Một số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT (tt)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC
Hệ đào tạo: Chính quy
Khóa học: 2014 - 2018

Người hướng dẫn: ThS. TRẦN MẠNH HÙNG

QUẢNG BÌNH, NĂM 2018



Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi muốn gửi lời cảm ơn và tri ân sâu sắc đến thầy Trần Mạnh
Hùng - người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô Trường Đại học Quảng
Bình, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Khoa học tự nhiên đã dạy dỗ, tạo điều
kiện cho tôi trong suốt những năm tháng ngồi trên giảng đường đại học. Chính
những điều đó đã giúp tôi học được rất nhiều điều bổ ích không những trong
chuyên ngành của mình mà trong cả cuộc sống.
Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, các anh chị khóa trước,
tập thể lớp ĐHSP Toán K56, bạn bè xung quanh và những người đã động viên,

giúp tôi vượt qua những khó khăn thử thách. Đó chính là động lực để tôi không
ngừng cố gắng học tập và để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

i


Mục lục

Lời cảm ơn

i

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1Lý thuyết về tổ hợp

4
7

1.1 Tập hữu hạn, tập vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp, tổ hợp lặp . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.1 Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.2 Hoán vị lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.3 Tổ hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6 Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.1 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.2 Các tính chất của công thức nhị thức (a + b)n . . . . . . .

12

1.6.3 Các kết quả

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7 Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2 Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp đếm

1

14

2.1 Phương pháp đếm trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Phương pháp đếm loại trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3 Phương pháp tạo vách ngăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4 Phương pháp "dán" phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5 Phương pháp thêm bớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.6 Phương pháp liệt kê các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.7 Phương pháp song ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.8 Phương pháp sử dụng hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Chương 3 Một số phương pháp chứng minh các đẳng thức về
tổ hợp

33

3.1 Sử dụng trực tiếp định nghĩa về tổ hợp để chứng minh các đẳng
thức về tổ hợp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 Dùng khai triển nhị thức Newton và những kĩ thuật đặc biệt để
chứng minh các đẳng thức về tổ hợp

. . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3 Phương pháp sử dụng tích phân để chứng minh các đẳng thức về
tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.4 Phương pháp sử dụng đạo hàm để chứng minh các đẳng thức về
tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski để
chứng minh các đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 4 Một số dạng toán khác và các ví dụ minh họa
4.1 Chứng minh một số bài toán chia hết . . . . . . . . . . . . . . .

46
49
49

4.2 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất
phương trình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

52

. . . . . .

61

4.4 Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về sự liệt
kê, tổ hợp, hoán vị, các tập hợp và các tính chất toán học của chúng. Lý
thuyết tổ hợp đã được hình thành như một ngành toán mới vào quảng thế kỉ
XVII bằng một loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học Pascal,
Fermat, Leibniz,. . . . Các bài toán tổ hợp đã có mầm mống từ rất sớm. Ngoài
ra, dựa trên luật chơi của cờ tướng và cờ vua, nhiều loại cờ cũng đã ra đời.
Chẳng hạn, năm 1525, một người Italia tên là Guarini di Forli đã đặt ra một
câu hỏi với kiểu bàn cờ vua 3 × 3 ô, trong đó đặt hai quân mã màu đen và
hai quân mã màu trắng đặt ở bốn góc của bàn cờ sao cho hai quân cùng
màu thì nằm trên một hàng. Câu hỏi mà ông đặt ra là: Sau bao nhiêu nước
đi thì kết thúc trò chơi, quân mã một bên sẽ bị bên kia ăn hết? Đây là một
trò chơi trí tuệ khá thú vị và đến bây giờ vẫn có nhiều người chơi. Sau này,
người ta đã tính toán được chính xác số bước đi tối thiểu là 16. Chủ đề về tổ
hợp cũng đã được nghiên cứu từ thế kỷ XVII khi những câu hỏi về tổ hợp
được nêu ra trong những công trình nghiên cứu của các trò chơi may rủi.
Năm 1850, Guthrie, người đã có nhận xét có thể dùng bốn màu khác nhau
để tô các tỉnh của nước Anh sao cho không có hai tỉnh kề nhau cùng màu.
Giả thuyết này đã thách thức các nhà toán học khoảng hơn một thế kỉ. Mãi

tới tận năm 1977, Appel và Haken mới quy được bài toán qui màu bản đồ
về việc xem xét trên 1900 cấu hình tổ hợp,. . . . Từ chỗ chỉ nghiên cứu các
trò chơi, bài toán về kinh tế xã hội,. . . tổ hợp đã trở thành ngành toán học
phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Hơn nữa, tổ hợp cũng là một dạng toán nằm trong chương trình THPT
và có cấu trúc trong các đề thi THPT Quốc gia và cũng là một mảng toán
khó, nhưng lại có ứng dụng nhiều trong cuộc sống hằng ngày.
Hiện nay, đa số học sinh đều gặp khó khăn trong việc giải các bài tập

4


có liên quan đến toán tổ hợp. Đặc biệt, đội ngũ học sinh giỏi khi tham gia
các kì thi cấp tỉnh, cấp quốc gia gặp nhiều lúng túng trong việc giải những
bài toán dạng này.
Với lí do trên, tôi đã tìm hiểu và đã chọn nghiên cứu đề tài :"Một số
phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT".
Nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống phương pháp giải các bài toán
tổ hợp từ đó nâng cao khả năng giải toán và tư duy cho học sinh.
2. Mục đính nghiên cứu
Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống về các khái niệm, các
phương pháp giải một số bài toán tổ hợp để ứng dụng vào việc giải toán.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là phân loại, đưa ra các
phương pháp toán giải các bài toán đại số tổ hợp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình về các vấn đề cần nghiên cứu như: phương pháp đếm, phương pháp
giải các bài toán chứng minh đẳng thức,. . .
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Các ý kiến của giảng viên hướng

dẫn và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, khoa Khoa học Tự nhiên,
Trường Đại học Quảng Bình.
5. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn
Việc giải các bài toán tổ hợp có ý nghĩa lớn trong các ngành, các lĩnh
vực khác nhau như: công nghệ - thông tin, kinh tế,. . .
Ngoài ra, đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh hay những
sinh viên chuyên ngành Toán, đặc biệt là những bạn đam mê Olympic Toán.
Với bản thân, qua việc nghiên cứu đề tài em đã hệ thống cũng như ôn tập
lại những kiến thức đã học về các phương pháp giải các bài toán về tổ hợp.

5


6. Bố cục khóa luận
Ngoài lời cảm ơn, phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham
khảo, nội dung khóa luận được trình bày gồm 4 chương:
Chương 1: Lý thuyết tổ hợp
Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp đếm
Chương 3: Một số phương pháp chứng minh các đẳng thức về tổ hợp
Chương 4: Một số dạng toán khác và các ví dụ minh họa

6


Chương 1
Lý thuyết về tổ hợp
1.1

Tập hữu hạn, tập vô hạn

Định nghĩa 1.1.1.
i) Tập hữu hạn
Một tập hợp S được gọi là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song
ánh f : S −→ { 1, 2, ..., n} (với { 1, 2, ..., n} ⊂ N).
Số n được gọi là lực lượng của tập hợp S. Kí hiệu | S |= n.
ii) Tập vô hạn
Nếu tập S không là tập hữu hạn thì ta nói tập S vô hạn.
Tập hợp tương đương: Các tập hợp tương đương, còn được gọi là tập hợp
đẳng lực, là các tập hợp mà giữa các phần tử của chúng có thể thiết lập quan
hệ tương đương, tức quan hệ tương ứng một-một (song ánh).
Nhận xét 1.1.1. Hai tập hợp có cùng lực lượng khi và chỉ khi tồn tại một
song ánh từ tập hợp này vào tập hợp kia.

1.2

Quy tắc cộng

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k
phương án A1 , A2 , . . . , Ak .
Có n1 cách thực hiện phương án A1
7


Có n2 cách thực hiện phương án A2
...
Có nk cách thực hiện phương án Ak
Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + . . . + nk cách.

• Quy tắc cộng được phát biểu dưới dạng tập hợp
Nếu tập hợp hữu hạn A là hợp của n tập đôi một rời nhau A1 , A2 , . . . , An

thì:

| A |=| A1 | + | A2 | + . . . + | An |
Chú ý. Cho hai tập hợp A và B, A ∩ B = ∅ nếu cộng số phần tử của A với số
phần tử của B thì số phần tử của A ∩ B sẽ được tính hai lần. Do đó, ta có quy
tắc cộng mở rộng đối với hai phần tử:

| A ∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B |
Tổng quát với n tập A1 , . . . , An là n tập hữu hạn ( n ≥ 2) thì:
n

|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | =

n

i=1

1.3

|Ai ∩ Ak | + ... + (−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |

|Ai | −
1 i k n

Quy tắc nhân

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 , A2 , . . . , Ak .
Công đoạn n1 , có thể thực hiện theo A1 cách
Công đoạn n2 , có thể thực hiện theo A2 cách
...

Công đoạn nk , có thể thực hiện theo Ak cách
Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n1 n2 . . . nk cách.

• Quy tắc nhân được phát biểu dưới dạng tập hợp
Nếu A1 , A2 , . . . , An là các tập hợp hữu hạn bất kì và A1 × A2 × ... × An
là tích Descartes của n tập hợp đó thì:
8


| A1 × A2 × . . . × An |=| A1 | × | A2 | × . . . × | An |
Nhận xét 1.3.1. Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta
thấy rằng:

• Nếu bỏ một giai đoạn nào đó mà không thể hoàn thành được công việc
thì ta sử dụng quy tắc nhân.

• Nếu bỏ một giai đoạn nào đó mà vẫn có thể hoàn thành được công việc
thì ta sử dụng quy tắc cộng.
Như vậy, với nhận xét này, ta đã thấy được sự khác nhau căn bản giữa hai quy
tắc này.

1.4

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

1.4.1

Hoán vị

Định nghĩa 1.4.1. Cho tập hợp A có n phần tử (n

1). Một hoán vị của n

phần tử của A là một bộ sắp xếp thứ tự n phần tử đó, mỗi phần tử có mặt
đúng một lần. Số hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn .

Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 1
1.4.2

Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.4.2. Cho một tập hợp A có n phần tử (n

1) và số nguyên

dương k (1 ≤ k ≤ n). Một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A là
một bộ sắp xếp thứ tự k phần tử từ n phần tử của A. Một chỉnh hợp chập k
của A được kí hiệu là Akn .
Công thức :

Akn = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1).
Khi k = n thì Akn = Pn = n!
Chú ý.
9

(1.1)


• Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (1.1) dưới dạng:
Akn =

n!
.
(n − k)!

(1.2)

n!
= 1.
(n − 0)!
Vậy công thức (1.2) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n.

• Ta quy ước: 0! = 1 và A0n =

1.4.3

Tổ hợp

Định nghĩa 1.4.3. Cho tập hợp A có n phần tử (n

1) và số nguyên dương

k (1 ≤ k ≤ n). Một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A là một tập
con của A có k phần tử. Một tổ hợp chập k của A được kí hiệu là Ckn .
Công thức :

Ckn =

n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) Akn
=

.
k!
k!

(1.3)

Chú ý.

• Với 1 ≤ k ≤ n, ta có thể viết công thức (1.3) dưới dạng
Ckn =

n!
.
k! (n − k)!

(1.4)

• Ta quy ước C0n = 1
Vậy công thức (1.4) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n
Tính chất 1.4.1. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n. Khi
đó:

Ckn = Cn−k
n .
Tính chất 1.4.2 (Hằng đẳng thức Pascal). Cho các số nguyên n và k với

1 ≤ k ≤ n. Khi đó:
Ckn+1 = Ckn + Ck−1
n .
10

Nhận xét 1.4.1.

• Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ với nhau bởi công thức: Akn = k!Ckn
• Chỉnh hợp thì các phần tử được sắp xếp 1 cách có thứ tự, còn tổ hợp các
phần tử được sắp xếp mà không phân biệt thứ tự.

• Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử ta dùng chỉnh
hợp. Ngược lại, dùng tổ hợp.

1.5

Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp, tổ hợp lặp

1.5.1

Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 1.5.1. Cho tập A có n phần tử và số nguyên k . Chỉnh hợp lặp
chập k của n phần tử của tập hợp A là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử,
trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần.
Nhận xét 1.5.1.

• Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là Akn = nk (theo quy tắc nhân)
• Chỉnh hợp có lặp là khi giữa các phần tử thì yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn
yếu tố khác biệt không quan trọng.

1.5.2

Hoán vị lặp

Định nghĩa 1.5.2. Cho đa tập hợp A ={a1 , a2 , . . . , as } có n phần tử. Trong
đó,
Phần tử a1 có r1 phiên bản
Phần tử a2 có r2 phiên bản
...
Phần tử as có rs phiên bản

11


Với r1 + r2 + . . . + rs = n. Một cách sắp xếp các phần tử của A theo một thứ
tự nào đó được gọi là hoán vị lặp của n phần tử của A.
Khi đó, số hoán vị lặp của A là:

Pn =
1.5.3

n!
·
r1 !r2 !r3 !...rs !

