2H1 7 1 3c50 03 SGD THANH hóa 2018 copy

S . ABCD

ABCD

Câu 50. [2H1-7.1-3] (SGD THANH HÓA-2018-LẦN 1) Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
( ABCD )
2, SA = 2
SA
N
M
AB
bằng
và
vuông góc với mặt đáy
. Gọi
và
là hai điểm thay đổi trên hai cạnh
1
1
T
=
+
2
SMC
SNC
(
)
(
)

AN
AM 2
AD
,
sao cho mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Tính tổng
khi thể tích
S . AMCN
khối chóp
đạt giá trị lớn nhất.

T=

A.

5
4

.

B.

T =2

T=

.

C.

.Lời giải.

Đáp án A

2+ 3
4

T=

.

D.

13
9

A(0; 0;0), B(2;0;0), D(0; 2; 0), S (0;0; 2) ⇒ C (2; 2;0)

Oxyz

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ
sao cho
AM = x, AN = y x; y ∈ [0; 2]
M ( x; 0; 0), N (0; y;0)
Đặt
uuur
uuu
r ,
uuu
r , suy ra

SM = ( x;0; −2), SC = (2; 2; −2), SN = (0; y; −2)

ur uuur uuu
r
uu
r uuu
r uuu
r
⇒ n1 = [ SM , SC ] = (4; 2 x − 4; 2 x) , n2 = [ SN , SC ] = (4 − 2 y; −4; −2 y )

ur uu
r
n1.n2 = 0 ⇔ 4(4 − 2 y ) − 4(2 x − 4) − 4 xy = 0 ⇔ xy + 2( x + y ) = 8

( SMC ) ⊥ ( SNC )

Do
⇔ y=

S AMCN

nên

8 − 2x
x+2

y≤2

8 − 2x
≤ 2 ⇔ x ≥ 1.

x+2

, do
nên
= S ABCD − S BMC − S DNC = 4 − (2 − x ) − (2 − y ) = x + y

1
2
VS . AMCD = SA.S AMCN = ( x + y ) =
3
3
Do đó
f ( x) =

2 x +8
3 x+2
2

x ∈ [1; 2]

2
8 − 2 x  2 x2 + 8
x
+

÷=
3
x+2  3 x+2

f '( x) =

2 x + 4x − 8
3 ( x + 2) 2
2

Xét
với
,
.
2
f '( x ) = 0 ⇔ x + 4 x − 8 = 0 ⇔ x = −2 + 2 3; x = −2 − 2 3
(loại).
max f ( x ) = f (1) = f (2) = 2
[0;2]

Lập bảng biến thiên ta được suy ra

.

.


max VS . AMCN

Vậy

 x = 1

1
1

1
1 5
y = 2
=2⇔
⇒T =
+
= 2+ 2 = .
2
2
 x = 2
AM
AN
x
y
4

  y = 1

AM = x, AN = y

Cách 2: Đặt

O = AC ∩ BD; E = BD ∩ CM ; F = BD ∩ CN

. Gọi:

.

HO =

O
SC
là hình chiếu vuông góc của
lên
, khi đó:
SC ⊥ OH
 SC ⊥ HE
⇒ SC ⊥ ( HBD ) ⇒ 
SC ⊥ BD
 SC ⊥ HF
Ta có:
·SMC , SNC = ·HE , HF = 900 ⇒ HE ⊥ HF
(
) (
) (
)
H

Do đó:

(

2
3

)

1
2
VS . AMCN = SA.S AMCN = ( x + y )

3
3

Mặt khác:
OE , OF
Tính
:
x > 0, y > 0
x ≠ 2, y ≠ 2
K
AM
 Ta có
và nếu
thì gọi
là trung điểm của
, khi đó:
OE KM
x
OE
EB
OB
x 2
=
=
⇒
=
=
⇒ OE =
EB MB 4 − 2 x
x

4 − 2x 4 − x
4− x
OF =
Tương tự:

y 2
4− y

OE.OF = OH 2 ⇔ ( x + 2 ) ( y + 2 ) = 12

. Mà:
.
2
OE.OF = OH ⇔ ( x + 2 ) ( y + 2 ) = 12
y=2
x=2
 Nếu
hoặc
thì ta cũng có
.
( x + 2 ) ( y + 2 ) = 12
Tóm lại:
1
2
2
2
12

VS . AMCN = SA.S AMCN = ( x + y ) = ( x + 2 ) + ( y + 2 ) − 4  = ( x + 2 ) +
− 4

3
3
3
3
x+2

Suy ra:
 x = 1

1
1
1
1 5
y = 2
MaxVS . AMCN = 2 ⇔ 
⇒T=
+
= 2+ 2 = .
2
2
 x = 2
AM
AN
x
y
4

  y = 1
Do đó: