vi phân, đạo hàm cấp cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (621.23 KB, 28 trang )
TỔNG ÔN TOÁN 11
VIP
CHỦ ĐỀ 19. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO
VÀ Ý NGHĨA CỦA HÀM SỐ
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Tích f '( x0 ).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f ( x) tại điểm x0 (ứng với số gia ∆x ) được kí hiệu
( x0 ) f '( x0 )∆x .
là df=
• Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '( x)∆x được gọi là vi phân hàm số y = f ( x) , kí hiệu là:
df=
( x) f '( x)∆x .
Đặc biệt: dx =x ' ∆x =∆x nên ta viết df ( x) = f '( x)dx .
B – BÀI TẬP
Câu 1. Cho hàm số =
y f ( x=
)
( x − 1)
2
. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f ( x ) ?
dy 2 ( x − 1) dx .
A. =
B. d=
y
dy 2 ( x − 1) .
C. =
dy 2 ( x − 1) dx .
D. =
( x − 1)
2
dx .
y x3 + 2 x 2
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số =
dy (3 x 2 − 4 x)dx
A. =
dy (3 x 2 + x)dx
B. =
C. =
dy (3 x 2 + 2 x)dx
D. =
dy (3 x 2 + 4 x)dx
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số=
y
3x + 2
A. dy =
3
dx
3x + 2
B. dy =
1
dx
2 3x + 2
C. dy =
1
dx
3x + 2
D. dy =
3
dx
2 3x + 2
Câu 4. Cho hàm số y =x 3 − 9 x 2 + 12 x − 5 . Vi phân của hàm số là:
( 3x − 18 x + 12 ) dx .
C. dy =
− ( 3 x − 18 x + 12 ) dx .
A. dy =
2
2
B. dy =
( −3x 2 − 18 x + 12 ) dx .
D. dy =
( −3x 2 + 18 x − 12 ) dx .
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số =
y (3 x + 1)10
A.=
dy 10(3 x + 1)9 dx
B.
=
dy 30(3 x + 1)10 dx
dy 9(3 x + 1)10 dx
C.=
=
dy 30(3 x + 1)9 dx
D.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
1
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Câu 6. Tìm vi phân của các hàm =
số y sin 2 x + sin 3 x
A. dy
=
C. dy
=
( cos 2 x + 3sin
( 2 cos 2 x + sin
2
x cos x ) dx
B. dy
=
2
x cos x ) dx
D. dy
=
( 2 cos 2 x + 3sin x cos x ) dx
( cos 2 x + sin x cos x ) dx
2
2
Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y = tan 2 x
A. dy= (1 + tan 2 2 x)dx
B. dy= (1 − tan 2 2 x)dx
C. dy
= 2(1 − tan 2 2 x)dx
D. dy
= 2(1 + tan 2 2 x)dx
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số =
y
1
A. dy =
( x + 1)
3
2
2
C. dy =
( x + 1)
3
2
3
B. dy =
3
D. dy =
dx
− sin 4 x
2 1 + cos 2 x
2
cos 2 x
C. df ( x) =
x +1
dx
y f ( x=
Câu 9. Xét hàm số =
)
A. df ( x) =
3
1 + cos 2 2 x
( x + 1) 2
dx
1
3 3 ( x + 1) 2
dx
1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng:
− sin 4 x
B. df ( x) =
dx .
D. df ( x) =
dx .
1 + cos 2 2 x
dx .
− sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x
dx .
Câu 10. Cho hàm số y = x 3 − 5 x + 6 . Vi phân của hàm số là:
A.=
dy
C.=
dy
( 3x
( 3x
2
− 5 ) dx .
B. dy =
− ( 3 x 2 − 5 ) dx .
2
+ 5 ) dx .
D.=
dy
Câu 11. Cho hàm số y =
A. dy =
B. dy =
C. dy =
dx
( x − 1)
( x − 1)
1
dx .
x4
− 5 ) dx .
C. dy = −
1
dx .
x4
3dx
D. dy = x 4 dx .
x+2
. Vi phân của hàm số là:
x −1
2
.
B. dy =
2
.
D. dy = −
−3dx
2
1
. Vi phân của hàm số là:
3x3
1
A. dy = dx .
4
Câu 12. Cho hàm số y =
( 3x
( x − 1)
2
.
dx
( x − 1)
2
.
x2 + x + 1
Câu 13. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1
A. dy = −
2
x2 − 2 x − 2
dx .
( x − 1) 2
B. dy =
2x +1
dx .
( x − 1) 2
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
C. dy = −
2x +1
dx .
( x − 1) 2
D. dy =
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
x2 − 2 x − 2
dx .
( x − 1) 2
Câu 14. Cho hàm số=
y sin x − 3cos x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
( − cos x + 3sin x ) dx .
=
dy
C.
B. dy =
( − cos x − 3sin x ) dx .
( cos x + 3sin x ) dx .
− ( cos x + 3sin x ) dx .
D. dy =
Câu 15. Cho hàm số y = sin 2 x . Vi phân của hàm số là:
B. dy = sin 2 x dx .
A. dy = – sin 2 x dx .
Câu 16. Vi phân của hàm số y =
C. dy = sin x dx .
D. dy = 2cosx dx .
tan x
là:
x
A. dy =
2 x
dx .
4 x x cos 2 x
B. dy =
sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x
C. dy =
2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x
D. dy = −
2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x
Câu 17. Hàm =
số y x sin x + cos x có vi phân là:
A. dy = ( x cos x – sin x ) dx .
B. dy = ( x cos x ) dx .
C. dy = ( cos x – sin x ) dx ..
D. dy = ( x sin x ) dx .
Câu 18. Hàm số y =
x
. Có vi phân là:
x +1
2
A. dy =
1 − x2
dx
( x 2 + 1) 2
B. dy =
2x
dx
( x + 1)
C. dy =
1 − x2
dx
( x 2 + 1)
D. dy =
1
dx
( x + 1) 2
Câu 19. Cho hàm số
=
y f=
( x)
( x − 1)
2
2
. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
dy 2 ( x − 1) dx .
A. =
y
C. d=
2
dy 2 ( x − 1) .
B. =
( x − 1) dx .
D. d=
y
( x − 1)
2
dx .
x ) 3 x 2 − x tại điểm x = 2 , ứng với ∆x =0,1 là:
Câu 20. Vi phân của hàm số f (=
A. −0, 07 .
B. 10 .
D. −0, 4 .
C. 1,1 .
Câu 21. Vi phân của y = cot ( 2017 x ) là:
A. dy = −2017 sin ( 2017 x ) dx.
C. dy = −
2017
dx.
cos ( 2017 x )
2
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
B. dy =
2017
dx.
sin ( 2017 x )
D. dy = −
2
2017
dx.
sin ( 2017 x )
2
3
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Câu 22. Cho hàm số y =
x2 + x + 1
. Vi phân của hàm số là:
x −1
A. dy = −
x2 − 2 x − 2
dx
( x − 1) 2
B. dy =
2x +1
dx
( x − 1) 2
C. dy = −
2x +1
dx
( x − 1) 2
D. dy =
x2 − 2 x − 2
dx
( x − 1) 2
Câu 23. Cho hàm số y =
A. dy =
x+3
. Vi phân của hàm số tại x = −3 là:
1− 2x
1
dx.
7
B. dy = 7dx.
1
C. dy = − dx.
7
D. dy = −7dx.
Câu 24. Vi phân của y = tan 5 x là :
A. dy =
5x
dx.
cos 2 5 x
B. dy = −
5
dx.
sin 2 5 x
C. dy =
5
dx.
cos 2 5 x
D. dy = −
5
dx.
cos 2 5 x
( x − 1) 2
. Biểu thức 0, 01. f '(0, 01) là số nào?
x
A. 9.
B. -9.
C. 90.
Câu 26. Cho hàm số y = sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
=
y f=
( x)
Câu 25. Hàm số
A. dy = cos(sin x).sin xdx .
C. dy = cos(sin x).cos xdx .
D. -90.
B. dy = sin(cos x)dx .
D. dy = cos(sin x)dx .
x 2 − x khi x ≥ 0
Câu 27. Cho hàm số f ( x) =
. Kết quả nào dưới đây đúng?
khi x < 0
2 x
B. f ′ ( 0+ ) =lim+
A. df (0) = −dx .
( )
x →0
(
)
2
+
x 0.
C. f ′ 0= lim+ x −=
x →0
( )
x2 − x
=lim+ ( x − 1) =
−1 .
x →0
x
′ 0−
=
lim
2x 0 .
D. f=
−
x →0
Câu 28. Cho hàm số y = cos 2 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = 4 cos 2 x sin 2 xdx .
B. dy = 2 cos 2 x sin 2 xdx .
C. dy = −2 cos 2 x sin 2 xdx .
D. dy = −2sin 4 xdx .
x 2 + x khi x ≥ 0
Câu 29. Cho hàm số f ( x) =
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
khi x < 0
x
4
A. f ′ ( 0+ ) = 1 .
B. f ′ ( 0− ) = 1 .
C. df (0) = dx .
D. Hàm số không có vi phân tại x = 0 .
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
y
Câu 30. Cho hàm số =
A. df ( x) =
C. df ( x) =
f ( x=
)
− sin 4 x
2 1 + cos 2 2 x
cos 2 x
1 + cos 2 2 x
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
1 + cos 2 2 x . Chọn kết quả đúng:
B. df ( x) =
dx .
D. df ( x) =
dx .
− sin 4 x
dx .
1 + cos 2 2 x
− sin 2 x
1 + cos 2 2 x
dx .
Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
C. dy =
1
2
2 x cos x
1
2 x cos x
D. dy =
dx .
Câu 32. Vi phân của hàm số y =
A. dy = −
C. dy = −
8
( 2 x − 1)
x cos 2 x
dx .
1
2 x cos 2 x
dx .
2x + 3
là :
2x −1
4
2
dx .
B. dy =
2
dx .
D. dy = −
4
( 2 x − 1)
1
B. dy =
dx .
( 2 x − 1)
2
dx .
7
( 2 x − 1)
2
dx .
1 − x2
Câu 33. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
1 + x2
A. dy =
−4 x
(1 + x )
2 2
dx .
B. dy =
−4
(1 + x )
2 2
dx .
C. dy =
−4
dx .
1 + x2
D. dy =
− dx
(1 + x )
2 2
.
Câu 34. Cho hàm số f ( x) = cos 2 x . Khi đó
A. d f ( x ) =
C. d f ( x ) =
sin 2 x
2 cos 2 x
− sin 2 x
2 cos 2 x
dx .
B. d f ( x ) =
sin 2 x
dx .
D. d f ( x ) =
− sin 2 x
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
cos 2 x
cos 2 x
dx .
dx .
5
Tổng ôn Toán 11
Câu 1. Cho hàm số =
y f ( x=
)
HƯỚNG DẪN GIẢI
( x − 1)
2
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f ( x ) ?
dy 2 ( x − 1) dx .
A. =
B. d=
y
dy 2 ( x − 1) .
C. =
dy 2 ( x − 1) dx .
D. =
( x − 1)
2
dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
dy f ′ ( x )=
dx 2 ( x − 1) dx .
Ta có =
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số =
y x3 + 2 x 2
A. =
dy (3 x 2 − 4 x)dx
B. =
dy (3 x 2 + x)dx
C. =
dy (3 x 2 + 2 x)dx
D. =
dy (3 x 2 + 4 x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
=
dy (3 x 2 + 4 x)dx
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số=
y
3x + 2
A. dy =
3
dx
3x + 2
B. dy =
1
dx
2 3x + 2
C. dy =
1
dx
3x + 2
D. dy =
3
dx
2 3x + 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy =
3
dx
2 3x + 2
Câu 4. Cho hàm số y =x 3 − 9 x 2 + 12 x − 5 . Vi phân của hàm số là:
( 3x − 18 x + 12 ) dx .
C. dy =
− ( 3 x − 18 x + 12 ) dx .
A. dy =
2
2
B. dy =
( −3x 2 − 18 x + 12 ) dx .
D. dy =
( −3x 2 + 18 x − 12 ) dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy = ( x3 − 9 x 2 + 12 x − 5 )′ dx = ( 3 x 2 − 18 x + 12 ) dx .
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số =
y (3 x + 1)10
A.=
dy 10(3 x + 1)9 dx
B.
=
dy 30(3 x + 1)10 dx
C.=
dy 9(3 x + 1)10 dx
D.
=
dy 30(3 x + 1)9 dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
6
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
=
dy 30(3 x + 1)9 dx .
Câu 6. Tìm vi phân của các hàm =
số y sin 2 x + sin 3 x
( cos 2 x + 3sin
( 2 cos 2 x + sin
A. dy
=
C. dy
=
2
x cos x ) dx
B. dy
=
2
x cos x ) dx
D. dy
=
( 2 cos 2 x + 3sin x cos x ) dx
( cos 2 x + sin x cos x ) dx
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
dy
=
( 2 cos 2 x + 3sin
2
x cos x ) dx
Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y = tan 2 x
A. dy= (1 + tan 2 2 x)dx
B. dy= (1 − tan 2 2 x)dx
C. dy
= 2(1 − tan 2 2 x)dx
D. dy
= 2(1 + tan 2 2 x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy
= 2(1 + tan 2 2 x)dx
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số =
y
1
A. dy =
3
( x + 1) 2
2
C. dy =
3
( x + 1)
2
3
x +1
3
B. dy =
dx
3
D. dy =
dx
( x + 1) 2
dx
1
3 ( x + 1) 2
dx
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy =
1
3 3 ( x + 1) 2
dx
y f ( x=
Câu 9. Xét hàm số =
)
A. df ( x) =
− sin 4 x
2 1 + cos 2 x
2
cos 2 x
C. df ( x) =
1 + cos 2 2 x
1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng:
B. df ( x) =
dx .
D. df ( x) =
dx .
− sin 4 x
1 + cos 2 2 x
dx .
− sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x
dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có : dy = f ′ ( x ) dx
(1 + cos
=
2
2 x )′
2 1 + cos 2 2 x
dx =
−4 cos 2 x.sin 2 x
2 1 + cos 2 2 x
dx =
− sin 4 x
1 + cos 2 2 x
dx .
Câu 10. Cho hàm số y = x 3 − 5 x + 6 . Vi phân của hàm số là:
A.=
dy
( 3x
2
− 5 ) dx .
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
B. dy =
− ( 3 x 2 − 5 ) dx .
7
Tổng ôn Toán 11
C.=
dy
( 3x
2
+ 5 ) dx .
D.=
dy
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
( 3x
2
− 5 ) dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy =
(x
3
− 5 x + 6 )′ dx = ( 3 x 2 − 5 ) dx .
Câu 11. Cho hàm số y =
1
. Vi phân của hàm số là:
3x3
1
A. dy = dx .
4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
B. dy =
1
dx .
x4
C. dy = −
1
dx .
x4
3dx
D. dy = x 4 dx .
1 3x 2
1
1 ′
Ta có dy = 3 dx = .
= − 4 dx .
2
3 ( x3 )
x
3x
Câu 12. Cho hàm số y =
A. dy =
C. dy =
dx
( x − 1)
2
.
B. dy =
2
.
D. dy = −
−3dx
( x − 1)
x+2
. Vi phân của hàm số là:
x −1
( x − 1)
2
.
dx
( x − 1)
2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
x + 2 ′
Ta có dy =
dx .
dx = −
2
x −1
( x − 1)
x2 + x + 1
Câu 13. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1
A. dy = −
x2 − 2 x − 2
dx .
( x − 1) 2
2x +1
C. dy = −
dx .
( x − 1) 2
B. dy =
2x +1
dx .
( x − 1) 2
x2 − 2 x − 2
D. dy =
dx .
( x − 1) 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( 2 x + 1)( x − 1) − ( x 2 + x + 1)
x 2 + x + 1 ′
x2 − 2 x − 2
=
dx .
Ta có dy =
d
x
=
d
x
2
2
( x − 1)
( x − 1)
x −1
Câu 14. Cho hàm số=
y sin x − 3cos x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
( − cos x + 3sin x ) dx .
8
B. dy =
( − cos x − 3sin x ) dx .
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
=
dy
C.
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
( cos x + 3sin x ) dx .
− ( cos x + 3sin x ) dx .
D. dy =
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có dy =
( sin x − 3cos x )′ dx =
( cos x + 3sin x ) dx .
Câu 15. Cho hàm số y = sin 2 x . Vi phân của hàm số là:
B. dy = sin 2 x dx .
A. dy = – sin 2 x dx .
C. dy = sin x dx .
D. dy = 2cosx dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta
có dy d=
=
( sin 2 x )
x )′ dx
( sin=
2
Câu 16. Vi phân của hàm số y =
cos x.2sin
=
xdx sin 2 xdx .
tan x
là:
x
A. dy =
2 x
dx .
4 x x cos 2 x
B. dy =
sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x
C. dy =
2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x
D. dy = −
2 x − sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
1
.
. x − tan x .
2
tan x ′
2 x cos x
2 x dx
Ta có dy =
dx =
x
x
1
1
sin x 1 1
x − sin x cos x
= .
.
.dx
−
dx =
2
2 x x .cos 2 x
2 cos x cos x 2 x x
=
2 x − sin 2 x
.dx
4 x x .cos 2 x
Câu 17. Hàm =
số y x sin x + cos x có vi phân là:
A. dy = ( x cos x – sin x ) dx .
B. dy = ( x cos x ) dx .
C. dy = ( cos x – sin x ) dx ..
D. dy = ( x sin x ) dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy =( x sin x + cos x )′ dx =( sin x + x cos x − sin x ) dx =( x cos x ) dx .
Câu 18. Hàm số y =
A. dy =
x
. Có vi phân là:
x +1
2
1 − x2
dx
( x 2 + 1) 2
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
B. dy =
2x
dx
( x + 1)
2
9
Tổng ôn Toán 11
C. dy =
1 − x2
dx
( x 2 + 1)
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
1
dx
( x + 1) 2
D. dy =
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x2 + 1 − 2x2
1 − x2
x ′
=
=
dx
dx .
Ta có dy =
2
( x 2 + 1) 2
( x 2 + 1) 2
x +1
Câu 19. Cho hàm số
y f=
=
( x)
( x − 1)
2
. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
dy 2 ( x − 1) dx .
A. =
y
C. d=
dy 2 ( x − 1) .
B. =
( x − 1) dx .
D. d=
y
( x − 1)
2
dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
=
y f=
( x)
( x − 1)
2
⇒ y′= 2 ( x − 1) ⇒ dy= 2 ( x − 1) dx
x ) 3 x 2 − x tại điểm x = 2 , ứng với ∆x =0,1 là:
Câu 20. Vi phân của hàm số f (=
A. −0, 07 .
B. 10 .
D. −0, 4 .
C. 1,1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: f ′ ( x ) = 6 x − 1 ⇒ f ′ ( 2 ) = 11
df (=
2 ) f ′ ( 2 )=
∆x 11.0,1
= 1,1
Câu 21. Vi phân của y = cot ( 2017 x ) là:
A. dy = −2017 sin ( 2017 x ) dx.
C. dy = −
2017
dx.
cos ( 2017 x )
2
B. dy =
2017
dx.
sin ( 2017 x )
2
D. dy = −
2017
dx.
sin ( 2017 x )
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2017
2017
− 2
⇒ dy =
− 2
y = cot ( 2017 x ) ⇒ y′ =
dx
sin ( 2017 x )
sin ( 2017 x )
x2 + x + 1
Câu 22. Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1
A. dy = −
x2 − 2 x − 2
dx
( x − 1) 2
2x +1
C. dy = −
dx
( x − 1) 2
B. dy =
2x +1
dx
( x − 1) 2
x2 − 2x − 2
D. dy =
dx
( x − 1) 2
Hướng dẫn giải:
10
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Chọn D.
x 2 + x + 1 ′
x2 − 2x − 2
=
dy =
d
x
dx
( x − 1) 2
x −1
Câu 23. Cho hàm số y =
A. dy =
x+3
. Vi phân của hàm số tại x = −3 là:
1− 2x
1
dx.
7
B. dy = 7dx.
1
C. dy = − dx.
7
D. dy = −7dx.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta =
có y′
7
(1 − 2 x )
2
′ ( −3)
⇒ y=
1
7
1
Do đó dy = dx
7
Câu 24. Vi phân của y = tan 5 x là :
A. dy =
5x
dx.
cos 2 5 x
B. dy = −
5
dx.
sin 2 5 x
C. dy =
5
dx.
cos 2 5 x
D. dy = −
5
dx.
cos 2 5 x
Hướng dẫn giải:
Chọn C
=
y tan 5 x ⇒ y=′
Do đó dy =
5
cos 2 5 x
5
dx
cos 2 5 x
=
y f=
( x)
Câu 25. Hàm số
A. 9.
( x − 1) 2
. Biểu thức 0, 01. f '(0, 01) là số nào?
x
B. -9.
C. 90.
D. -90.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( x − 1) 2
1
1
y=
f ( x) =
⇒ y′ = − 2 ⇒ y′ ( 0, 01) =
−9000
x
x x x
Do đó 0, 01. f '(0, 01) = −90
Câu 26. Cho hàm số y = sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
A. dy = cos(sin x).sin xdx .
C. dy = cos(sin x).cos xdx .
B. dy = sin(cos x)dx .
D. dy = cos(sin x)dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
11
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Ta có: y ' (sin
=
=
x) '.cos(sin x) cos x.cos(sin x) nên dy = cos x.cos(sin x)dx
x 2 − x khi x ≥ 0
Câu 27. Cho hàm số f ( x) =
. Kết quả nào dưới đây đúng?
khi x < 0
2 x
B. f ′ ( 0+ ) =lim+
A. df (0) = −dx .
( )
x →0
(
( )
)
′ 0−
=
lim
2x 0 .
D. f=
−
2
+
x 0.
C. f ′ 0= lim+ x −=
x →0
x2 − x
=lim+ ( x − 1) =
−1 .
x →0
x
x →0
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: f ′ ( 0+ ) =lim+
x →0
x2 − x
=lim+ ( x − 1) =
−1 ;
x →0
x
2x
′ ( 0− ) lim
f=
= 2 và hàm số không có vi phân tại x = 0
x → 0− x
Câu 28. Cho hàm số y = cos 2 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy = 4 cos 2 x sin 2 xdx .
B. dy = 2 cos 2 x sin 2 xdx .
C. dy = −2 cos 2 x sin 2 xdx .
D. dy = −2sin 4 xdx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có : dy =
d ( cos 2 2 x ) =
2 cos 2 x.(cos 2 x) 'dx =
−4 cos 2 x.sin 2 xdx =
−2sin 4 xdx
x 2 + x khi x ≥ 0
Câu 29. Cho hàm số f ( x) =
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
khi x < 0
x
A. f ′ ( 0+ ) = 1 .
B. f ′ ( 0− ) = 1 .
C. df (0) = dx .
D. Hàm số không có vi phân tại x = 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
+
Ta có: f ′ ( 0=
) lim+
x →0
x
x2 + x
=
0− ) lim
1 và df (0) = dx
= lim+ ( x +=
1) 1 và f ′=
(
−
x →0 x
x →0
x
y
Câu 30. Cho hàm số =
A. df ( x) =
C. df ( x) =
f ( x=
)
− sin 4 x
2 1 + cos 2 2 x
cos 2 x
1 + cos 2 2 x
1 + cos 2 2 x . Chọn kết quả đúng:
B. df ( x) =
dx .
D. df ( x) =
dx .
− sin 4 x
1 + cos 2 2 x
− sin 2 x
1 + cos 2 2 x
dx .
dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
(
)
(1 + cos 2 2 x) '
−2.2 cos 2 x.sin 2 x
− sin 4 x
df ( x) =
d 1 + cos 2 2 x =
dx =
dx =
dx
Ta có : dy =
2 1 + cos 2 2 x
2 1 + cos 2 2 x
1 + cos 2 2 x
12
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Vi phân của hàm số là:
A. dy =
C. dy =
1
2
2 x cos x
1
2 x cos x
1
B. dy =
dx .
D. dy =
dx .
x cos 2 x
dx .
1
2 x cos 2 x
dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
=
tan x
.( x ) 'dx
dx
Ta
có : dy d=
=
2
2 x .cos 2 x
cos x
(
)
Câu 32. Vi phân của hàm số y =
A. dy = −
C. dy = −
8
( 2 x − 1)
4
2
dx .
B. dy =
2
dx .
D. dy = −
4
( 2 x − 1)
2x + 3
là :
2x −1
( 2 x − 1)
2
dx .
7
( 2 x − 1)
2
dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−8
2x + 3
=
dx
Ta
có : dy d=
2
2 x − 1 (2 x − 1)
Câu 33. Cho hàm số y =
A. dy =
−4 x
(1 + x )
2 2
1 − x2
. Vi phân của hàm số là:
1 + x2
B. dy =
dx .
−4
(1 + x )
2 2
dx .
C. dy =
−4
dx .
1 + x2
D. dy =
− dx
(1 + x )
2 2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1 − x2
−4 x
Ta
có
:
=
dy d=
dx
2
2 2
1 + x (1 + x )
Câu 34. Cho hàm số f ( x) = cos 2 x . Khi đó
A. d f ( x ) =
C. d f ( x ) =
sin 2 x
2 cos 2 x
− sin 2 x
2 cos 2 x
dx .
B. d f ( x ) =
sin 2 x
dx .