Tổ hợp lặp

Định nghĩa 1.5.3. Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k . Tổ hợp lặp
chập k của n phần tử của tập hợp A là một đa tập gồm k phần tử lấy từ A,
trong đó mỗi phần tử có thể lấy nhiều lần.
Kí hiệu: Ckn là số tổ hợp lặp chập k của n phần tử.
Chú ý.

• Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử là: Ckn = Ckn+k−1 = Cn−1
n+k−1
• Tổ hợp có lặp là khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của
các phần tử là không cần để ý.

1.6

Nhị thức Newton

1.6.1

Công thức nhị thức Newton

n−1
+ Cnn bn =
(a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + ... + Cn−1
n ab

n

Ckn an−k bk

k=0

1.6.2

Các tính chất của công thức nhị thức (a + b)n

• Số các số hạng là n + 1.

• Tổng số mũ của a và b là n, quy ước số mũ của a giảm dần còn của b tăng
dần.

• Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: Tk+1 = Ckn an−k bk .

12


• Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau:
Ckn = Cn−k
n

1.6.3

Các kết quả

(1) C0n + C1n + ... + Cnn = (1 + 1)n = 2n .
2n−1
1
3
(2) C02n + C22n + ... + C2n
2n = C2n + C2n + ... + C2n .

(3) n(x + b)n−1 = nC0n xn−1 + (n − 1)C1n xn−2 b + ... + (n − k)Ckn xn−k−1 bk + . . .
n−1
. . . + Cn−1
.
n b
k−m
(4) C0m .Ckn + C1m .Ck−1

+ ... + Cm
= Ckm+n .
n
m .Cn

Chú ý. Ta có khai triển:

(x + y + z)n =

1.7

n!
.xk .y m .z l
k!m!l!
k+m+l=n

Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức (a + b)n có thể được sắp xếp
thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal).

1
1
1
1
1
1

1
2

3
4

5

1
3

6
10

1
4

10

1
5

1

...
Chú ý. Trong dòng thứ n(n = 1, 2, ...) của dãy tam giác Pascal, có các hệ số
của khai triển (a + b)n , trừ hệ số hai đầu bằng 1, còn mỗi hệ số khác bằng tổng
hai hệ số tương ứng dòng trên.
13


Chương 2

Một số phương pháp giải các bài toán
tổ hợp đếm
Bài toán đếm là bài toán đặc trưng của các dạng toán về tổ hợp. Bài toán
đếm nhằm trả lời câu hỏi: Có bao nhiêu "cấu hình" thỏa mãn điều kiện đã cho.
Phương pháp đếm thường dựa vào một số nguyên lý cơ bản và một số kết quả
đếm của các cấu hình đơn giản.

2.1

Phương pháp đếm trực tiếp

Phương pháp này đòi hỏi phải nắm vững các quy tắc đếm: quy tắc nhân,
quy tắc cộng, các khái niệm, công thức của chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị, tổ hợp
có lặp, chỉnh hợp có lặp. Vận dụng một cách linh hoạt các quy tắc đó.
Chú ý.

• Cần phân biệt khi nào sử dụng quy tắc nhân khi nào sử dụng quy tắc cộng
thông qua Nhận xét 1.3.1.

• Liệt kê các trường hợp, ghép nhóm, xen nhóm,. . .
• Sử dụng chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, tổ hợp, tổ hợp lặp, hoán vị, hoán vị lặp
một cách thích hợp.
Ví dụ 2.1.1. Trong một trường, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

14


i) Một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố.
ii) Hai học sinh trong đó có một học sinh nam và một học sinh nữ.

Giải
i) Lấy 1 học sinh trong tổng số học sinh của trường, nên sử dụng quy tắc
cộng ta có: 280 +325 = 605 (cách chọn)
ii) Ta phải chọn 2 học sinh trong đó nếu chỉ lấy 2 học sinh đều là nam hoặc
đều là nữ thì sẽ không hoàn thành được công việc, do đó theo quy tắc nhân
ta có: 280 × 325 = 91000 ( cách chọn)
Ví dụ 2.1.2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
Giải
Số tự nhiên chẵn nên có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Nếu chữ số tận cùng là 0; lấy 3 số trong 9 số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (có
phân biệt thứ tự) thì các số còn lại có: A39 cách.
- Nếu chữ số tận cùng khác 0 thì ở vị trí cuối có 4 cách chọn (2, 4, 6, 8), vị trí
đầu có 8 cách chọn (loại trừ 0 và chữ số ở vị trí cuối). 2 vị trí còn lại có A28 . Do
đó, có 4.8.A28 cách chọn.
- Theo quy tắc cộng, có 4.8.A28 + A39 = 2296 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một
khác nhau.
Ví dụ 2.1.3. Cho 5 nhà toán học nam, 4 nhà toán học nữ và 3 nhà vật lí nam.
Lập một đoàn công tác gồm 3 người có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và
nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách lập.
Giải
Vì có cả nhà toán học và nhà vật lí và vừa có nam, nữ. Do đó ta xét các phương
án sau:
15


Phương án 1 : Lấy một nhà vật lí nam, một nhà toán học nữ và một nhà toán
học nam có: C13 .C14 .C15 = 60 (cách chọn)
Phương án 2 : Lấy một nhà vật lí nam, hai nhà toán học nữ có: C13 .C24 = 18
(cách chọn)
Phương án 3 : Lấy hai nhà vật lí nam, một nhà toán học nữ có: C23 .C14 = 12

(cách chọn)
Theo quy tắc cộng ta có : 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn 3 người thỏa yêu cầu
bài toán.
Ví dụ 2.1.4. Có 8 người trong thang máy của một ngôi nhà 6 tầng. Họ đi ra
theo 3 nhóm: 1 người, 3 người và 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện việc
đó, nếu ở mỗi tầng chỉ có một nhóm đi ra và thứ tự đi ra của các người trong
một nhóm không có ý nghĩa gì?
Giải
Để chia 8 người thành 3 nhóm với số lượng mỗi nhóm lần lượt là 1 người, 3
người và 4 người thì áp dụng công thức hoán vị lặp ta có:
8!
P8 =
1! × 3! × 4!
Sau đó, ta chọn 3 trong 6 tầng và phân phối các tầng ấy cho 3 nhóm khác
nhau ta được: C36 = 20(cách)
Vậy theo quy tắc nhân, số tất cả các cách thực hiện theo yêu cầu của bài
toán là: P8 × C36 = 5600 (cách)
Nhận xét 2.1.1. Phương pháp này dễ suy luận theo giả thiết của bài toán.
Tuy nhiên có hạn chế, đó là nếu tính trực tiếp mà phải xét quá nhiều trường
hợp dẫn đến nhầm lẫn và đôi khi không thể ra được kết quả.

16


2.2

Phương pháp đếm loại trừ

Cở sở của phương pháp này xuất phát từ Nguyên lý bù trừ: "Nếu B là một
tập con của tập hữu hạn A. Gọi CA (B) là phần bù của B trong A. Khi đó:

|A| = |B| + |CA (B)| ⇔ |B| = |A| − |CA (B)|"
Nội dung: Đếm loại trừ theo ba bước
Bước 1: Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả n1
Bước 2: Đếm số phương án xảy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết
quả n2
Bước 3: Số phương án đúng là: n = n1 - n2
Chú ý. Khi phương pháp đếm trực tiếp phải xét quá nhiều trường hợp chúng
ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ.
Ví dụ 2.2.1. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau bao gồm 5
sách Văn học, 4 sách Âm nhạc và 3 sách Hội họa. Thầy lấy 6 cuốn tặng đều
cho 6 học sinh. Có bao nhiêu cách tặng mà sau khi tặng xong thì mỗi loại sách
chỉ có ít nhất một cuốn.
Giải
Số cách lấy 6 cuốn sách trong 12 cuốn sách khác nhau cho 6 học sinh là A612
Ta loại trừ các trường hợp (TH) sau:
TH1: Tặng 5 cuốn sách Văn học khác nhau cho 5 học sinh trong số 6 học sinh
có : A56 ( cách chọn)
Lấy một cuốn sách bất kỳ trong 7 cuốn sách còn lại để tặng cho học sinh
còn lại có : A17 ( cách chọn)

⇒ Do đó, số cách tặng hết 5 cuốn Văn học là: A56 .A17

17


TH2: Tặng 4 cuốn sách Âm nhạc khác nhau cho 4 học sinh trong số 6 học sinh
có : A46 ( cách chọn)
Lấy một cuốn sách bất kỳ trong 8 cuốn sách còn lại để tặng cho 2 học
sinh còn lại có : A28 ( cách chọn)

⇒ Do đó, số cách tặng hết 4 cuốn Âm nhạc là: A46 .A28
TH3: Tặng 3 cuốn sách Hội họa khác nhau cho 3 học sinh trong số 6 học sinh
có : A36 ( cách chọn)
Lấy một cuốn sách bất kỳ trong 9 cuốn sách còn lại để tặng cho 3 học
sinh còn lại có : A39 ( cách chọn)

⇒ Do đó, số cách tặng mà khi tặng hết 3 cuốn Hội họa là: A36 .A39
Vì vậy, số cách tặng mà sau khi tặng xong thì mỗi loại sách chỉ có ít nhất một
cuốn là :A612 − (A56 A17 + A46 A28 + A36 A39 ) = 665280 − 85680 = 579600
Ví dụ 2.2.2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số
nào lặp lại đúng 3 lần.
Giải
Việc làm trực tiếp bài này có vẻ khá khó. Nên trước tiên, nên tìm số tự nhiên
gồm 4 chữ số sao cho tồn tại một chữ số lặp lại đúng 3 lần.
Gọi số cần tìm có dạng: abcd (a = 0)
Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 (cách chọn)
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: Số 0 lặp lại đúng 3 lần thì abcd có dạng: a000
Nên a sẽ có 9 cách chọn (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
TH2: Các số khác số 0 lặp lại đúng 3 lần, ta xét các dạng sau:

• Xét abcd có dạng axaa
Ta có: a có 9 cách chọn; x có 9 cách chọn
18


• Xét abcd có dạng aaxa
Ta có: a có 9 cách chọn; x có 9 cách chọn

• Xét abcd có dạng aaax
Ta có: a có 9 cách chọn; x có 9 cách chọn

• Xét abcd có dạng xaaa
Ta có: x có 9 cách chọn; a có 8 cách chọn (trừ x và 0)
Suy ra số các số tự nhiên có 4 chữ số mà có một chữ số lặp lại đúng 3
lần có: 9.9.3 + 9.8 + 9 = 324 (cách chọn)
Vì vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán có : 9000 − 324 = 8676 (cách chọn).
Nhận xét 2.2.1. Phương pháp này khắc phục được những yếu điểm mà phương
pháp trực tiếp tỏ ra vướng mắc. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ phát huy được
hiệu quả của nó khi mà ta tìm được bài toán đối của bài toán trực tiếp và số
các trường hợp là ít và ít hơn phương pháp trực tiếp.

2.3

Phương pháp tạo vách ngăn

Khi bài toán yêu cầu xếp hai hay nhiều phần tử không đứng cạnh nhau thì
ta có thể tạo ra các "vách ngăn" các phần tử này trước khi xếp chúng.
Nội dung: Đếm theo hai bước:
Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn
Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ m + 1 vách ngăn nói
trên.
Ví dụ 2.3.1. Có 6 học sinh và hai thầy giáo được xếp hàng ngang. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp mà hai thầy giáo không đứng cạnh nhau.
Giải
19


Trước hết, xếp 6 học sinh thành một hàng ngang có: 6! cách

Khi đó, mỗi học sinh đóng vai trò là một vách ngăn và tạo nên 7 vị trí. Vì vậy,
ta có thể xếp 2 thầy giáo vào 7 vị trí đó, có: A27 cách.
Theo quy tắc nhân, ta có: 6!.A27 = 30240 cách.
Ví dụ 2.3.2. Cho tập A = {2; 5}. Có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số
sao cho không có hai chữ số 2 nào đứng cạnh nhau.
Giải
Ta xét 6 trường hợp (TH) sau:
TH 1: Có 10 chữ số 5 và không có chữ số 2 nào, ta chỉ có 1 cách lập số có 10
chữ số.
TH 2: Có 9 chữ số 5 và có 1 chữ số 2. Khi đó, ta coi 9 chữ số 5 là 9 "vách
ngăn", do đó có 10 vị trí để đặt chữ số 2 vào. Sắp xếp 1 chữ số 2 vào 10
vị trí trên, có 10 cách.
TH 3: Có 8 chữ số 5 và có 2 chữ số 2. Khi đó, ta coi 8 chữ số 5 là 8 "vách
ngăn", do đó có 9 vị trí để đặt các chữ số 2 vào. Sắp xếp 2 chữ số 2 vào
9 vị trí trên, có C29 cách.
TH 4: Có 7 chữ số 5 và có 3 chữ số 2. Khi đó, ta coi 7 chữ số 5 là 7 "vách
ngăn", do đó có 8 vị trí để đặt các chữ số 2 vào. Sắp xếp 3 chữ số 2 vào
8 vị trí trên, có C38 cách.
TH 5: Có 6 chữ số 5 và có 4 chữ số 2. Khi đó, ta coi 6 chữ số 5 là 6 "vách
ngăn", do đó có 7 vị trí để đặt các chữ số 2 vào. Sắp xếp 4 chữ số 2 vào
7 vị trí trên, có C47 cách.
TH 6: Có 5 chữ số 5 và có 5 chữ số 2. Khi đó, ta coi 5 chữ số 5 là 5 "vách
ngăn", do đó có 6 vị trí để đặt các chữ số 2 vào. Sắp xếp 5 chữ số 2 vào
6 vị trí trên, có C56 cách.
20


Do đó, số cách lập số có 10 chữ số sao cho không có 2 chữ số nào đứng cạnh
nhau là 1 + C110 + C29 + C38 + C47 + C56 = 144

2.4

Phương pháp "dán" phần tử

Đây là phương pháp đối lập với phương pháp tạo "vách ngăn". Vì đối tượng
mà phương pháp này áp dụng lên là các bài tập yêu cầu xếp hai hay nhiều
phần tử đứng cạnh nhau trên cùng một hàng (cột).
Đối với phương pháp này, ta sẽ "dán" những phần tử đứng cạnh nhau thành
một phần tử đại diện thay thế cho các phần tử này.
Một số ví dụ cho phương pháp.
Ví dụ 2.4.1. Một nhóm có 4 học sinh lớp A, có 3 học sinh lớp B và 5 học sinh
lớp C. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh trên thành một hàng ngang
sao cho các học sinh lớp A đứng cạnh nhau và các học sinh lớp B cũng đứng
cạnh nhau.
Giải
Vì các học sinh lớp A đứng cạnh nhau. Nên ta "dán" các học sinh này lại
thành 1, gọi là học sinh a.
Vì các học sinh lớp B đứng cạnh nhau. Nên ta "dán" các học sinh này lại
thành 1, gọi là học sinh b.
Khi đó, ta xếp 7 học sinh (học sinh a, học sinh b, và 5 học sinh lớp C) thành
một hàng ngang, có 7! cách.
Sau đó, sắp xếp các học sinh trong lớp A, có 4! cách
Sau đó, sắp xếp các học sinh trong lớp B, có 3! cách
Do đó, số cách sắp xếp các học sinh trên thành một hàng ngang sao cho các
học sinh lớp A đứng cạnh nhau và các học sinh lớp B cũng đứng cạnh nhau là:

7! × 3! × 4! = 725760 cách.
21

Ví dụ 2.4.2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có sáu chữ số phân biệt mà hai chữ số 3 và 5 không đồng thời liền nhau.
Giải
a

b

c

d

e

f

Trước tiên ta xét bài toán, tìm số các số có 6 chữ số khác nhau được lập từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà hai chữ số 3 và 5 liền nhau.
Giả sử ta dán chữ số 5 với chữ số 3 lại với nhau gọi là chữ số m. Thì ta sẽ
lập được số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 4, 6, m và có 5! số
như vậy.
Vậy số có 6 chữ số khác nhau mà chữ số 3, 5 đứng liền nhau có: 5!.2! số
Mà, số số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có 6! số.
Vì vậy, số các số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6 mà hai chữ số 3 và 5 không đồng thời liền nhau có: 6! − 5!.2! = 480 số.
Nhận xét 2.4.1. Phương pháp này tỏ ra thực sự hiệu quả khi giải quyết các
bài toán liên quan đến việc sắp xếp một số đối tượng sát nhau và không tách
rời nhau trong quá trình giải quyết nó và phương pháp này còn hạn chế được
việc phải xét nhiều trường hợp của bài toán và đưa ra kết quả đáng mong đợi.

2.5

Phương pháp thêm bớt

Phương pháp này là tổng quát hóa của Nguyên lý thêm bớt dạng tổng quát:
n

|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | =

n

|Ai |−
i=1

|Ai ∩ Ak | + ...
1 i k n

... + (−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |
Xét các ví dụ để thấy rõ hơn về ý tưởng của phương pháp này.

22