2H2 1 6 3c50 228 THPT chuyên lê quý đôn quảng trị la lần 2 da PB copy

Câu 50. [2H2-1.6-3] (TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ LẦN 2) Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn
như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt
AOB
OA
OB
x
rồi dán hai bán kính
và
lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi là góc ở
x
tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm để thể tích phễu lớn nhất?

A.

2 6
π
3

.

B.

π
3

.

π
2

C. .

Lời giải

D.

π
.
4

Chọn A
Phương pháp giải:
r h
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón và áp dụng công thức tính độ dài cùng tròn Gọi , lần lượt là
bán kính đáy, chiều cao của phễu hình nón.
1
π
V = π r 2h = r 2 l 2 − r 2 ,
l
l=R
3
3
Thể tích của khối nón là
với là độ dài đường sinh và
bán kính tấm bìa
π
π
⇒ V = .r 2 R 2 − r 2 = x r 2 1 − r 2
3
3
R =1
hình tròn

vì chuẩn hóa
.
3
2r − 3r
f '( r) =
; ∀r ∈ ( 0;1)
2
2
f ( r) = r 1 − r
( 0;1) ,
1 − r2
Xét hàm số
trên
có
 6 2 3
0 < r < 1
6
f '( r) = 0 ⇔ 
⇔
r
=
→
max
f
r
=
f
(
)


÷=
3
3
9
 2r − 3r = 0
 3 
Ta có
2π 3
6
Vmax =
.
r=
27
3
Do đó
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
2π 6
2π 6
⇒ x. R =
⇒x=
.
3
3
Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón