Phương pháp giải một số bài toán về dãy số ở tiểu học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
-----------o0o-----------

PHẠM PHƢƠNG ANH

PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ DÃY SỐ Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
-----------o0o-----------

PHẠM PHƢƠNG ANH

PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ DÃY SỐ Ở TIỂU HỌC

Nhóm ngành: Khoa học giáo dục

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Bích Lê

Sơn La, năm 2018

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn khóa luận ...................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................... 2
5. Khách thể và địa bàn nghiên cứu .................................................................... 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
7. Đóng góp của khóa luận ................................................................................. 2
8. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................... 4
1.1. Vai trò của giải toán trong quá trình dạy học ............................................... 4
1.2. Phƣơng pháp chung để giải một bài toán ..................................................... 4
1.3. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học giải một số bài toán về dãy số ở Tiểu
học ..................................................................................................................... 6
1.4. Kiến thức cơ bản về dãy số .......................................................................... 6
1.5. Thực trạng việc dạy và học các bài toán về dãy số ở Tiểu học ..................... 7
1.5.1. Thực trạng dạy của giáo viên .................................................................... 8
1.5.2. Thực trạng học của học sinh ..................................................................... 8
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 ................................................................................... 10
CHƢƠNG 2. CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Ở TIỂU
HỌC ................................................................................................................ 11
2.1. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trƣớc một dãy số ............................ 11
2.1.1. Những quy luật của dãy số thƣờng gặp là: .............................................. 11
2.1.2. Những ví dụ ............................................................................................ 11
2.1.3. Bài tập vận dụng ..................................................................................... 24
2.2. Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không. ...................................... 25
2.2.1. Những kiến thức cần lƣu ý: .................................................................... 25
2.2.2. Những ví dụ........................................................................................... 25
2.2.3. Bài tập vận dụng .................................................................................... 30

2.3. Tìm số số hạng và số hạng thứ n của dãy................................................... 30
2.3.1. Những kiến thức cần lƣu ý...................................................................... 30
2.3.2. Những ví dụ ............................................................................................ 31
2.3.3. Bài tập vận dụng ..................................................................................... 36
2.4. Tìm tổng, hiệu các số hạng của dãy số....................................................... 37
2.4.1. Những kiến thức cần lƣu ý...................................................................... 37
2.4.2. Những ví dụ........................................................................................... 38
2.4.3. Bài tập vận dụng ..................................................................................... 41
2.5. Dãy chữ .................................................................................................... 42
2.5.1. Những ví dụ ............................................................................................ 42
2.5.2. Bài tập vận dụng ..................................................................................... 44
2.6. Một số bài toán khác ................................................................................. 45
2.6.1. Dãy số với phân số và số thập phân ........................................................ 45
2.6.2. Toán vui ................................................................................................. 49
TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 ................................................................................... 53
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 54
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 54
3.2. Đối tƣợng, địa bàn, thời gian thực nghiệm ................................................. 54
3.2.1. Đối tƣợng thực nghiệm ........................................................................... 54
3.2.2. Địa bàn thực nghiệm............................................................................... 54
3.2.3. Thời gian thực nghiệm............................................................................ 54
3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 54
3.4. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 54
3.5. Kết quả thực nghiệm ................................................................................. 54
TIỂU KẾT CHƢƠNG 3 ................................................................................... 57
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phụ lục

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Mỗi môn học ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển những
cơ sở ban đầu để hình thành nhân cách của mỗi con ngƣời. Trong các môn học ở Tiểu
học, cùng với môn Tiếng Việt môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng bởi các kiến thức
kĩ năng môn toán có nhiều ứng dụng trong đời sống con ngƣời và rất cần thiết cho
ngƣời lao động. Môn Toán còn góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phƣơng
pháp suy nghĩ, phƣơng pháp suy luận giải quyết vấn đề nó góp phần phát triển trí
thông minh, cách suy nghĩ độc lập của học sinh.Từ vấn đề trên, cho thấy việc dạy học
môn Toán ở Tiểu học có vai trò quan trọng trong việc hình thành nhân cách cho học
sinh. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi thấy môn Toán ở Tiểu học đƣợc chia
làm 5 mạch kiến thức cơ bản là: Số học và yếu tố đại số, Đại lƣợng và đo đại lƣợng;
Yếu tố thống kê; Yếu tố hình học và Giải toán có lời văn. Trong năm mạch kiến thức
đó thì số học là mạch kiến thức trọng tâm của môn học. Trong đó, ta gặp không ít các
bài toán về dãy số ở cả số tự nhiên, phân số và số thập phân, đặc biệt là trong chƣơng
trình bồi dƣỡng học sinh giỏi. Các bài toán về dãy số lại đƣợc nêu ra dƣới các dạng
khác nhau mà khi gặp phải học sinh thƣờng lúng túng, mơ hồ; khó tìm ra hƣớng giải
quyết và thƣờng nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác, không biết cách suy nghĩ để
phát hiện ra quy luật của dãy số và tìm cách giải. Nếu không nắm đƣợc những kiến
thức cơ bản ban đầu vững chắc thì học sinh sẽ không giải quyết đƣợc những bài toán ở
dạng cơ bản, không vận dụng đƣợc cho những bài toán nâng cao và cho những bậc học
tiếp sau. Chính vì những lí do đó, qua thực trạng dạy học giải các bài toán về dãy số
của học sinh, tôi nhận thấy việc giúp đỡ học sinh phát hiện ra quy luật của dãy số và
tìm cách giải các bài toán về dãy số là việc làm hết sức cần thiết, giúp học sinh phát
triển khả năng phân tích, tổng hợp, các thao tác tƣ duy nhằm nâng cao chất lƣợng học
toán. Vì vậy tôi đã chọn nội dung: “Phƣơng pháp giải một số bài toán về dãy số ở
Tiểu học” để nghiên cứu, thực nghiệm góp phần tìm ra biện pháp dạy và học tốt nội
dung này.

2. Mục đích nghiên cứu
Việc lựa chọn nghiên cứu nội dung “Phƣơng pháp giải một số bài toán về dãy
số ở Tiểu học” nhằm mục đích:
Tìm hiểu việc dạy học giải các bài toán về dãy số ở tiểu học.

1


Góp phần rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về dãy số, kỹ năng tìm đƣợc quy luật
dãy số và phát triển dãy số cho học sinh.
Góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán ở Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khóa luận chủ yếu đi vào giải quyết một số nhiệm vụ cơ bản sau đây:
- Nghiên cứu các vấn đề lí luận và thực tiễn có liên quan đến phƣơng pháp dạy
học giải toán về dãy số ở Tiểu học
- Phân tích hƣớng dẫn cách giải một số bài tập về dãy số dạng cơ bản cho học
sinh hiểu và làm đƣợc những bài đó.
- Tìm hiểu việc vận dụng cách giải các bài toán về dãy số vào các dạng toán nâng
cao cho học sinh Tiểu học.
- Thực nghiệm sƣ phạm để bƣớc đầu khẳng định những kết quả tìm hiểu, nghiên
cứu về phƣơng pháp dạy học giải toán dãy số ở Tiểu học.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Phƣơng pháp giải một số bài toán về dãy số ở Tiểu học.
5. Khách thể và địa bàn nghiên cứu
Học sinh lớp 5 Trƣờng tiểu học Chu Văn Thịnh, Mai Sơn, Sơn La.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã lựa chọn và sử dụng các phƣơng pháp nghiên
cứu khoa học sau:
6.1. Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu: Đọc giáo trình, tài liệu có liên quan đến nội
dung nghiên cứu trong đề tài.

6.2. Phƣơng pháp điều tra, quan sát khi tìm hiểu thực trạng của việc dạy học toán
ở Tiểu học.
6.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Thực nghiệm có đối chứng, nhằm kiểm tra tính hiệu quả của những giải pháp đƣa
ra trong đề tài.
6.4. Phƣơng pháp xử lí kết quả nghiên cứu bằng thống kê toán học.
7. Đóng góp của khóa luận
Góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học giải toán ở Tiểu học.
Khóa luận đƣợc nghiệm thu sẽ là tài liệu tham khảo cho sinh viên và giáo viên
ngành giáo dục Tiểu học.

2


8. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Cách giải một số dạng toán về dãy số ở Tiểu học.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.

3


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vai trò của giải toán trong quá trình dạy học
Mục tiêu của việc dạy học toán không chỉ là bồi dƣỡng kĩ thuật tính toán, mà bồi
dƣỡng khả năng giải quyết tình huống đa dạng cụ thể:
Giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng kiến thức thao tác thực hành đã học,
rèn kỹ năng tính toán, tập đƣợc vận dụng kiến thức và rèn luyện các kỹ năng thực hành

vào thực tiễn.
Qua việc học và giải toán, giáo viên từng bƣớc giúp học sinh phát triển năng lực
tƣ duy, rèn luyện phƣơng pháp, kỹ năng suy luận, tập dƣợt khả năng quan sát, phỏng
đoán, tìm tòi.
Qua giải toán, học sinh rèn luyện những đức tính và phong cách làm việc của
ngƣời lao động mới nhƣ ý chí khắc phục khó khăn, thói quen xét đoán có căn cứ, tính
cẩn thận, cụ thể, chu đáo, làm việc có kế hoạch và khả năng suy nghĩ độc lập, linh hoạt
khắc phục cách suy nghĩ máy móc, rập khuôn, xây dựng lòng ham thích tìm tòi, sáng
tạo ở mức độ khác nhau.
Do vậy, việc giải các bài toán là vấn đề trung tâm của việc dạy và học giải toán.
Để đạt đƣợc mục tiêu ấy, học sinh phải tƣ duy một cách tích cực và linh hoạt,
huy động và tích hợp các kiến thức và kỹ năng đã có vào các tình huống khác nhau,
trong nhiều trƣờng hợp phải phát hiện những giữ kiện hay điều kiện chƣa đƣợc nêu ra
một cách tƣờng minh và trong chừng mực nào đó phải suy nghĩ một cách sáng tạo.
1.2. Phƣơng pháp chung để giải một bài toán
Để giải các bài tập toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản liên quan, học
sinh cần phải có phƣơng pháp, suy nghĩ khoa học và các kinh nghiệm cá nhân tích lũy
đƣợc trong quá trình học tập và rèn luyện. Trong môn toán ở trƣờng phổ thông, nhiều
bài toán chƣa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán đó giáo viên
phải hƣớng dẫn học sinh suy nghĩ để tìm ra cách giải. Qua đó, học sinh rèn luyện và
phát triển tƣ duy của mình. Giao viên biết đề ra những câu hỏi gợi ý sâu sắc phù hợp
với trình độ của các em, giúp các em định hƣớng cách giải.
Theo G.Polya phƣơng pháp chung để giải một bài toán có 4 bƣớc:
Bƣớc 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Tìm hiểu nội dung bài toán tức là thực hiện hoạt động phân tích đề toán, xác định
cái đã cho, cái cần tìm và mối liên hệ giữa chúng hoặc với các kiến thức đã có.
4


