact us:
SĐT: 099.75.76.756

Admin: fb.com/khactridg
Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys
Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser
18

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