Hướng dẫn giải 50 câu hỏi hay và khó trong đề thi thử toán 2018 – phạm minh tuấn

 
PMT 
2810 

50 câu hỏi hay và khó
trong đề thi thử 2018
Sưu tâm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn 

Chúc các em đỗ vào trường Đại Học mà mình mong muốn <3  
 

 

 


1 
 

 

Bài 1. Cho cấp số cộng   un   có các số hạng đều dương, số hạng đầu  u1  1 và tổng của 100 số 
 
hạng đầu tiên bằng  14950 . Tính giá trị của tổng  
1
1
1
S

 ... 
 

u2 u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3
u2018 u2017  u2017 u2018
1
1 
1
2 
1
                                              B.   1 
                      
3
3
6052 
6052 
1
1 
1
2 
B.    1 
                                  D.   1 
 
 
3
3
6052 
6052 

A.

Hướng dẫn giải 
Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n: 

n  2u1   n  1 d 
Sn  
 
2
Áp dụng :  S100 

Ta có: 

100  2  99d 
2

1
un1 un  un un1

 14950  d  3  và  un1  un  d ,  u2018  u1  2017 d  6052  


un1 .un



1
un1  un





1 1

1
 

un1 .un  un1  un  d  un
un1
un1  un


 



Khi đó: 

1 1
1  1 1
1 
1 1
1
  ...  
 
S 



d  u1
d  u2017
u2  d  u2
u3 
u2018



 
1
1 
   1

3
6052 

 1 1
1
 

 d u
u2018

 1




 

Bài 2. Cho các số phức  z1 , z2  thỏa mãn  z1  z2  1 ,  z1 z2  1  và  z1   z2 . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức  P 
A. 1  

 

z1  z2 1  z1 z2

  
1  z1 z2 z1  z2

          B.  2                                             C.  3 2  
Hướng dẫn giải 

 

 

D.  4  


2 
Đặt  t 

 

z1  z2
, ta có: 
1  z1 z2



z1  z2  z1 .z2  z1  z2   z1  z2  z1 z2 z1  z2
z1  z2
z z
 1 2 

1  z1 z2 1  z1 .z2
1  z1z2  1  z1 .z2


  
 1  z z   1  z .z 



z1  z1  z2  z2  z1 z1 z2  z2  z2 z2 z1  z1
1 2

1





  
 1  z z   1  z .z 

z1  z1  z2  z2  z2  z2  z1  z1

2

Suy ra t là số thực, khi đó  P  t 



1 2

1

 0

 

2

1
 , khảo sát hàm số ta được GTNN của P là 2, đạt 
t

được khi  t  1  

Chú ý:  z  z  0  thì z là số thực và  z  z  0  thì z là số thuần ảo 
Bài 3. Cho các số phức  z1 , z2  thỏa mãn  z1  6,   z2  2 . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diển 
các số phức  z1 ,  iz2 . Biết  MON  600 . Tính giá trị của biểu thức  T  z12  9 z22 . 
A. 24 3    

          B.  36 2                                  C.  36    

 

D.  36 3  

Hướng dẫn giải 
   
T  z12  9 z22  z1  3iz2 z1  3iz2  OM  OP OM  OP  

 P  ON
 
Với P là điểm biểu diễn số phức  3iz2  
OP  3iz2  6
OM  OP
Ta có:  
   OMP  đều, gọi I là trung 
0
MON  60

điểm MP   T  2OI .PM  2.

6 3
.6  36 3  
2

Bài 4. Cho ngẫu nhiên hai số thực  a , b  0;1 . Tính xác suất để phương trình  x3  3ax2  b  0  
có tối đa hai nghiệm 
3
1
1
A. 3    
          B.  3                             C.  1  3    
4 4
4 4
4 4
Hướng dẫn giải 

    D.  1 

3
3

4 4

 


3 
x  0
Xét  y  x 3  3ax 2  b ;  y ʹ  3 x 2  6 ax ;  y ʹ  0  
 
 x  2a





Yêu cầu bài toán   y  0  .y  2 a   0  b b  4 a3  0  

‐

Nếu  b  0  a  0  

‐

Nếu  b  0  b  4a3  

Ta có:  4 a 3  1  a 

1
3

4

 

Xác suất cần tìm là diện tích của miền được giới 
hạn bởi: 
y  4 a 3 ,  y  1 ,  a  0,  a 

1
3

4

 
1
3

Vậy xác suất cần tìm là  P 

 1  4a da  4
4

3

0

3

3

4

 

Bài 5. Cho hàm số  y  f  x   có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m  để 
hàm số  y  f 2  x   f  x   m  có đúng 3 điểm cực trị.                        

 
A. m 

1
  
4

            B.  m 

1
                                 C.  m  1  
4
Hướng dẫn giải 

 

D.  m  1  

 f 2  x   f  x   m 2 f ʹ  x  f  x   f ʹ  x 
2
 


2


Ta có  y   f  x   f  x   m  y ʹ  
2
2  f 2  x   f  x   m


4 
 f ʹ  x   0  x  1; x  3

1
 
y ʹ  0   f  x     x  x0  0

2
 2
 f  x   f  x   m  0        1
Đặt  t  f  x  , từ (1) ta được:  t 2  t  m  0     (*) 
Ta đã tìm ra 3 điểm cực trị là  x  1; x  3; x  x0  0 , nên để hàm số đã cho có đúng 3 

1
1
điểm cực trị thì   *   vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  t   , hay    1  4m  0  m  . 
2
4
2

1  1

1
Thử lại ta thấy  m     t    0  t     (thỏa) 
4  2
2
Vậy đáp số là  m 

1
 
4

Bài 6. [CHUYÊN HẠ LONG] Cho hai hộp đựng bi, đựng 2 loại bị trắng và bi đen, tổng số bi 
trong hai hộp là 20 bi và hộp thứ nhất đựng ít bi hơn hộp thứ hai. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 
55
, tính xác suất để lấy được 2 viên bi trắng. 
bi. Cho biết xác suất để lấy được hai viên bi đen là 
84
1
15
11
A.
   
          B. 
                                 C. 
 
 
D. Đáp án khác 
28
84
84
Hướng dẫn giải 

Gọi x, y lần lượt là số bi ở hộp thứ nhất và hộp thứ hai,  x , y   0; 20   

0  x  9
Vì  x  y  20  
 (*). Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi bất kỳ từ 2 hộp  n     x.y  
11  y  19
Gọi m, n lần lượt là số bi đen ở hộp thứ nhất và hộp thứ hai,  m   0; x  , n   0; y   
Gọi A là biến cố: “Lấy được hai viên bi đen”    P  A  

m.n 55
55

 m.n 
x.y  
x.y 84
84

Mặt khác  m , n     x.y  84 . Từ điều kiện (*) thì chỉ có  x  6; y  14  thỏa mãn 
Suy ra  m.n  55  5.11  nên  m  5; n  11  


5 
c  x  m  1
Gọi c, d lần lượt là số bị trắng ở hộp thứ nhất và hộp thứ hai, khi đó  
 
d  y  n  3
Vậy xác suất để lấy được 2 viên bi trắng là  P 

1.3
1


 
6.14 28

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm  A  7; 2; 3  ,  B  1; 4; 3  ,  C  1; 2; 6 

D  1; 2; 3   và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức  P  MA  MB  MC  3 MD
đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. OM  14                B.  OM  26                 C.  OM 

3 17
 
4

D.  OM 

3 21
 
4

Hướng dẫn giải 




DA   6; 0; 0  ,   DB   0; 2; 0  ,   DC   0; 0; 3   nên tứ diện ABCD là tứ diện vuông đỉnh D 
Dự đoán  M  D  nên ta giả sử  M  x  1; y  2; z  3   MD  x 2  y 2  z 2 
Ta có:  MA 

 x  6

2

xyz
3

 

 y2  z2  x  6  6  x  

Tương tự  MB  x 2   y  2   z 2  y  2  2  y ,  MC  x 2  y 2   z  3   z  3  3  z  
2

2

Suy ra  P  6  x  2  y  3  z  x  y  z  11  
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x  y  z  0  hay  M  D  OM  14  

BTTL. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm  A  2; 2; 2  ,  B  0; 2; 2  C  2; 0; 2  , 

D  2; 2; 0   và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức  P  3 MA  MB  MC  MD
đạt giá trị nhỏ nhất. 

A. OM  3 2                B.  OM  2 3                 C.  OM  2  
 

Bài 8. Cho hàm số  f  x   liên tục trên    và có đồ thị như hình bên dưới 

      D.  OM  3  

6 

 
Gọi hàm  g  x   f  f  x   . Phương trình  g ʹ  x   0  có bao nhiêu nghiệm phân biệt. 
A. 8  
 
          B.  10                                  C.  14  
 
 
D.  12  
Hướng dẫn giải 
Ta có:  g ʹ  x   f ʹ  x  . f ʹ  f  x   ; 

 f ʹ  x   0                                 1

 f  x   0                                  2 
 f ʹ x  0

  f  x   2                                  3   
g ʹ  x  0  
 f ʹ  f  x    0
 f x  m    2  m  1         4 
  
 f  x   n   1  n  2                 5 


‐

Đồ thi hàm số  y  f  x   có 4 điểm cực trị nên   1  có 4 nghiệm phân biệt 

‐

Đồ thị  y  f  x    giao với Ox tại 3 điểm nên   2  có 3 nghiệm, trong đó có 2 
nghiệm trùng với   1 . Suy ra   2   có 1 nghiệm phân biệt  

‐

Đồ thị  y  f  x    giao với  y  2  tại 3 điểm nên   3  có 3 nghiệm phân biệt 

‐

Đồ thị  y  f  x    giao với  y  m    2  m  1  tại 1 điểm nên   3  có 1 nghiệm 
phân biệt 

‐

Đồ thị  y  f  x    giao với  y  n   1  m  2   tại 3 điểm nên   3  có 3 nghiệm phân 

biệt 
Vậy tổng có có  4  1  3  1  3  12 nghiệm phân biệt 

Bài 9. Cho cấp số nhân  u1 , u2 , u3 ,.., un ;  trong đó  ui  0,  i  1, 2,..., n . Biết rằng 
u1  u2  u3  ...  un  2018 , 

1 1 1
1
1
   ...   2019  và  P  u1 .u2 .u3 ....un 
 . Hỏi số 

u1 u2 u3
un
100

tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là:  
A. 9295                        B.  9296                          C.  18592  

                         D.  18591  


7 
Hướng dẫn giải 
Ta có:  u1  u2  u3  ...  un  2018 

Và 

1 1 1
1
   ...   2019 
u1 u2 u3
un

1  q 

Ta có:  u1 .u2 .u3 ....un 



u1q

n 1

1  q 

u q

n  n  1
2

  2018       (1) 

 1  n 
   1
 q 

1  qn
 2019 
 2019        (2) 
1
u1q n1  1  q 
1
q



q 1



u1 q  1

n







2019
2018
 
 u12 q n1 
2018
2019

1
 
100

 



 u1 .  u1 .q  . u1 .q 2 .... u1 .q n1 
n
1

.

q 1

1
u1

n

Từ (1) và (2) suy ra 



u1 q n  1



1

 u12 q n1
100



n
2

1
100
n

1
1

 2018  2
 




100
100
 2019 

 1 
 n  2 log 2018 
 18591,1  n  18592
100 
2019 

Bài 10. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
3

4 sin x  m  sin x  3 sin 3 x  4 sin x  m  8  2  

có nghiệm thực 
A. 20                                  B.  21                                    C.  22                             D.  19  
Hướng dẫn giải 
 a  3 4 sin x  m
Đặt  
. Phương trình trở thành:  
b  sin x

a  b  3 a 3  b3  8  2   a  b  2   a 3  b3  8  3  a  b  a  2  b  2   0

3

a  2

 b  2   VN 
a  b  0


 


8 
TH1:  a  2  sin x 

8m
8m
 1 
 1  4  m  12  
4
4

TH2:  a  b  0  m   sin3 x  4sin x  5  m  5  
Vậy có 20 giá trị nguyên m thỏa mãn 

Bài 11. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số  

y  ln x  2 x 2  m  
là nhỏ nhất trên đoạn  1; 2   
A. 1                                  B.  2                                    C.  3  

                          D. vô số 

Hướng dẫn giải 
Xét  g  x   ln x  2 x 2 ;  g ʹ  x  

1
1
 4 x;  g ʹ  x   0  x    (loại) 
x
2





g  1  2;  g  2   ln 2  8  max g  x   m  max m  2 ; m  ln 2  8  h  m   
Đường màu xanh, tím, đen lần lượt là đồ thị  y  m   m  2 ,  y  m   m  ln 2  8  và  h  m 

1
Phương trình hoành độ giao điểm :  m  ln 2  8  m  2  m  5  ln 2  
2
1
Dựa vào đồ thị ta thấy  h  m   nhỏ nhất khi và chỉ khi  m  5  ln 2  
2

 

Bài 12. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH‐LẦN 1] Giả sử  z1 , z2  là hai trong số các số phức z thỏa 
mãn  iz  2  i  1  và  z1  z2  2 . Giá trị lớn nhất của  z1  z2  bằng: 
A. 4                        B.  2 3                          C.  3 2  

Hướng dẫn giải 

                         D.  3  


9 
Cách 1: Đại số 
Ta có:  iz  2  i  1  z  1  i 2  1  

w  z1  1  i 2
 w1  w2  2

Đặt   1
 


w
w
1



w
z
1
i
2
 1
2
2

 2
2

2

2

2

 w1  w2  w1  w2  2 w1  2 w2  w1  w2  0  w1  w2  0  





 z1  z2  2 1  i 2  z1  z2  2 3  
2

Ta có:  P  z1  z2  2 z1  2 z2

2



2

z1  z2  z1  z2

2

 12  4  4  

Cách 2: Hình học 

 
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức  z1 , z2  A, B thuộc đường tròn (C) tâm 





I 1; 2 , bán kính  R  1  
  
Khi đó,  z1  z2  OA  OB  BA  AB  2  AB  là đường kính của đường tròn (C) 
 

Và  z1  z2  OA  OB  2 OI  2OI , với I là trung điểm AB 


10 
Áp dụng công thức đường trung tuyến: 

 2 AB2 

OA 2  OB2 AB2
22 
2
2
OI 


 OA  OB  2  OI 
  23    8  
2
4
4 
4 


2





Ta có  P  z1  z2  OA  OB  2 OA 2  OB2  2.8  4

 

BTTL1. Giả sử  z1 , z2  là hai số phức thỏa mãn  z1  1  i  2  và  z2  iz1 . Giá trị nhỏ nhất của 

z1  z2  bằng: 
A. 2 2  1                       B.  2 2  1                        C.  2 2  2                     D.  2 2  2  
 

BTTL2. Giả sử  z1 , z2  là hai số phức thỏa mãn  z1  i   1  i  z1  và  z2  z2  3  4i . Giá trị 
nhỏ nhất của  z1  z2  bằng: 
A.

2                       B. 

33
33
 2                        C.   2  
5
10

                   D.  2 2  1  

 

BTTL3. Giả sử  z1 , z2  là hai trong số các số phức z thỏa mãn  z  3  4i  2  và  z1  z2  1 . Giá 
2

2

trị nhỏ nhất của  z1  z2  bằng: 
A. 10                       B.  5                        C.  6  2 5                     D.  4  3 5  
 

Bài 13. Cho hàm số  y  f  x   liên tục trên   , có  f  2   0  và đồ thị hàm số  f   x   như hình 
vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 

B. Hàm số  y 

 
 nghịch biến trên khoảng    ; 2  . 



f  1  x   có hai cực tiểu. 

A. Hàm số  y  f 1  x

2018

2018


11 



f  1  x   đồng biến trên khoảng   2;   . 

C. Hàm số  y  f 1  x 2018  có hai cực đại và một cực tiểu. 
D. Hàm số  y 

2018

Hướng dẫn giải 
Từ đồ thì của  f   x   ta có bảng biến thiên như sau: 

 





Từ giả thiết  f  2   0  và  1  x2018  1  f 1  x2018  0  với mọi x. 

Đặt  t  1  x

2018







 f  t   0 khi t   2;1  x  2018 3; 2018 3
 t
 , ta có:  
 f   t   0 khi t   ; 2    2;    x  ;  2018 3 


Đặt  g  x   f 1  x

2018

 , ta có:  g  x   

2018.x 2017 . ft t  . f  t 
2 f 2 t 



 

2018

3; 

 

Do đó, ta có bảng biến thiên của  y  g  x   như sau: 

 
Vậy chọn C. 

Bài 14. Cho các số phức  z1 , z2  thỏa mãn  z1  r1 ,   z2  2r2  và  iz1   1  i  z2  r12  4r22  . Gọi 
A, B, M , N  lần lượt là điểm biểu diễn các số phức  2iz1 ,    2  2i  z2 ,    1  i  z2 ,  iz1 . Biết    là góc 

giữa  AM  và  BN . Tìm giá trị nhỏ nhất của  cos  . 



  


12 
A.   cos  min 

4
  
5

       B.   cos  min 

3

2
3
              C.   cos  min               D.   cos  min    
4
5
3

Hướng dẫn giải 

 
Từ đề suy ra  OA  2r1 ;  OB  4r2  và M ,N lần lượt là trung điểm OB và OA 
 

Ta có:  iz1   1  i  z2  r12  4r22  2iz1  2  1  i  z2  2 r12  4r22  OA  OB  AB  2 r12  4r22  
Do đó tam giác  OAB  vuông tại O 

Ta có:  cos  

 
AM.BN
AM.BN





   
AO  AB . BO  BA



4 AM.BN



      2
AO.BO  AB BO  AO  AB



4 AM.BN



 

 2
2 AB
 
AB2
Vì  OA  OB  AO.BO  0  cos  
 

4 AM.BN 2 AM.BN

Lại có:  
 OA 2  AB2 OB2

2 AM.BN  AM 2  BN 2  
2

4

1
5 AB2
                  OA 2  OB2  AB2 
     
4
4



Vậy  cos  



  OB2  AB2 OA 2 



2
4 
 
 

 do AB

2

 OA 2  OB2



AB2
4
  
5
5
AB2
4

Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể chuẩn hóa  r1  bằng một số dương bất kì rồi đưa 
cos  về hàm theo biến  r2 , khi đó việc tìm min sẽ dễ dàng hơn. 

 


13 
4

 z 1 
2018

Bài 15. Gọi  z1 ,  z2 ,  z3  và  z4  là các nghiệm của phương trình  
. Tính giá trị của 

2019
 2z  i 











biểu thức  P  z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 . 

 4.2019  2018  4.2019  2018.81           B.   4.2019  2018  4.2019  2018.81  
 2018.16  2019 
 2018.16  2019 
 4.2019  2018  4.2019  2018.81            D.   4.2019  2018  4.2019  2018.81  
      C. 
 2018.16  2019 
 2018.16  2019 
      A. 