Đối những bài toán về dãy số cái đã cho thƣờng là một dãy số sắp xếp theo quy

luật nhất định và cái cần tìm là quy luật của dãy số từ quy luật của dãy số sẽ tìm đƣợc
các số hạng còn thiếu của dãy số đó.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Tìm cách giải là một hoạt động quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó quyết
định sự thành công hay không thành công của việc giải toán. Ở bƣớc này điều cơ bản
học sinh biết định hƣớng tìm lời giải đúng, đơn giản cho bài toán.
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán nhƣ: Biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tƣơng tự.
Đối với những bài toán về dãy số, trong bƣớc này chủ yếu là từ hình thức biểu thị của
các số hạng xác định quy luật của dãy số, sau đó tìm những số còn lại theo quy luật đã
tìm đƣợc.
Bƣớc 3: Trình bày bài giải
Hoạt động này bao gồm việc thực hiện các phép tính đã nêu trong kế hoạch bài
tập và trình tự lời giải.
Theo chƣơng trình hiện hành ở tiểu học, học sinh có thể áp dụng một trong
những cách trình bày phép tính nhƣ: Trình bày từng phép tính riêng biệt, trình bày
dƣới dạng biểu thức nhiều phép tính. Mô hình trình bày lời giải đối với toán ở Tiểu
học là: mỗi phép tính phải kèm theo câu trả lời, ghi đáp số khi đã tìm ra kết quả của
bài toán. Một việc quan trọng trong trình bày lời giải là thứ tự các phép tính, nhất là
đối với bài toán phức tạp phải trình bày sao cho tƣờng minh mối liên hệ giữa các dữ
kiện của đề bài.
Đối với bài toán về dãy số, trình bày bài giải gắn với việc chỉ ra quy luật của dãy
số và sự vận dụng quy luật ấy để tìm các số thích hợp theo yêu cầu của bài.
Bƣớc 4: Kiểm tra và đánh giá lời giải
Kiểm tra là bƣớc thực hiện sau khi giải xong bài toán. Trong quá trình thực hiện
giải, rất có thể học sinh mắc phải những lầm lẫn ở chỗ nào đó. Việc kiểm tra đánh giá
lời giải giúp học sinh phát hiện và sửa chữa kịp thời những sai sót khi trình bày lời
giải, phát triển khai thác bài toán. Có những hình thức kiểm tra nhƣ sau :
- Thiết lập các phép tính tƣơng ứng giữa các số tìm đƣợc trong quá trình giải với

các số đã cho.

5


- Xét tính hợp lí của phép toán.
- Khai thác bài toán bằng cách thay đổi dữ liệu, mối quan hệ trong bài, biến đổi
bài toán đã cho thành một bài toán tƣơng tự.
Bƣớc này tuy không thể hiện trong bài giải nhƣng là bƣớc không thể thiếu trong
quá trình giải toán. Đối với việc giải các bài toán về dãy số, kiểm tra đánh giá lời giải
còn là tìm xem còn quy luật nào khác của dãy số đó hay không.
1.3. Mục đích, yêu cầu của việc dạy học giải một số bài toán về dãy số ở Tiểu học
Việc dạy học giải các bài toán về dãy số ở Tiểu học nhằm mục đích sau:
Giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng các kiến thức toán học cơ bản về tập
hợp các số tự nhiên, các tính chất của dãy số tự nhiên, các kỹ năng tính toán, kỹ năng
thực hành vào học tập và ứng dụng thực tiễn.
Giúp học sinh biết cách suy nghĩ để tìm ra quy luật của các dãy số và trình bày
bài giải của một số bài toán về dãy số ở Tiểu học.
Phát triển năng lực tƣ duy, rèn thao tác phân tích tổng hợp, so sánh, suy luận.
Qua đó nâng cao năng lực hoạt động trí tuệ cho học sinh.
1.4. Kiến thức cơ bản về dãy số
- Các tính chất cơ bản của dãy số tự nhiên:
+ Tính chất quan trọng của dãy số là quan hệ “liền trƣớc”, “liền sau”.
+ So sánh 2 số tự nhiên dùng kí hiệu ( > , < , = ) để ghi lại kết quả so sánh.
+ Nếu thêm 1 vào một số thì đƣợc một số đứng liền sau số đó.
+Nếu bớt 1 ở một số thì đƣợc một số đứng liền trƣớc số đó.
+ Không có số tự nhiên nào đứng giữa 2 số tự nhiên liên tiếp.
+ Trong dãy số tự nhiên có số bé nhất (số 0) mà không có số lớn nhất.
- Tập hợp số tự nhiên là tập sắp thứ tự tuyến tính tạo thành dãy liên tiếp các số tự
nhiên. Mỗi bộ phận hay tập con của tập số tự nhiên đƣợc xác định theo một quy tắc

nào đó tạo thành một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn.
- Các thành phần cơ bản trong dãy số: các số hạng; số thứ tự của các số hạng; số
số hạng; quy luật của dãy số …
- Mối liên hệ hình thức giữa số số hạng của dãy số với số lƣợng của các số hạng:
+ Trong dãy số tự nhiên liên tiếp, cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một
số chẵn…

6


+ Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lƣợng các số trong dãy số
chính bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số ấy.
+ Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác 1 thì số lƣợng các số trong
dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trƣớc số đầu tiên.
+ Dãy số bắt đầu là một số lẻ, kết thúc là một số chẵn thì số lƣợng các số chẵn
bằng số lƣợng các số lẻ.
+ Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc là một số lẻ thì số lƣợng các số chẵn
bằng số lƣợng các số lẻ.
+ Dãy số bắt đầu là một số lẻ, kết thúc cũng là một số lẻ, thì số lƣợng các số lẻ
nhiều hơn số lƣợng các số chẵn là 1 số.
+ Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc cũng là một số chẵn, thì số lƣợng các
số chẵn nhiều hơn số lƣợng các số lẻ là 1 số.
- Các bài toán về dãy số có thể phân ra các loại sau:
* Dãy số cách đều.
+ Dãy số tự nhiên.
+ Dãy số chẵn, lẻ.
+ Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
* Dãy số không cách đều:
+ Dãy số có tổng (hiệu) giữa 2 số liên tiếp là một dãy số.
+ Dãy số có các số hạng liên tiếp gấp (kém) nhau 1 số lần …

- Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trƣớc một dãy số.
Dạng 2. Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không.
Dạng 3. Tìm số số hạng và số hạng thứ n của dãy.
Dạng 4. Tìm tổng, hiệu các số hạng của dãy số.
Dạng 5. Dãy chữ.
1.5. Thực trạng việc dạy và học các bài toán về dãy số ở Tiểu học
Do đặc trƣng nội dung môn toán tiểu là môn học thống nhất không chia thành
phân môn, các mạch kiến thức đan xen hỗ trợ nhau, nên các tính chất của các dãy số
và các bài toán về dãy số ở Tiểu học đƣợc lồng ghép trong các bài học khi xây dựng
các tập hợp số tự nhiên và vận dụng mở rộng cho số thập phân hay phân số. Chính vì

7


vậy giáo viên chỉ giới thiệu cho các em những kiến thức sơ giản mà chƣa chú trọng
tìm hiểu sâu hơn nên hiệu quả của việc học các bài toán về dãy số chƣa cao.
1.5.1. Thực trạng dạy của giáo viên
Để tìm hiểu thực trạng dạy các bài toán về dãy số ở Tiểu học của giáo viên, tôi đã
khảo sát giáo viên bằng phiếu khỏa sát. Thông qua câu trả lời của giáo viên trong
phiếu khảo sát tôi thấy đƣợc những hạn chế sau:
a) Hạn chế về phƣơng pháp giảng dạy:
- Phần lớn giáo viên chƣa đƣa dạng bài tập này vào chƣơng trình buổi 2 trong
năm học mà phó mặc cho giáo viên dạy bồi dƣỡng.
- Nội dung dạy và học chỉ gói gọn trong các giờ học bồi dƣỡng học sinh giỏi, ít
đƣợc thực hành và ít vận dụng với thực tế.
- Việc tạo nguồn cảm hứng, niềm yêu thích với dạng bài tập này vẫn chƣa đƣợc
nhiều giáo viên quan tâm.
b) Hạn chế về việc vận dụng, giảng dạy dạng bài tập về dãy số của giáo viên:
- Việc dạy học giải toán còn máy móc, khuôn mẫu, chƣa vận dụng sáng tạo trong

quá trình dạy học dạng bài tập về dãy số.
- Chƣa có ý thức tìm tòi để tìm ra cách dạy học tốt nhất về giải toán dãy số cũng
nhƣ cách suy nghĩ tìm quy luật của dãy số.
- Chƣa giới thiệu cho học sinh một số quy luật thƣờng gặp về dãy số và một số
công thức liên quan đến dãy số.
- Chƣa hƣớng dẫn việc vận dụng các kiến thức cơ bản vào dạng bài tập về dãy số
để giúp học sinh nhận dạng nhanh các bài toán, phát hiện ra mối liên hệ với các bài
toán đã biết hoặc một dạng toán mới.
1.5.2. Thực trạng học của học sinh
Để tìm hiểu thực trạng học các bài toán về dãy số ở Tiểu học của học sinh, tôi đã
khảo sát học sinh bằng phiếu khảo sát. Thông qua câu trả lời của học sinh trong phiếu
khảo sát và tìm hiểu thƣc tế.
Tôi thấy thực trạng của học sinh khi học các bài toán về dãy số nhƣ sau:
a) Về hứng thú khi học dạng bài tập về dãy số:
- Học sinh ít hứng thú với dạng toán dãy số.
- Học sinh vận dụng giải dạng bài tập này một cách máy móc, không linh hoạt.
Nhiều em sợ gặp dạng toán này.

8


- Nguyên nhân:
+ Chƣa có định hƣớng suy nghĩ để tìm ra quy luật của dãy số.
+ Chƣa nắm chắc phƣơng pháp giải với mỗi dạng bài tập.
+ Chƣa có sự say mê, hứng thú với môn Toán.
b) Về kỹ năng giải dạng bài tập về dãy số:
- Học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu bài máy móc, chỉ làm theo
khuôn mẫu chứ chƣa tự suy nghĩ để tự tìm cách giải.
- Học sinh chƣa đƣợc rèn luyện giải nhiều về dạng bài nên khả năng nhận dạng
bài tập và vận dụng phƣơng pháp giải cho từng dạng bài tập chƣa có. Dẫn đến học sinh

lúng túng, chán nản khi gặp loại toán này.
- Kỹ năng thực hiện phép tính, trình bày bài giải còn yếu.
- Vận dụng còn máy móc, chƣa linh hoạt.
- Nguyên nhân: Không đƣợc tiếp xúc nhiều với dạng toán này.
+ Thiếu vốn kiến thức về dãy số và thứ tự thực hiện các phép tính.
+ Kỹ năng biến đổi dãy số chƣa tốt.
+ Chƣa biết cách tìm ra mối liên quan giữa các số hạng trong dãy số để phát hiện
ra đặc điểm chung của dãy số đó.

9


TIỂU KẾT CHƢƠNG 1
Trong chƣơng 1, khóa luận đã trình bày đƣợc vị trí, tầm quan trọng của việc
giải các bài toán trong dạy và học toán ở Tiểu học. Đồng thời, khóa luận cũng hệ thống
hóa đƣợc các bƣớc cần thiết của quá trình giải một bài toán, nêu đƣợc mục đích, yêu
cầu của việc giải toán về dãy số trong dạy học toán ở Tiểu học. Khóa luận cũng đã
tổng hợp những kiến thức cơ bản về dãy số, các hình thức biểu thị của dãy số, những
dạng bài tập cơ bản về dãy số và những đặc trƣng riêng của nó.
Các bài toán về dãy số ở Tiểu học không đƣợc dạy trong một bài học cụ thể mà
đƣợc tích hợp trong các bài học về số tự nhiên, số thập phân hay phân số. Chính vì vậy
giáo viên chỉ cho các em những kiến thức sơ giản mà không đi vào sâu bên trong nên
hiệu quả của việc học các bài toán về dãy số chƣa cao. Bên cạnh đó, do học sinh ít
đƣợc tiếp xúc với các bài toán về dãy số nên học sinh chỉ nắm đƣợc cách làm của một
số bài đơn giản còn những bài khó hơn thì học sinh thấy lúng túng không tìm đƣợc
cách giải.
Thực trạng đó chƣa đáp ứng đƣợc yêu cầu giáo dục theo định hƣớng phát triển
năng lực ngƣời học hiện nay.
Khóa luận đã tìm hiểu và phần nào thấy đƣợc thực trạng của giáo viên và học sinh
trong việc dạy và học giải toán về dãy số ở Trƣờng tiểu học. Để giúp học sinh đƣợc tiếp

cận nhiều hơn với bài toán về dãy số, giáo viên nên đƣa thêm những bài tập này vào buổi
2 trong ngày.
Đó là những cơ sở lí luận và thực tiễn để tôi đề xuất phƣơng pháp giải một số
bài toán về dãy số ở Tiểu học trong chƣơng 2.

10


CHƢƠNG 2. CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ DÃY SỐ Ở TIỂU HỌC
2.1. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trƣớc một dãy số
Để giải các bài toán dạng điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trƣớc một dãy
số trƣớc tiên ta cần tìm hiểu dãy số, xác định đƣợc quy luật của dãy số rồi từ đó tìm
các số hạng cần thiết bổ sung vào dãy số đã cho.
2.1.1. Những quy luật của dãy số thường gặp là:
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng số hạng liền trƣớc nó cộng
(hoặc) trừ với một số tự nhiên d;
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trƣớc nó nhân với một số
tự nhiên q khác 0;
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trƣớc nó
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tƣ) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trƣớc nó;
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng liền trƣớc nó
cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với số tự nhiên d;
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trƣớc nó;
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tƣ) bằng tích của ba số hạng đứng liền trƣớc nó;
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trƣớc nó nhân
với thứ tự của số hạng đó.
Mỗi số hạng bằng tích của thứ tự số hạng đó nhân với số liền sau của nó;
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trƣớc nó
nhân với tổng của số tự nhiên d và thứ tự của số hạng đó

2.1.2. Những ví dụ
Ví dụ 1: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau:
a) 1; 2; 3; 5; 8; ...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; ...
c) 2; 7; 13; 20; ...
* Phân tích – Tìm lời giải
- Bài toán cho biết gì?
(cho ba dãy số a) 1; 2; 3; 5; 8; ...; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; ...; c) 2; 7; 13; 20; ...)
- Bài toán hỏi gì?
(Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số)
11


- Đây là dãy số tăng dần hay giảm dần?
(Tăng dần)
- Nhận xét về đặc điểm giữa hai số liền kề bất kì?
(Khoảng cách giữa hai số liền kề bất kì không giống nhau)
- Nhận xét về mối quan hệ của số so với số thứ tự của số đó trong dãy số?
(Mối quan hệ không nhƣ nhau, mỗi số có quan hệ riêng so với số thứ tự của số
đó trong dãy số)
- Nhận xét đặc điểm của số đứng sau so với các số đứng trƣớc?
(Câu a: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ 3, bằng tổng của hai số hạng đứng liền
trƣớc nó.
Câu b: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ tƣ, bằng tổng của ba số hạng đứng liền
trƣớc nó.
Câu c: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng tổng số hạng liền trƣớc nó cộng
với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3)
* Lời giải
Ta thấy :
Số hạng thứ ba của dãy là: 3 = 1 + 2

Số hạng thứ tƣ của dãy là: 5 = 2 + 3
Số hạng thứ năm của dãy là: 8 = 3 +5
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ 3, bằng tổng của hai
số hạng đứng liền trước nó.
Áp dụng quy luật này ta có:
Số hạng thứ sáu của dãy là: 5 + 8 = 13
Số hạng thứ bảy của dãy là: 8 + 13 = 21
Số hạng thứ tám của dãy là: 13 + 21 = 34
Ba số cần điền vào dãy số trên là: 13 ; 21 ; 34.
Ta thấy:
Số hạng thứ tƣ của dãy: 6 = 0 + 2 + 4
Số hạng thứ năm của dãy là: 12 = 2 + 4 + 6
Số hạng thứ sáu của dãy là : 22 = 4 + 6 + 12
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ tư, bằng tổng của ba
số hạng đứng liền trước nó.

12


Áp dụng quy luật này ta có:
Số hạng thứ bảy của dãy là: 6 + 12 + 22 = 40
Số hạng thứ tám của dãy là: 12 + 22 + 40 = 74
Số hạng thứ chín của dãy là: 22 + 40 + 74 = 136
Ba số cần điền vào dãy số trên là: 40; 74; 136.
Ta thấy:
Số hạng thứ 2 của dãy là: 2 + 2 + 3 = 7
Số hạng thứ 3 của dãy là: 7 + 3 + 3 = 13
Số hạng thứ 4 của dãy là: 13 + 4 + 3 =20
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng tổng số
hạng liền trước nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3.

Áp dụng quy luật này ta có:
Số hạng thứ năm của dãy là: 20 + 5 + 3 = 28
Số hạng thứ sáu của dãy là: 28 + 6 + 3 = 37
Số hạng thứ bảy của dãy là: 37 + 7 + 3 = 47
Ba số cần điền vào dãy số trên là: 28; 37; 47.
* Nhận xét: Từ dãy số 2; 7; 13; 20; ...ta thấy:
+ Số hạng thứ hai: 7 = 2 + 5
+ Số hạng thứ ba: 13 = 7 + 6
+ Số hạng thứ tƣ: 20 =13 + 7
Khoảng cách giữa các số hạng của dãy số đã cho là một dãy số liên tiếp tăng
dần bắt đầu từ số: 5, 6, 7, …
+ Số hạng thứ năm là: 20 + 8 = 28
+ Số hạng thứ sáu là: 28 + 9 = 37
+ Số hạng thứ bảy là: 37 + 10 = 47.
Nhƣ vậy có thể suy luận để tìm quy luật dãy số, dựa vào quy luật dãy số phụ về
khoảng cách giữa các số hạng của dãy số đó.
* Kiểm tra và đánh giá lời giải
- Kiểm tra, rà soát lại từng phép tính.
Lƣu ý : Muốn viết tiếp đƣợc các số trong một dãy cần phải trải qua các bƣớc sau :
1. Nhận xét
- Đặc điểm của từng số.

13


- Mối quan hệ với số thứ tự.
- Mối quan hệ của một nhóm số liên tiếp.
- Nếu các nhận xét liên quan đến số thứ tự thì ở đầu mỗi nhận xét phải ghi số
thứ tự của mỗi số.
- Nếu là các nhận xét không phải của số đầu tiên thì phải ghi số thứ tự của số

đó.
2. Kết luận
Từ các nhận xét rút ra các quy luật của dãy số.
Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau, biết mỗi dãy số có 10 số hạng.
a) …; 24; 27; 30
b) …; 47; 52; 57
c) …; 64; 81; 100
* Phân tích – Tìm cách giải
- Bài toán cho biết gì ?
(bài toán cho các dãy số a) …; 24; 27; 30 ; b) …; 47; 52; 57, c) …; 64; 81; 100)
- Bài toán hỏi gì ? (Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số)
a) – Số hạng 30 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số ?
(Số thứ 10 vì dãy này có 10 số hạng)
- Tìm mối quan hệ giữa số với số thứ tự ?
(- Số hạng thứ 10 của dãy là: 30 = 10  3
- Số hạng thứ 9 của dãy là: 27 = 9  3
- Số hạng thứ 8 của dãy là: 24 = 8  3)
- Số đầu tiên là số thứ mấy trong dãy số ?
(Số thứ nhất)
b) – Số hạng 57 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số ?
(Số thứ 10 vì dãy này có 10 số hạng)
- Tìm mối quan hệ giữa số với số thứ tự ?
(- Số hạng thứ 10 của dãy là: 57 = 5  10 + 7
- Số hạng thứ 9 của dãy là: 52 = 5  9 + 7
- Số hạng thứ 8 của dãy là: 47 = 5  8 + 7)
- Số đầu tiên là số thứ mấy trong dãy số ?
(Số thứ nhất)

14

c)– Số hạng 100 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số ?
(Số thứ 10 vì dãy này có 10 số hạng)
- Tìm mối quan hệ giữa số với số thứ tự ?
(- Số hạng thứ 10 của dãy là:

100 = 10  10

- Số hạng thứ 9 của dãy là: 81 = 9  9
- Số hạng thứ 8 của dãy là: 64 = 8  8)
- Số đầu tiên là số thứ mấy trong dãy số ?
(Số thứ nhất)
* Lời giải :
a) Ta nhận xét:
- Số hạng thứ 10 của dãy là: 30 = 10  3
- Số hạng thứ 9 của dãy là: 27 = 9  3
- Số hạng thứ 8 của dãy là: 24 = 8  3
Vậy quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với 3.
Áp dụng quy luật này ta có số hạng đầu tiên của dãy là: 1  3 = 3
b) Ta nhận xét:
- Số hạng thứ 10 của dãy là: 57 = 5  10 + 7
- Số hạng thứ 9 của dãy là: 52 = 5  9 + 7
- Số hạng thứ 8 của dãy là: 47 = 5  8 + 7
Vậy quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng của dãy bằng thứ tự của nó nhân
với 5 rồi cộng với 7.
Áp dụng quy tắc này ta có số hạng đầu tiên của dãy là: 1  5 + 7 = 12
c) Ta nhận xét:
- Số hạng thứ 10 của dãy là:

100 = 10  10

- Số hạng thứ 9 của dãy là: 81 = 9  9
- Số hạng thứ 8 của dãy là: 64 = 8  8
Vậy quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng bằng tích của số chỉ thứ tự số hạng
đó nhân với chính nó.
Áp dụng quy tắc này ta có số hạng đầu tiên của dãy là : 1  1 = 1
* Kiểm tra và đánh giá lời giải :
- Kiểm tra và rà soát lại từng phép tính

15


Lƣu ý : Dạng bài tìm số đầu tiên thƣờng cho số lƣợng số cho nên cần nhận xét
đến số thứ tự của số trong dãy số.
Ví dụ 3: Tìm các số hạng còn thiếu trong dãy số sau :
a) 3; 9; 27; ...; 729
b) 3; 8; 23; ...; 608
* Phân tích – Tìm cách giải :
- Bài toán cho biết gì?
(Bài toán cho dãy số a) 3; 9; 27; ...; 729, b) 3; 8; 23; ...; 608)
- Bài toán hỏi gì?
(Tìm các số hạng còn thiếu trong dãy số)
- Hãy quan sát từng số hạng đã cho trong dãy số, nhận xét mối quan hệ giữa 2
số hạng liền kề ?
(Câu a: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng 3 lần số hạng liền trƣớc nó.
Câu b: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng 3 lần số hạng liền trƣớc nó trừ đi 1)
- Muốn tìm các số hạng còn thiếu trong dãy ta làm thế nào?
(Câu a: Lấy số hạng liền trƣớc nó nhân với 3.
Câu b: Lấy số hạng liền trƣớc nó nhân với 3 rồi trừ đi 1)
* Lời giải:

a) Ta nhận xét : 3  3 = 9
9  3 = 27
Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng
3 lần số hạng liền trước nó.
Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :
27  3 = 81 ; 81  3 = 243 ; 243  3 = 729 (đúng)
Dãy số là: 3; 9; 27; 81 ; 24 ; 729
b) Ta nhận xét : 3  3 – 1 = 8 ;
8  3 – 1 = 23.
Quy luật của dãy số đó là : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng 3 lần số
hạng liền trước nó trừ đi 1.
Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :
23  3 – 1 = 68 ;

68  3 – 1 = 203 ; 203  3 – 1 = 608 (đúng).

Dãy số là: 3; 8; 23; 68; 203 ; 608

16


* Kiểm tra và đánh giá lời giải
- Kiểm tra, rà soát từng phép tính.
Ví dụ 4: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:
a) 1; 2; 3; 6; 5; 10; 7; 14; …; …
b) 4; 1; 6; 5; 8; 9; 10; 13; …; …
* Phân tích – Tìm lời giải:
- Bài toán cho gì?
(Bài toán cho các dãy số a) 1; 2; 3; 6; 5; 10; 7; 14; …; …; b) 4; 1; 6; 5; 8; 9; 10;
13; …; …)

- Bài toán hỏi gì?
(Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số)
- Dãy số này có đặc điểm gì?
(Các số liền sau có thể hơn hoặc kém các số liền trƣớc)
- Dãy số này có thể tách thành các dãy số nào?
(Câu a: Các số ở vị trí lẻ lập thành dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 1; 3; 5; 7; …
Các số ở vị trí chẵn lập thành dãy số: 2; 6; 10; 14; …
Câu b: Các số ở vị trí lẻ lập thành dãy các số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 4; 6; 8; 10; …
Các số ở vị trí chẵn lập thành dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 1; 5; 9; 13; …)
- Các dãy số vừa tách ra có quy luật nhƣ thế nào?
(Câu a: Dãy 1; 3; 5; 7; … có quy luật là: số hạng đứng sau, bằng các số hạng
đứng liền trƣớc nó cộng với 2 đơn vị, dãy 2; 6; 10; 14; … có quy luật là: Các số hạng
đứng sau, bằng các số hạng đứng liền trƣớc nó cộng với 4 đơn vị
Câu b: Dãy 4; 6; 8; 10; … có quy luật là: số hạng đứng sau, bằng các số hạng
đứng liền trƣớc nó cộng với 2 đơn vị, dãy 1; 5; 9; 13; … có quy luật là:Các số hạng
đứng sau, bằng các số hạng đứng liền trƣớc nó cộng với 4 đơn vị)
* Lời giải:
Ta nhận xét :
Các số ở vị trí lẻ lập thành dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 1; 3; 5; 7; …
Trong dãy đó ta thấy các số hạng đứng sau, bằng các số hạng đứng liền trƣớc
nó cộng với 2 đơn vị, nên số tiếp theo sẽ là: 7 + 2 = 9
Các số ở vị trí chẵn lập thành dãy số: 2; 6; 10; 14; …

17


Trong dãy đó ta thấy các số hạng đứng sau, bằng các số hạng đứng liền trƣớc
nó cộng với 4 đơn vị, nên số tiếp theo sẽ là 14 + 4 = 18
Vậy dãy số cần tìm là:

1; 2; 3; 6; 5; 10; 7; 14; 9; 18; …

Ta nhận xét:
Các số ở vị trí lẻ lập thành dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 4; 6; 8; 10; …
Trong dãy đó ta thấy các số hạng đứng sau, bằng các số hạng đứng liền trƣớc
nó cộng với 2, nên số tiếp theo sẽ là: 10 + 2 = 12
Các số ở vị trí chẵn lập thành dãy số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 1; 5; 9; 13; …
Trong dãy đó ta thấy các số hạng đứng sau, bằng các số hạng đứng trƣớc nó
cộng với 4 đơn vị, nên số tiếp theo sẽ là 13 + 4 = 17
Vậy dãy số cần tìm là:

4; 1; 6; 5; 8; 9; 10; 13; 12; 17

* Kiểm tra và đánh giá lời giải:
- Kiểm tra và rà soát lại từng phép tính.
Ví dụ 5: Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau:
a) 1; 4 ; 7 ; 10 ; …
b) …;390 ; 395 ; 400. (Biết rằng dãy có 80 số hạng)
* Phân tích – Tìm lời giải:
- Bài toán cho biết gì?
( bài toán cho 2 dãy số a) 1; 4 ; 7 ; 10 ; …; b)…;390 ; 395 ; 400. (Biết rằng dãy
có 80 số hạng)
- Bài toán hỏi gì?
(Tìm số hạng thứ 50 của dãy số)
- Nhận xét gì về đặc điểm của 2 số liền kề bất kì?
(câu a: Số liền sau hơn số liền trƣớc 3 đơn vị
Câu b: Số liền sau hơn số liền trƣớc 5 đơn vị)
- Tìm mối quan hệ giữa số với số thứ tự?
Câu a: Số hạng thứ 2 là : 4 = 1 + 3  (2 – 1);
Số hạng thứ 3 là: 7 = 1 + 3  (3 – 1);

Số hạng thứ 4 của dãy là: 10 = 1+ 3  (4 – 1)
Câu b: Số hạng thứ 80 là: 400 = 5  80
Số hạng thứ 79 là: 395 = 5  79
Số hạng thứ 78 là: 390 = 5  78

18


- Tìm số hạng thứ 50 nhƣ thế nào ?
(Câu a: Số hạng thứ 50 của dãy là: 1 + 3  (50 – 1) = 148
Câu b: Số hạng thứ 50 của dãy là:5  50 = 250)
* Lời giải:
Ta nhận xét:
Số hạng thứ 2 là : 4 = 1 + 3  (2 – 1);
Số hạng thứ 3 là: 7 = 1 + 3  (3 – 1);
Số hạng thứ 4 của dãy là: 10 = 1+ 3  (4 – 1).
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai bằng số hạng
thứ nhất cộng với tích của 3 nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó trừ 1.
Vậy số hạng thứ 50 của dãy là:

1 + 3  (50 – 1) = 148

Ta nhận xét:
Số hạng thứ 80 là: 400 = 5  80
Số hạng thứ 79 là:

395 = 5  79

Số hạng thứ 78 là: 390 = 5  78
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 5.

Vậy số hạng thứ 50 của dãy là:5  50 = 250
Ví dụ 6:
Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng của các số ở 3 ô liên tiếp đều
bằng 2002 :
783

998

* Phân tích – Tìm cách giải
- Bài toán cho gì?
( Các ô trống có các giá trị, 3 ô liên tiếp có tổng là 2002)
- Bài toán hỏi gì?
( Tìm các số thích hợp để điền vào các ô còn thiếu)
- Đánh số các ô theo thứ tự từ 1 đến 10.
- Ta có: Tổng của 3 ô liên tiếp 783 + Ô7 + Ô8 = 2002, Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2002
- Ô9 bằng bao nhiêu?
(Ô9 = 783)
- Từ đó tính các ô còn lại.
* Lời giải:
Ta đánh số thứ tự các ô nhƣ sau:
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

783

19

(7)

(8)

(9)

(10)

998


Theo đề bài, ta có: 783 + Ô7 + Ô8 = 2002.
Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2002.
Vậy Ô9 =783; từ đó ta tính đƣợc:
Ô8= Ô5 = Ô2 = 2002 – (783 + 998) = 2002
Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 ;Ô3 = Ô6 = 783.
Điền số vào các ô, ta đƣợc:
(1)

998

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

221

783

998

221

783

(7)

998

(8)

(9)

(10)

221

783

998

* Kiểm tra và đánh giá lời giải.
- Kiểm tra, rà soát lại phép tính.
Ví dụ 7.
Điền các số thích hợp vào các ô tròn sao cho tổng của các số ở bốn ô liên tiếp
đều bằng 12

3

3
2

6
(6)

1

1

(5)

6

(4)

6

2

(3)

3

3

(2)
(1)

1

2

6
1

Hình 1

* Phân tích – Tìm lời giải:
- Đánh số thứ tự cho các ô
- Ta có:1 + Ô2 + Ô3 + 6 = 12
Lại có: Ô5 + Ô2 + Ô3 + 6 = 12. Vậy Ô5 = 1
- Tìm các ô còn lại giống nhƣ cách làm trên.

20


* Lời giải:
- Đánh số các ô theo thứ tự nhƣ hình vẽ, ta thấy: 1 + Ô2 + Ô3 + 6 = 12

Lại có: Ô5 + Ô2 + Ô3 + 6 = 12.

Vậy Ô5 = 1

- Vì 6 + 1 + Ô6 + 3 = 12 nên Ô6 = 2.
- Vì 2 + 1 + 6 + Ô3 = 12 nên Ô3 = 3.
Từ đây ta điền đƣợc các ô còn lại nhƣ hình vẽ
Ví dụ 8. Điền đủ 9 chữ số từ 1 đến 9 vào các ô tròn để:
- Tổng các số trên mỗi cạnh của tam giác đều bằng 20 (hình 2);
(1)
(9)

(2)

(8)

(3)

(4)

Hình 2

(7)
(5)

(6)

* Phân tích – Tìm lời giải:
- Đánh số thứ tự cho các ô.
- Tổng của 9 ô là bao nhiêu?

(Tổng của 9 ô là: 45)
- Tổng của mỗi cạnh hình tam giác là bao nhiêu?
(Tổng của mỗi cạnh hình tam giác là: 20)
- Tổng các số ghi trên 3 cạnh là bao nhiêu?
(Tổng các số ghi trên 3 cạnh là 60)
- Sự chênh lệch tổng của các ô là do đâu?
(Có sự chênh lệch là do các số trong ô ở đỉnh đƣợc tính 2 lần)
- Vậy tổng của 3 ô ở đỉnh là bao nhiêu?
(Tổng của 3 số ở đỉnh là:60 – 45 = 15)
- Nhƣ vậy ta chọn các số điền vào 3 ô ở đỉnh sao cho các số đó có tổng bằng 15.
Sau đó lựa chọn các số thích hợp để điềm vào các ô còn lại sao cho tổng các số trên
mỗi cạnh đều bằng 20.

21