2H3 6 183c41 07 THPT CHUYEN THAI BINH NAM 2017 2018 LAN 05 repaired copy

Câu 41. [2H3-6.18-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH-2018-LẦN 5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A  1; 4;5  B  3; 4; 0  C  2;  1; 0 
 P  : 3x  3 y  2 z  12  0 . Gọi M  a ; b ; c  thuộc  P  sao
,
,
và mặt phẳng
2
2
2
cho MA  MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a  b  c .
A. 3 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Đáp án A
uu
r uur uur r
I  x; y; z
IA
Gọi uu
là điểm thỏa mãnuur  IB  3IC  0 (*) . uur
r
IA   1  x ; 4  y ;5  z  IB   3  x ; 4  y ;  z 
3IC   6  3 x ;  3  3 y ;  3 z 
Ta có:
,
và
.
1  x  3  x  6  3x  0
�

�x  2
�
�
4  y  4  y  3  3 y  0 � �y  1
�
�
�z  1 � I  2;1;1
5  z  z  3z  0
�
Từ (*) ta có hệ phương trình: �
.
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
2

2
MA2  MA  MI  IA  MI 2  2MI . IA  IA2
Khi đó:
.
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
2
2
MB 2  MB  MI  IB  MI 2  2MI . IB  IB 2
.
u
u
u
u

r
u
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
2
2
3MC 2  3MC  3 MI  IC  3 MI 2  2 MI . IC  IC 2
.
2
2
2
2
2
2
2
S

MA


MB

3
MC

5
MI

IA

IB

3
IC
Do đó:
.

















2
2
2
Do IA  IB  3IC không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M
 P  : 3x  3 y  2 z  12  0 .
là hình chiếu của I lên mặt phẳng
r
n   3;  3;  2 
Vectơ chỉ phương của IM là
.
�x  2  3t
�
�y  1  3t
�z  1  2t  t ��
Phương trình tham số của IM là: �
,
.
M  2  3t ;1  3t ;1  2t  � P 
 P .
Gọi
là hình chiếu của I lên mặt phẳng
1
3  2  3t   3  1  3t   2  1  2t   12  0 � 22t  11  0 � t 
2.
Khi đó:
�7 1 �
7 1

M � ;  ;0 �
abc   3
�2 2 �. Vậy
2 2
Suy ra:
.