2

2

2

2

Hướng dẫn giải 
Đặt  f  z   2018  2 z  i   2019  z  1   2018.16  2019  z  z1  z  z2  z  z3  z  z4  . 
4

4

   f  i    2018.16  2019  i  z1  i  z2  i  z3  i  z4 
             2018  2i  i   2019  i  1  4.2019  2018
4

4

4.2019  2018
2018.16  2019
   f  i    2018.16  2019  i  z1  i  z2  i  z3  i  z4 
  z1  i  z2  i  z3  i  z4  i  





                2018 2.  i   i  2019  i  1  4.2019  2018.81  
4

4

  z1  i  z2  i  z3  i  z4  i  

4.2019  2018.81
2018.16  2019

Mà  P   z1  i  z2  i  z3  i  z4  i  z1  i  z2  i  z3  i  z4  i   

 4.2019  2018   4.2019  2018.81   4.2019  2018  4.2019  2018.81
            
. 
 .

2
 2018.16  2019   2018.16  2019 
 2018.16  2019 
Bài 16. Cho hàm số  f  x   không âm và liên tục trên   0;    thỏa mãn:  
x

 f  x   2018  2  f  t  dt ,  x  0

0
 
1
 f x dx  1009 e 2  1
  
0



1

Tính tích phân  
0

f  x
ex

         A.  2018  e  1   



dx  
          B.  1009  e  1              C.  2018  e  2             D.  2018  e  2 


14 
Hướng dẫn giải 
x

x

0

0

Ta có  f  x   2018  2  f  t  dt  f  x   2018  2  f  t  dt  0    (1) 
x

 x

Đặt  g  x   e ax   f  t  dt  b  ;   gʹ  x   e ax  a  f  t  dt  f  x   ab   




0


 0


a  2
a  2

Từ (1) thực hiện phép đồng nhất  suy ra  
 
ab  2018
b  1009
Vậy  gʹ  x   0,  x  0 , tức  g  x   nghịch biến trên  0;    
x
x

 e 2 x   f  t  dt  1009   g  x   g  0   1009  2  f  t  dt  2018  2018 e 2 x  


0
0


1

Vậy  f  x   2018e 2 x   f  x  dx  1009e 2  1009
0

 
1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  f  x   2018 e 2 x  

0

f  x
dx  2018  e  1  
ex

Bài 17. Cho 16 phiếu ghi các số thứ tự từ 1 đến 16. Lấy lần lượt 8 phiếu không hoàn lại, gọi  ai  
là số ghi trên phiếu thứ  i  lấy được   1  i  8  . Tính xác suất  P  để 8 phiếu lấy được thỏa mãn 

a1  a2  ...  a8  và không có bất ký hai phiếu nào có tổng các số bằng 17. 
A.  P 

38
 
8
A16

B.  P 

28
 
8
A16

C.  P 

28
 
8
C16

D.  P 

38
 
8
C16

Hướng dẫn giải 
8
.  Do  8  phiếu  lấy  được  thỏa  mãn  điều  kiện  a1  a2  ...  a8 ,  nên  ta  có  thể 
Ta  có    A16

xem 8 phiếu lấy được như là một tập con của tập có 16 phần tử. 

Gọi  S  1, 2, 3,...16  và  E  S  thỏa mãn yêu cầu bài toán. Từ 1 đến 16 có 8 cặp số có tổng 
bằng 17 chia thành hai tập tương ứng là  M  1, 2,...,8  và  N  16,15,...,9 . Nếu  E  có 
k  phần tử thuộc  M  thì có  C 8k  cách chọn và khi đó  E  sẽ có tối đa  8  k  phần tử thuộc  N  


15 
nên có  2 8  k cách chọn, với  k  0,1,...,8 . Vậy số tập hợp  E  thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
C80 .2 8  C81 .27  ...  C88 .2 0  3 . vậy  P 

38
. 
8
A16

Bài 18. Cho các số phức  z1 , z2  thỏa mãn  z1  1,   z2  r . Gọi M, N, P lần lượt là điểm biểu 

NMP  
. Khi  r  r0  thì góc    là lớn nhất. Khẳng 
diển các số phức  z1 ,  iz2 , 4iz2 . Biết   
o
MOP  90
định nào sau đây đúng? 
  B.  r   0;1  
C.  r   2; 3   
D.  r   3; 4   
  A.  r   1; 2    
Hướng dẫn giải 

 N  OP ; OP  4ON  4r
Từ đề suy ra  
 
OM  1

 
Ta có:  tan OMN  r  
 Và   tan  OMN    
Suy ra  tan  

r  tan 
OP
tan OMN  tan 


 4r  
1  tan OMN . tan  1  r tan  OM

3r
3
3
1

  max    đạt được khi  r   
2
2
2
4r  1 2 4r .1 4

 

Bài 19. Cho hàm số  f  x   có đạo hàm khác 0 và liên tục đến cấp hai trên  1; 2   thỏa mãn  
ln 2 f ʹ  1  f  1  1


f ʹ  x   xf ʹʹ  x  ,  x  1; 2   
 f ʹ x  3
f x 1
2   ln 2 2



16 
2

Tính tích phân  I   xf  x dx  
1

1
3
 1                                      B.  I  3 log 2 5 
2   
2 ln 2
4 ln 2
3
3
2 
1 
        C.  I  log 2 5 
    D.  I  2 log 2 5 
ln 2
2 ln 2
Hướng dẫn giải 
      A.  I  log 2 5 

  Ta có:  f ʹ  x  

3

f ʹ  x   xf ʹʹ  x 
2

f  x  1

ln 2 2

2 f ʹ  x   2 xf ʹʹ  x 
f x

 f ʹ  x  2   ln 2 2 
 
2
 f ʹ  x  

 2x 
2x
f x
f  x
 C1  
                 2   ln 2 ʹ  
 ʹ  2 ln 2 
 f ʹ x 
f
ʹ
x









Vì  ln 2 f ʹ  1  f  1  1  C1  0

 

Khi đó:  

 





f x
f x
f x
f ʹ  x  2   ln 2  2 x  2   ʹ  2 x  2     2 xdx  x 2  C2  f  x   log 2 x 2  C2  





Vì  f  1  1  C 2  1 , khi đó:  f  x   log 2 x 2  1  


2x
v


2
u  log 2 x  1
x 2  1 ln 2

Xét  I   x log 2 x 2  1 dx , Đặt  
 


1
dv  xdx

x2
v  2









1
Suy ra  I  x 2 log 2 x2  1
2



2



2





x3
x 
1
1
1 

 2 log 2 5  
x 2


2


ln 2 1 x  1
2 ln 2 0 
x 1
1
2

1

2
1
1  x2
1

 2 log 2 5  
 ln x 2  1
2 ln 2  2 1 2
              







 

     


3
  2 log 2 5 
1
2 ln 2
1

 
2

BTTL. Cho hàm số  f  x   đồng biến và có đạo hàm liên tục đến cấp hai trên   0;1  thỏa mãn  


17 
 f 0  f ʹ 0  1

2

 f ʹʹ  x  f  x    f ʹ  x  




  x  1  2xf  x f ʹ  x ,  x  0;1  
2





Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong  y  x 2  1 f  x  , hai trục tọa độ và 
đưởng thẳng  x  1  
47
101
      A. 
                         B. 
 
12
30
 

C.  e 3 e 

9
 
20

    D.  e 3 e  1  

Bài  20.  Cho  dãy  số     un    thỏa  mãn  log 3  2u5  63   2 log 4  un  8n  8  ,    *   .  Đặt 

Sn  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn 

A.  n  16  

B.  n  17 . 

unS2 n 148
 

u2 nSn 75

C.  n  18  

D.  n  19  

Hướng dẫn giải 

log 3  2u5  63   2 log 4  uk  8 k  8 
 
Xét với  n  k ,  n  k  1 :  
log 3  2u5  63   2 log 4 uk 1  8  k  1  8









 log 4  uk  8 k  8   log 4 uk 1  8  k  1  8  uk 1  uk  8  
Suy ra   un   là một cấp số cộng với công sai  d  8  u5  u1  8  5  1  u1  32  
Mặc khác với  n  1 : 
SHIFT  SOLVE
log 3  2u5  63   2 log 4 u1  log 3  2u1  1  2 log 4 u1 
 u1  4  

un  4  8  n  1  8n  4


 
 2.4  8  n  1  .n
2
Sn 
 4n
2


 8n  4  .16n
Ta có: 
16n  4  .4n

2
2



148
 n  19 . Vậy số nguyên dương lớn nhất là  n  18  
75

1
1
Bài 21. Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo bởi các điểm  0,  z ,    và  z  . Biết  z  
z
z


18 
2

35
1
có phần thực dương và diện tích hình bình hành bằng 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của  z    
z
37
A. 

53
 
37

B. 

49
 
37

C. 

43
 
37

D. 

50
 
37

Hướng dẫn giải 

 

1
1
Gọi O, A, C, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức  0,  z ,    và  z   
z
z
Suy ra   OA  z , OC  AB 

  
1   
1
,  OB  OA  OC  OB  OB  OA  OC  z   
z
z

Diện tích hình bình hành:  

S  OA.AB.sin OAB 

Ta có:  OC 2 

1
z

2

2

35
35
12
 sin OAB 
 cos OAB 
  
37
37
37

 z  2 cos OAB  2

1
z

2

2

. z  2 cos OAB  2  2.

Bài 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 đường thẳng   1 :

12 50

37 37

 

x  2 y  2 z 1
 ; 


1
1
1

x 1 y 1 z
x y 2 z1
x5 ya zb
;   3 :
;   4 :
.  Biết  không  tồn  tại 







1
2
1
1
1
3
1
1
1
đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng trên. Tính giá trị 
của biểu thức  T  a  2b  
B.  3  
C.  2  
D.  3  
A.  2  
2 :

Hướng dẫn giải 
Ta có:   1 / /  3
 


19 
Gọi P là mặt phẳng chứa   1  và   3   P  : x  2 y  z  3  0  
Gọi  I   2   P   I  0; 1;1  
 2 a  b  22 3b  24 2 a  7 b  8 
Gọi  J   4   P   J 
;
;

 
6
6
6



  2 a  b  22 3b  18 2 a  7 b  14 
 IJ  
;
;
 
6
6
6





Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì  IJ  phải cùng phương với  u1   1; 1; 1 , hay: 
2 a  b  22 3b  18 2 a  7 b  14


 a  2b  2  
6
6
6

Bài  23.  Cho  cấp  số  cộng 

u   
n

có  tất  cả  các  số  hạng  đều  dương  thỏa  mãn: 

u1  u2  ...  u2018  4  u1  u2  ...  u1009  . Giá trị nhỏ nhất của  P  log 23 u2  log 23 u5  log 23 u14    
B.  3  

A.  2  

D.  3  

C.  2  

Hướng dẫn giải 
Ta có:  u1  u2  ...  u2018  4  u1  u2  ...  u1009  
 u1 

2

 2.1009  2u1  1008d   

d
d 3d 5d
  un  :   ; ; ;...  
2
2 2 2

Khi đó:  P  log 23

Bài 

2018  2u1  2017d 

24. 

3d
9d
27d MODE   7
 log 23
 log 23

 min P  2  
2
2
2

Cho 

dãy 

số 

u   

thỏa 

n

mãn: 





ln u12  u22  10  ln  2u1  6u2   

un 2  un  2un1  1, n  1 . Giá trị nhỏ nhất của n để  un  5050    

A.  100  

B.  99  

C.  101  

Hướng dẫn giải 

u  1
2
2
 
Ta có:  ln u12  u22  10  ln  2u1  6u2  2   u1  1   u2  3  0   1
u
3

 2





D.  102  

và 


20 
Mặt khác:  un 2  un  2un1  1  un 2  un1  un1  un  1 . Đặt  vn  un1  un  
Suy ra  vn1  vn  1     vn   là một dãy CSC có công sai  d  1 
 vn  v1  n  1  u2  u1  n  1  n  1  

u2  u1  2

u  u2  3
 
Khi đó  un1  un  n  1   3
.................
un  un1  n

Cộng vế theo vế ta được: :  un  u1   2  3  ...  n   1  2  3  ...  n 

Vậy:  

n  n  1
2

n  n  1
2

 

 5050  n  100 , suy ra Giá trị nhỏ nhất  nmin  101  

Bài  25.  Xét  các  số thức  dương  x , y , z   thay  đổi  sao  cho  tồn tại  các  số  thực  a , b , c  1    và  thỏa 
mãn  abc  a x  b y  c z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và  P  x  y  2z 2    
A.  4 2  

B.  4  

C.  6  

D.  10  

Hướng dẫn giải 
Ta có: 

a 2x  abc  2x  log a  abc 

 2y
1
1
1


 log abc a  log abc b  log abc c  log abc  abc   1  
b  abc   2y  log b  abc  
2x 2y 2z
c 2z  abc


 2z  log c  abc 

1

z

1
1
1

2
 
Suy ra  1 


0
2z 2x 2y
1  1  2  x  y  4z
2z  1
 2z x  y

Khi đó,  P 

4z
1
 2z 2 ,  z  . Khảo sát hàm số suy ra  MinP  6  
2z  1
2

1 1

4
 
Chú ý: BĐT Cauchy – Schwarz:   
a b ab


21 
Bài 26. Cho số phức  z  x  yi  với  x , y    thỏa mãn  z  1  i  1  và  z  3  3i  5 . Gọi M, 
M
. 
m
14
D.   
5

m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức  P  x  2y . Tính tỉ số 

9
A.   
4

B. 

7
 
2

C. 

5

 
4

Hướng dẫn giải 
Ta có:  z  3  3i  5   x  3   y  3  5    (1) 
2

2

Thế  x  P  2y  vào (1) ta được:  

 P  2y  3   y  3
2

2

 5  5y 2  2  3  2P  y  P 2  6P  13  0    (*) 

Vậy (*) có nghiệm với mọi  x , y    khi và chỉ khi: 





 ʹ*  0   3  2P   5 P 2  6P  13  0  4  P  14 
2

M 7
  
m 2

Nhận xét: Cách đại số đơn giản dễ hiểu và với cách giải đó anh nhận ra rằng đề cho 
thừa dữ kiện  z  1  i  1 . 

Bài 

27. 