D. d f ( x ) =
− sin 2 x
cos 2 x
cos 2 x
dx .
dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
(
)
cos 2 x
Ta=
có : df ( x) d=
(cos 2 x) '
− sin 2 x
dx
dx
=
2 cos 2 x
cos 2 x
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
13
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được
gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f '' = ( f ') ' .
• Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n − 1 (với n ∈ , n ≥ 2 ) là f ( n −1) . Nếu f ( n −1) cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f ( n ) , tức là:
f ( n ) = ( f ( n −1) ) ' .
Để tính đạo hàm cấp n:
• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
B – BÀI TẬP
x
có đạo hàm cấp hai là:
x−2
Câu 1. Hàm số y =
A. y′′ = 0 .
B. y′′ =
( x + 1)
12 ( x + 1) .
24 ( 5 x + 3) .
y
Câu 2. Hàm số =
A.
=
y′′′
2
3
1
( x − 2)
2
C. y′′ = −
.
2
( x − 2)
2
.
D. y′′ =
4
( x − 2)
3
.
có đạo hàm cấp ba là:
B.
y′′′
=
2
C. y′′′
=
4
24 ( x 2 + 1) .
–12 ( x 2 + 1) .
D. y′′′
=
Câu 3. Hàm số y = 2 x + 5 có đạo hàm cấp hai bằng:
A. y′′ =
1
.
(2 x + 5) 2 x + 5
C. y′′ = −
1
.
(2 x + 5) 2 x + 5
Câu 4. Hàm số y =
A. y (5) = −
C. y (5) =
1
.
( x + 1)6
A. y (5) = −
14
1
.
2x + 5
B. y (5) =
120
.
( x + 1)6
D. y (5) = −
1
.
( x + 1)6
B. y (5) =
120
x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng :
x +1
120
( x + 1)
D. y′′ = −
x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng:
x +1
120
.
( x + 1)6
Câu 5. Hàm số y =
1
.
2x + 5
B. y′′ =
6
.
( x + 1)
5
.
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
C. y (5) =
1
( x + 1)
5
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
D. y (5) = −
.
1
( x + 1)
5
.
Câu 6. Hàm số
=
y x x 2 + 1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. y′′ = −
C. y′′ =
2 x3 + 3x
(1 + x )
1 + x2
2
2 x3 + 3x
(1 + x 2 ) 1 + x 2
Câu 7. Hàm số=
y
B. y′′ =
.
1 + x2
D. y′′ = −
.
( 2 x + 5)
2x2 + 1
5
.
2x2 + 1
1 + x2
.
có đạo hàm cấp 3 bằng :
A.
=
y′′′ 80 ( 2 x + 5 ) .
B. y′′′ 480 ( 2 x + 5 ) .
=
2
3
C. y′′′ =
−480 ( 2 x + 5 ) .
D. y′′′ =
−80 ( 2 x + 5 ) .
3
2
Câu 8. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp 2 bằng :
2sin x
1
.
B. y′′ =
.
3
cos x
cos 2 x
Câu 9. Cho hàm số y = sinx . Chọn câu sai.
1
.
cos 2 x
A. y′′ = −
C. y′′ = −
π
A.
=
y′ sin x + .
2
=
y′′ sin ( x + π ) .
B.
3π
C.=
y′′′ sin x +
2
D.
y ( 4) sin ( 2π − x ) .
=
.
D. y′′ =
2sin x
.
cos3 x
D. y′′ =
2
−2 x 2 + 3 x
Câu 10. Hàm số y =
có đạo hàm cấp 2 bằng :
1− x
A. y′′= 2 +
1
(1 − x )
2
.
B. y′′ =
2
(1 − x )
3
C. y′′ =
.
−2
(1 − x )
3
.
(1 − x )
4
.
π
π
Câu 11. Hàm số
=
y f=
( x ) cos 2 x − . Phương trình f ( 4) ( x ) = −8 có nghiệm x ∈ 0; là:
3
2
A. x =
π
2
B. x = 0 và x =
.
C. x = 0 và x =
π
.
3
Câu 12. Cho hàm số y = sin2x . Chọn khẳng định đúng
A. 4 y − y′ =
0.
D. x = 0 và x =
π
6
π
C. y = y′ tan 2 x .
B. 4 y + y′′ =
0.
2
.
.
D.=
y2
y′ )
(=
2
4.
1
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = − . Xét hai mệnh đề :
x
2
.
x3
Mệnh đề nào đúng?
( I=
) : y′′
′′ ( x )
f=
( II ) : y′′′ =
f ′′′ ( x ) = −
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
6
.
x4
15
Tổng ôn Toán 11
A. Chỉ ( I ) đúng.
Câu 14. Nếu f ′′ ( x ) =
A.
B. Chỉ ( II ) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
C. cot x .
D. tan x .
2sin x
thì f ( x ) bằng
cos3 x
1
.
cos x
B. −
Câu 15. Cho hàm số
=
y f=
( x)
( I ) : y′ = f ′ ( x ) =−1 −
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
1
.
cos x
− x2 + x + 2
. Xét hai mệnh đề :
x −1
2
< 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2
( II ) : y′′ =
′′ ( x )
f=
4
> 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2
Mệnh đề nào đúng?
B. Chỉ ( II ) đúng.
A. Chỉ ( I ) đúng.
Câu 16. Cho hàm số f ( x=
)
A. 3 .
( x + 1)
3
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
. Giá trị f ′′ ( 0 ) bằng
B. 6 .
C. 12 .
D. 24 .
π
Câu 17. Cho hàm số f=
( x ) sin 3 x + x 2 . Giá trị f ′′ bằng
2
A. 0 .
C. −2 .
B. −1 .
D. 5 .
Câu 18. Cho hàm số f ( x ) = 5 ( x + 1) + 4 ( x + 1) . Tập nghiệm của phương trình f ′′ ( x ) = 0 là
3
A. [ −1; 2] .
Câu 19. Cho hàm số y =
3
A. y′′′ (1) = .
8
Câu 20. Cho hàm số=
y
A. y (10) (1) = 0 .
B. ( −∞;0] .
C. {−1} .
D. ∅ .
3
C. y′′′ (1) = − .
8
1
D. y′′′ (1) = − .
4
1
. Khi đó :
x −3
1
B. y′′′ (1) = .
8
( ax + b )
5
với a , b là tham số. Khi đó :
B. y (10) (=
1) 10a + b .
C. y (10) (1) = 5a .
D. y (10) (1) = 10a .
C. 64 3 .
D. −64 3 .
π
Câu 21. Cho hàm số y = sin 2 2x . Tính y ( 4) bằng:
6
A. 64 .
B. −64 .
Câu 22. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ''
A. y '' = − sin 2 x
B. y '' = −4sin x
C. y '' = sin 2 x
D. y '' = −4sin 2 x
π
π
Câu 23. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y '''( ) , y (4) ( )
4
3
A. 4 và 16
B. 5 và 17
C. 6 và 18
16
D. 7 và 19
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Câu 24. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ( n )
π
π
B. y ( n ) 2n sin(2 x + )
=
2
A. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
3
π
π
C.
y ( n ) 2n sin( x + )
=
2
Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
A. y
(n)
D. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
2
2x +1
x+2
(1) n −1.3.n !
=
( x + 2) n +1
C. y ( n ) =
B. y
(−1) n −1.3.n !
( x − 2) n +1
Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm
số y
=
(n)
(−1) n −1.n !
=
( x + 2) n +1
D. y ( n ) =
(−1) n −1.3.n !
( x + 2) n +1
1
,a ≠ 0
ax + b
A. y ( n ) =
(2) n .a n .n !
(ax + b) n +1
B. y ( n ) =
(−1) n .a n .n !
( x + 1) n +1
C. y ( n ) =
(−1) n .n !
(ax + b) n +1
D. y ( n ) =
(−1) n .a n .n !
(ax + b) n +1
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
2x +1
x − 5x + 6
2
(−1) n +1.7.n ! (−1) n +1.5.n !
B. y
=
−
( x − 2) n +1
( x − 3) n +1
(2) n .7.n ! (1) n .5.n !
A. y
=
−
( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1
(n)
(n)
(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !
−
( x − 2) n
( x − 3) n
C. y ( n )
=
(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !
−
( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1
D. y ( n )
=
Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x
π
B. y ( n ) 2n cos 2 x +
=
2
π
n
A. y ( n ) =
( −1) cos 2 x + n
2
π
D. y ( n ) 2n cos 2 x + n
=
2
π
C. y ( n ) 2n +1 cos 2 x + n
=
2
Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số=
y
A. y
(n)
C. y
(n)
=
=
(−1) n +1.3.5...(3n − 1)
(2 x + 1) 2 n −1
(−1) n +1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1) 2 n +1
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
2x +1
B. y
(n)
D. y
(n)
=
=
(−1) n −1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1) 2 n −1
(−1) n +1.3.5...(2n − 1)
(2 x + 1) 2 n −1
17
Tổng ôn Toán 11
Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
A. y ( n )
=
C. y ( n ) =
2x +1
x − 3x + 2
2
5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
+
( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1
B. y ( n )
=
5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
−
( x + 2) n +1 ( x − 1) n +1
5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
:
( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1
D. y ( n )
=
5.(−1) n .n ! 3.(−1) n .n !
−
( x − 2) n +1 ( x − 1) n +1
Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
x
x + 5x + 6
2
(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
B. y
=
−
( x + 3) n
( x + 2) n
(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
A. y
=
+
( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1
(n)
C. y ( n )
=
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
(n)
(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
−
( x + 3) n −1 ( x + 2) n −1
D. y ( n )
=
(−1) n .3.n ! (−1) n .2.n !
−
( x + 3) n +1 ( x + 2) n +1
Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 2 x
π
A. y ( n ) 2n +1 cos 2 x + n
=
2
π
B. y ( n ) 2n −1 cos 2 x + n
=
2
π
D. y ( n ) 2n cos 2 x + n
=
2
π
C. y ( n ) 2n cos 2 x +
=
2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Hàm số y =
x
có đạo hàm cấp hai là:
x−2
A. y′′ = 0 .
B. y′′ =
1
( x − 2)
2
C. y′′ = −
.
4
( x − 2)
2
.
D. y′′ =
4
( x − 2)
3
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
x ′
Ta
có y′ =
=
x−2
( x + 1)
12 ( x + 1) .
24 ( 5 x + 3) .
y
Câu 2. Hàm số =
A.
=
y′′′
C. y′′′
=
−2
; y′′
=
2
( x − 2)
2
3
−2 ′
2 ( x − 2)
=
2.=
2
4
( x − 2)
( x − 2)
4
( x − 2)
3
có đạo hàm cấp ba là:
B.
=
y′′′
2
2
D. y′′′
=
24 ( x 2 + 1) .
–12 ( x 2 + 1) .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y =x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 ; y′ =6 x5 + 12 x3 + 6 x
y′′ = 30 x 4 + 36 x 2 + 6 ; y′′′= 120 x3 + 72 x= 24 ( 5 x 2 + 3) .
18
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Câu 3. Hàm số y = 2 x + 5 có đạo hàm cấp hai bằng:
A. y′′ =
1
.
(2 x + 5) 2 x + 5
C. y′′ = −
1
.
2x + 5
B. y′′ =
1
.
(2 x + 5) 2 x + 5
D. y′′ = −
1
.
2x + 5
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y′=
(
)
′
2x + 5 =
(
2x + 5
y′′ =
−
2x + 5
)
′
2
=
2 2x + 5
1
2x + 5
2
1
.
=
− 2 2x + 5 =
−
2x + 5
( 2 x + 5) 2 x + 5
x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng:
Câu 4. Hàm số y =
x +1
A. y (5) = −
C. y (5) =
120
.
( x + 1)6
B. y (5) =
1
.
( x + 1)6
120
.
( x + 1)6
D. y (5) = −
1
.
( x + 1)6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có y= x +
1
1
.
⇒ y′ =1 −
2
x +1
( x + 1)
2
24
−6
120
3
4
.
⇒ y′′ = 3 ⇒ y ( ) = 4 ⇒ y ( ) = 5 ⇒ y (5) =
−
( x + 1)6
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
x2 + x + 1
có đạo hàm cấp 5 bằng :
x +1
Câu 5. Hàm số y =
A. y (5) = −
C. y (5) =
120
( x + 1)
1
( x + 1)
5
6
B. y (5) =
.
120
( x + 1)
D. y (5) = −
.
5
.
1
( x + 1)
5
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y=
⇒ y′ =1 −
x2 + x + 1
1
.
= x+
x +1
x +1
1
( x + 1)
2
; y′′ =
2
( x + 1)
3
; y′′′ = −
6
( x + 1)
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
4
; y ( 4) =
24
( x + 1)
5
; y ( 5) = −
120
( x + 1)
6
.
