kinh nghiệm học và nhớ khoảng cách

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />KINH NGHIỆM HỌC TỐT BÀI “KHOẢNG CÁCH”

Các em thân mến, khoảng cách thường là câu 7đ, nhiều bạn lúng túng
trong việc tính khoảng cách không gian, đặc biệt là khoảng cách 2
đường chéo nhau, dưới đây là kinh nghiệm học (rút gọn lại).

CÁC EM CÓ THỂ KẾT HỢP VỚI BỘ GIÁO ÁN CHUẨN CHÉP
TAY MÀ THẦY ĐÃ GỬI DẠNG HÌNH ẢNH NHÉ.

1- Khoảng cách từ 1 điểm đế n mô ̣t mă ̣t phẳ ng và đế n mô ̣t đường thẳ ng.
1.1- Khoảng cách từ 1 điể m đế n mô ̣t đường thẳ ng.

/> /> /> />Phầ n này chỉ lưu ý : muố n tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường xem nó là
chiề u cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường  ).

Nế u tam giác MAB vuông ta ̣i M thì tính độ dài MH như thế nào? nhớ la ̣i hê ̣ thức
trong tam giác vuông:

1
1

1


.
MH 2 MA 2 MB 2

Nế u tam giác cân ta ̣i M? thì H là trung điể m của AB.

Nế u tam giác thường? thì tin
́ h diê ̣n tić h tam giác và đô ̣ dài AB, từ đó suy ra đô ̣ dài
MH.

/> /> /> /> /> />A

H

M

M

M

B

A

H

A

B

H

B

Ví du ̣ 1: Cho hin
̀ h chóp tứ giác đề u S.ABCD có ca ̣nh đáy a, ca ̣nh bên 2a. Tin
́ h
khoảng cách từ A đế n SC.

Với ví du ̣ này không khó khăn trong viê ̣c kẻ AH vuông góc với SC ( H thuô ̣c

SC) và nêu hướng tính AH:
SO.AC = AH. SC.

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />S

H

D

C

O

A

B

/> /> /> />1.2 - Khoảng cách từ 1 điể m đế n mô ̣t mă ̣t phẳ ng.

( trọng tâm nhất, cuối cùng khoảng cách 2 đường chéo nhau cũng quy về dạng
này).

Việc tính khoảng cách , tìm mặt phẳng vuông góc hãy chú ý bám sát vào

các điểm của 1 cạnh vuông góc với 1 mặt nào đó ( thường là vuông với đáy)

"Các bước xác đinh
̣ khoảng cách từ 1 điể m M đế n 1 mă ̣t phẳ ng (P)" như sau:
+ Tìm mă ̣t phẳ ng (Q) qua M và vuông góc với (P).
+ Tìm giao tuyế n a của (P) và (Q).

/> /> /> /> /> />+ Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH.

Ví du ̣ : Cho hin
̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c. Tin
́ h
khoảng cách từ B đế n (ACC'A').
B

C

H

A

D

B'

A'

C'

D'

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />+ Tìm mặt phẳ ng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mă ̣t phẳ ng (ABCD)

vì mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A'))
+ Giao tuyế n của (ABCD) và (ACC'A'): là AC.

+ Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuô ̣c AC), thế thì BH

vuông góc với (ACC'A'). Vâ ̣y d(B; (ACC'A')) = BH.

+ BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông

ABC nên:

1
1
1
ab


 BH 
2
2
2
2
BH
BA BC
a  b2

Ví du ̣ 2: Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có ca ̣nh bên bằ ng 2a, ca ̣nh đáy bằ ng a.

/> /> /> />Go ̣i M là trung điể m của AB. Tính khoảng cách từ M đế n (SCD).

+ Mă ̣t phẳ ng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý chọn mp (Q) chỉ cần

vuông góc với 1 đường của (SCD). Trong các đường của (SCD) hiện nay thấy DC có

liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn. Tìm những đường vuông góc với CD.
Từ đó phát hiện ra mp (SNM) vuông

góc với CD (N là trung điểm của CD),

S

hay (SNM) vuông góc với (SCD).

+ Giao tuyế n của (SCD) và
(SMN) là: SN

/> /> /> /> /> />H

+ Trong (SMN): kẻ MH vuông

B

góc với SN (H thuô ̣c SN) thì MH
vuông góc với (SCD). Từ đó suy ra
d(M; (SCD)) = MH.

+ MH là chiề u cao của tam giác

C

M

N

O

A

D

nào? Dựa vào tam giác SMN hướng tiń h: SO.MN = MH. SN

2- Khoảng cách giữa mô ̣t đường thẳ ng và mô ̣t mă ̣t phẳ ng song song, giữa hai mă ̣t
phẳ ng song song.

2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳ ng và mô ̣t mă ̣t phẳ ng song song.

"các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳ ng a và mă ̣t phẳ ng (P) song
song" như sau:

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />+ Tìm mă ̣t phẳ ng (Q) vuông góc với (P)

+ Tim

̀ điể m chung M của (Q) và a (nế u a song song với (Q) thì đổ i (Q) thành

(Q') chứa a và song song với (Q))

+ Tìm giao tuyế n (  ) của (P) và (Q).

+ Trong (Q): kẻ MH   (H  ) . Khi đó MH  (P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) =

MH

Ví du ̣ 3: Cho hình lâ ̣p phương ABCD.A'B'C'D' ca ̣nh a. Tính khoảng cách giữa

AB’ và mp (A'C'D).

B

C

/> /> /> />I

A

D

B'

C'

H

O

A'

D'

+ Tìm mp vuông góc với (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’. Đó là mp

/> /> /> /> /> />(BDD’B’).

Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’)

Trong mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’).
khoảng cách phải tìm là B’H

Để tính độ dài B’H : 2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O
2.2 - Khoảng cách giữa hai mă ̣t phẳ ng song song.

Các bước làm đươ ̣c tiế n hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳ ng và mă ̣t

phẳ ng song song.

Ví du ̣ 4: Cho hin
̀ h lâ ̣p phương ABCD.A'B'C'D' ca ̣nh a. Tiń h khoảng cách giữa hai
mă ̣t phẳ ng (ACB') và (A'C'D).

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />B

C

I

A

D

B'

C'

H

O

D'

A'

/> /> /> />+ Tim
̀ mă ̣t phẳ ng vuông góc với (A'C'D): đó là mă ̣t phẳ ng (BDD'B') (vì (BDD'B') 
A'C')

+ Giao tuyế n của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO

+ Điể m chung của (BDD'B') và (ACB') thuô ̣c đường B'I.

+ Trong (BDD'B'), kẻ B'H  DO thì khoảng cách phải tim
̀ là B'H.

+ B'H là đường cao của tam giác B'OD. Từ đó có hướng tiń h: B’H.OD = DD’.B’O
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳ ng chéo nhau.

Ví du ̣ 5: Cho hin
̀ h chóp S.ABCD có đáy ABCD là hiǹ h vuông ca ̣nh a.

/> /> /> /> /> />SA  (ABCD), SA =a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB;
SA và d (trong đó d là đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A.
S

A

D

O

B

C

d

Dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB.
www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> />3.1- Nế u hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau:
/>Của SA và BD đó là AO.

Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làm thế nào?

Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H. Khi đó đoạn AH là đoạn
vuông góc chung của SA và d.

Một cách tổng quát, muốn dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường chéo
nhau và vuông góc với nhau thì làm thế nào?

a

/> /> /> />M

N

b

P)

+ Tìm mp (P) chứa b và vuông góc với a

/> /> /> /> /> />+ (P) cắ t a ta ̣i M

+ Kẻ MN  b (N thuô ̣c b), MN chiń h là đường vuông góc chung của a và b.

Ví du ̣ 6 : Cho hin
̀ h chóp S.ABCD có đáy ABCD là hiǹ h vuông ca ̣nh a.
SA  (ABCD), SA =a. Tin
́ h khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC.
*) Khoảng cách giữa SB và AD

- Hai đường này có vuông góc không? ta ̣i sao?

+ AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ).

Từ đó suy ra có mă ̣t phẳ ng chứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB).

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />S

H

M

A

D

N

O

C

B

+ AD cắ t (SAB) tai A.

/> /> /> />+ Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoa ̣n vuông góc chung của AD và

SB.

+ dễ dàng tin
́ h đươ ̣c AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB.

*) Khoảng cách giữa DB và SC.

+ Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC).
+ (SAC) cắ t BD ta ̣i O là trung điể m của BD.

+ Kẻ OK vuông góc với SC. Khi đó OK là đoa ̣n vuông góc chung của SC và

BD.
+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK. SC = SA. OC

/>3.2- Nế u hai đường chéo nhau a và b mà không vuông góc
/>với nhau:
/> /> /> />Viê ̣c xác đinh
̣ đường vuông góc chung không cầ n thiế t cho bài toán tin
́ h

khoảng cách này.

Ta đổ i khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( trong đó (P) chứa
b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao)

Ví du ̣ 7 : Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có ca ̣nh bên bằ ng 2a, ca ̣nh đáy bằ ng a.
Tính khoảng cách giữa AB đế n SC.

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com
để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
S

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />H

B

C

M

N

O

A

D

Trước tiên kiểm tra xem hai đường có vuông góc không?
Đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường và mặt song song.
Đó là k/c giữa đường AB và (SCD)

Bài toán này đã làm trong ví dụ 2.

/> /> /> />Ví du ̣ 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính k/c giữa AA’ và DB;
giữa AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’)
- kiểm tra xem hai đường có vuông góc không.

Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vì AA’ vg với (ABCD).
Kết quả k/c thứ nhất là AO bằng

a 2

2

- AC’ và BD có vuông góc vì BD vg với (ACC’) tại O. Trong (ACC’) kẻ ON
vuông góc với AC’ thì ON là đoạn vgc của AC’ và BD.

/> /> /> /> /> />- dựa vào diện tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO. CC’.

a 2
.a
a 6
2

Từ đó tính được k/c cần tìm là
6
a 3

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> />A
D
/>C
N
B

/> />A'
D'
/>O

P

I

M

H

C'

B'

/> /> /> />- kiểm tra hai đường AI và C’D’ không vuông góc. Cần đổi k/c này thành k/c
giữa đường và mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ hoặc kẻ đường //
với AI để tạo ra mp.

- Thống nhất đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường C’D’ và mp(ABPM).
-

thực hiện các bước của bài toán này:

+ Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM)
+giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM

/> /> /> /> /> />+Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM thì nó vuông góc với
(BAPM). Khoảng cách phải tìm là C’H.

+Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’:

a
.a
2 a 5
BM. C’H= BC. MC’. Từ đó suy ra k/c phải tìm là: a 5
5
2

Ví dụ 9: Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc
600 . Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’.

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />A

C

H

B

C'

A'

B'

/> /> /> />Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy. AB’ có hình chiếu trên
đáy là AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB = 600.

K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’). Mp( ABC) vuông
góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH

a
3 a
.

vuông góc với (BCC’). K/c phải tìm là AH bằng
3 2 2
4-Mở rộng bài toán khoảng cách:

- Trong bài toán k/c giữa 1 đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ A

/> /> /> /> /> />đến mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ
tính k/c từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P).

- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan
giữa hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau:

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />A

A

B

M

K

M

H

P) H

P)

K

B

Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB. H/s có thể suy ra được hai k/c

/> /> /> />bằng nhau (hai tam giác AHM và BMK bằng nhau)

Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB Dựa vào định lí ta lét có
thể suy ra k/c từ A đến (P) bằng 3 lần k/c từ B đến (P).

Vậy từ đây ta có thể tính được k/c từ B đến (P) nếu biết k/c từ A đến (P).

Ví dụ 10: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC). Tam giác ABC

đều cạnh a. SA =2a. Tính k/c từ A, Trọng tâm I của tam giác SAB đến mp (
SBC).

-Bài toán k/c từ A đến (SBC) h/s hoàn toàn có thể tính được. Kết quả là độ dài

/> /> /> /> /> />a 3
2a 3
2

19
3a 2
2
4a 
4
2a.

của đoạn AH bằng

www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

/> /> /> /> /> />S

H

N

I

A

G

C

K

M

/> /> /> />B

Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trông hình vẽ rất rối. Kiểm tra thử
xem nó có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N
là trung điểm của SB. Giả sử IE vuông góc với mp(SBC). Theo định lí talét ta

suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3. Vậy k/c từ I đến (SBC ) là

2a 3
.
3 19

/> /> /> /> /> />www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên