SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tìm hiểu bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
SỞTIỂU
GIÁO HỌC,
DỤC VÀ
ĐÀO TẠO
HƯNG HỒNG
YÊN
TRƯỜNG
THCS
VÀ THPT
ĐỨC
Đơn vị: Trường Tiểu học, THCS và THPT Hồng Đức
***************
Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tìm hiểu bài toán về tiếp tuyến của đồ thị
hàm số
Người thực hiện: Phạm Thị Huyền
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN



- Lĩnh vực khác:



1

HƯNG YÊN - 2017


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I.
THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Phạm Thị Huyền
2. Ngày tháng năm sinh: 30/7/1988
1. Nam, nữ: Nữ
2. Địa chỉ: Lỗ Xá - Nhân Hòa - Mỹ Hào - Hưng Yên
3. Điện thoại: 0983 880 730
4. Fax:
5. Chức vụ: Tổ phó Tổ Toán - Lý
6. Đơn vị công tác: Trường Tiểu học, THCS và THPT Hồng Đức.
I. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2010
- Chuyên ngành đào tạo: Cử nhân Toán
II. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán THPT
- Năm vào ngành: 2010
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: không có.

2


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................................3
2. Mục đích.............................................................................................................................4

PHẦN I. CƠ SỞ LÝ LUẬN........................................................................................4
I. Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng.....................................................................4
II. Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số....................................................5
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị...........................................5
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc....................................................7
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.......8

PHẦN II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ.........................................................................11
PHẦN III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ..........................................................................12
I. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị.....................................................12
II. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết hệ số góc...............................................14
III. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.......17
IV. Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau......................................................................18
V. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị và ......................................................19
VI. Tìm những điểm trên đường thẳng mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3...tiếp tuyến với đồ thị .
...............................................................................................................................................21
VII. Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị và 2 tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau...............................................................................................................23
VIII. Các bài toán khác về tiếp tuyến....................................................................................24

MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.......................................................................27

PHẦN IV. HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...........................................32
I. Khảo sát thực tế.................................................................................................................32
II. Kết quả sau khi thực hiện SKKN....................................................................................32

KẾT LUẬN................................................................................................................33
PHỤ LỤC................................................................................................................... 35
Đề số 1..................................................................................................................................35
Đề số 2..................................................................................................................................40

TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................43

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT. Một bài
toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ
đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: Viết phương trình tiếp
tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ đó kẻ được các tiếp
tuyến đến đồ thị hàm số …
3


Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội
dung quan trọng và nhiều khả năng sẽ gặp trong kỳ thi tốt THPT Quốc Gia sắp tới,
nhưng rất nhiều học sinh còn mơ hồ và lúng túng không biết giải bài toán này. Bài toán
viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm giữa
bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương trình tiếp tuyến tại
một điểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc
của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lại càng khó. Học
sinh không có phương pháp làm bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở chương trình lớp 11 lại được luyện tập rất ít. Hơn

nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách giải hữu hiệu, trong quá trình làm
bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trường hợp ví dụ như chưa tìm hết tiếp
điểm; hiểu sai đề bài…
2. Mục đích
Như ở trên đã nêu, trong chương trình cũng như sách giáo khoa Đại số và Giải
tích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về lí thuyết; chưa được rèn
luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về bài
toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số với mong muốn giúp học sinh hiểu
sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành
thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Tìm hiểu bài toán về tiếp
tuyến của đồ thị hàm số”.

PHẦN I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong ( C ) . Giả sử ( C ) là đồ thị của hàm
số y = f ( x ) và M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) . Kí hiệu M ( x; f ( x ) ) là điểm di chuyển trên ( C ) .
Đường thẳng M 0 M là một cát tuyến của ( C ) .

y

(C)
M

f(x)

T

4

f(x0)

O

M0

x0

x

x


Hình 1
Nhận xét rằng khi x →x0 thì M ( x; f ( x ) ) di chuyển trên ( C ) tới điểm
M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0T

thì M 0T được gọi là tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm. Tại
mỗi vị trí của M trên ( C ) ta luôn có kM =

f ( xM ) − f ( x0 )
.
xM − x0

Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy
Nhắc lại ý nghĩa hình học của đạo hàm: “Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại x0 là
hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) ”.
ĐỊNH LÍ 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm là , trong đó .

ĐỊNH LÍ 2
Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng . Đường thẳng tiếp xúc với khi và chỉ
khi hệ sau có nghiệm .

Khi đó, nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm.
II. Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị
a. Bài toán 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị ( C ) tại điểm A ( 2; 2 ) thuộc đồ thị ( C ) .
Giải. Ta có y ' = 3 x 2 − 12 x + 9 nên y ' ( 2 ) = −3 . Với x0 = 2 thì y0 = 2 .
5


Phương trình tiếp tuyến cuả đồ thị ( C ) tại

điểm A ( 2; 2 ) là y = −3( x − 2) + 2 hay

y = −3 x + 8 .

Ví dụ 2. Cho hàm số y =

x+2
có đồ thị ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ
2x + 3

thị ( C ) tại giao điểm của đồ thị với trục Oy .
Giải. Ta có y ' = −

1
 2
Oy là  0; ÷.
2 . Giao điểm của đồ thị với
(2 x + 3)
 3
1
9

Hệ số góc y ' ( 0 ) = − .



2

1
9

2
3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm  0; ÷ là y = − x + .
3


b. Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm có
hoành độ x = x0 (hoặc tung độ y = y0 ).
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ x0 = −2 .
Giải. Ta có y ' = 4 x 3 − 4 x nên y ' ( −2 ) = −24 . Ngoài ra y ( −2 ) = 8 .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm ( −2;8 ) là y = −24 ( x + 2 ) + 8

hay

y = −24 x − 40 .

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 5 có đồ thị ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại điểm có tung độ y0 = 5 .
Giải. Gọi điểm M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có y ' = 3x 2 − 3 .
 x0 = 0
Theo bài y0 = 5 ⇔ x0 − 3x0 + 5 = 5 ⇔ x0 − 3 x0 = 0 ⇔  x0 = − 3 .

 x0 = 3
3

3

• Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm ( 0;5 )
Ta có y ' ( 0 ) = −3 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y − 5 = −3( x − 0) hay y = −3 x + 5 .
• Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm (− 3;5) .
Ta có y ' ( − 3 ) = 3(− 3 ) 2 − 3 = 6 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y − 5 = 6( x + 3 ) hay
y = 6x + 6 3 + 5 .

• Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị
y = 6x − 6 3 + 5 .

6

( C ) tại

điểm ( 3;5) là


2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc
Bài toán. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và một số k ∈ ¡ . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị ( C ) có hệ số góc k .
x −1
( C ) có hệ số góc bằng
x +1

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2.

Giải. Gọi điểm M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm x0 ≠ −1 .
y ' ( x0 ) =

2

( x0 + 1)

2

x =0
= 2 ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 1 ⇔ x0 2 + 2 x0 = 0 ⇔  0
.
0
0
 x0 = −2

Có hai toạ độ tiếp điểm là (0; −1), ( −2;3) .

Hai phương trình tiếp tuyến là y = 2 x − 1 và y = 2( x + 2) + 3 ⇔ y = 2 x + 7 .
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y =

−x + 3
biết tiếp tuyến song song với
2x +1

d : y = −7 x − 1 .

Giải. Gọi điểm M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : y = −7 x − 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến

−7

( 2 x0 + 1)

2

= −7 ⇔

1

( 2 x0 + 1)

2

x =0
= 1 ⇔  0
.
 x0 = −1

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là y = −7 x + 3; y = −7 x − 11 .
Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C )
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ : 3x − 5 y − 4 = 0 .
Giải
Cách 1. Đường thẳng ∆ có hệ số góc k∆ =

3
. Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với
5
5
3

đường thẳng ∆ nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là kd = − .
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình
1
46


x0 =
y0 =


5
5
3
27 .
⇔
y ' ( x0 ) = − ⇔ 3 x0 2 − 6 x0 = − ⇔ 9 x0 2 − 18 x0 + 5 = 0 ⇔ 
3

3
x = 5
 y = − 46
 0 3
 0
27
5
3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) cần tìm là y = − x +
5
3

Cách 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = − x + c (*)

7

61
5
29
và y = − x + .
7
3
27


5
 3

2

 x − 3 x + 2 = − 3 x + c
c =
⇔
d là tiếp tuyến của ( C ) khi hệ sau có nghiệm 
c =
3 x 2 − 6 x = − 5

3

5
3

61
27
.
29
27

61
5
29
và y = − x + .
7
3
27

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) cần tìm là y = − x +

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( xA ; y A ) .
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
 23



thị ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A  ; −2 ÷ .
 9




Giải. Đường thẳng d đi qua điểm A có phương trình y = k  x −

23 
÷− 2 (*)
9 

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 3
23 
 3
23 


2
2
2
 x − 3x + 2 = k  x − ÷− 2

 x − 3x + 2 = (3 x − 6 x)  x − ÷− 2
9 
9 
⇔



3 x 2 − 6 x = k
3 x 2 − 6 x = k


 x = 2
k = 0


  x = 1
5
⇔ k = − .
⇔  3
3

  x = 3


k = 9
3 x 2 − 6 x = k

Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là d1 : y = −2
5
61

d2 : y = − x +
và d3 : y = 9 x − 25 .
3
27

Ví dụ 2. Cho hàm số y =

( C ) đi qua điểm

1 4
3
x − 3x 2 + có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của
2
2

3
A(0; ).
2


3

3

(d )
Giải. Phương trình đường thẳng qua A  0; ÷ có dạng y = kx +
2
 2

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) khi và chỉ khi hệ sau

8


3
3
1 4
2
 x − 3 x + = kx +
2
2 có nghiệm.
2
2 x 3 − 6 x = k

x = 0

4
2
Suy ra 3 x − 6 x = 0 ⇔  x = 2 .
x = − 2

3
2

• Với x = 0 thì k = 0 . Phương trình tiếp tuyến là y = .
3
2

• Với x = 2 thì k = −2 2 . Phương trình tiếp tuyến là y = −2 2 x + .
• Với x = − 2 thì k = 2 2 . Phương trình tiếp tuyến là y = 2 2 x +

3
2

Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ A(0; ) đến đồ thị
y = 2 2x +

( C ) là

y=

3
.
2

3
3
; y = −2 2 x + và
2
2

3
.
2

Ví dụ 3. Cho hàm số y =

x
( C ) . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ
x +1

thị hàm số. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị ( C ) đi qua I .
Giải. Ta có tiệm cận đứng x = −1 .
Tiệm cận ngang y = 1 . Do đó, toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( −1;1) .
Phương trình đường thẳng qua I ( −1;1) có dạng y = k ( x + 1) + 1 ( d ) .
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 x
 x + 1 = k ( x + 1) + 1
x
1
x
1
⇒
=
( x + 1) + 1 ⇔
=
+1⇒ x = x + 2 .
 1
2
x
+
1
x
+
1
x
+
1
(
x
+

1
)

=k
 ( x + 1) 2

Phương trình vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào đi qua I - giao điểm của hai
đường tiệm cận.
Ví dụ 4. Cho hàm số y =

x2 − x −1
( C ) . Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được
x +1

2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) .
Giải. Gọi B(0; b) ∈ Oy . Phương trình đường thẳng qua B có dạng y = kx + b ( d ) .
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
9


 x2 − x −1
= kx + b

x2 − x −1 x2 + 2x
 x +1
⇔
=
.x + b ⇔ ( 2 + b ) x 2 + 2 ( b + 1) x + b + 1 = 0 ( *)
(I)  x 2 + 2 x
2

x +1
( x + 1)

=k
2
 ( x + 1)

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
∆ ' = − b− 1 > 0
b < −1
⇔
⇔
.
2 + b ≠ 0
b ≠ −2

Vậy các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn −1 và khác −2 thì từ đó kẻ được 2 tiếp
tuyến đến đồ thị ( C ) .

10


PHẦN II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấy
khó khăn trong việc khảo sát hàm số. Tuy nhiên khi làm bài tập về tiếp tuyến của đồ thị
hàm số, học sinh thường gặp phải khó khăn sau:
- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài
- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại một
điểm thuộc đồ thị của hàm số
- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến đổi…

trong bước trung gian. Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…
Ví dụ. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( 0;3) .
Giải. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A ( 0;3) , phương trình của d có dạng y = kx + 3
.
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình
 x 3 − 3x 2 + 2 = kx + 3 (1)
có nghiệm x .
 2
3 x − 6 x = k (2)
2
Thay k ở (2) vào (1) ta được x3 − 3x 2 + 2 = (3 x 2 − 6 x) x + 3 ⇔ ( x − 1) ( 2 x − x − 1) = 0 (* )

Bây giờ ở phương trình (* ) học sinh không chú ý: Từ phương trình (*) ta có
 x −1 = 0
mà lại viết
 2
2 x − x − 1 = 0

x −1 = 0
⇔ x =1
 2
2 x − x − 1 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = −3 x + 3 .
Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp tuyến.
Như vậy lời giải đúng là
x = 1
 k = −3
 x −1 = 0


⇔
Từ phương trình (*) ta có  2
1 ⇒ 
15 .

x
=
k=
2
x
−
x
−
1
=
0


2

4

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = −3 x + 3 và y =

15
x+3.
4

Có những học sinh lại hiểu sai đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại

điểm A ( 0;3) .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) qua A có dạng y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) .
Theo đầu bài ta có x0 = 0, y0 = 3 và y '( x0 ) = f '( x0 ) = 0 .
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 3 .
11


Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…

PHẦN III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Việc đưa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương pháp giải
cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phương pháp giải bài tập toán đề hướng dẫn các em
làm bài tập phần học này là rất cần thiết. Bởi khi đó, các em không còn phải lúng túng
trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải chính xác khi đã xác định được
yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số” ở dạng nào ? Chính vì vậy mà trong
vài năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng
giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập; chỉ ra phương pháp giải từng dạng. Từ đó các
em tự tin và có hứng thú học tập.
I. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
a. Bài toán 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
* Phương pháp giải
Bước 1. Tìm hệ số góc f ' ( x0 ) .
Bước 2. Thay x0 ; y0 ; f ' ( x0 ) vào phương trình tiếp tuyến y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 .
NHẬN XÉT
• Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác f '( x) , f '( x0 ) và rút
gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán.
• Đồ thị hàm số chỉ có một tiếp tuyến.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị ( C ) tại điểm M (2; 2) .

Giải. Ta có y ' = 3 x 2 − 12 x + 9 nên y ' ( 2 ) = −3 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M ( 2; 2 ) là y = −3( x − 2) + 2 hay
y = −3 x + 8 .

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x + 1 −

2
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của
2x −1

đồ thị ( C ) tại điểm A ( 0;3) .
Giải. Ta có y ' = 1 +

4

2
( 2 x − 1) nên

y '( 0) = 5 .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm A ( 0;3) là y = 5 ( x − 0 ) + 3 hay y = 5 x + 3 .

12


Ví dụ 3. Cho hàm số y = 2 + 3x − x 3 có đồ thị ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị ( C ) tại điểm uốn của đồ thị.
Giải. Ta có y ' = 3 − 3 x 2 , y '' = −6 x và y '' = 0 ⇔ x = 0 .
Toạ độ điểm uốn là ( 0; 2 ) , y '(0) = 3 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là y = 3( x − 0) + 2 hay

y = 3x + 2 .

b. Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) tại điểm có
hoành độ x = x0 (hoặc tung độ y = y0 ).
* Phương pháp giải
Trường hợp
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có
hoành độ x = x0 .
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có
tung độ y = y0 .

Cần tìm
Hệ số góc : f ' ( x0 ) .

Tung độ tiếp điểm y0 = f ( x0 ) .
Hoành độ tiếp điểm x0 bằng cách
giải phương trình y0 = f ( x0 ) .
Hệ số góc : f ' ( x0 ) .

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại
điểm có hoành độ bằng −1 .
Giải. Hoành độ tiếp điểm x0 = −1 nên tung độ tiếp điểm y0 = 1 .
Ta có y ' = 3x 2 + 6 x nên y ' ( −1) = −3 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

( −1;1) là

y = −3( x + 1) + 1 hay

y = −3 x − 2 .

Ví dụ 2. Cho hàm số y =

3x + 1
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại
1− x

điểm có tung độ −7 .
Giải. Tung độ tiếp điểm y0 = −7 nên hoành độ tiếp điểm x0 = 2 .
Ta có y ' =

4
nên y ' ( 2 ) = 4 .
(1 − x) 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( 2; −7 ) là y = 4( x − 2) − 7 hay
y = 4 x − 15 .

Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) .
a. Tại điểm M ( 2;4 ) .

1
2

b. Tại điểm có hoành độ x = .
13


c. Tại các điểm có tung độ bằng 0 .

Bài 2. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị ( C ) .

a. Tại giao điểm của ( C ) với trục tung .
b. Tại điểm có tung độ y = −1 .
Bài 3. Cho hàm số y =

x −1
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại
x +1

giao điểm của ( C ) với trục tung và trục hoành .

Bài 4. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm uốn đồ thị ( C ) .

Bài 5. Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 1 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị ( C ) .
a. Tại điểm có hoành độ x = 2 .
b. Tại điểm có tung độ y = −9 .
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm được chỉ ra.

x 2 − 3x + 3
tại điểm có hoành độ x = 4 .
x−2
b. ( C ) : y = 2 x − 2 x 2 + 1 tại các giao điểm của ( C ) với trục tung và trục hoành.

a. ( C ) : y =

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các giao điểm của ( C ) với đường được

chỉ ra.
3
2
a. ( C ) : y = 2 x − 3x + 9 x − 4 và d : y = 7 x + 4 .
3
2
2
b. ( C ) : y = 2 x − 3x + 9 x − 4 và ( P ) : y = − x + 8 x − 3 .

c. ( C ) : y = 2 x − 3x + 9 x − 4 và ( C ') : y = x − 4 x + 6 x − 7 .
II. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết hệ số góc
3

2

3

2

Bài toán. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và một số k ∈ ¡ . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị ( C ) có hệ số góc k .
* Phương pháp giải
Cách 1.
Bước 1. Tìm hoành độ tiếp điểm x0 bằng cách giải phương trình f ' ( x0 ) = k .

Bước 2. Tìm tung độ tiếp điểm y0 = f ( x0 ) . Thay x0 ; y0 ; f ' ( x0 ) vào phương trình tiếp
tuyến y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 .
Cách 2. Phương pháp điều kiện kép
Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y = kx + m ( m là ẩn) tiếp xúc với đồ
thị ( C ) : y = f ( x) . Khi đó, phương trình kx + m = f ( x) có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện

để phương trình có nghiệm kép, tìm được m . Từ đó, viết được phương trình tiếp tuyến
cần tìm.
14


NHẬN XÉT: Vì điều kiện (C1 ) : y = f ( x) và (C2 ) : y = g ( x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện
 f ( x) = g ( x)
có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phương trình f ( x) = g ( x) có

 f '( x) = g '( x)

nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số y = f ( x) mà phương
trình tương giao kx + m = f ( x) có thể biến đổi tương đương về một phương trình bậc 2
(khi đó điều kiện để có nghiệm kép là ∆ m = 0 ).
CHÚ Ý
Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k như sau:
1
2

• Dạng trực tiếp: k = ±1, ±2,..., ± ,..., ± 2, ± 3,...

• Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α , α ∈ 15 0 ;30 0 ;45 0 ;


2π π 
; ..... Khi đó
3 3 

hệ số góc k = tan α .
• Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax +b . Khi đó, hệ số góc k = a .

1
a

• Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax +b . Khi đó, ka = −1 thì k = − .
• Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b một góc α . Khi đó,

k −a
= tan α .
1 + ka

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) biết
hệ số góc của tiếp tuyến k = −3 .
Giải. Gọi M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x .
2
2
Do hệ số góc của tiếp tuyến k = −3 nên 3 x0 − 6 x0 = −3 ⇔ x0 − 2 x0 + 1 = 0 ⇔ x0 = 1 .

Với x0 = 1 nên y0 = −2 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3( x − 1) − 2 ⇔ y = −3x + 1 .
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 ( C ) . Biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng y = 9 x + 2017 .
Giải. Gọi M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x .
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9 x + 2017 nên tiếp tuyến có hệ số góc
 x0 = −1
2
k = 9 ⇔ 3 x0 2 − 6 x0 = 9 ⇔ x0 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔ 
.
 x0 = 3

• Với x0 = −1 thì y0 = −3 . Phương trình tiếp tuyến của

y = 9 ( x + 1) − 3 hay y = 9 x + 6 .
15

( C ) cần tìm là


• Với x0 = 3 thì y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) cần tìm là y = 9 ( x − 3) + 1
hay y = 9 x − 26 .
Vậy có hai tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9 x + 2017 là y = 9 x + 6 và
y = 9 x − 26 .

Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C )
1
biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = − x .
9
Giải. Gọi M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có y ' = 3 x 2 − 3 .
1
Do tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y = − x nên hệ số góc của tiếp
9
tuyến k = 9 .
2
2
Do đó y ' ( x0 ) = k ⇔ 3x0 − 3 = 9 ⇔ x0 = 4 ⇔ x0 = ±2.

• Với x0 = 2 thì y0 = 4 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( C ) cần tìm là

y = 9( x − 2) + 4 ⇔ y = 9 x − 14.

• Với x0 = −2 thì y0 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) cần tìm là
y = 9( x + 2) + 0 ⇔ y = 9 x + 18 .

1
Vậy có hai tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y = − x là y = 9 x − 14 và
9
y = 9 x + 18 .

Bài tập áp dụng
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k được
chỉ ra.
a. ( C ) : y =

2x +1
; k = −5 .
x−2

c. ( C ) : y = 2 x 3 − 3x 2 + 5 ;

b. ( C ) : y = x 4 − x 2 + 1 ; k = 2 .
x
d. ( C ) : y =

k = 12 .

e. ( C ) : y = x 2 − 4 x + 3 ; k = 2 .

2

− 3x + 4

; k = −1 .
x −1

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng d cho trước.
1
x3
− 2 x 2 + 3x + 1 ; d : y = − x + 2 .
8
3
x+2
b. ( C ) : y =
biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ
2− x

a. ( C ) : y =

hai.

1
4

c. ( C ) : y = − x 4 + 2 x 2 − 1 ; ( d ) : x + y − 2 = 0 .
16


3
8

2

d. ( C ) : y = ( 2 - x) ( x + 1) ; ( d ) : y = − x + 4 .

e. ( C ) : y =

x2 + 3
; ( d ) : y = −3 x .
x +1

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng d cho trước.
x3
− 2 x 2 + 3x + 1 ; d : y = 3x + 2 .
3
2x −1
3
b. ( C ) : y =
; d : y = − x + 2.
x−2
4
3x + 1
c. ( C ) : y =
biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ
1− x

a. ( C ) : y =

nhất.

x2 − 2x − 3
d. ( C ) : y =

; d : 2x + y − 5 = 0 .
4x + 6

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến tạo với chiều dương
của trục Ox góc α .
x3
a. ( C ) : y = − 2 x 2 + x − 4 ; α = 600 .

b. ( C ) : y =

3

3x − 2
; α = 450 .
x −1

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
d một góc α .
x3
a. ( C ) : y = − 2 x 2 + x − 4 ; d : y = 3x + 2 ; α = 450 .
3
4x − 3
b. ( C ) : y =
; d : y = 3x ; α = 450 .
x −1

III. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho
trước
Bài toán. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và điểm A ( x A ; y A ) cho trước. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) đi qua điểm A .

* Phương pháp giải
Cách 1
Bước 1. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ( x A ; y A ) và có hệ số góc k
d : y = k ( x − xA ) + y A

Bước 2. Điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong ( C )
 f ( x ) = k ( x − x A ) + y A ( 1)
⇔
có nghiệm.
( 2)
 f ' ( x ) = k
Bước 3. Thay ( 2 ) vào ( 1) tìm x , thay x vào ( 2 ) để tìm k . Từ đó suy ra các tiếp tuyến

cần tìm.

17


Cách 2.
Bước 1. Giả sử tiếp điểm là M ( x0 ; y0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng
d : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 .

Bước 2. Điểm A ( x A ; y A ) ∈ d , ta được y A = y '( x0 )( x A − x0 ) + y0 ( 3) . Tìm được x0 .
Bước 3. Kết luận về tiếp tuyến d .
CHÚ Ý
Số nghiệm phân biệt ở phương trình ( 1) ; ( 3) bằng số tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ( C ) .
1
3

Ví dụ 1. Cho hàm số ( C ) : y = x 3 − x 2 . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C )

đi qua điểm A ( 3;0 ) .
Giải. Ta có y ' = x 2 − 2 x .
Gọi phương trình đường thẳng qua A ( 3;0 ) có hệ số góc k là y = k ( x − 3) + 0 ( d ) .
1 3
2
 x − x = k ( x − 3) ; ( 1)
Để đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) thì  3
có
2

k = x − 2 x; ( 2 )


nghiệm
Thay ( 2 ) vào ( 1) ta có

1 3
x − x 2 = ( x 2 − 2 x ) ( x − 3) . Ta tìm được x = 0; x = 3 .
3

Với x = 0 thay vào ( 2 ) tìm được k = 0 . Phương trình tiếp tuyến là y = 0 .
Với x = 3 thay vào ( 2 ) tìm được k = 3 . Phương trình tiếp tuyến là y = 3 ( x − 3) = 3x − 9 .
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) đi qua A ( 3;0 ) là y = 0 và y = 3 x − 9 .
Bài tập áp dụng
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến đi qua điểm được chỉ
ra.
a. ( C ) : y = 4 x 3 − 3x − 1 ; M ( 1; −4 ) .
b. ( C ) : y = ( 2 − x 2 ) ; M ( 0; 4 ) .
2

x+2
; M ( −6;5 ) .
x−2
x2 − 3x + 3
e. ( C ) : y =
; M ( 1;0 ) .
x−2

c. ( C ) : y =

IV. Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau
Bài toán. Cho hai đường ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C2 ) : y = g ( x ) . Tìm điều kiện của tham số
m để hai đường tiếp xúc nhau.
18


* Phương pháp giải
• Điều kiện cần và đủ để hai đường ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C2 ) : y = g ( x ) tiếp xúc nhau
 f ( x ) = g ( x )
 f ' ( x ) = g ' ( x )

là hệ phương trình sau 

( *) có nghiệm

Nghiệm của hệ ( *) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
• Nếu ( C1 ) : y = px + p và ( C2 ) : y = ax 2 + bx + c thì ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau
ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.
Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số m để hai đường ( C1 ) : y = x 3 + 2 x 2 + 2 x − 1 và ( C2 ) :
y = x + m tiếp xúc nhau.

Giải. Điều kiện cần và đủ để hai đường ( C1 ) : y = x 3 + 2 x 2 + 2 x − 1 và ( C2 ) : y = x + m tiếp
3
2
 x + 2 x + 2 x − 1 = x + m; ( 1)
xúc nhau là hệ phương trình sau 
có nghiệm.
3x 2 + 4 x + 2 = 1; ( 2 )

1
Từ phương trình ( 2 ) ta có nghiệm x1 = −1; x2 = − .
3

Thay vào phương trình ( 1) ta được m1 = −1; m2 = −
Vậy với m = −1 hoặc m = −

31
.
27

31
thì hai đường ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau.
27

Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm điều kiện của tham số m để hai đường ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau .
2
2
a. ( C1 ) : y = ( x + 1) ( x − 1) ; ( C2 ) : y = 2 x 2 + m .

x2 − x + 1

b. ( C1 ) : y =
; ( C2 ) : y = x 2 + m .
x −1

V. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị

( C1 ) : y = f ( x )

và

( C2 ) : y = g ( x ) .
Bài toán. Cho hai đường ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C2 ) : y = g ( x ) . Viết phương trình tiếp tuyến
chung của hai đồ thị trên.
* Phương pháp giải
• Gọi ∆ : y = ax +b là tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 ) và gọi u là hoành độ tiếp
điểm của ∆ và ( C1 ) , v là hoành độ tiếp điểm của ∆ và ( C2 ) .

19


∆ tiếp xúc với ( C1 ) và ( C2 )

 f ( u ) = au + b ( 1)

 f '( u ) = a ( 2)
khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 
 g ( v ) = av + b ( 3)
 g ' ( v ) = a ( 4 )

Từ ( 2 ) ; ( 4 ) ta có f ' ( u ) = g ' ( v ) , rút u = h ( v ) ( 5 )

Thế a từ ( 2 ) vào ( 1) , rút b = ϕ ( u )

( 6)

Thế ( 2 ) , ( 5 ) , ( 6 ) vào ( 3) tìm được v , a , u , b . Từ đó viết phương trình của ∆ .
• Nếu ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến
chung của ( C1 ) và ( C2 ) cũng là tiếp tuyến của ( C1 ) và ( C2 ) tại điểm đó.
2
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị ( C1 ) : y = f ( x ) = x − 5 x + 6 và

( C2 ) : y = g ( x ) = − x 2 + 5x − 11 .
Giải. Gọi ∆ : y = ax +b là tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 ) và gọi u là hoành độ tiếp
điểm của ∆ và ( C1 ) , v là hoành độ tiếp điểm của ∆ và ( C2 ) .

∆ tiếp xúc với ( C1 ) và ( C2 )

 u 2 − 5u + 6 = au + b ( 1)

( 2)
2u − 5 = a

khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  2
 −v + 5v − 11 = av + b ( 3)

( 4)
−2v + 5 = a

Từ ( 2 ) ; ( 4 ) ta có 2u − 5 = −2v + 5 ⇔ u = −v + 5 ( 5 )
Thế a từ ( 2 ) vào ( 1) ta được b = 6 − u 2 ( 6 )
 v1 = 1

 a =3
⇔ 1
 v2 = 4
 a2 = −3

2
Thế ( 2 ) , ( 5 ) , ( 6 ) vào ( 3) ta được v − 5v + 4 = 0 ⇔ 

u = 4
b = −10
⇔ 1
⇔ 1
.
 u2 = 1  b2 = 5

Vậy có hai tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 ) là y = 3x − 10 và y = −3 x + 5 .
Bài tập áp dụng
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị.
2
2
a. ( C1 ) : y = f ( x ) = x − 5 x + 6 và ( C2 ) : y = g ( x ) = − x − x − 14 .

2
3
b. ( C1 ) : y = f ( x ) = x − 5 x + 6 và ( C2 ) : y = g ( x ) = − x + 3x − 10 .

20


VI. Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3...tiếp

tuyến với đồ thị ( C ) : y = f ( x ) .
Bài toán. Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3...tiếp tuyến với đồ thị

( C ) : y = f ( x) .
* Phương pháp giải
Gọi M ( xM ; yM ) và đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) .
Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k là y = k ( x − xM ) + yM .
 f ( x ) = k ( x − xM ) + yM
∆ tiếp xúc với ( C ) khi hệ sau có nghiệm 
f '( x) = k


Thế k từ ( 2 ) vào ( 1) ta được f ( x ) = ( x − xM ) f ' ( x ) + yM

( 1)
.
( 2)

( 3) .

Số nghiệm của phương trình ( 3) chính bằng số tiếp tuyến của ( C ) vẽ từ M .
Ví dụ. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 ( C ) . Tìm các điểm thuộc ( C ) mà qua đó kẻ được
một và chỉ một tiếp tuyến đến ( C ) .
Giải. Gọi M 0 ( x0 ;− x03 + 3x02 − 2) ∈ (C ) .
3
2
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 có dạng y = k ( x − x0 ) − x0 + 3 x0 − 2 ( d ) .

Đường thẳng d là tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x 0 ) − x 03 + 3x 02 − 2

.

− 3 x 2 + 6 x = k
 x = x0
Suy ra ( x − x0 )(−2 x + 3x + xx0 + x − 3x0 ) = 0 ⇔  3 − x0 .
x=

2
2

2
0

Điểm M 0 thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi x0 =

3 − x0
⇔ x0 = 1 .
2

Vậy trên ( C ) tồn tại duy nhất điểm M 0 ( 1;0 ) mà qua đó kẻ được đúng một và chỉ một
tiếp tuyến với đồ thị ( C ) .
Bài tập áp dụng
3
Bài 1. Tìm những điểm trên đồ thị ( C ) : y = x − 3x + 1 mà từ đó vẽ được đúng một tiếp

tuyến với ( C ) .

21

Bài 2. Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với

( C) .
a. ( C ) : y =

x −1
và d là trục tung.
x +1

b. ( C ) : y =

x2 + x + 2
và d là trục hoành.
x −1

c. ( C ) : y =

2x2 + x
và d : y = 1 .
x +1

d. ( C ) : y =

x 2 + 3x + 3
và d : x = 1 .
x+2

e. ( C ) : y =

x+3

và d : y = 2 x + 1 .
x −1

Bài 3. Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với

( C) .
a. ( C ) : y =

x2 − 6 x + 9
và d là trục tung.
−x + 2

b. ( C ) : y =

x 2 + 3x + 3
và d : trục hoành.
x +1

c. ( C ) : y =

2x +1
và d : x = 1 .
x−2

c. ( C ) : y =

3x + 4
và d : y = 2 .
4x − 3

Bài 4. Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với ( C ) .
x2 + x − 2
a. ( C ) : y =
và d là trục hoành.
x+2

x2 − x −1
b. ( C ) : y =
và d là trục tung.
x +1

x 2 + 3x + 3
c. ( C ) : y =
và d : y = −5 .
x+2

Bài 5. Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với ( C ) .
3
2
a. ( C ) : y = − x + 3x − 2 và d : y = 2 .

3
b. ( C ) : y = x − 3 x và d : x = 2 .

3
c. ( C ) : y = − x + 3x + 2 và d là trục hoành.

3
d. ( C ) : y = x − 12 x + 12 và d : y = −4 .

4
2
e. ( C ) : y = x − x − 2 và d là trục tung.

4
2
f. ( C ) : y = − x + 2 x − 1 và d trục tung.

Bài 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với ( C ) .
1

3
2
a. ( C ) : y = x − 9 x + 17 x + 2; A ( −2;5 ) .

4 4



3
2
b. ( C ) : y = x − 2 x + 3x + 4; A  ; ÷.
3
9 3

3
2
c. ( C ) : y = 2 x + 3 x − 2; A ( 1; −4 ) .

Bài 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với

( C) .
3
2
a. ( C ) : y = x − 6 x + 9 x − 1; d : x = 2 .

3
b. ( C ) : y = x − 3 x − 1; d : x = 2 .

22


VII. Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = f ( x )
và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
* Phương pháp giải
Gọi M ( xM ; yM ) và đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) .
Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k là y = k ( x − xM ) + yM .
 f ( x ) = k ( x − xM ) + yM
∆ tiếp xúc với ( C ) khi hệ sau có nghiệm 
f '( x) = k


Thế k từ ( 2 ) vào ( 1) ta được f ( x ) = ( x − xM ) f ' ( x ) + yM

( 1)
( 2)

( 3) .

Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với ( C ) ⇔ ( 3) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 .

Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) = −1 . Từ đó tìm được điểm M .
CHÚ Ý
Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với ( C ) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía so với trục
hoành thì phương trình ( 3) có hai nghiệm phân biệt và f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 .



1

Ví dụ. Chứng minh rằng từ điểm M  0; − ÷ luôn kẻ được hai tiếp tuyến với
4


( C ) : y = f ( x ) = 2 x 2 − 3x + 1 vuông góc với nhau. Viết phương trình hai tiếp tuyến đó.
1
4

Giải. Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k là y = kx − .
1
 2
 2 x − 3 x + 1 = kx −
4
∆ tiếp xúc với ( C ) khi hệ sau có nghiệm 

4x − 3 = k

Giải hệ trên có hai nghiệm phân biệt x1 =

( 1)
.

( 2)

10
10
và x2 = −
.
4
4

Ta có f ' ( x1 ) = 10 − 3; f ' ( x2 ) = − 10 − 3 nên f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) = −1 .



1

2
Vậy từ điểm M  0; − ÷ luôn kẻ được hai tiếp tuyến với ( C ) : y = f ( x ) = 2 x − 3x + 1
4



vuông góc với nhau và hai tiếp tuyến đó là y =

23

(

)

10 − 3 x −

(

)

1
1
và y = − 10 − 3 x − .
4
4


Bài tập áp dụng
Bài 1. Chứng minh rằng từ điểm M luôn kẻ được hai tiếp tuyến với ( C ) vuông góc với
nhau. Viết phương trình hai tiếp tuyến đó.
x2 + x + 1
; M ( 1; −1) .
a. ( C ) : y =
x +1

x2 + 2x + 2
; M ( 1;0 ) .
b. ( C ) : y =
x +1

Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với ( C )
vuông góc với nhau.
3
2
a. ( C ) : y = x − 3x + 2 và d : y = −2 .

3
2
b. ( C ) : y = x + 3x và d là trục hoành.

2x2 + x + 1
và d là trục tung.
x +1

c. ( C ) : y =
e. ( C ) : y =

d. ( C ) : y =

x2 − 2x + 1
và d là trục tung.
x −1

x 2 − 3x + 2
và d : x = 1 .
x

Bài 3. Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với ( C )
vuông góc với nhau.
a. ( C ) : y =

− x2 + x − m
và d : y = −1 .
2x + m

b. ( C ) : y =

x 2 + mx − 8
và d là trục hoành.
x−m

c. ( C ) : y =

x 2 − 2mx + m
và d là trục hoành.
x+m

Bài 4. Tìm m để từ điểm A ( 0; m ) kẻ được hai tiếp tuyến với ( C ) : y =

x+2
sao cho hai
x −1

tiếp điểm nằm về hai phía so với trục hoành.
VIII. Các bài toán khác về tiếp tuyến
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 3 ( C ) . Chứng minh rằng trong số các tiếp
tuyến của ( C ) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải. Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị ( C ) là k = y ' = 3x 2 + 6 x − 9
và y ' ' = 6 x + 6 . Giải y '' = 0 ⇔ 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1 .
Điểm uốn U ( −1;14 ) . Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là k = −12 .
2
Bảng biến thiên của hàm số y ' = g ( x ) = 3 x + 6 x − 9

24

x
g' ( x )

−∞

-1
0

-

+∞

+

+∞

+∞

g ( x)

−12
Từ bảng biến thiên suy ra k ≥ −12 . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi x = −1 (hoành độ
điểm uốn) (Điều phải chứng minh).
Ví dụ 2. Cho hàm số y =

mx 2 + (m − 1) x + m 2 + m
x−m

(C ) . Tìm điểm x0 để với mọi m ≠ 0 ,

tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại điểm x0 song song với một đường thẳng cố định.
Tìm hệ số góc của đường thẳng đó.
Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x0 là y '( x0 ) =

mx02 − 2m 2 x0 − 2m 2
.
( x0 − m) 2

Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y ' ( x0 ) = k ( hằng số) , ∀m ≠ 0
⇔

mx02 − 2m 2 x0 − 2m 2
= k , ∀m ≠ 0 ⇔ (2 x0 + 2 + k )m 2 − (2kx0 + x02 )m + kx02 = 0, ∀m ≠ 0 .
( x0 − m) 2

2 x0 + 2 + k = 0 (1)
k = 0

⇔ 2kx0 + x02 = 0 (2) . Từ phương trình (3) ⇔ 
 x0 = 0
 2
kx
=
0
(3)
 0

* Với x0 = 0 suy ra k = −2 (thoả mãn).
 x0 = −1

(vô nghiệm).
 x0 = 0

* Với k = 0 suy ra 

Vậy x0 = 0 và k = −2 thì tiếp tuyến của ( C ) tại x0 song song với một đường thẳng cố
định.
Ví dụ 3. Cho hàm số y =

x+2
có đồ thị ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ
2x + 3

thị ( C ) , biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác
AOB cân tại O .

Giải
Phân tích: tiếp tuyến d cần tìm thỏa mãn - d là tiếp tuyến của ( C )
- d cắt Ox tại A và cắt Oy tại B
- OA = OB .
25