ôn thi tốt nghiệp 08 - 09

ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C
ph ơng pháp toạ độ trong không gian
I. Mc ớch yờu cu:
- Hc sinh bit dựng cỏc biu thc ta ca cỏc phộp toỏn trờn cỏc vect tớnh ta
ca vect v vn dng nú tớnh di on thng, tớnh gúc gia hai vect, tớnh din tớch tam
giỏc v din tớch hỡnh bỡnh hnh, tớnh th tớch khi hp v khi t din.
- Hc sinh bit cỏch chng minh ba im thng hng, bn im nphng, iu kin
hai vect cựng phng hay vuụng gúc.
- Xỏc nh ta tõm v bỏn kớnh ca mt cu cú phng trỡnh cho trc. Vit phng
trỡnh mt cu khi bit mt s d kin xỏc nh.
- Xỏc nh vect phỏp tuyn ca mt phng, xỏc nh vect ch phng ca ng thng.
Vit phng trỡnh mt phng v ng thng. xỏc nh v trớ tng i ca cỏc ng thng v
cỏc mt phng. Tớnh khong cỏch t mt im n mt ng thng, tớnh gúc v khong cỏch
gia cỏc ng thng v mt phng.
II. Phng phỏp phng tin:
1. phng phỏp:
2. Phng tin:
Sỏch hng dn ụn tp thi tt nghip THPT mụn toỏn NXBGD nm hc 08-09)
III. Ni Dung:
* Các dạng toán cần luyện tập: theo sỏch ụn thi TN
Bi tp Ni dung sỏch ụn thi TN
Bi 1:
Dựng cỏc biu thc ta ca phộp toỏn v vect tớnh
toỏn v chng minh mt s yu t hỡnh hc.
bi 1 tr.105
Bi 2:
Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu, vit phng trỡnh mt
cu.
bi 1 tr.105
Bi 3:
Vit phng trỡnh mt phng, tớnh gúc v khong cỏch cú

liờn quan n mt phng.
bi 2 tr.111
Bi 4: Vit phng trỡnh ng thng. bi 3 tr.115
A. CC KIN THC CN NH:
1. Toạ độ của vectơ:
Cho hai vectơ
1 2 3
( ; ; )a a a a

và
1 2 3
( ; ; )b b b b

ta
có:
1.
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b

=


= =


=

2. Vectơ
1 2 3
( ; ; )k a ka ka ka

=
2. Độ dài của vectơ:
2 2 2
1 2 3
a a a a

= + +
5. Các cách viết pt mặt phẳng:
a. phơng trình mp (P) đi qua M(x
0
; y
0
;
z
0
) và có vtpt
( ; ; )n A B C

=
: A(x x
0
)
+ B(y y
0
) + C(z z

0
) = 0.
b. 2 vectơ
1 2 3
( ; ; )a a a a

,
1 2 3
( ; ; )b b b b

có
giá // hoặc nằm trên mp(P). Thì pt mp
(P) có vtpt
,n a b


=


( Sau đó đa bầi toán về dạng a.)
c. phơng trình mặt phẳng (P) đi qua 3
1
ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C
3. Tổng và hiệu:
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b

=
4. Tích vô hớng:
1 1 2 2 3 3

.a b a b a b a b

= + +
5. Góc giữa hai vectơ:
cos( , )a b
r
r
=
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
a a a . b b b
+ +
+ + + +
*
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b

+ + =
2. Toạ độ của điểm:
Cho hai điểm
( ; ; )
A A A
A x y z
và
( ; ; )
B B B
B x y z
thỡ:

1. Vectơ :
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z

=
2. Khoảng cách từ A đến B:
AB =
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z

= + +
3. Điểm M chia đoan AB theo tỉ số k: ( k1)


MA
= k.

MB

k1
OBKOA
OM


=

( k1).
Ta ca M l:
( ; ; )
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k


M l trung im caAB
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
3. Tích có h ớng của hai vectơ:
Cho hai vectơ
1 2 3
( ; ; )a a a a

và
1 2 3
( ; ; )b b b b

không cùng phơng.
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1

1 2
, ( ; ; )
a a a a
a a
n a b
b b b b
b b


= =


c gi l tớch cú hng ca 2 vt
,a b

4. Ph ơng trình tổng quát mặt phẳng:
Pttq (P): Ax + By + Cz + D = 0. (A
2
+ B
2
+ C
2

>0) Có vtpt
( ; ; )n A B C

=
.
Chú ý: + Mặt (xOy) có pt: z = 0.
+ Mặt (yOz) có pt: x = 0.

+ Mặt (xOz) có pt: y = 0
điểm A, B, C. Khi đó (P) đi qua A và có
vtpt
n

:
,n AB AC


=


.
Chú ý: 1. Khi viết phơng trình mặt
phẳng (P) thờng phải tìm một điểm M
thuộc (P) và vtpt của (P).
6. Khoảng cách từ một điểm
0 0 0
( ; ; )M x y z
đến một mặt phẳng (P) :
Ax + By + Cz + D = 0.
0 0
2 2 2
( ,( ))
Ax Bx Cx D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +

7. phơng trình đừơng thẳng đi qua
điểm
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a

=
:
a. Phơng trình tham số:
0 1
0 2
0 3
( )
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= +


= +

b. Phơng trình chính tắc:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z

a a a

= =
(Điều kiện
a
1
, a
2
, a
3
đều khác 0)
8. ph ơng trình mặt cầu:
Dạng 1: phơng trình mặt cầu theo tâm
và bán kính (phơng trình chính tắc):
Phơng trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c)
bán kính R:

2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R + + =
Dạng 2: Phơng trình tổng quát của mặt
cầu:

2 2 2
( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cz d+ + + =
(Điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2

d >0)
Có tâm I(a; b; c), bán kính R =
2 2 2
a b c d+ +
+ Nếu tâm I
(0;0;0)O
thì (S):
2 2 2 2
x y z R+ + =
GV: Giáp Minh Đức
B. BI TP
Bi toỏn 1: Xỏc nh ta ca im, ta ca vộc t.
2
ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC
Ví dụ 1 : Cho
)1;1;2(,)2;0;1( −− BA
. Tìm tọa độ điểm C sao cho
BCAC 3=
.
* Giải:
Gọi tọa độ điểm C là:
);;( zyxC
, ta có:
( )
( )
1;1;2
2;0;1
+−−=
+−−=
zyxBC

zyxAC
Do đó:
BCAC 3=









−=
=
=
⇔





+=+
−=−
−=−
⇔
2
1
2
3
2

5
)1(32
)1(30
)2(31
z
y
x
zz
yy
xx
Vậy






−
2
1
;
2
3
;
2
5
C
Ví dụ 2 : Xác định tọa độ của vectơ
a
biết:

kjia 543 +−=
* Giải:
Ta có:
)5;4;3(543 −=⇔+−= akjia
.
Ví dụ 3 : Cho
)1;2;0(,)3;5;2( −=−= ba
,
)2;7;1(=c
. Hăy xác định tọa độ của vectơ
d
, biết
cbad 3
3
1
4 +−=
.
* Giải:
Gọi tọa độ của vectơ
);;( zyxd =
. Ta có










=
=
=
⇔









+−−=
+−−=
+−=
3
55
3
1
11
2.3)1(
3
1
3.4
7.32.
3
1
)5.(4
1.30.

3
1
2.4
z
y
x
z
y
x
Vậy:






=
3
55
;
3
1
;11d
Bài tập tự luyện: (Bài 1,2,6 trang 68 Ôn thi tốt nghiệp môn toán 2009)
Bài toán 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
* Định lư 1: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz.Mặt cầu
( )
S
tâm

( )
PT coù kính baùn RcbaI ,,,
:
( ) ( ) ( )
(1)
2
222
Rczbyax =−+−+−
* Nếu
( )
0;0;0OI ≡
th́ PT mặt cầu
( )
S
là :
(2)
2222
Rzyx =++
Định lí 2: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz
Phương tŕnh:

2 2 2
2 2 2 0 (3)x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
với
2 2 2
0A B C D+ + − >
là phương tŕnh mặt cầu tâm
( )
, ,I A B C− − −
và bán kính

2 2 2
R A B C D= + + −
3
ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C
Vớ du 1: Tỡm tõm v bỏn kớnh mt cu cú PT:
05624
222
=+++++ zyxzyx
* Gii :
Ta cú:
2 4 2
2 2 1
2 6 3
A A
B B
C C
= =


= =


= =

v bỏn kớnh
35)3(1)2(
222
=++=R
,Tõm I(2;1;-3).
BI TP:

Bi 1: Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca mt cu.
1)
2 2 2
4 6 5 0x y z x y+ + + =
KQ: 1)Tâm I(2 ;-3 ;0) và R=3
2
2)
2 2 2
8 2 1 0x y z x z+ + + + =
KQ: 2) Tâm I (4;0;-1) và R=4
Bi 2 : Lập phơng trình mặt cầu:
1) Tâm I(2;2;-3) và R=3
2) Qua A(3;1;0); B(5;5;0) và tâm I thuộc Ox
3) Qua 4 điểm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) và D(1;1;6)
4) Đờng kính AB với A(1;-3;5); B(-3; 4; -3)
Giải:
1) Ta có phơng trình mặt cầu là
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 9x y z- + - + + =
2) Ta có tâm I(a ;0 ;0) Do Mc (S)
Di qua A và b nên ta có IA = IB = R =>IA
2
= IB
2
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
2 2

3 1 5 25 10 10;0;0 5 2
( ) : 10 50
a a a I R
PTmc S x y z
=> - + = - + => = => => =
=> - + + =

3) G/s Pt mặt cầu (S) là x
2
+y
2
+z
2
+ ax+by+cz+d=0 (a
2
+b
2
+c
2
4d
)
Do (S) đi qua A(1;4;0); B(-4;0;0); C(-2;-2;0) và D(1;1;6) nên ta có
4 17
4 16
2 2 8
6 38
a b d
a d
a b d
a b c d

ỡ
+ + =-
ù
ù
ù
ù
- + = -
ù
ớ
ù
- - + =-
ù
ù
ù
+ + + =-
ù
ợ
5 / 3
7 / 3
=> phương trình mặt cầu
77 / 9
28 / 3
a
b
c
d
ỡ
=-
ù
ù

ù
ù
=-
ù
ị
ớ
ù
=-
ù
ù
ù
=-
ù
ợ
4)Ta có tâm I(-1;
1
2
;1) và R=
1
2
AB =
1
129
2
=> Pt mặt cầu là:
( ) ( )
2
2 2
1 129
1 1

2 4
x y z
ổ ử
ữ
ỗ
+ + - + - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi toỏn 3: PHNG TRèNH TNG QUT CA MT PHNG
*Cỏc cỏch vit phng trỡnh mt phng.
Dng 1: Mt phng qua 3 im A,B,C :
Cp vtcp:

AB
,

AC

( )
( )
,
qua A hay BhayC
vtpt n AB AC



=

Dng 5: Mp cha (d) v song song (d
/
)
im M ( chn im M trờn (d))
Mp() cha (d) nờn
d
u u


=
4
ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
° (P) là mp trung trực của AB: (P)
qua M
vtpt AB
→
Dạng 3: Mặt phẳng α qua M và ⊥ d (hoặc
AB)
°
( )
d
qua M
vtpt n u
α
α
→ →
=

Dạng 4: Mp α qua M và // β : Ax + By + Cz
+ D = 0
°
( )
qua M
vtpt n n
α β
α
→ →
=
 Mpα song song (d
/
) nên
'd
u u
α
→ →
=
■ Vtpt
'
,
d d
n u u
→ → →
 
=
 
 
Dạng 6 Mp( α ) qua M, N và ⊥ ( β ) :
■ Mpα qua M,N nên

α
aMN =
■ Mpα ⊥ mpβ nên
αβ
bn =
°
],[
β
α
n nvtpt
N) (hayM qua
rr
→
=
MN
Dạng 7: Mp α chứa (d) và đi qua A .
■ Mpα chứa d nên
α
aa
d
=
■ Mpα đi qua
)(dM ∈
và A nên
MA u
α
→ →
=
Vtpt của mp(α):
,

d
n u MA
α
→ → →
 
=
 
 
4) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Viết PTTQ của mp
( )
α
đi qua điểm
( )
3;2;1 −M
và song song với mặt phẳng
( )
β
:
0532 =++− zyx
* Giải:
Vì mp
( )
α
song song với mp
( )
β
nên mp
( )
α

có VTPT là:
( )
1;3;2 −=n
.
Vậy PTTQ của mp
( )
α
là:
( ) ( )
01132
032312
=−+−⇔
=−++−−
zyx
zyx
Ví dụ 2: Cho hai điểm
( ) ( )
0;1;4,4;3;2 −− BA
. Viết PTTQ của mặt phẳng trung trực của AB.
* Giải:
Gọi I là t.điểm của đoạn AB, ta có
( )
2;1;3 −I
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và nhận vectơ
( )
4;4;2 −=AB
làm VTPT.
Vậy PTTQ của mặt phẳng cần t́m là:
( ) ( ) ( )
0322

0241432
=++−⇔
=++−−−
zyx
zyx
Ví dụ 3: Cho
( ) ( ) ( )
6;5;4,3;4;2,3;2;1 CBA −−
.Viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
* Giải:
Ta có
( ) ( )
3;3;5,0;6;3 =−= ACAB

[ ]
( ) ( )
13;3;6339;9;18; −−=−−==⇒ ACABn
5