GIẢI CHI TIẾT Đề thi thử Toán Sở GDĐT Thanh Hóa – năm 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
THANH HÓA

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG NĂM HỌC 2017- 2018
Môn: TOÁN
Ngày khảo sát: 14/4/2018
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát ñề.
ðề có 6 trang, gồm 50 câu trắc nghiệm.
Mã ñề: 101

Họ, tên thí sinh:....................................................................................................................
Số báo danh:..........................................................................................................................
Câu 1: Hình bát diện ñều (tham khảo hình vẽ bên) có bao
nhiêu mặt?
A. 8.
B. 9.
C. 6.
D. 4.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai véc tơ a = (1; −2;0 ) và b = ( −2;3;1) . Khẳng
ñịnh nào sau ñây là sai?
A. a.b = −8 .

B. 2a = ( 2; −4;0 ) .

C. a + b = ( −1;1; −1) .

D. b = 14 .

x

x
 5
π 
Câu 3: Cho các hàm số y = log 2018 x , y =   , y = log 1 x , y = 
 . Trong các hàm số trên có bao
3
e
3


nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác ñịnh của hàm số ñó?
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
4
x
Câu 4: Hàm số y = − + 1 ñồng biến trên khoảng nào sau ñây?
2
A. ( −∞;0 ) .
B. ( −3; 4 ) .
C. (1; +∞ ) .
D. ( −∞;1) .

Câu 5: Cho các số thực a < b < 0. Mệnh ñề nào sau ñây sai?
1
a
A. ln   = ln a − ln b .
B. ln ab = ( ln a + ln b ) .

2
b

(

)

2

a
C. ln   = ln(a 2 ) − ln(b 2 ).
b

D. ln(ab) 2 = ln(a 2 ) + ln(b 2 ).

Câu 6: Số ñường tiệm cận (ñứng và ngang) của ñồ thị hàm số y =
A. 0.

B. 2 .
4n + 2018
Câu 7: Tính giới hạn lim
.
2n + 1
1
A. .
B. 4.
2

C. 3 .

C. 2.

1
là bao nhiêu?
x2
D. 1 .

D. 2018.

Trang 1/6 - Mã ñề thi 101


y

Câu 8: ðồ thị hình bên là ñồ thị của hàm số
nào dưới ñây?
1 − 2x
1 − 2x
B. y =
A. y =
.
.
x −1
1− x
1 − 2x
3 − 2x
C. y =
D. y =
.
.

x +1
x +1

2

x
-3

-2

-1

O

1

2

-2

-4

-6

Câu 9: Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Mệnh ñề nào sau ñây ñúng?
A. P ( A) + P ( B ) = 1.
B. Hai biến cố A và B không ñồng thời xảy ra .
C. Hai biến cố A và B ñồng thời xảy ra.
D. P ( A) + P ( B ) < 1.
Câu 10: Mệnh ñề nào sau ñây là sai?

A. Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C thì ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C .
B. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k là hằng số và k ≠ 0 ).

C. Nếu F ( x ) và G ( x ) ñều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) .
D.

∫  f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
1

2

1

2

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : z − 2 x + 3 = 0 . Một véc tơ pháp
tuyến của ( P ) là
A. u = ( 0;1; −2 ) .

B. v = (1; −2;3) .

C. n = ( 2;0; −1) .

D. w = (1; −2;0 ) .

Câu 12: Tính môñun của số phức z = 3 + 4i.
A. 3.
B. 5.
C. 7.
D. 7 .

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b] . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ñường cong

y = f ( x ) , trục hoành và các ñường thẳng x = a, x = b ( a < b ) ñược xác ñịnh bởi công thức nào sau ñây?
a

A. S = ∫ f ( x ) dx.
b

b

B. S =

∫ f ( x ) dx .

b

C. S = ∫ f ( x ) dx.

a

b

D. S = ∫ f ( x ) dx.

a

a

Câu 14: Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là
A. một hình chữ nhật. B. một tam giác cân.

C. một ñường elip.
D. một ñường tròn.
3
2
Câu 15: Ta xác ñịnh ñược các số a, b, c ñể ñồ thị hàm số y = x + ax + bx + c ñi qua ñiểm (1;0 ) và có
ñiểm cực trị ( −2;0 ) . Tính giá trị biểu thức T = a 2 + b 2 + c 2 .
A. 25 .
B. −1 .
C. 7 .
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − sin 2 x là

D. 14 .

x2
x2 1
x2 1
1
+ cos 2 x + C .
B.
+ cos 2 x + C .
C. x 2 + cos 2 x + C .
D.
− cos 2 x + C .
2
2 2
2
2 2
Câu 17: Cho các mệnh ñề sau
sin x
(I) Hàm số f ( x) = 2

là hàm số chẵn.
x +1
(II) Hàm số f ( x ) = 3 sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất bằng 5.
(III) Hàm số f ( x) = tan x tuần hoàn với chu kì 2π .
(IV) Hàm số f ( x ) = cos x ñồng biến trên khoảng (0; π ).
Trong các mệnh ñề trên có bao nhiêu mệnh ñề ñúng?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
mx + 16
Câu 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số y =
ñồng biến trên khoảng (0;10).
x+m
A. m ∈ ( −∞;−10] ∪ ( 4;+∞ ).
B. m ∈ ( −∞;−4) ∪ ( 4;+∞ ).
C. m ∈ (−∞;−10] ∪ [4;+∞).
D. m ∈ (−∞;−4] ∪ [ 4;+∞).
A.

Trang 2/6 - Mã ñề thi 101


Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm I (1;0; −2 ) và mặt phẳng ( P ) có phương
trình: x + 2 y − 2 z + 4 = 0 . Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là
A. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9.

B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 3.

C. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3.

D. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 9.

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x + 1 ñạt cực tiểu tại x = 1.
A. m = 1, m = 3.
B. m = 1.
C. m = 3.
D. Không tồn tại m.
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. Tìm
S
giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD ) và (SBC ) .
A. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và tâm O của ñáy.
B. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với ñường thẳng BC.
C. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với ñường thẳng AB.

A
D. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với ñường thẳng BD.
B

D

C

1 − 2x
> 0 là
x
3

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình log 1

1
1

 1
1 1

A. S =  ; +∞  .
B. S =  0;  .
C. S =  ;  .
D. S =  −∞;  .
3
3

 3
3 2


2
Câu 23: Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 1 x − 5log3 x + 6 = 0. Tính T .
3

A. T = 5.

B. T = −3.

C. T = 36.

Câu 24: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng
a 2 . Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng CC ′ và BD.
a 2
a 2
A.
B.
.
.
2
3
C. a .
D. a 2 .

D. T =

1
.
243
D'

A'
B'

C'

A
B

D
O
C

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai ñiểm A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5) . Tìm tọa ñộ
ñiểm M thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .
 5 13 
7 1 
A. M  ; ;1 .
B. M ( 0;5; −4 ) .
C. M  ; ;3  .
D. M ( 4; −3;8) .
3 3 
3 3 
Câu 26: Giải bóng ñá V-LEAGUE 2018 có tất cả 14 ñội bóng tham gia, các ñội bóng thi ñấu vòng tròn 2
lượt (tức là hai ñội A và B bất kỳ thi ñấu với nhau hai trận, một trận trên sân của ñội A, trận còn lại trên
sân của ñội B). Hỏi giải ñấu có tất cả bao nhiêu trận ñấu?
A. 182.
B. 91.
C. 196.
D. 140.

Câu 27: Số ñường chéo của ña giác ñều có 20 cạnh là bao nhiêu?
A. 170 .
B. 190 .
C. 360 .
D. 380 .
Câu 28: Gọi A, B , C lần lượt là các ñiểm biểu diễn của các số phức z1 = 2, z 2 = 4i, z 3 = 2 + 4i trong mặt
phẳng tọa ñộ Oxy. Tính diện tích tam giác ABC.
A. 8.
B. 2.
C. 6.
D. 4.
4
2
Câu 29: Cho hàm số y = x + 2mx + m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m ñể
ñồ thị hàm số ñã cho cắt ñường thẳng y = −3 tại bốn ñiểm phân biệt, trong ñó có một ñiểm có hoành ñộ

lớn hơn 2 còn ba ñiểm kia có hoành ñộ nhỏ hơn 1, là khoảng ( a; b ) (với a, b ∈ ℚ , a, b là phân số tối

giản). Khi ñó, 15ab nhận giá trị nào sau ñây?
A. −63 .
B. 63 .

C. 95 .

D. −95 .
Trang 3/6 - Mã ñề thi 101


Câu 30: Sự phân rã của các chất phóng xạ ñược biểu diễn theo công thức hàm số mũ
ln 2

, trong ñó m0 là khối lượng ban ñầu của chất phóng xạ (tại thời ñiểm t = 0 ), m(t )
m(t ) = m0 e − λt , λ =
T
là khối lượng chất phóng xạ tại thời ñiểm t , T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian ñể một nửa khối
lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các
nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ 146C trong mẫu gỗ ñó ñã mất 45% so với lượng 146C
ban ñầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc ñó có niên ñại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết chu kỳ bán rã
của 146C là khoảng 5730 năm.
A. 5157 (năm).
B. 3561 (năm).
C. 6601 (năm).
D. 4942 (năm).
Câu 31: Một tấm ñề can hình chữ nhật ñược cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có ñường
kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng ñể cắt chữ và in tranh cổ ñộng, phần còn lại là một khối trụ có
ñường kính 45 cm. Hỏi phần ñã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn ñến hàng ñơn vị)?
A. 373 (m).
B. 187 (m).
C. 384 (m).
D. 192 (m).
Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho các mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính r = 1 và

lần lượt có tâm là các ñiểm A(0;3; −1), B ( −2;1; −1), C (4; −1; −1) . Gọi ( S ) là mặt cầu tiếp xúc với cả ba
mặt cầu trên. Mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ nhất là

A. R = 2 2 − 1.
B. R = 10.
C. R = 2 2.
D. R = 10 − 1.
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm A ( 2; −1; −2 ) và ñường thẳng ( d ) có
x −1 y −1 z −1

. Gọi ( P ) là mặt phẳng ñi qua ñiểm A , song song với ñường thẳng ( d )
=
=
1
−1
1
và khoảng cách từ ñường thẳng ( d ) tới mặt phẳng ( P ) là lớn nhất. Khi ñó, mặt phẳng ( P ) vuông góc
với mặt phẳng nào sau ñây?
A. x − y − z − 6 = 0.
B. x + 3 y + 2 z + 10 = 0 . C. x − 2 y − 3 z − 1 = 0 . D. 3x + z + 2 = 0 .
Câu 34: Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất
ñể có ít nhất hai chữ cái H ñứng cạnh nhau.
5
5
9
79
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
14
84
84
14
Câu 35: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ñể phương trình cos3 2 x − cos 2 2 x = m sin 2 x có
 π

nghiệm thuộc khoảng  0;  ?
 6
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
phương trình:

π

Câu 36: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn
1

phân I = ∫
1
8

2

(

)

∫ cot x. f sin x dx =

π

2

16

∫

f

( x ) dx = 1 . Tính tích
x

1

4

f (4x)
dx.
x

3
5
B. I = .
C. I = 2.
D. I = .
2
2
v
t
=
2
t
Câu 37: Một ô tô bắt ñầu chuyển ñộng nhanh dần ñều với vận tốc 1 ( )
(m/s). ði ñược 12 giây,

người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển ñộng chậm dần ñều với gia tốc
a = −12 (m/s2). Tính quãng ñường s (m) ñi ñược của ô tô từ lúc bắt ñầu chuyển bánh cho ñến khi dừng
hẳn.
A. s = 168 (m).
B. s = 166 (m).
C. s = 144 (m).
D. s = 152 (m).
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0;10] ñể tập nghiệm của bất phương trình

A. I = 3.

(

)

log 22 x + 3log 1 x 2 − 7 < m log 4 x 2 − 7 chứa khoảng ( 256; +∞ ) ?
2

A. 7.

B. 10.

C. 8.

D. 9.
Trang 4/6 - Mã ñề thi 101


Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) . ðồ thị của hàm số

y = f '( x)

như

hình

vẽ

y

ðặt

bên.

4

M = max f ( x ) , m = min f ( x ) , T = M + m. Mệnh ñề
[ −2;6]

[ −2;6]

nào dưới ñây ñúng?
A. T = f ( 0 ) + f ( −2 ) .

2

x

O
-3

B. T = f ( 5) + f ( −2 ) .

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

-2

C. T = f ( 5) + f ( 6 ) .

D. T = f ( 0 ) + f ( 2 ) .
Câu 40: Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng 9a 3
và M là một ñiểm nằm trên cạnh CC ' sao cho MC = 2MC ' .
Tính thể tích của khối tứ diện AB ' CM theo a .
A. 2a 3 .

B. 4a 3 .
C. 3a 3 .
D. a 3 .

C'

A'
B'

M

C

A
B

Câu 41: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z 4 + z 2 + 1 = 0 trên tập số phức. Tính
giá trị của biểu thức P = z1 + z 2 + z 3 + z 4 .
A. 2.
B. 8.
C. 6.
D. 4.
3
2
Câu 42: Cho ñồ thị hàm số y = f ( x) = x + bx + cx + d cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ
2

2

x1 ; x2 ; x3 . Tính giá trị biểu thức P =

A. P =

1 1
+ .
2b c

2

2

1
1
1
+
+
.
f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x3 )

B. P = 0.

C. P = b + c + d .

D. P = 3 + 2b + c .

Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ( 3 x 2 − 2 x − 1) . Tính ñạo hàm cấp 6 của hàm số tại ñiểm x = 0.
9

A. f ( 6) (0) = −60480.

B. f ( 6) (0) = −34560.

C. f ( 6) (0) = 60480.

D. f ( 6) (0) = 34560.

π
4

Câu 44: Biết

∫ sin 2 x.ln ( tan x + 1) dx = aπ + b ln 2 + c

với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính T =

0

A. T = 2.
B. T = 4.
C. T = 6.
Câu 45: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a , CD = 2 x ,
( ACD ) ⊥ ( BCD ) . Tìm giá trị của x ñể ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ?
A. x = a .
C. x = a 2 .

a 2
.
2
a 3
.
D. x =

3

1 1
+ − c.
a b

D. T = −4.
B

B. x =

A

D

C

Trang 5/6 - Mã ñề thi 101


Câu 46: Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có
một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một
cây cầu từ bờ AB của ao ñến vườn. Tính gần ñúng ñộ dài tối
thiểu l của cây cầu biết:
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai ñường thẳng vuông góc với
nhau, hai ñường thẳng này cắt nhau tại ñiểm O;
- Bờ AB là một phần của một parabol có ñỉnh là ñiểm A và có
trục ñối xứng là ñường thẳng OA ;
- ðộ dài ñoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm I của mảnh vườn cách ñường thẳng AE và BC lần

lượt là 40m và 30m.

A
40m

I

30m

B. l ≈ 25,7 m.

D

40m

A. l ≈ 17,7 m.

E

20m

O

C

B

C. l ≈ 27,7 m.

D. l ≈ 15,7 m.

Câu 47: Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện z − 5 − 3i = 5 , ñồng thời z1 − z 2 = 8 .
Tập hợp các ñiểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy là ñường tròn có
phương trình nào dưới ñây?
2

2

5 
3
9

A.  x −  +  y −  = .
2 
2
4


B. ( x − 10) 2 + ( y − 6) 2 = 36.
2

2

5 
3

C. ( x − 10) + ( y − 6) = 16.
D.  x −  +  y −  = 9.
2 
2


Câu 48: Cho hình chóp S . ABCD có ñáy ABCD là hình vuông
S
cạnh bằng 2, SA = 2 và SA vuông góc với mặt ñáy ( ABCD ) .
2

2

Gọi M và N là hai ñiểm thay ñổi trên hai cạnh AB , AD sao
cho mặt phẳng ( SMC ) vuông góc với mặt phẳng ( SNC ) . Tính
1
1
khi thể tích khối chóp S . AMCN ñạt giá
+
2
AN
AM 2
trị lớn nhất.

N

A

tổng T =

D

M
B

C

5
2+ 3
13
.
.
C. T =
D. T = .
4
4
9
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho bốn ñiểm A ( 7; 2;3) , B (1; 4;3) , C (1; 2;6 ) , D (1; 2;3)

A. T = 2 .

B. T =

và ñiểm M tùy ý. Tính ñộ dài ñoạn OM khi biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD ñạt giá trị nhỏ nhất.
3 21
B. OM = 26.
C. OM = 14.
.
4
Câu 50: Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = a 15 ,

A. OM =

D. OM =

5 17
.
4

A

BD = a 10 , CD = 4a . Biết rằng góc giữa ñường thẳng AD và
mặt phẳng ( BCD ) bằng 450 , khoảng cách giữa hai ñường
5a
và hình chiếu của A lên mặt phẳng
4
( BCD ) nằm trong tam giác BCD . Tính ñộ ñài ñoạn thẳng AD.

thẳng AD và BC bằng

D

B

C

A.

5a 2
.
4

B. 2 2a.

3a 2

.
2
----------- HẾT ----------

C.

D. 2a.

Trang 6/6 - Mã ñề thi 101


SỞ GD&ĐT THANH HÓA
-----------

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2018
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề.
———————
Mã đề thi 101

Họ, tên thí sinh:....................................................................Số báo danh .............................

Câu
1

Đáp án

2
3

C

4
5
6
7
8
9
10

A

A

C

B
B
C
C
B
C

Câu
11

Đáp án

12
13

B

14
15
16
17
18
19
20

C

D
B
A
B
A
A
A

Đăng tải bởi

B

Câu
21

Đáp án

22
23

C

24
25
26
27
28
29
30

C

B

C

D
A
A
D
C
D

Câu
31

Đáp án

Câu

Đáp án

A

41

D

32
33

D

42

B

D

43

A

34
35
36
37

38
39
40

D

44

B

D

45

D

D

46

A

A

47

B

C

48

B

B

49

C

A

50

D


SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO THANH HÓA
HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI 12
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1. Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Mệnh ñề nào sau ñây ñúng?
A. Hai biến cố A và B không ñồng thời xảy ra .
B. Hai biến cố A và B ñồng thời xảy ra.
C. P ( A) + P ( B ) = 1.
D. P ( A) + P ( B ) < 1.
Lời giải. Mệnh ñề ñúng là “Hai biến cố A và B không ñồng thời xảy ra”
4n + 2018
Câu 2. Tính giới hạn lim
.
2n + 1

1
A. 4.
B. 2.
C. 2018.
D. .
2
2018
4+
4n + 2018
n = 4 + 0 = 2.
Lời giải. lim
= lim
1
2n + 1
2+0
2+
n
4
x
Câu 3. Hàm số y = − + 1 ñồng biến trên khoảng nào sau ñây?
2
A. ( −∞;0 ) .
B. (1; +∞ ) .
C. ( −3; 4 ) .
D. ( −∞;1) .

Lời giải. Ta có y′ = −2 x3 . Dễ thấy y ′ > 0 , ∀x ∈ ( −∞; 0 ) . Nên hàm số ñồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .

Số ñường tiệm cận (ñứng và ngang) của ñồ thị hàm số y =

Câu 4.
A. 0.

B. 1.

Lời giải. Ta có lim+
x →0

1
là bao nhiêu?
x2

D. 3 .

C. 2 .

1
1
= lim− 2 = +∞ nên ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng x = 0 làm tiệm cận ñứng
2
x →0 x
x

1
= 0 nên ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang
x2
Vậy ñồ thị hàm số ñã cho có hai tiệm cận.
Lại có lim

x →±∞

y

ðồ thị hình bên là ñồ thị của hàm số nào dưới ñây?
3 − 2x
1 − 2x
A. y =
B. y =
.
.
x +1
x −1

Câu 5.

2

x
-3

1 − 2x
1 − 2x
D. y =
.
.
1− x
x +1
Lời giải. ðồ thị ñã cho có tiệm cận ñứng x = −1 và cắt Oy tại
1− 2x
ñiểm (0;1) nên là ñồ thị hàm số y =

.
x +1

-2

-1

1

2

-2

C. y =

-4

-6

x

x
 5
π 
Câu 6. Cho các hàm số y = log 2018 x , y =   , y = log 1 x , y = 
 . Trong các hàm số trên có bao nhiêu
e
3
 3 
hàm số nghịch biến trên tập xác ñịnh của hàm số ñó?

A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

 5
Lời giải. Có hai hàm nghịch biến là y = log 1 x và y = 

3
 3 
1

x


Câu 7.

Cho các số thực a < b < 0. Mệnh ñề nào sau ñây sai?
2

a
B. ln   = ln(a 2 ) − ln(b 2 ).
b
1
D. ln ab = ( ln a + ln b ) .
2

A. ln(ab) 2 = ln(a 2 ) + ln(b 2 ).

(

a
C. ln   = ln a − ln b .
b

Lời giải. Mệnh ñề ln
Câu 8.

(

)

ab =

)

1
( ln a + ln b ) sai vì a < b < 0.
2

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b] . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ñường cong

y = f ( x ) , trục hoành và các ñường thẳng x = a, x = b ( a < b ) ñược xác ñịnh bởi công thức nào sau ñây?
b

A. S = ∫ f ( x ) dx.

a

b

B. S =

a

C. S = ∫ f ( x ) dx.

∫ f ( x ) dx .

b

D. S = ∫ f ( x ) dx.

b

a

a

b

Lời giải. Công thức ñúng là S = ∫ f ( x ) dx.
a

Câu 9. Mệnh ñề nào sau ñây là sai?
A. Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C thì ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C .
B. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k là hằng số và k ≠ 0 ).

C. Nếu F ( x ) và G ( x ) ñều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) .
D.

∫  f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
1

2

1

2

Lời giải. Mệnh ñề “Nếu F ( x ) và G ( x ) ñều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) ” sai vì

F ( x ) = G ( x ) + C.

Câu 10. Tính môñun của số phức z = 3 + 4i.
A. 7.
B. 5.

C. 3.

D.

7.

Lời giải. z = 32 + 4 2 = 5.
Câu 11. Hình bát diện ñều (tham khảo hình vẽ bên) có bao
nhiêu mặt?
A. 9.
B. 8.
C. 6.

D. 4.
Lời giải. Hình bát diện ñều có 8 mặt.

Câu 12. Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là
A. một tam giác cân.
B. một ñường tròn.
C. một hình chữ nhật.
D. một ñường elip.
Lời giải. Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân.
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : z − 2 x + 3 = 0 . Một véc tơ pháp tuyến
của ( P ) là
A. n = ( 2; 0; −1) .

B. u = ( 0;1; −2 ) .

C. v = (1; −2;3)

Lời giải. Viết lại ( P ) : 2 x − z − 3 = 0 suy ra n = ( 2; 0; −1)

2

D. w = (1; −2;0 )


Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai véc tơ a = (1; −2; 0 ) và b = ( −2;3;1) . Khẳng ñịnh
nào sau ñây là sai?
A. a.b = −8 .

B. 2a = ( 2; −4;0 ) .

D. a + b = ( −1;1; −1) .

C. b = 14 .

Lời giải. ðúng phải là a + b = ( −1;1;1) .
Câu 15. Cho các mệnh ñề sau
sin x
(I) Hàm số f ( x ) = 2
là hàm số chẵn.
x +1
(II) Hàm số f ( x ) = 3 sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất bằng 5.
(III) Hàm số f ( x ) = tan x tuần hoàn với chu kì 2π .
(IV) Hàm số f ( x ) = cos x ñồng biến trên khoảng (0; π ).
Trong các mệnh ñề trên có bao nhiêu mệnh ñề ñúng?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải.
sin x
- Hàm số f ( x) = 2
là hàm số lẻ. Suy ra mệnh ñề (I): Sai
x +1

D. 3.

- Hàm số f ( x ) = 3 sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất bằng 32 + 4 2 = 5. Suy ra mệnh ñề (II): ðúng
- Hàm số f ( x) = tan x tuần hoàn với chu kì π . Suy ra mệnh ñề (III): Sai
- Hàm số f ( x ) = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π ). Suy ra mệnh ñề (IV): Sai
Vậy có 1 mệnh ñề ñúng trong các mệnh ñề ñã cho.
Câu 16. Giải bóng ñá V-LEAGUE 2018 có tất cả 14 ñội bóng tham gia, các ñội bóng thi ñấu vòng tròn 2 lượt

(tức là hai ñội A và B bất kỳ thi ñấu với nhau hai trận, một trận trên sân của ñội A, trận còn lại trên sân của ñội
B). Hỏi giải ñấu có tất cả bao nhiêu trận ñấu?
A. 91.
B. 140.
C. 182.
D. 196.
Lời giải. Mỗi trận ñấu là một cách chọn có thứ tự hai ñội bóng, do ñó số trận ñấu là A142 = 182.

Câu 17. Số ñường chéo của ña giác ñều có 20 cạnh là bao nhiêu?
A. 170 .
B. 190 .
C. 360 .
D. 380 .
2
Lời giải. Hai ñỉnh bất kì của ña giác thì tạo thành một ñoạn thẳng suy ra có C 20 = 190 ñoạn thẳng như thế.
Trong số các ñoạn thẳng trên có 20 ñoạn thẳng là cạnh, vậy số ñường chéo là 190 − 20 = 170.
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) .
A. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và tâm O của ñáy.
B. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với ñường thẳng BC.
C. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với ñường thẳng AB.
D. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với ñường thẳng BD.

S

A
B

D
C

Lời giải. Do AD // BC và S ∈ ( SAD) ∩ ( SBC ) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC ) là ñường
thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với BC.

3


Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng
a 2 . Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng CC ′ và BD.
a 2
.
2
C. a .

A.

D'

A'
B'

a 2
.
3
D. a 2 .

C'

B.

A
B

D
O
C

OC ⊥ BD
Lời giải. Ta có: 
⇒ OC là ñoạn vuông góc chung của CC ′ và BD .
OC ⊥ CC ′
AC 2a
Vậy d ( CC ′; BD ) = OC =
=
=a.
2
2
mx + 16
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số y =
ñồng biến trên khoảng (0;10).
x+m
A. m ∈ ( −∞;−4) ∪ ( 4;+∞ ).
B. m ∈ ( −∞;−10] ∪ ( 4;+∞ ).
C. m ∈ ( −∞;−4] ∪ [4;+∞).
D. m ∈ ( −∞;−10] ∪ [4;+∞).
Lời giải. ðiều kiện x ≠ −m , y ' =

m 2 − 16
.
( x + m) 2

m 2 − 16 > 0
m > 4, m < −4
m > 4
⇔
⇔
Hàm số ñồng biến trên khoảng (0;10) khi và chỉ khi 
m ≥ 0, m ≤ −10
m ≤ −10
− m ∉ (0;10)
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x + 1 ñạt cực tiểu tại x = 1.
A. m = 1.
B. m = 3.
C. m = 1, m = 3.
D. Không tồn tại m.
Lời giải. y ' = 3 x 2 − 4mx + m 2 , y" = 6 x − 4m
ðể hàm số ñạt cực trị tại x = 1 thì y ' (1) = 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 = 0 ⇔ m = 1, m = 3.
Với m = 3 thì y" (1) = −6 < 0 nên x = 1 là ñiểm cực ñại. Với m = 1 thì y" (1) = 2 > 0 nên x = 1 là ñiểm cực tiểu.
Vậy m = 1.
Câu 22. Ta xác ñịnh ñược các số a, b, c ñể ñồ thị hàm số y = x3 + ax 2 + bx + c ñi qua ñiểm (1; 0 ) và có ñiểm

cực trị ( −2;0 ) . Tính giá trị biểu thức T = a 2 + b 2 + c 2 .

A. −1 .
B. 7 .
2
Lời giải. Ta có y′ = 3x + 2ax + b .

C. 14 .

D. 25 .

 y (1) = 0
a + b + c = −1
a = 3



Theo bài ta ta có  y′ ( −2 ) = 0 ⇔ 4a − b = 12
⇒ b = 0 . Suy ra T = a 2 + b 2 + c 2 = 25 .

4a − 2b + c = 8 c = −4


 y ( −2 ) = 0
1 − 2x
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình log 1
> 0 là
x
3
1

A. S =  ; +∞  .
3


 1
1 1
B. S =  0;  .
C. S =  ;  .

 3
3 2
1 − 2 x
 x > 0
1− 2x
1
1
Lời giải. BPT log 1
>0⇔
⇔ x
3
2
3
1 − 2 x < 1
 x

4

1

D. S =  −∞;  .
3



Câu 24. Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 21 x − 5log 3 x + 6 = 0. Tính T .
3

1

A. T = 36.
B. T =
C. T = 5.
.
243
2
Lời giải. ðKXð: x > 0. PT tương ñương với [ − log 3 x ] − 5log 3 x + 6 = 0

D. T = −3.

t = 2  x = 9
ðặt t = log 3 x , PT trở thành t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔ 
⇒
⇒ T = 36.
t = 3  x = 27
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x − sin 2 x là
A.

x2 1
− cos 2 x + C .
2 2

B.

x2
+ cos 2 x + C .
2

1
C. x 2 + cos 2 x + C .

2

D.

x2 1
+ cos 2 x + C .
2 2

x2 1
+ cos 2 x + C .
2 2
Câu 26. Gọi A, B, C lần lượt là các ñiểm biểu diễn của các số phức z1 = 2, z 2 = 4i, z3 = 2 + 4i trong mặt phẳng
tọa ñộ Oxy. Tính diện tích tam giác ABC.
A. 4.
B. 2.
C. 6.
D. 8.
Lời giải. A(2;0), B(0;4), C (2;4) suy ra AB = 2 5 , AC = 4, BC = 2 suy ra tam giác ABC vuông tại C nên
1
S ABC = AC .BC = 4.
2

Lời giải.

∫ ( x − sin 2 x)dx =

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai ñiểm A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5 ) . Tìm tọa ñộ ñiểm M
thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .
 5 13 
7 1 

A. M  ; ;1 .
B. M  ; ;3  .
3 3 
3 3 
Lời giải. MA = 3MB ⇔ M ( 4; −3;8 ) .

C. M ( 4; −3;8 ) .

D. M ( 0;5; −4 ) .

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm I (1;0; −2 ) và mặt phẳng ( P ) có phương trình:
x + 2 y − 2 z + 4 = 0 . Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là

A. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 9.

B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 3.

C. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9.

D. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3.

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải. Do mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) nên có bán kính là R = d ( I ; ( P ) ) = 3 .
Do ñó phương trình mặt cầu ( S ) là: ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9.
2

2

Câu 29. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ñể phương trình cos3 2 x − cos 2 2 x = m sin 2 x có
 π
nghiệm thuộc khoảng  0;  ?
 6
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
cos2 x = 1
(1)
1 − cos2 x
3
2
2

Lời giải. PT ⇔ cos 2 x − cos 2 x − m
= 0 ⇔ ( cos2 x − 1) ( 2cos 2 x + m ) = 0 ⇔

cos 2 2 x = − m ( 2 )
2

2
 π
Giải (1) ⇔ x = kπ ( k ∈ ℤ) , các nghiệm này không thuộc  0;  .
 6

5


1
 π
 π 1
Giải ( 2 ) : do x ∈  0;  ⇒ 2 x ∈  0;  ⇒ < cos2 x < 1 ⇔ < cos 2 2 x < 1
4
 6
 3 2
1
m
1
 π
Vây ( 2 ) có nghiệm x ∈  0;  ⇔ < − < 1 ⇔ −2 < m < − . Vậy có một giá trị nguyên của m là − 1.
4
2
2
 6
Câu 30. Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất ñể có
ít nhất hai chữ cái H ñứng cạnh nhau.
5

5
9
79
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
14
84
14
84
Lời giải.
Cách 1:
• Xét trường hợp các chữ cái ñược xếp bất kì, khi ñó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau
- Có C83 cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H.
- Có C52 cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A.
- Có 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
- Do ñó số phần tử của không gian mẫu là n(Ω ) = C83 .C52 .3! = 3360.
• Gọi A là biến cố ñã cho.
- Nếu có 3 chữ H ñứng cạnh nhau thì ta có 6 cách xếp 3 chữ H.
- Nếu có ñúng 2 chữ H ñứng cạnh nhau: Khi 2 chữ H ở 2 vị trí ñầu (hoặc cuối) thì có 5 cách xếp chữ cái H
còn lại, còn khi 2 chữ H ñứng ở các vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H còn lại. Do ñó có 2.5 + 5.4 = 30 cách
xếp 3 chữ H sao cho có ñúng 2 chữ H ñứng cạnh nhau
Như vậy có 30 + 6 = 36 cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có C52 cách chọn vị trí và xếp 2 chữ cái
A và 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
n( A) 2160 9

Suy ra n( A) = 36.C52 .3! = 2160 . Vậy xác suất cần tìm là P( A) =
=
= .
n(Ω ) 3360 14
Cách 2:
8!
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω ) =
= 3360.
2!3!
Gọi A là biến cố ñã cho, ta sẽ tìm số phần tử của A .
5!
ðầu tiên ta xếp 2 chữ cái A và 3 chữ cái T, O, N, có = 60 cách xếp.
2!
Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai ñầu) ñể xếp 3 chữ cái H, có C63 cách xếp

Do ñó n( A) = 60.C63 = 1200 , suy ra n( A) = n(Ω ) − n( A) = 3360 − 1200 = 2160
n( A) 2160 9
Vậy xác suất cần tìm là P( A) =
=
= .
n(Ω ) 3360 14
Câu 31. Cho hàm số f ( x ) = ( 3 x 2 − 2 x − 1) . Tính ñạo hàm cấp 6 của hàm số tại ñiểm x = 0.
9

A. f ( 6) (0) = −60480.
B. f ( 6) (0) = 60480.
C. f ( 6) (0) = 34560.
Lời giải.
Khai triển f ( x ) giả sử ta ñược f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a18 x18 .

D. f ( 6) (0) = −34560.

Khi ñó f ( 6) ( x) = 6! a6 + b7 x + .b8 x 2 ... + b18 x12 , suy ra f ( 6) (0) = 6! a6 .
9

9

k

k =0

k =0

i =0

Ta có (3 x 2 − 2 x − 1) 9 = −(1 + 2 x − 3x 2 ) 9 = −∑ C9k (2 x − 3x 2 ) k = −∑ C9k ∑ Cki (2 x) k −i (−3 x 2 ) i
9

k

= −∑∑ C9k Cki 2 k −i (−3) i x k +i
k =0 i =0

6


0 ≤ i ≤ k ≤ 9
k = 6 k = 5 k = 4 k = 3
Số hạng chứa x 6 ứng với k, i thỏa mãn 
⇔

,
,
,
.
k + i = 6
i = 0 i = 1 i = 2 i = 3

[

]

Do ñó a6 = − C96C60 2 6 (−3) 0 + C95C51 2 4 (−3) + C94C 42 2 2 (−3) 2 + C93C33 2 0 (−3) 3 = −84.
Suy ra f ( 6) (0) = −84.6! = −60480.
Lại có, sử dụng khai triển Niu tơn ta tìm ñược a6 = −84 → f (6) = −84.6! = −60480.

Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a , CD = 2 x ,
( ACD ) ⊥ ( BCD ) . Tìm giá trị của x ñể ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ?
A. x =

a 3
.
3

C. x = a .

B

B. x = a 2 .
D. x =

a 2
.
2

A

D

C

Lời giải.
- Gọi E , F lần lượt là trung ñiểm của CD và AB
 AE ⊥ CD
⇒
⇒ AEB là góc giữa hai mặt phẳng ( ACD ) và ( BCD ) ⇒ AEB = 900 .
BE
⊥
CD

CF ⊥ AB
⇒ AB ⊥ (CFD ) nên góc giữa hai ñường thẳng FC và FD là góc giữa hai mặt phẳng
- Mặt khác: 
 DF ⊥ AB
CD
(1)
( ABC ) và ( ABD ) . Do ñó ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ⇔ CFD = 900 ⇔ FE =
2
- Mặt khác: △ EAB vuông cân tại E nên EF =
- Từ (1) và (2) suy ra

AE
=
2

AC 2 − CE 2
a2 − x2
(2).
=
2
2

a2 − x2
a 2 − x2
a 3
.
=x⇔
= x 2 ⇔ 3x 2 = a 2 ⇔ x =
2
2
3

Câu 33. Cho ñồ thị hàm số y = f ( x) = x3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ
x1; x2 ; x3 . Tính giá trị biểu thức P =

A. P = 3 + 2b + c .

1
1
1
+

+
.
f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x3 )

B. P = b + c + d .

C. P = 0.

D. P =

1 1
+ .
2b c

Lời giải.
Theo giả thiết ta có f ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) .

Suy ra f ′ ( x ) = ( x − x2 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x2 )
Khi ñó P =
=

1
1
1
1
1
1
+
+
=

+
+
f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x2 ) ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 )

( x2 − x3 ) − ( x1 − x3 ) + ( x1 − x2 ) = 0 .
( x1 − x2 )( x2 − x3 )( x1 − x3 )

Câu 34. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m ñể ñồ thị
hàm số ñã cho cắt ñường thẳng y = −3 tại bốn ñiểm phân biệt, trong ñó có một ñiểm có hoành ñộ lớn hơn 2
7


còn ba ñiểm kia có hoành ñộ nhỏ hơn 1, là khoảng ( a; b ) (với a, b ∈ ℚ , a , b là phân số tối giản). Khi ñó, 15ab
nhận giá trị nào sau ñây?
A. −95 .
B. 95 .
C. −63 .
D. 63 .
4
2
2
Lời giải. Xét phương trình hoành ñộ giao ñiểm −3 = x + 2mx + m . ðặt x = t , t ≥ 0 . Khi ñó phương trình trở
thành t 2 + 2mt + m + 3 = 0 (1) và ñặt f ( t ) = t 2 + 2mt + m + 3 .
ðể ñồ thị hàm số cắt ñường thẳng y = −3 tại 4 ñiểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn
0 < t1 < t2 và khi ñó hoành ñộ bốn giao ñiểm là − t2 < − t1 < t1 < t2 .

 t2 > 2
hay 0 < t1 < 1 < 4 < t2 .
Do ñó, từ ñiều kiện của bài toán suy ra 
 t1 < 1

 f ( 0) > 0
m + 3 > 0

19

ðiều này xãy ra khi và chỉ khi  f (1) < 0 ⇔ 3m + 4 < 0 ⇔ −3 < m < − .
9

9m + 19 < 0
f
4
<
0
(
)


19
Vậy a = −3 , b = −
nên 15ab = 95 .
9
ln 2
,
T
trong ñó m0 là khối lượng ban ñầu của chất phóng xạ (tại thời ñiểm t = 0 ), m(t ) là khối lượng chất phóng xạ tại
thời ñiểm t , T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian ñể một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất
khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon
phóng xạ 146C trong mẫu gỗ ñó ñã mất 45% so với lượng 146C ban ñầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc ñó có

Câu 35. Sự phân rã của các chất phóng xạ ñược biểu diễn theo công thức hàm số mũ m(t ) = m0 e − λt , λ =

niên ñại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết chu kỳ bán rã của 146C là khoảng 5730 năm.
A. 4942 (năm)
.B. 5157 (năm)
.C. 3561 (năm).
Lời giải.
ln 2
và m ( t ) = 0, 55m0 ta suy ra
Từ công thức m(t ) = m0 e − λt , λ =
T
0, 55 = e

−

ln 2
t
5730

D. 6601 (năm).

t

 1  5730
⇔ 0, 55 =  
⇒ t = 5730.log 1 0,55 ≈ 4942 (năm)
2
2

Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0;10] ñể tập nghiệm của bất phương trình

(

)

log 22 x + 3log 1 x 2 − 7 < m log 4 x 2 − 7 chứa khoảng ( 256; +∞ ) ?
2

A. 8.

B. 10.

C. 7.

Lời giải. Xét trên ( 256; +∞ ) , khi ñó bất phương trình tương ñương:

D. 9.

log 22 x − 6 log 2 x − 7 < m ( log 2 x − 7 ) .

ðặt t = log 2 x với x > 256 ⇒ t = log 2 x > 8 .

BPT trở thành

t 2 − 6t − 7 < m ( t − 7 ) ⇔ (t + 1)(t − 7) < m(t − 7)

t +1
< m (*) (do t − 7 > 1 > 0 )
t −7
BPT ñã cho có tập nghiệm chứa ( 256; +∞ ) khi và chỉ khi BPT (*) có nghiệm ñúng với ∀t > 8.

⇔ t +1 < m t − 7 ⇔

t +1
8
t +1
8
t +1
= 1+
⇒1<
< 1+
= 9 ⇒1<
< 3.
t −7
t −7
t −7
8−7
t −7
Từ ñó tìm ñược ñiều kiện của tham số m là m ≥ 3. Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm là 3,4,5,6,7,8,9,10.
8
Ta có ∀t > 8 thì


π
4

1 1
+ − c.
a b
D. T = −4.

Câu 37. Biết ∫ sin 2 x.ln ( tan x + 1) dx = aπ + b ln 2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính T =
0

A. T = 4.

B. T = 6.
C. T = 2.
dx

du =
u = ln ( tan x + 1) 
cos x ( sin x + cos x )
Lời giải. ðặt 
.
⇒
dv = sin 2 xdx
1
v = − cos 2 x

2
π

π

π

4
1
1 4 cos x − sin x
Suy ra ∫ sin 2 x.ln ( tan x + 1)dx = − cos 2 x.ln ( tan x + 1) + ∫

dx
2
20
cos x
0
0
4

π
4
1
1
1
= ( x + ln cos x ) = π − ln 2. Do ñó T = 8 − 4 + 0 = 4.
2
8
4
0

Câu 38. Cho hàm số y = f ( x ) . ðồ thị của hàm số

y = f '( x)

như

hình

vẽ

bên.

y

ðặt

4

M = max f ( x ) , m = min f ( x ) , T = M + m. Mệnh ñề
[ −2;6]

[ −2;6]

2

nào dưới ñây ñúng?
A. T = f ( 5 ) + f ( −2 ) .

x
-3

B. T = f ( 0 ) + f ( 2 ) .

-2

-1

1

2

-2

C. T = f ( 0 ) + f ( −2 ) .
D. T = f ( 5 ) + f ( 6 ) .
Lời giải.
0

•

∫

−2

2

f ' ( x ) dx > ∫ − f ' ( x ) dx ⇒ f ( 0 ) − f ( −2 ) > f ( 0 ) − f ( 2 ) ⇒ f ( −2 ) < f ( 2 ) .
0

2

•

5

∫ − f ' ( x ) dx <∫ f ' ( x ) dx ⇒ f ( 0 ) − f ( 2 ) < f ( 5) − f ( 2) ⇒ f ( 0 ) < f ( 5) .
0

•
•

2

5

6

2

5

∫ f ' ( x ) dx > ∫ − f ' ( x ) dx ⇒ f ( 5) − f ( 2) > f ( 5) − f ( 6) ⇒ f ( 2 ) < f ( 6 ) .
Ta có BBT của hàm số y = f ( x ) trên ñoạn [ −2; 6] :

Suy ra M = f ( 5 ) , m = f ( −2 ) ⇒ T = f ( 5 ) + f ( −2 ) .
9

3

4

5

6

7


Câu 39. Một ô tô bắt ñầu chuyển ñộng nhanh dần ñều với vận tốc v1 ( t ) = 2t (m/s). ði ñược 12 giây, người lái
xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển ñộng chậm dần ñều với gia tốc a = −12 (m/s2).
Tính quãng ñường s (m) ñi ñược của ô tô từ lúc bắt ñầu chuyển bánh cho ñến khi dừng hẳn.

A. s = 168 (m).
B. s = 144 (m).
C. s = 166 (m).
D. s = 152 (m).
12

12

0

0

Lời giải. Quãng ñường ô tô ñi ñược từ lúc xe lăn bánh ñến khi ñược phanh s1 = ∫ v1 (t )dt = ∫ 2tdt = 144 (m).

Vận

tốc

v2 (t )

(m/s)

của

ô

từ

tô

lúc

ñược

phanh

ñến

dừng

khi

hẳn

thoả

mãn:

v2 (t ) = ∫ (−12)dt = −12t + C , v2 (12) = v1 (12) = 24 ⇒ C = 168 ⇒ v2 (t ) = −12t + 168 (m / s ).
Thời ñiểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn: v2 (t ) = 0 ⇔ t = 14 ( s).
Quãng ñường ô tô ñi ñược từ lúc xe ñược phanh ñến khi dừng hẳn:
14

14

12

12

s2 = ∫ v2 (t )dt = ∫ (−12t + 168)dt =24 (m). Quãng ñường cần tính s = s1 + s2 = 144 + 24 = 168(m).

π

Câu 40. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn
1

I =∫
1
8

2

(

)

2
∫ cot x. f sin x dx =

π

16

∫
1

f

( x ) dx = 1 . Tính tích phân
x

4

f (4x)
dx.
x

5
A. I = .
2
Lời giải.

3
C. I = .
2

B. I = 2.

D. I = 3.

π

•

(

2

)

Xét A = ∫ cot x. f sin 2 x dx = 1 . ðặt t = sin 2 x.

π

4

π
1

x = 
→t =

dt

4
2.
Suy ra dt = 2sin x cos xdx = 2sin 2 x cot xdx = 2t.cot xdx ⇒ cot xdx = . ðổi cận: 
2t
 x = π 
→t =1

2
1
1
1
f ( x)
1 f (t )
1 f ( x)
Khi ñó 1 = A = ∫
dt = ∫
dx ⇒ ∫
dx = 2.

21 t
21 x
x
1
2

16

•

Xét B =

∫
1

2

f

( x ) dx = 1. ðặt u =
x

2

x Suy ra du =

dx
dx 2du
⇒
=

.
x
u
2 x

4
4
4
 x = 1 
→u =1
f (u )
f ( x)
f ( x)
1
ðổi cận: 
du = 2 ∫
dx ⇒ ∫
dx = .
. Khi ñó 1 = B = 2 ∫
u
x
x
2
→u = 4
 x = 16 
1
1
1
1
f (4x)

• Xét tích phân cần tính I = ∫
dx.
x
1
8

1
v
ðặt v = 4 x, suy ra dx = dv, x = . ðổi cận:
4
4

1
1

→v =
 x = 
8
2.

 x = 1 
→v = 4

10


4

Khi ñó I = ∫
1

2

4
1
4
f (v)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
1 5
dv = ∫
dx = ∫
dx + ∫
dx = 2 + = .
v
x
x
x
2 2
1
1
1
2

2

Câu 41. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phân biệt của phương trình z 4 + z 2 + 1 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị

của biểu thức P = z1 + z 2 + z 3 + z 4 .
A. 4.

B. 2.
2

2

2

2

C. 6.

D. 8.
z − z +1 = 0
Lời giải. z 4 + z 2 + 1 = 0 ⇔ ( z 2 + 1) 2 − z 2 = 0 ⇔ ( z 2 − z + 1)( z 2 + z + 1) = 0 ⇔  2
 z + z + 1 = 0

1
3
i
z = ±
2
2

. Do ñó P = 4.
⇔

1
3
i
z = − ±


2 2
2

Câu 42. Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng 9a 3
và M là một ñiểm nằm trên cạnh CC ' sao cho MC = 2MC ' .
Tính thể tích của khối tứ diện AB ' CM theo a .
A. a 3 .
C. 3a 3 .

C'

A'
B'

M

B. 2 a 3 .
D. 4 a 3 .
C

A
B

Lời giải. Ta có: VA. A ' B 'C ' = VA. B ' BC = VA.B 'C 'C =

VABC . A ' B 'C '
2
= 3a 3 . Mặt khác: VAB ' MC = VAB 'C 'C = 2a 3 .
3

3

Vậy: VAB ' MC = 2a 3 .

Câu 43. Một tấm ñề can hình chữ nhật ñược cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có ñường kính
50 cm. Người ta trải ra 250 vòng ñể cắt chữ và in tranh cổ ñộng, phần còn lại là một khối trụ có ñường kính 45
cm. Hỏi phần ñã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn ñến hàng ñơn vị)?
A. 373 (m).
B. 192 (m).
C. 187 (m).
D. 384 (m).
Lời giải.
50 − 45
Cách 1: Bề dày của tấm ñề can là: a =
= 0, 01 ( cm ) .
2 × 250
Gọi d là chiều dài ñã trải ra và h là chiều rộng của tấm ñề can. Khi ñó ta có:
2
2
π 502 − 452
 50 
 45 
dha = π   h − π   h ⇒ d =
≈ 37306 ( cm ) ≈ 373 ( m ) .
4a
 2 
 2 
Cách 2: Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của 250 ñường tròn có bán kính là một cấp số cộng có số hạng
ñầu bằng 25 , công sai là −a = −0, 01 .
250

Do ñó chiều dài là l = 2π (2.25 − 249.0, 01)
≈ 37314 cm ≈ 373 m.
2

(

)

Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm A ( 2; −1; −2 ) và ñường thẳng ( d ) có phương

trình:

x −1 y −1 z −1
. Gọi ( P ) là mặt phẳng ñi qua ñiểm A , song song với ñường thẳng ( d ) và khoảng
=
=
1
−1
1

11


cách từ ñường thẳng ( d ) tới mặt phẳng ( P ) là lớn nhất. Khi ñó, mặt phẳng ( P ) vuông góc với mặt phẳng nào
sau ñây?
A. x + 3 y + 2 z + 10 = 0 .
B. 3x + z + 2 = 0 .
C. x − 2 y − 3 z − 1 = 0 .
D. x − y − z − 6 = 0.
Lời giải. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên ( d ) khi

(d)
K
ñó K (1;1;1) .

Ta có: d ( ( d ) , ( P ) ) = d ( K , ( P ) ) = KH ≤ KA = 14 .
Max d ( ( d ) , ( P ) ) = 14 ⇔ ( P )

ñi qua

A

và có VTPT

KA = ( −1; 2;3)
Do ñó phương trình mặt phẳng
( P ) : x − 2 y − 3z − 10 = 0.

H
A

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho các mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính r = 1 và lần
lượt có tâm là các ñiểm A(0;3; −1), B ( −2;1; −1), C (4; −1; −1) . Gọi ( S ) là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu

trên. Mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ nhất là

A. R = 2 2.
B. R = 10 − 1.
C. R = 10.
Lời giải. Ta có: AB = 8, AC = 32, BC = 40 nên tam giác
ABC vuông tại A .

Gọi I là trung ñiểm của BC , khi ñó: IM = IN = IP = 10 − 1 .
Do ñó mặt cầu ( S ) thoả mãn bài ra là mặt cầu có tâm là I và bán

D. R = 2 2 − 1.
A

M

kính R = 10 − 1.
B

N

I

P

C

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho bốn ñiểm A ( 7; 2;3) , B (1; 4;3) , C (1; 2;6 ) , D (1; 2;3) và
ñiểm M tùy ý. Tính ñộ dài ñoạn OM khi biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD ñạt giá trị nhỏ nhất.
5 17
3 21
D. OM =
.
.
4
4
Lời giải. Ta có DA = (6; 0; 0), DB = (0; 2;0), DC = (0;0;3) nên tứ diện ABCD là tứ diện vuông ñỉnh D.
Giải sử M ( x + 1; y + 2; z + 3) .

A. OM = 14.

Ta có MA =

( x − 6)

B. OM = 26.

2

C. OM =

+ y 2 + z 2 ≥ x − 6 ≥ 6 − x , MB = x 2 + ( y − 2 ) + z 2 ≥ y − 2 ≥ 2 − y ,
2

MC = x 2 + y 2 + ( z − 3) ≥ z − 3 ≥ 3 − z ,
2

(

)

3MD = 3 x 2 + y 2 + z 2 ≥

(x + y + z)

2

≥ x+ y+z.

Do ñó P ≥ (6 − x) + (2 − y ) + (3 − z ) + ( x + y + z ) = 11 .
x = y = z = 0
Các ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
⇔ x= y= z=0
6 − x ≥ 0, 2 − y ≥ 0,3 − z ≥ 0, x + y + z ≥ 0

Khi ñó M (1; 2;3) ⇒ OM = 12 + 22 + 32 = 14.

12


ABCD có AB = 3a , AC = a 15 ,
BD = a 10 , CD = 4a . Biết rằng góc giữa ñường thẳng AD và mặt
phẳng ( BCD ) bằng 450 , khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và
Câu 47. Cho

tứ

diện

A

N

5a
và hình chiếu của A lên mặt phẳng ( BCD ) nằm
4
trong tam giác BCD . Tính ñộ ñài ñoạn thẳng AD.
B

5a 2
A.
B. 2a.
.
H
M
4
3a 2
C
C. 2 2a.
D.
.
2
Lời giải. - Ta chứng minh AD ⊥ BC . Thật vậy: xét tích vô hướng
AD 2 + AC 2 − CD 2 AD 2 + AB 2 − BD 2
AD.BC = AD. AC − AB = AD. AC − AD. AB =
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AC + BD − CD − AB
15a + 10a − 16a − 9a
=

=
= 0 ⇒ AD ⊥ BC .
2
2
- Dựng AH ⊥ ( BCD ) tại H nằm trong tam giác BCD . Gọi M là giao ñiểm của DH và BC

BC bằng

(

45

o
D

)

⇒ M nằm giữa B và C .
 BC ⊥ AH
- Do: 
⇒ BC ⊥ ( AHD ) ⇒ BC ⊥ DM
 BC ⊥ AD

 MN ⊥ BC
⇒ MN là ñoạn vuông góc chung của AD
- Trong mặt phẳng ( ADM ) dựng MN ⊥ AD tại N ⇒ 
 MN ⊥ AD
5a
.
và BC ⇒ MN =

4
- Lại thấy: ADH = 450 là góc giữa AD và mặt phẳng ( BCD ) , ñồng thời H nằm giữa D và M nên

AMD < 900 ⇒ N nằm giữa A và D .
5a 2
a 110
- Ta có: DM = MN . 2 =
⇒ BM = BD 2 − DM 2 =
4
4
 110a 2 25a 2  3a
5a
, DN = MN =
⇒ AN = AB 2 − BN 2 = AB 2 − ( BM 2 + MN 2 ) = 9a 2 − 
+
=
16  4
4
 16
Do ñó AD = AN + DN = 2a.
D

A
40m

O

I

30m

13

E

40m

Câu 48. Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có
một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây
cầu từ bờ AB của ao ñến vườn. Tính gần ñúng ñộ dài tối thiểu l của
cây cầu biết:
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai ñường thẳng vuông góc với
nhau, hai ñường thẳng này cắt nhau tại ñiểm O;
- Bờ AB là một phần của một parabol có ñỉnh là ñiểm A và có
trục ñối xứng là ñường thẳng OA ;
- ðộ dài ñoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm I của mảnh vườn cách ñường thẳng AE và BC lần lượt là
40m và 30m.

20m
B

C


A. l ≈ 27,7 m.
B. l ≈ 17,7 m.
C. l ≈ 15,7 m.
D. l ≈ 25,7 m.
Lời giải. Ta coi một ñơn vị bằng 10m và gắn hệ trục tọa ñộ Oxy sao cho A, B lần lượt thuộc các tia Oy ,Ox.

Khi ñó bờ của mảnh vườn là hình tròn (C ) : ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 1 , bờ AB của ao là phần parabol
( P ) : y = 4 − x 2 ứng với x ∈ [0;2] . Bài toán trở thành tìm M ∈ (C ) và N ∈ ( P) sao cho MN ngắn nhất.
Ta thấy rằng ñể MN ngắn nhất thì M , N , I phải thẳng hàng với I (4;3) là tâm của (C ).
Khi ñó MN = IN − IM = IN − 1 , vì vậy ta chỉ cần tìm N ∈ (P) sao cho IN ngắn nhất.

Do N ∈ (P) nên N ( x;4 − x 2 ) với x ∈ [0;2]
IN 2 = ( x − 4) 2 + (1 − x 2 ) 2 = x 4 − x 2 − 8 x + 17
Xét f ( x) = x 4 − x 2 − 8 x + 17 với x ∈ [0;2] , f ' ( x) = 4 x 3 − 2 x 2 − 8
Giải phương trình f ' ( x) = 0 ⇔ 4 x3 − 2 x 2 − 8 = 0 ta ñược duy nhất một nghiệm x0 ≈ 1,392768772 , x0 ∈ (0;2) .
f (0) = 17 , f (2) = 13, f ( x0 ) ≈ 7,68 suy ra min f ( x) ≈ 7,68
[ 0; 2 ]

Vậy min IN ≈ 2,77 tức là l ≈ 17,7 m.
Câu 49. Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện z − 5 − 3i = 5 , ñồng thời z1 − z2 = 8 . Tập

hợp các ñiểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy là ñường tròn có phương trình nào
dưới ñây?
2

2

2

2

5 
3
9
5 
3



A.  x −  +  y −  = .
B.  x −  +  y −  = 9.
2 
2
4
2 
2


2
2
2
C. ( x − 10) + ( y − 6) = 36.
D. ( x − 10) + ( y − 6) 2 = 16.
Lời giải. Gọi A, B, M là các ñiểm biểu diễn của z1 ; z2 ; w . Khi ñó A, B

thuộc ñường tròn (C ) : ( x − 5) 2 + ( y − 3)2 = 25 và AB = z1 − z 2 = 8 .
(C ) có tâm I (5;3) và bán kính R = 5 , gọi T là trung ñiểm của

AB khi ñó T là trung ñiểm của OM và IT = IA 2 − TA 2 = 3.
Gọi J là ñiểm ñối xứng của O qua I suy ra J (10;6) và IT là
ñường trung bình của tam giác OJM , do ñó JM = 2 IT = 6.
Vậy M thuộc ñường tròn tâm J bán kính bằng 6 và có phương
trình ( x − 10) 2 + ( y − 6) 2 = 36.

Câu 50. Cho hình chóp S . ABCD có ñáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng 2, SA = 2 và SA vuông góc với mặt ñáy ( ABCD ) .

S

Gọi M và N là hai ñiểm thay ñổi trên hai cạnh AB , AD sao
cho mặt phẳng ( SMC ) vuông góc với mặt phẳng ( SNC ) . Tính
1
1
N
A
khi thể tích khối chóp S . AMCN ñạt giá
+
2
AN
AM 2
H
F
trị lớn nhất.
5
O
A. T = .
B. T = 2 .
M
E
4
B
C
2+ 3
13
C. T =
.
D. T = .

4
9
Lời giải.
Cách 1: Chọn hệ trục tọa ñộ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B (2; 0; 0), D (0; 2;0), S (0;0; 2) ⇒ C (2; 2; 0)
ðặt AM = x, AN = y , x; y ∈ [0; 2] , suy ra M ( x;0;0), N (0; y;0)

tổng T =

14

D


SM = ( x; 0; −2), SC = (2; 2; −2), SN = (0; y; −2)

⇒ n1 = [ SM , SC ] = (4; 2 x − 4; 2 x) , n2 = [ SN , SC ] = (4 − 2 y; −4; −2 y )
Do ( SMC ) ⊥ ( SNC ) nên n1.n2 = 0 ⇔ 4(4 − 2 y ) − 4(2 x − 4) − 4 xy = 0 ⇔ xy + 2( x + y ) = 8
8 − 2x
8 − 2x
, do y ≤ 2 nên
⇔ y=
≤ 2 ⇔ x ≥ 1.
x+2
x+2
S AMCN = S ABCD − S BMC − S DNC = 4 − (2 − x) − (2 − y ) = x + y
1
2
2
8 − 2 x  2 x2 + 8
Do ñó VS . AMCD = SA.S AMCN = ( x + y ) =  x +

.
=
3
3
3
x+2  3 x+2
2 x2 + 8
2 x2 + 4x − 8
Xét f ( x) =
với x ∈ [1; 2] , f '( x) =
.
3 x+2
3 ( x + 2)2
f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x − 8 = 0 ⇔ x = −2 + 2 3; x = −2 − 2 3 (loại).
Lập bảng biến thiên ta ñược suy ra max f ( x) = f (1) = f (2) = 2 .
[0;2]

 x = 1

1
1
1
1 5
y = 2
Vậy max VS . AMCN = 2 ⇔ 
⇒T =
+
= 2+ 2 = .
2
2

 x = 2
AM
AN
x
y
4

  y = 1
Cách 2: ðặt AM = x, AN = y . Gọi: O = AC ∩ BD; E = BD ∩ CM ; F = BD ∩ CN .

H là hình chiếu vuông góc của O lên SC , khi ñó: HO =
Ta có:

SC ⊥ OH
 SC ⊥ HE
⇒ SC ⊥ ( HBD ) ⇒ 
SC ⊥ BD
 SC ⊥ HF

Do ñó:

( ( SMC ) , ( SNC ) ) = ( HE, HF ) = 900 ⇒ HE ⊥ HF

2
3

1
2
Mặt khác: VS . AMCN = SA.S AMCN = ( x + y )
3

3
Tính OE , OF :
• Ta có x > 0, y > 0 và nếu x ≠ 2, y ≠ 2 thì gọi K là trung ñiểm của AM , khi ñó:
OE KM
x
OE
EB
OB
x 2
=
=
⇒
=
=
⇒ OE =
EB MB 4 − 2 x
x
4 − 2x 4 − x
4− x
y 2
. Mà: OE.OF = OH 2 ⇔ ( x + 2 )( y + 2 ) = 12 .
Tương tự: OF =
4− y
• Nếu x = 2 hoặc y = 2 thì ta cũng có OE.OF = OH 2 ⇔ ( x + 2 )( y + 2 ) = 12 .

Tóm lại: ( x + 2 )( y + 2 ) = 12

1
2
2

2
12

Suy ra: VS . AMCN = SA.S AMCN = ( x + y ) = ( x + 2 ) + ( y + 2 ) − 4  = ( x + 2 ) +
− 4
3
3
3
3
x+2 
 x = 1

1
1
1
1 5
y = 2
Do ñó: MaxVS . AMCN = 2 ⇔ 
⇒T =
+
= 2 + 2 = . KL: ðáp án A.
2
2
 x = 2
AM
AN
x
y
4


  y = 1
15