19
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Câu 6. Hàm số
=
y x x 2 + 1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. y′′ = −
C. y′′ =
2 x3 + 3x
(1 + x )
1 + x2
2
2 x3 + 3x
(1 + x )
2
1 + x2
B. y′′ =
.
2x2 + 1
D. y′′ = −
.
1 + x2
.
2x2 + 1
1 + x2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: y=′
x
4 x x 2 + 1 − ( 2 x 2 + 1)
2
x
2x +1
x +1
; y′′ =
x 2 +=
1+ x
=
2
2
2
+
1
x
x +1
x +1
Câu 7. Hàm số=
y
2
( 2 x + 5)
5
2 x3 + 3x
(1 + x )
2
1 + x2
có đạo hàm cấp 3 bằng :
A.
=
y′′′ 80 ( 2 x + 5 ) .
B. y′′′ 480 ( 2 x + 5 ) .
=
2
3
D. y′′′ =
−80 ( 2 x + 5 ) .
C. y′′′ =
−480 ( 2 x + 5 ) .
3
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y′= 5 ( 2 x + 5=
; y′′ 80 ( 2 x + 5=
) ⋅ 2 10 ( 2 x + 5)=
) ; y′′ 480 ( 2 x + 5) .
4
4
2
3
Câu 8. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp 2 bằng :
2sin x
.
cos3 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A. y′′ = −
B. y′′ =
1
.
cos 2 x
C. y′′ = −
1
.
cos 2 x
D. y′′ =
2sin x
.
cos3 x
2cosx ( −sinx ) 2sinx
1
. y′′ =
−
=
2
cos x
cos 4 x
cos3 x
Câu 9. Cho hàm số y = sinx . Chọn câu sai.
Ta có: y′ =
π
A.
=
y′ sin x + .
2
=
y′′ sin ( x + π ) .
B.
3π
C.=
y′′′ sin x +
2
D.
=
y ( 4) sin ( 2π − x ) .
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π
π
′′ cos + x=
Ta có:=
=
y′ cos
x sin + x ; y=
sin (π + x ) .
2
2
3π
3π
( 4)
′′′ cos (π + x=
cos
x sin ( 2π + x ) .
+=
y=
) sin + x ; y=
2
2
20
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
−2 x 2 + 3 x
có đạo hàm cấp 2 bằng :
1− x
Câu 10. Hàm số y =
A. y′′= 2 +
1
(1 − x )
2
.
B. y′′ =
2
(1 − x )
3
C. y′′ =
.
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
−2
(1 − x )
3
D. y′′ =
.
2
(1 − x )
4
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y= 2 x − 1 +
1
1
2
; y′′ =
.
⇒ y′ =2 +
2
1− x
(1 − x)3
(1 − x )
π
π
Câu 11. Hàm số
y f=
=
( x ) cos 2 x − . Phương trình f ( 4) ( x ) = −8 có nghiệm x ∈ 0; là:
3
2
A. x =
π
2
B. x = 0 và x =
.
C. x = 0 và x =
π
3
D. x = 0 và x =
.
π
6
π
2
.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
π
π
π
π ( 4)
Ta có: y′ =
16cos 2 x −
−2sin 2 x − . y′′ =
−4cos 2 x − =
. y′′′ 8sin 2 x − =
. y
3
3
3
3
π
π
1
4
Khi đó : f ( ) ( x ) = −8 ⇔ 16cos 2 x − =
−8 ⇔ cos 2 x − =
−
3
3
2
π 2π
π
π
2 x − 3 = 3 + k 2π
x= 2 + kπ
x∈0;
π
2
→ x=
⇔
⇔
.
π
2π
2
2 x − π =
− + kπ
x=
−
+ k 2π
6
3
3
Câu 12. Cho hàm số y = sin2x . Chọn khẳng định đúng
A. 4 y − y′ =
0.
B. 4 y + y′′ =
0.
C. y = y′ tan 2 x .
D.=
y2
y′ )
(=
2
4.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y′ = 2cos2x ; y′′ = −4sin2x . ⇒ 4 y + y′′ =
0.
1
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = − . Xét hai mệnh đề :
x
2
.
x3
Mệnh đề nào đúng?
( I=
) : y′′
′′ ( x )
f=
A. Chỉ ( I ) đúng.
( II ) : y′′′ =
f ′′′ ( x ) = −
B. Chỉ ( II ) đúng.
6
.
x4
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
21
Tổng ôn Toán 11
Ta có: y′ =
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
1
2
6
; y′′ = − 3 ; y′′′ = 4 .
2
x
x
x
Câu 14. Nếu f ′′ ( x ) =
2sin x
thì f ( x ) bằng
cos3 x
1
.
cos x
Hướng dẫn giải:
B. −
A.
1
.
cos x
C. cot x .
D. tan x .
Chọn D.
1 ′ −2cosx ⋅ ( −sinx ) 2sinx
Vì: ( tan x )′′ =
.
=
=
2
cos3 x
cos 4 x
cos x
Câu 15. Cho hàm số
=
y f=
( x)
( I ) : y′ = f ′ ( x ) =−1 −
− x2 + x + 2
. Xét hai mệnh đề :
x −1
2
< 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2
( II ) : y′′ =
′′ ( x )
f=
4
> 0, ∀x ≠ 1 .
( x − 1) 2
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ ( I ) đúng.
B. Chỉ ( II ) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y = f ( x ) =
2
2
4
− x2 + x + 2
; y′′ =
.
=− x +
⇒ y′ =−1 −
2
3
x −1
x −1
( x − 1)
( x − 1)
Câu 16. Cho hàm số f ( x=
)
A. 3 .
( x + 1)
3
. Giá trị f ′′ ( 0 ) bằng
B. 6 .
C. 12 .
D. 24 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
x ) 6 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( 0 ) =
6.
Vì: f ′ (=
x ) 3 ( x + 1) ; f ′′ (=
2
π
Câu 17. Cho hàm số f=
( x ) sin 3 x + x 2 . Giá trị f ′′ bằng
2
A. 0 .
B. −1 .
C. −2 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
π
=
f ′ ( x ) 3sin 2 xcosx + 2 x ; f ′′ (=
x ) 6sinxcos 2 x − 3sin 3 x + 2 ⇒ f ′′ =
Vì:
−1 .
2
Câu 18. Cho hàm số f ( x ) = 5 ( x + 1) + 4 ( x + 1) . Tập nghiệm của phương trình f ′′ ( x ) = 0 là
3
A. [ −1; 2] .
B. ( −∞;0] .
C. {−1} .
D. ∅ .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
22
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Vì: f ′ ( x )= 15 ( x + 1) + 4 ; f ′′=
( x ) 30 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( x ) =0 ⇔ x =−1 .
2
Câu 19. Cho hàm số y =
3
A. y′′′ (1) = .
8
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì: y′ = −
1
( x − 3)
2
1
. Khi đó :
x −3
1
B. y′′′ (1) = .
8
; y′′ =
Câu 20. Cho hàm số=
y
2
( x − 3)
; y′′′ = −
3
( ax + b )
5
3
C. y′′′ (1) = − .
8
6
( x − 3)
4
3
⇒ y′′′ (1) =
− .
8
với a , b là tham số. Khi đó :
B. y (10) (=
1) 10a + b .
A. y (10) (1) = 0 .
1
D. y′′′ (1) = − .
4
C. y (10) (1) = 5a .
D. y (10) (1) = 10a .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
; y′′′ 60a 3 ( ax + b )=
; y ( 4) 120a 4 ( ax + b ) ; y (5) = 120a 5 ;
Vì:
=
y′ 5a ( ax + b =
) ; y′′ 20a 2 ( ax + b )=
4
y( ) = 0 ⇒ y(
6
10 )
3
10 )
=
0 . Do đó y (
2
(1) = 0
π
Câu 21. Cho hàm số y = sin 2 2x . Tính y ( 4) bằng:
6
A. 64 .
B. −64 .
C. 64 3 .
D. −64 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
=
=
x ( 2cos2x ) 2sin4x ; y′′ = 8cos4x ; y′′′ = −32sin4x ;
Vì: y′ 2sin2
4 π
y ( 4) = −128cos4x ⇒ y ( ) =
64 3 .
6
Câu 22. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ''
A. y '' = − sin 2 x
B. y '' = −4sin x
C. y '' = sin 2 x
D. y '' = −4sin 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y ' =
2 cos 2 x ⇒ y '' =
−4sin 2 x
π
π
Câu 23. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y '''( ) , y (4) ( )
3
4
A. 4 và 16
B. 5 và 17
C. 6 và 18
D. 7 và 19
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−8cos 2 x, y (4) =
16sin 2 x
Ta có y ''' =
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
23
Tổng ôn Toán 11
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
2π
π
π
π
Suy ra y '''( ) =
4; y (4) ( ) =
16sin =
16 .
−8cos
=
3
3
4
2
Câu 24. Cho hàm số y = sin 2 x . Tính y ( n )
π
π
A. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
3
B. y ( n ) 2n sin(2 x + )
=
2
π
π
C.
=
y ( n ) 2n sin( x + )
2
Hướng dẫn giải:
D. y ( n ) 2n sin(2 x + n )
=
2
Chọn D.
π
π
π
Ta có y ' = 2sin(2 x + ), y '' = 22 sin(2 x + 2=
) , y ''' 23 sin(2 x + 3 )
2
2
2
π
Bằng quy nạp ta chứng minh
=
y ( n ) 2n sin(2 x + n )
2
π
Với n =1 ⇒ y ' =21 sin(2 x + ) đúng
2
Giả=
sử y ( k ) 2k sin(2 x + k
+1)
suy ra y ( k=
(y =
)'
(k )
π
2
),
π
π
2k +1 cos(2 x + k =
) 2k +1 sin 2 x + (k + 1)
2
2
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
2x +1
x+2
A. y ( n ) =
(1) n −1.3.n !
( x + 2) n +1
B. y ( n ) =
(−1) n −1.n !
( x + 2) n +1
C. y ( n ) =
(−1) n −1.3.n !
( x − 2) n +1
D. y ( n ) =
(−1) n −1.3.n !
( x + 2) n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
'
3 ( x + 2)
−3.2
3
Ta có y ' ==
−
=
,
y
''
2
4
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2)3
2
y ''' =
(−1) n −1.3.n !
3.2.3
(n)
.
Ta
chứng
minh
y
=
( x + 2) n +1
( x + 2) 4
(−1)0 .3
3
đúng
=
• Với n =1 ⇒ y ' =
2
( x + 2)
( x + 2) 2
• Giả sử y ( k ) =
24
(−1) k −1.3.k !
( x + 2) k +1
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦
Tổng ôn Toán 11
⇒y
( k +1)
(−1) k −1.3.k !. ( x + 2) k +1 ' (−1) k .3.(k + 1)!
=
−
=
( y )' =
( x + 2) 2 k + 2
( x + 2) k + 2
(k )
Chủ đề 19. Vi phân – đạo hàm cấp cao
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm
số y
=
1
,a ≠ 0
ax + b
A. y ( n ) =
(2) n .a n .n !
(ax + b) n +1
B. y ( n ) =
(−1) n .a n .n !
( x + 1) n +1
C. y ( n ) =
(−1) n .n !
(ax + b) n +1
D. y ( n ) =
(−1) n .a n .n !
(ax + b) n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y '
=
−a
a 2 .2
−a 3 .2.3
=
,
y
''
=
,
y
'''
(ax + b) 2
(ax + b)3
(ax + b) 4
Ta chứng minh: y ( n ) =
(−1) n .a n .n !
(ax + b) n +1
(−1)1.a1.1!
a
đúng
1⇒ y ' =
=
−
• Với n =
2
(ax + b)
(ax + b) 2
• Giả sử y ( k ) =
⇒y
( k +1)
(−1) k .a k .k !
(ax + b) k +1
(−1) k .a k .k !. (ax + b) k +1 ' (−1) k +1.a k +1.(k + 1)!
=
−
=
( y )' =
(ax + b) 2 k + 2
( x + 2) k + 2
(k )
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
A. y ( n )
=
(2) n .7.n ! (1) n .5.n !
−
( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1
C. y ( n )
=
(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !
−
( x − 2) n
( x − 3) n
2x +1
x − 5x + 6
2
B. y ( n )
=
D. y ( n )
=
(−1) n +1.7.n ! (−1) n +1.5.n !
−
( x − 2) n +1
( x − 3) n +1
(−1) n .7.n ! (−1) n .5.n !
−
( x − 2) n +1 ( x − 3) n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 2 x + 1= 7( x − 2) − 5( x − 3) ; x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3)
Suy ra
=
y
7
5
.
−
x −3 x −2
(−1) n .1n.n ! (−1) n .n ! 1
(−1) n .n !
1
Mà =
=
, =
( x − 2) n +1 ( x − 2) n +1 x − 2
( x − 3) n +1
x−2
(n)
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học
(n)
25
