2H3 1 1 3c46 03 SGD THANH hóa 2018 copy

Oxyz

Câu 46. [2H3-1.1-3] (SGD THANH HÓA-2018-LẦN 1) Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
A ( 7; 2;3) , B ( 1; 4;3) , C ( 1; 2; 6 ) D ( 1; 2;3)
OM
M
,
và điểm
tùy ý. Tính độ dài đoạn
khi biểu thức
P = MA + MB + MC + 3MD
đạt giá trị nhỏ nhất.
5 17
3 21
OM =
.
OM =
.
OM = 26.
OM = 14.
4
4
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Đáp ánuuA
u
r

uuuu
r
uuur
DA = (6;0; 0), DB = (0; 2; 0), DC = (0; 0;3)
ABCD
D.
Ta có
nên tứ diện
là tứ diện vuông đỉnh
M ( x + 1; y + 2; z + 3)
Giải sử
.

MA =
Ta có

( x − 6)

2

+ y 2 + z 2 ≥ x − 6 ≥ 6 − x MB = x 2 + ( y − 2 ) + z 2 ≥ y − 2 ≥ 2 − y
,
,
2

MC = x 2 + y 2 + ( z − 3) ≥ z − 3 ≥ 3 − z
2

(

)

3MD = 3 x 2 + y 2 + z 2 ≥

( x + y + z)

2

≥ x+ y+ z

,
P ≥ (6 − x ) + (2 − y ) + (3 − z ) + ( x + y + z ) = 11
Do đó

.

Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = y = z = 0
⇔ x= y=z=0

6 − x ≥ 0, 2 − y ≥ 0,3 − z ≥ 0, x + y + z ≥ 0

M ( 1; 2;3) ⇒ OM = 12 + 22 + 32 = 14.
Khi đó

.