Cho 

các 

số 

z1 , z2 , z3  

phức 

thỏa 

mãn 

z1  4 , z2  3, z3  2  

4z1 z2  16z2 z3  9z3 z1  48 . Giá trị của biểu thức  P  z1  z2  z3  bằng: 
A.  2  

B.  3  

C.  4  

Hướng dẫn giải 

 z1  4  z1 z1  16


Ta có:   z2  3   z2 z2  9 . Thay vào  4z1 z2  16z2 z3  9z3 z1  48  ta được: 


 z3  2  z3 z3  4
z3 z3 .z1z2  z1 z1 .z2 z3  z2 z2 .z3 z1  48  z1 z2 z3 z1  z2  z3  48
 z1  z2  z3 

 
48
 2  z1  z2  z3  2  z1  z2  z3  2
z1 z2 z3

D.  1  

và 


22 

5
Bài 28. Cho hai số phức  z1 , z2  thỏa mãn  z1  1  2i  z1  3  3i  2 z2  1  i  17 . Tìm giá 
2
trị lớn nhất của biểu thức  P  z1  z2  z1  2  i  . 
A.  17  2 29  

B.  17  29  

   C.  2 17  

D.  3 29  

Hướng dẫn giải 
 
 
 
 
 
 
 
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức  z1 , z 2  
 5
Ta có :  A  1; 2 , B  3; 3  AB  17  và  I  1;   là trung điểm AB 
 2
Mà  z1  1  2i  z1  3  3i  17  MA  MB  AB  M thuộc đoạn AB 
17
 5
 AB là đường kính của (C) 
N thuộc đường tròn (C) có tâm  I  1;  ,  R 
2
 2
 
Ta có:   P  z1  z2  z1  2  i  OM  ON  MD  MN  MD , với  D  2; 1  

 M   AB 

 nên  MN  2R  và  MD  BD   
Vì  
N
C




Vậy  P  2R  BD  17  29 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  M  D , N  A  
 


23 

BTTL. 

Cho 

các 

số 

phức 

z, z1 , z 2  

thỏa 

mãn 

z1  1  2i  z2  5  2i  4  

và 

z  3  2i  z  7  2i  10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức  P  z1  z2  z  3  i  . Tính  T  M  m  
A.  9  2 26  

B.  15  109  

   C.  8  107  

D.  11  110  

 

1
.  Số  phức  z  có  phần 
2
thực  bằng  a,  phần  ảo  bằng  b  thỏa  mãn  3a  2b  12 .  Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức 
P  z  z1  z  2z 2  2  . 
Bài  29.  Cho  hai  số  phức  z1 , z2   thỏa  mãn  z1  3  4i  1,   z2  3  4i 

A. 

8845
 
15

B. 

9945
 
13

   C. 

9091
 
12

D. 

9667
 
17

Hướng dẫn giải 

 
1
Tâp hợp điểm biểu diễn SP  z1 , z 2  là đường tròn tâm  I  3; 4   có bán kính lần lượt là  1,    
2

Gọi M là điểm biểu diễn số phức  z  M thuộc đường thẳng  3x  2y  12  
Đặt  z3  2z2  z3  6  8i  1  là đường tròn tâm  J  6; 8   có bán kính  R  1  
Ta có:  P  z  z1  z  z3  2  MI  1  MJ  1  2  MI  MJ  
 138 64 
Gọi A là điểm đối xứng của J qua  3x  2y  12  A 
;  

 13 13 


24 
9945
. Dấu “=” xảy ra khi và chi khi  M , I , A  thẳng hàng 
13

Khi đó,  P  MI  MA  IA 

Bài 30. Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên đoạn  1; 2   thỏa mãn:  
 

2  f 2  2   f 1  2  63
      
,    x  1; 2 

2
2
2  f  x    x 2  f ʹ  x    27 x 2


 
 
 
2

Tính giá trị của tích phân    f  x   dx . 
2

1

  A.  15   

C.  21  

B.  18  

D.  25  

Hướng dẫn giải 
2

2

2

2

Từ đề     f  x   dx    f  x   dx   x  f ʹ  x   dx   27 x 2 dx  63      (1) 
2

1

2

2

2

1

1

1

u   f x  2
du  2 f ʹ  x  f  x 
     
Xét  I    f  x   dx . Đặt  
 
v
x


dv
dx

1


2

2

 I  x  f  x  
2

2

2
1

2

2

1

1

 2  xf ʹ  x  f  x  dx  63  2  xf ʹ  x  f  x  dx  
2

2

1

1

2

1    f  x  dx  2  xf ʹ  x  f  x  dx   x2  f ʹ  x  dx  0    f  x   xf ʹ  x  dx  0  
2

1

2

2

1

1

Do đó  f  x   xf ʹ  x   0   f  x   ʹ  0  f  x   Cx  
x

2

Ta có:  2 Cx   x C  3C x  27 x  C  3    f  x   dx  21  
2

2

2

2

2

2

2

1



 k , k    và  sin x  2 sin  x  y  . Gọi M, m lần 

2
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  tan  x  y  . Tính  Q  M 2  m 2   

Bài 31. Cho  x , y  là 2 góc thỏa mãn  x  y 

  A. 

2
  
5

B.  1  

C. 

2
  
3

3
D.    
5