2H1 4 0 4c48 DE SO 8 gắn ID yen hoang

Câu 48. [2H1-4.0-4] (THPT CHUYÊN_LAM_SƠN) Xét tứ diện O. ABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc. Gọi
 ,  ,  lần lượt là góc
giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ( ABC ) . Khi đó, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
M   3  cot 2   3  cot 2    3  cot 2 
A. Số khác

B. 48 3

C. 48
Lời giải

Đáp án D

D. 125

 ABC  � H là trực tâm ABC
Gọi H là hình chiếu của O lên
�
� 
�
�
OA
;  ABC   �
OA; AH   OAH
Ta có
; tương tự OBH   ; OCH  
1
1
1
1
OH 2 OH 2 OH 2




�


 1 � sin 2   sin 2   sin 2   1
2
2
2
2
2
2
2
OA OB OC
OA
OB
OC
Lại có OH
�x, y , z  0
1
2
x 
�sin���
 , y 
sin 2  , z sin 2 
1 x y z 3 3 xyz
xyz
�
27

�x  y  z  1
Đặt
�
�
1 �
1 �
1
�
M  �2  2 �
2 2 �
2 2
�
�
� sin  �
� sin  �
� sin 
Khi đó
�1 1 1 � �1
1
2� 1
 8  4 �   � 2 �   �
�x y z � �xy yz xz � xyz
�8 

� 1�
� � 1�
� 1�
2 �
2 �
2 �

�
� �
�
� z�
� � x�
� y�

36
18
1
36 18 1


�8   
 125
1
x  y  z xy  yz  zx xyz
1 1
3 27
Vậy M min  125.