Đề thi học kì 2 môn toán lớp 11

Gia sư Tài Năng Việt



BỘ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 TOÁN 11
ĐÊ SỐ 1
I. Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
2  x  x2
x1
x 1

1) lim

2) lim

x 

2x4  3x  12

3) lim
x3

7x  1
x3

4) lim

x3

x 1  2

9  x2

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x2  5x  6

khi x  3
f ( x)   x  3
2x  1
khi x  3
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3  5x2  x  1  0 .
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3
a) y  x x2  1
b) y 
(2x  5)2
x 1
2) Cho hàm số y 
.
x 1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y 

x2
.
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn.
Bài 5a. Tính

lim

x3  8

x 2 x2  11x  18

.

1 3
x  2x2  6x  8 . Giải bất phương trình y /  0 .
3
2. Theo chương trình nâng cao.

Bài 6a. Cho y 

Bài 5b. Tính

lim

x  2x  1

x1 x2  12x  11

Bài 6b. Cho y 

.

x2  3x  3
. Giải bất phương trình y /  0 .
x 1

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


Gia sư Tài Năng Việt



ĐÁP ÁN
Bài 1.
2  x  x2
( x  2)( x  1)
 lim(  x  2)  3
= lim
x1
x1
x1
x 1
( x  1)

1) lim

2) lim

x 

3) lim
x3

2x4  3x  12 = lim x2 2 
x

3 12

 
x x4

7x  1
x3

Ta có: lim ( x  3)  0, lim (7x  1)  20  0; x  3  0 khi x  3 nên I  
x3

4) lim

x3

x 1  2
9  x2

x3

x3

= lim

x3 (3  x)(3  x)(

x  1  2)

1

 lim

x3 ( x  3)(

x  1  2)



1
24

Bài 2.
 x2  5x  6

1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x)   x  3
2x  1
 Hàm số liên tục với mọi x  3.

 Tại x = 3, ta có:
+ f (3)  7

+ lim f ( x)  lim (2 x  1)  7
x3

x3

+ lim f ( x)  lim
x3

x3

khi x  3
khi x  3

( x  2)( x  3)
 lim ( x  2)  1
( x  3)
x3

 Hàm số không liên tục tại x = 3.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (;3), (3; ) .
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3  5x2  x  1  0 .
Xét hàm số: f ( x)  2x3  5x2  x  1  Hàm số f liên tục trên R.
Ta có:
f (0)  1  0
+
  PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1  (0;1) .
f (1)  1 

f (2)  1  0
+
  PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2  (2;3) .
f (3)  13  0 
Mà c1  c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 3.
1) a) y  x x2  1  y ' 

2 x2  1
x2  1

b) y 

3
(2x  5)2

 y'  

12
(2x  5)3

x 1
2
 y 
( x  1)
x 1
( x  1)2
a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y (2)  2  PTTT: y  3  2( x  2)  y  2x  1.

2) y 

2


Gia sư Tài Năng Việt



x2
1
1
có hệ số góc k   TT có hệ số góc k  .
2
2
2
x  1
1
2
1
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y ( x0 )  
   0
2
2
2
( x0  1)
 x0  3

b) d: y 

1

1
x .
2
2
1
7
+ Với x0  3  y0  2  PTTT: y  x  .
2
2
Bài 4.
1)
 SA  (ABCD)  SA  AB, SA  AD
S
 Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.
 BC  SA, BC  AB  BC  SB  SBC vuông tại B.
 CD  SA, CD  AD  CD  SD  SCD vuông tại D.
2)
BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC).

+ Với x0  1  y0  0  PTTT: y 





 BC  (SAB)  SC,(SAB)  BSC

3)

A

D

 SAB vuông tại A  SB2  SA2  AB2  3a2  SB =

O

a 3

C

B

 SBC vuông tại B  tan BSC 

4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.



BC
1
 BSC  600

SB
3



 Ta có: (SBD)  ( ABCD)  BD , SO  BD, AO  BD  (SBD),( ABCD)  SOA
 SAO vuông tại A  tan SOA 

SA
2
AO

x2  8

Bài 5a. I  lim

x2 x2  11x  18

Ta có: lim ( x  11x  18)  0 ,
2

x2

Từ (1) và (*)  I 1  lim

x2

Từ (2) và (*)  I 2  lim

x2

Bài 6a. y 

 x2  11x  18  ( x  2)( x  9)  0,
 2
 x  11x  18  ( x  2)( x  9)  0,
 lim ( x2  8)  12  0

(* )
 x2

x2  8
x2  11x  18
x2  8
x2  11x  18

khi x  2
khi x  2

(1)
(2)

  .
 

1 3
x  2x2  6x  18  y '  x2  4x  6
3

BPT y '  0  x2  4x  6  0  2  10  x  2  10
Bài 5b. lim

x  2x  1

x1 x2

 12x  11

 lim

( x  2x  1)  x  2x  11

x1 ( x

2

 12x  11)  x 

2 x  1

3

= lim

( x  1)

x1 ( x  11)

x

2 x  1

0


Gia sư Tài Năng Việt

Bài 6b. y 

x2  3x  3
x2  2x
 y' 
x 1
( x  1)2

 2
x2  2x
x  0

BPT y  0 
.
 0   x  2x  0  
2
x  2
( x  1)
x  1

=======================

Đề số 2
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1) lim (5x3  2x2  3)
x

2) lim



x1

3x  2
x 1

3) lim

x2

2 x
x7 3

 3  4  1
5) lim 

 2.4n  2n 



( x  3)  27
x 0
x
3

n

4) lim

n

 x 1

khi x  1
Bài 2. Cho hàm số: f ( x)   x  1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
3ax
khi x  1


Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3  1000x  0,1  0
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y 

2 x2  6 x  5
2x  4

2) y 

x2  2 x  3
2x  1

3) y 

sin x  cos x
sin x  cos x

4) y  sin(cos x)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh (SAC)  (SBD) ; (SCD)  (SAD)
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x2  2 :
1) Tại điểm M ( –1; –2)
1
2) Vuông góc với đường thẳng d: y   x  2 .
9
Bài 7. Cho hàm số: y 

x2  2 x  2
. Chứng minh rằng: 2y.y  1  y2 .
2

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
4


Gia sư Tài Năng Việt



ĐÁP ÁN
Bài 1:

2
3

1) lim (5x3  2x  3)  lim x3  1 
   
x
x
x2 x3 

 lim ( x  1)  0
 x1
3x  2
3x  2
2) lim
. Ta có:  lim (3x  1)  2  0  lim
 



x1 x  1
x1 x  1
 x1
 x  1  x  1  0

2 x

3) lim

x2

x7 3

(2  x)  x  7  3

 lim   x  7  3  6
x2
x2
x2

 lim

( x  3)3  27
x3  9x2  27x
 lim
 lim( x2  9x  27)  27
4) 4) lim
x 0
x 0
x 0
x
x
n

n

 3
 1
 4   1  4 
n
n
3  4 1
  1
5) lim
 lim  

n
n
n
2
2.4  2
 1
2  
 2
 x 1

khi x  1
Bài 2: f ( x)   x  1
3ax
khi x  1


 f (1)  3a

Ta có:

 lim f ( x)  lim
x1

x1

 lim f ( x)  lim 3ax  3a
x1

x 1
 lim

x  1 x1

1
x 1

x1



1
2

Hàm số liên tục tại x = 1  f (1)  lim f ( x)  lim f ( x)  3a 
x1

x1

1
1
 a
2
6

Bài 3: Xét hàm số f ( x)  x3  1000x  0,1  f liên tục trên R.

f (0)  0,1  0
  f (1). f (0)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c  (1;0)
f (1)  1001 0,1  0

Bài 4:

2x2  6x  5
4x2  16x  34 2x2  8x  17
1) y 
 y' 

2x  4
(2x  4)2
2( x  2)2
2) y 

x2  2 x  3
3x  7
 y' 
2x  1
(2x  1)2 x2  2x  3

3) y 


sin x  cos x

 y   tan  x    y '  
sin x  cos x
4

5




1
 
   1 tan2  x   
4 




cos2  x  
4



Gia sư Tài Năng Việt



4) y  sin(cos x)  y '   sin x.cos(cos x)
Bài 5:

 BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC)
 CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  (DCS)  (SAD)
 Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)

1)

S

2)



H



SA  (ABCD)  SD,( ABCD)  SDA
A

SA 2a

2
AD a
 Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
tan SDA 

B
O

D





AB  (ABCD)  SB,(SAD)  BSA

C

tan BSA 

AB a 1


SA 2a 2

 Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).





BO (SAC)  SB,(SAC)  BSO .
3a 2
a 2
OB 1

, SO 
 tan BSO 
2
2
OS 3
3)  Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH  SD, AH  CD  AH  (SCD)  d(A,(SCD)) = AH.
OB 

1



1



1



1



1

AH 2 SA2 AD 2 4a2 a2
 Tính khoảng cách từ B đến (SAC)

 AH 

BO  (SAC)  d(B,(SAC)) = BO =

2a 5
2a 5
 d( A,(SCD )) 
5
5

a 2
2

Bài 6: (C) : y  x3  3x2  2  y  3x2  6x
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y (1)  9  PTTT: y  9x  7
1
2) Tiếp tuyến vuông góc với d: y   x  2  Tiếp tuyến có hệ số góc k  9 .
9
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.

 x  1
Ta có: y ( x0 )  9  3x02  6x0  9  x02  2x0  3  0   0
 x0  3
 Với x0  1  y0  2  PTTT: y  9x  7

 Với x0  3  y0  2  PTTT: y  9x  25
x2  2 x  2
 y  x  1  y  1
2
 x2

 2y.y  1  2   x  1 .1 1  x2  2x  1  ( x  1)2  y
 2


Bài 7: y 

 

2

=============================
I . Phần chung cho cả hai ban.

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
6


Gia sư Tài Năng Việt

1) lim

x

x2  x  1  3x
2x  7



2) lim (2x3  5x  1)
x 

3) lim
x 5

2x  11
5 x

4) lim

x 0

x3  1  1
x2  x

.

Bài 2 .
 x3  1

1) Cho hàm số f(x) = f ( x)   x  1 khi x  1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..

2m  1 khi x  1

2) Chứng minh rằng phương trình: (1 m2 ) x5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) y 

2  2 x  x2

b) y  1 2tan x .

x2  1

2) Cho hàm số y  x4  x2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vuông góc với d: x  2y  3  0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC
1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC  (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần tự chọn.

1 . Theo chương trình chuẩn .
1
2
n 1

 .... 
).
Bài 5a. Tính lim(
2
2
n 1 n 1
n2  1
Bài 6a. Cho y  sin2x  2cos x . Giải phương trình y / = 0 .
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho y  2x  x2 . Chứng minh rằng: y3.y //  1  0 .
Bài 6b . Cho f( x ) = f ( x) 

64 60
  3x  16 . Giải phương trình f  ( x)  0 .
x3 x

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

ĐỀ SỐ 3

Bài 1:

1) lim

x

x2  x  1  3x
 lim
x
2x  7



1 1
1 1
x   1 
 3

 3x


x x2
x x2

 1
 lim
x


7
7
x 2 
x 2  

x
x



x 1

7


Gia sư Tài Năng Việt




5
1
2) lim  2x3  5x  1  lim x3  2 
   
x
x
x2 x3 

2x  11
x5 5  x
 lim  5  x   0


 x5
Ta có:  lim  2x  11  1  0


 x5
x  5  5 x  0



3) lim


4) lim

x3  1  1
x2  x

x0

 lim

x0

2x  11
 
x5 5  x

 lim

x3

x  x  1  x3  1  1

 lim

x0

x2

 x  1  x3  1  1

0

Bài 2:
1)  Khi x  1 ta có f ( x) 

x3  1
 x2  x  1  f(x) liên tục  x  1.
x 1

 Khi x = 1, ta có:

f (1)  2m  1
 f(x) liên tục tại x = 1  f (1)  lim f ( x)  2m  1  3  m  1
2
lim f ( x)  lim( x  x  1)  3
x1

x1
x1

Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.
2) Xét hàm số f ( x)  (1 m2 ) x5  3x  1  f(x) liên tục trên R.

Ta có: f (1)  m2  1  0,  m; f (0)  1  0,  m  f (0). f (1)  0, m
 Phương trình có ít nhất một nghiệm c  (0;1) , m
Bài 3:

2  2x  x2

1) a) y 

x2  1

 y' 

2x2  2x  2
( x2  1)2

b) y  1  2tan x  y ' 

1  tan2 x
1  2tan x

2) (C): y  x4  x2  3  y  4x3  2x

x  0
a) Với y  3  x  x  3  3   x  1

 x  1
4

2

 Với x  0  k  y (0)  0  PTTT : y  3
 Với x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2x  1
 Với x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2x  1
1
 Tiếp tuyến có hệ số góc k  2 .
2
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y ( x0 )  2  4x03  2x0  2  x0  1 ( y0  3 )

b) d: x  2y  3  0 có hệ số góc kd  

 PTTT: y  2( x  1)  3  y  2x  1.
A

K

O

C
I

B

Bài 4:
1)
 OA  OB, OA  OC  OA  BC (1)
 OBC cân tại O, I là trung điểm của BC  OI  BC
(2)
Từ (1) và (2)  BC  (OAI)  (ABC)  (OAI)
8

Gia sư Tài Năng Việt



2)

Từ câu 1)  BC  (OAI)

3)

 BC  (OAI)  AB,( AOI )  BAI



 BI 



BC a 2

2
2

 ABC đều  AI 

BC 3 a 2 3 a 6


2

2
2

 ABI vuông tại I  cos BAI 





AI
3

 BAI  300  AB,( AOI )  300
AB 2

4) Gọi K là trung điểm của OC  IK // OB   AI , OB   AI , IK   AIK
 AOK vuông tại O  AK 2  OA2  OK 2 
 AI 2 

6a2
4

 IK 2 

a2
4

5a2
4

 AIK vuông tại K  cos AIK 

IK
1

AI
6

 1
2
n 1 
1

 ...
 lim
(1  2  3  ...  ( n  1))
Bài 5a: lim 

n2  1 
n2  1
 n2  1 n2  1
1
1
1 (n  1) 1  (n  1) 
(n  1)n
n 1
 lim
 lim
= lim
2 2

2
n2  1
2(n2  1)
2
n2
Bài 6a: y  sin2x  2cos x  y  2cos2x  2sin x


 x  2  k2
sin x  1


2

PT y '  0  2cos2x  2sin x  0  2sin x  sin x  1  0 
1   x    k2

6
sin x  

2

7
 x  6  k2


Bài 5b: y  2x  x2  y ' 
Bài 6b: f ( x) 

1 x

2x  x

2

 y" 

1
(2x  x ) 2x  x
2

2

 y3y "  1  0

64 60
192 60
  3x  16  f ( x)  

3
3
x
x
x 4 x2

2
 4
192 60
 x  2

 3  0   x  20x  64  0  

PT f ( x)  0  
 x  4
x 4 x2
x  0

=====================

9