Trả lời câu hỏi ôn tập cuối kì VẬT LÝ CHẤT RẮN

VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

CÂU HỎI ÔN TẬP CUỐI KÌ

Câu 1 : Nhiệt dung của mạng tinh thể:

a. Nhiệt dung C: là nhiệt lượng cần thiết ∆𝑄 làm cho chất rắn tăng ∆𝑄 : C =

∆𝑄
∆𝑄

Phần đóng góp của các phonon vào nhiệt dung của tinh thể đc gọi là nhiệt dung mạng.
Khi đấy, năng lượng của các phonon ở nhiệt độ T trong tinh thể chính là tổng năng lượng
của các mode phonon. ( q trong công thức dưới nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé!!!).

Với: + Gốc năng lượng đc chọn ở năng lượng = 0
+ Mode p = 1 … 3s ( với s là số nguyên tử / ô đơn vị )
⃗ và mode p ở trạng thái cân bằng
+ 〈𝑄⃗⃗𝑄𝑄 〉 : độ lấp đầy của các phonon có vecto sóng ⃗𝑄
nhiệt.
b. Nhiệt dung mạng:
Xét dao động tử trong 1 bể nhiệt:
➢ Xác suất tìm thấy dao động tử này ở trạng thái kích thích có năng lượng En đc cho bởi
phân bố Boltzmann:

Trong đó, Po là
từ điều kiện

hằng số

chuẩn

➢ Khi đó, ta nhận đc:
➢ Vậy số dao động tử trung bình ở trạng thái kích thích:
Page 1

đc xác định
hóa


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ Từ đó, ta nhận đc hàm phân bố Planck :
➢ Thế biểu thức này vào công thức E ở
câu a, ta đc: ( q trong công thức dưới nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé!!!).

[1]
⃗⃗ bằng tích phân theo tham số → cần đưa vào khái
➢ Để thuận tiện, ta thay thế tổng theo 𝑄
niệm “mật độ các mode” ( hay “mật độ trạng thái” ) Dp(𝑄) là hàm biểu diễn số mode
( của giá trị s đã cho) trong dải tần số (𝑄 ; 𝑄 + 𝑄(𝑄)).
➢ Khi đó, năng lượng E trong công thức [1] sẽ đc viết lại theo Dp(𝑄). Bằng cách lấy đạo
hàm của E theo nhiệt độ T, ta nhận đc nhiệt dung mạng:

Câu 2 : Trình bày về mật độ trạng thái trong các trường hợp 1 chiều và 3 chiều:
2.1 Trường hợp 1 chiều:
➢ Xét sóng dọc trong thanh dài. Nghiệm đối với độ dịch chuyển của nguyên tử:
u(x) = Aeiqx

[1]

➢ Áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho độ dịch chuyển này:
● Để đầu bên phải thanh có cùng trạng thái dao động như đầu bên trái, ta hình dung
thanh bị biến dạng thành hình tròn sao cho 2 đầu đc nối với nhau. Nếu chiều dài
thanh là L, chọn gốc tọa độ ở đầu trái, đk biên tuần hoàn sẽ là:
u(x=0) = u(x=L)
[2]
● Thay [2] vào [1] ta có : eiqL = 1 => q = n2𝑄/𝑄 , với n là số nguyên ( 0;
± 1; ± 2; … ) => mỗi giá trị q sẽ biểu diễn 1 mode dao động.
Page 2


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

● Khi vẽ các giá trị q dọc theo trục q, chúng tạo thành lưới 1 chiều cách đều nhau
khoảng 2𝑄/L => nếu chiều dài thanh đủ lớn, khoảng cách giữa các điểm sẽ nhỏ và
các điểm này tạo thành lưới bán liên tục.
● Giả sử chọn 1 đoạn dq trong ko gian q=> Số mode mà các giá trị q nằm trong
khoảng này =

𝑄
2𝑄

dq.

● Xét số mode trong dải tần số d𝑄 nằm giữa (𝑄 ; 𝑄 + d𝑄) => số mode đó chính là

D(𝑄)𝑄𝑄 =

𝑄
2𝑄

dq

● Khi tính D(𝑄), ta phải xét các mode nằm ở phần q dương và q âm => việc này
tương đương với phép nhân biểu thức trên cho 2:
𝑄 1
D(𝑄) =
2𝑄 𝑄𝑄
𝑄𝑄

2.2 Trường hợp 3 chiều:
⃗⃗ = 𝑄
⃗⃗ exp[ i(qxx + qyy + qzz)] với sự lan truyền sóng đc mô tả bởi
Ta có nghiệm sóng: 𝑄
⃗𝑄
⃗ = (qx; qy; qz) mà hướng của nó chỉ hướng truyền sóng.
⃗ phải thỏa:
➢ Giả sử tinh thể là hình lập phương có cạnh L. Khi xét đk biên, các giá của ⃗𝑄

➢ Từ đó, ta có:

với ℓ,m,n là các số nguyên.

➢ Nếu ta vẽ các giá trị này trong ko gian q, ta nhận đc lưới lập phương 3 chiều => phần
thể tích ứng với mỗi điểm thuộc ko gian q : (2𝑄/L)3
➢ Với mỗi điểm trên, ta xác đinh đc 1 mode => số mode nằm trong lớp vỏ cầu bán kính q

→ q + dq :
D(𝑄)𝑄𝑄 =

Với V =

L3: thể tích tinh thể ; 4𝑄q2dq : thể tích lớp vỏ.

Khi đó:

Lưu ý: biểu thức trên chỉ đúng với chất rắn đẳng hướng vì khi ấy,tần số dao động 𝑄
⃗ .
ko phụ thuộc vào hướng ⃗𝑄
Page 3


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

Câu 3: Trình bày về mô hình Debye:
Xem Homework 5, câu 2a.
Câu 4: Trình bày về mô hình Einstein:
➢ Trong mô hình Einstein, mật độ trạng thái đc đặt gần đúng bằng hàm số 𝑄 ở tần số
Einstein 𝑄E:
D(𝑄) = N𝑄( 𝑄 − 𝑄E)
Với N: số nguyên tử hay dao động tử
Hàm 𝑄(x) = +∞ khi x = 0

+∞

=> ∫−∞

𝑄(𝑄)𝑄𝑄 = 1

0 khi x ≠ 0
➢ Khi đấy, năng lượng E khi viết theo D(𝑄) sẽ là:
Hệ số “3” trong công thức
với ba bậc tự do của dao

trên ứng
động tử

⇨ Nhiệt dung đẳng tích:
➢ Nhận xét:
● Giới hạn nhiệt độ cao của mô hình Einstein cũng giống như mô hình Debye, tức là
CV = 3NkB ( Định luật Dulong - Petit )
● Ở nhiệt độ thấp, CV ~ exp( -𝑄𝑄E/kT), khác với quy luật T3 bên mô hình Debye. Lý
do: ở nhiệt độ thấp, các phonon âm và mô hình D. gần đúng tố hơn mô hình E. Mô
hình E. thường đc dùng để làm gần đúng phần đóng góp của các phonon quang.
Câu 5 : Định luật Fourier về truyền nhiệt:
➢ Khi có sự chênh lệch nhiệt độ giữa 2 điểm, nhiệt truyền từ chỗ nóng hơn đến chỗ lạnh
hơn.
➢ Mật độ dòng nhiệt j ( nhiệt lượng truyền qua 1 đơn vị diện tích trong 1 đơn vị thời gian)
tỉ lệ thuận với gradien nhiệt độ: j = −𝑄

𝑄𝑄
𝑄𝑄

Trong đó: + K: độ dẫn nhiệt
+ Dấu “ – “ cho biết chiều truyền nhiệt ngược với chiều gradien nhiệt độ.

Page 4


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ Hình dung trong vật liệu có chất khí phonon chuyển độ hỗn loạn theo mọi phương tương
ứng với mọi giá trị q trong vùng Brillouin. Mật độ phonon ở đầu nóng lớn hơn ở đầu lạnh.
Sử dụng lý thuyết động học khí, độ dẫn nhiệt: K = CVυℓ / 3
Trong đó:
+ CV : nhiệt dung ứng với 1 đơn vị thể tích.
+ υ : vận tốc hạt phonon.
+ ℓ : quãng đường tự do trung bình của các phonon
⇨ Khoảng cách trung bình giữa 2 biến cố tán xạ liên tục : ℓ = υ𝑄 , (𝑄 ∶ thời
gian hồi phục).
1

𝑄𝑄

3

𝑄𝑄

➢ Thay K vào công thức mật độ j ta đc: j = 𝑄𝑄 𝑄𝑄 (−

)

Câu 6 : Khí electron tự do của hệ một chiều. Khái niệm mức năng lượng Fermi.

6.1/ Khí electron tự do của hệ một chiều:
➢ Giả sử điện tử có khối lượng m bị giới hạn trong phạm vi có độ dài L bởi hàng rào thế
năng vô hạn.
❖ Hàm sóng 𝑄n(x) là nghiệm của pt Schrodinger: 𝑄̂ 𝑄n(x) = En 𝑄n(x)
[1]
Trong đó, 𝑄̂ là toán tử Hamilnton ; En là năng lượng của quỹ đạo electron.
❖ Điều kiện của hàm
❖ Nghiệm của pt [1] là :

sóng : 𝑄(0) = 𝑄(𝑄) = 0.
[2]

với n là số nguyên, A là hằng số.
❖ Thay [2] vào [1], ta nhận đc trị riêng
❖ Các nghiệm này tương ứng với các sóng dừng với số nút khác nhau trong phạm vi
giếng thế năng.
➢ Xét tập hợp N điện tử hóa trị ở các trạng thái lượng tử này. Theo nguyên lý loại trừ Pauli,
mỗi trạng thái lượng tử của điện tử chỉ có thể bị chiếm nhiều nhất bởi 1 điện tử => trạng
thái điện tử trong chất rắn 1 chiều đc đặc trưng bởi 2 số lượng tử n và ms.
Trong đó, n đặc trưng cho quỹ đạo 𝑄n(x);
ms mô tả hình chiếu spin lên 1 trục => ms = ± 1/2
⇨ Như vậy, mỗi quỹ đạo đc ký hiệu bởi số lượng tử n có thể chứa 2 điện tử: 1 điện tử
có spin hương lên và ngược lại.
Page 5


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

6.2 / Khái niệm năng lượng Fermi:
➢ Ký hiệu nF tương ứng với mức năng lượng cao nhất bị chiếm bởi các điện tử. Tổng số
điện tử là N và giả sử N chẵn => N = 2 nF
➢ Năng lượng của mức bị chiếm
cao nhất đc gọi là bl Fermi Ef ( chỉ
đúng khi ở 00K). Đối với hệ 1
chiều gồm N điện tử:
Câu 7 : Hàm phân bố Fermi:
➢ Khi ở nhiệt độ khác 0, sự phân bố các điện tử trên các mức năng lượng đc mô tả bởi hàm
phân bố f(E), đc định nghĩa là xác suất để năng lượng E bị chiếm bởi các điện tử.
➢ Ở 00K, hàm f(E) = 1, E< Ef
tức là mọi mức dưới Ef đều đc điền đầy và mọi mức
0, E > Ef
➢

trên Ef thì hoàn toàn trống.

Khi hệ bị nung nóng ( T > 00K), năng lượng nhiệt kích thích các điện tử, một số chuyển
lên mức cao hơn Ef
Hàm phân bố:
với 𝑄 𝑄à 𝑄𝑄ế 𝑄ó𝑄 𝑄ọ𝑄.

Câu 8 : Khí điện tử tự do của hệ 3 chiều:
8.1/ Phương trình Schrodinger:
➢ Pt Schrodinger có dạng: ( r nhớthêm dấu vecto “ →” vào nhé!!! )

[1]
➢ Nếu các điện tử bị “nhốt” trong hình lập phương có cạnh L, nghiệm của pt là sóng dừng
Với nx ,ny, nz là các số nguyên
dương.

kiện biên: ( viết tương tự cho

Page 6

➢ Ta đưa vào các điều
các tọa độ y,z).


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ Nghiệm của pt [1] thỏa các đk biên này có dạng: Ψn(𝑄⃑) = Aexp(i𝑄⃑𝑄⃑) với 𝑄⃑ là vecto
sóng.
⇨ Rút ra đc các biểu thức các thành
phần
của 𝑄⃑ :
➢ Nếu thế nghiệm vào [1], ta nhận đc các giá trị năng lượng của quỹ đạo vecto sóng𝑄⃑ :

➢ Các hàm sóng Ψn(𝑄⃑) là các hàm riêng của các toán tử động lượng : 𝑄⃑ = −𝑄𝑄𝑄 có thể
làm tường minh bởi biểu thức :
𝑄⃑ Ψk(𝑄⃑) = −𝑄𝑄𝑄 Ψk(𝑄⃑) = 𝑄𝑄⃑ Ψk(𝑄⃑)
⇨ Từ trị riêng của động lượng là 𝑄𝑄⃑ , vận tốc của điện tử là: 𝑄⃑ = 𝑄⃑ / m = 𝑄𝑄⃑
/m.
8.2/ Năng lượng Fermi_ Vận tốc Fermi:
➢ Ở trạng thái cơ bản, hệ N điện tử chiếm các trạng thái với năng lượng thấp nhất => mọi
trạng thái bị chiếm nằm bên trong hình cầu bán kính kF. Năng lượng ở bề mặt hình cầu
này là EF.
⇨ Độ lớn của vecto sóng kF và năng lượng EF liên hệ bởi: EF = 𝑄2kF2 / (2m)
➢ Tất cả các quỹ đạo bên trong hình cầu bán kính kF phải bằng tổng số điện tử N.

⇨ Tổng số trạng thái trong hình cầu trên:

với
● hệ số “2” là do suy biến.
● thể tích trong ko gian 𝑄⃑ bị chiếm bởi 2 trạng thái spin ứng với giá trị
kx,ky,kz là (2𝑄 / L )3.
● Thể tích hình cầu V = 4𝑄kF3/3.
➢ Khi đó:

=> kF chỉ phụ thuộc vào mật độ điện tử

Năng lượng Fermi:

Page 7


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

⇨
Vận tốc Fermi:

Câu 9: Hàm mật độ trạng thái:
➢ Từ biểu thức năng lượng Fermi, tổng số quỹ đạo có năng lượng nhỏ hơn E sẽ là:
N(E) =

𝑄
2𝑄

2(

2𝑄𝑄 3/2
)
𝑄2

⇨ Hàm mật độ trạng thái là đạo hàm của E theo N: D(E) = 3N /( 2E)
➢ Vậy số trạng thái trong khoảng năng lượng bằng đơn vị ở mức Fermi D(EF) là tổng số
điện tử dẫn chia cho năng lượng Fermi ( với độ chính xác bằng hệ số có bậc của đơn vị).
𝑄

➢ Mật độ trạng thái đc chuẩn hóa sao thỏa: N = ∫0 𝑄

𝑄(𝑄𝑄 )𝑄𝑄 => biểu thức này cho ta

tổng số điện tử trong hệ.
Câu 10: Nhiệt dung của khí điện tử:
➢ Khi đun nóng vật liệu từ 00K, chỉ các điện tử có năng lượng nằm trong khoảng kBT tính
từ mức Fermi mới có thể bị kích thích nhiệt → các điện tử này nhận thêm năng lượng có
bậc kBT
➢ Nếu N là tổng số điện tử, chỉ phần có bậc bằng

có thể bị kích thích nhiệt ở

nhiệt độ T. Tổng động năng của các điện tử nhiệt này có bậc của
Nhiệt dung điện tử 𝑄𝑄𝑄 = 𝑄𝑄/𝑄𝑄 ≈ 𝑄𝑄𝑄 (
quả đo thực nghiệm.
➢ Nhiệt dung điện tử :
❖ Ở nhiệt độ thấp kBT ≪ EF :

❖ Ở nhiệt độ cao EF >> kBT:

Page 8

𝑄𝑄 𝑄
𝑄𝑄

.

)và tỉ lệ thuận với T phù hợp với các kết


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ Đối với khí điện tử tự do, dựa trên mật độ trạng thái D(E) = 3N /( 2E), ta nhận đc nhiệt
dung Cel =

𝑄2
2

NkB( T/ TF ), với nhiệt độ Fermi TF = EF /kB.

➢ Trong thực tế,nhiệt dung ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Debye và nhiệt độ Fermi có thể
được biểu diễn: 𝑄 = 𝑄𝑄𝑄 + 𝑄𝑄𝑄 = 𝑄𝑄 + 𝑄𝑄3 , trong đó điện tử trội ở các nhiệt độ thấp
=> các hằng số 𝑄 và 𝑄 có thể nhận đc từ số liệu thực nghiệm.
Câu 11 : Các luận điểm của mô hình Drude:
a) Các điện tử được xem như các hạt cổ điển trong phép gần đúng điện tử tự do .
● Khi không có trường điện tử ngoài, mỗi điện tử chuyển động thẳng đều ,bỏ qua các

tương tác với các điện tử và ion .
● Ngược lại, mỗi điện tử chuyển động tuân theo các định luật Newton.
b) Các điện tử chuyển động tự do giữa các lần va chạm với tâm tán xạ → Các va chạm là các
sự kiện tức thời làm thay đổi đột ngột vận tốc các điện tử.
c) Xác suất xảy ra va chạm của các điện tử trong một đơn vị thời gian là 1/𝑄 ( 𝑄 là thời
gian hồi phục hay khoảng thời gian trung bình giữa 2 lần va chạm ) → Xác suất xảy ra va
chạm của điện tử dt là dt/𝑄.
❖ Thời gian hồi phục 𝑄 không phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của điện tử.
d) Các điện tử đạt trạng thái cân bằng với môi trường xung quanh chỉ thông qua va chạm
nhiệt. Ngay sau mỗi va chạm, điện tử nhận vận tốc không liên hệ với vận tốc của nó trước
khi va chạm và có tính định hướng ngẫu nhiên.
Câu 12:Độ dẫn điện của kim loại, liên hệ giữa vec-tơ mật độ dòng điện và vận tốc
trôi, định luật Ohm:
12.1 Độ dẫn điện của kim loại:
⃗ và cường độ dòng điện trường ⃗𝑄
⃗
➢ Độ dẫn điện là hằng số tỉ lệ giữa mật độ dòng điện ⃗𝑄
⃗ = 𝑄𝑄
⃗⃗
tại điểm khảo sát trong kim loại: ⃗𝑄
[1]
➢ Mặt khác ta có mối liên hệ giữa mật độ dòng điện với vận tốc có hướng trung bình của
⃗ (vận tốc trôi): ⃗𝑄
⃗ = - ne ⃗𝑄
⃗
các điện tử ⃗𝑄
[2]
( trong đó, dấu (-) cho biết chiều chuyển động của các điện tử ngược chiều dòng điện )
12.2 Liên hệ:
Xét điện tử được gia tốc bởi điện trường ngoài.

⃗⃗ có biểu thức 𝑄
⃗⃗ = -e𝑄
⃗⃗ 𝑄 /m => thế vào [2], ta đc: 𝑄
⃗⃗ = -ne2𝑄
⃗⃗ 𝑄 /m
➢ Vận tốc trôi 𝑄

Page 9


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ so sánh biểu thức này với [1], ta có biểu thức của độ dẫn điện :𝑄

=

𝑄𝑄2 𝑄

𝑄
⇨ độ dẫn điện tỉ lệ thuận với mật độ điện tử và tỉ lệ nghịch với khối lượng của nó
.Ngoài ra, độ dẫn điện còn tỉ lệ thuận với 𝑄 (𝑄 càng lớn điện tử càng được gia tốc lâu
và có vận tốc trôi lớn).
Câu 13 : Giải thích độ dẫn điện của kim loại theo quan điểm lượng tử:

➢ Giữa 2 lần va chạm liên tiếp, các electron sẽ dịch chuyển 1 khoảng lớn hơn 20 lần so với
khoảng cách giữa các nguyên tử=> Điều này lớn hơn so với dự đoán va chạm giữa các
electron với các ion của mạng
=> Nghịch lý này có thể đc giải thích bởi thuyết lượng tử nếu xem các electron đc biểu

diễn dưới dạng hàm sóng.
➢ Cụ thể: khi sóng truyền qua mạng đối xứng tuần hoàn, nó sẽ tiếp tục đc truyền đi ko giới
hạn bất kể sự tán xạ vì các nguyên tử vừa hấp thu năng lượng từ sóng, vừa bức xạ ngược
lại, mặc dù phương lẫn cường độ của sóng truyền có thay đổi.
➢ Như vậy, nếu các ion tạo thành mạng hoàn chỉnh => thời gian giữa 2 lần va chạm liên
tiếp 𝑄 = ∞ => sự dẫn điện ko giới hạn.
➢ Độ dẫn điện của các kim loại biến thiên theo nhiệt độ. Biểu diễn độ biến thiên này
thông qua quan hệ giữa điện trở suất 𝑄 với nhiệt độ trong mô hình Drude:
𝑄
𝑄 = 𝑄−1 =
𝑄𝑄2 𝑄
Câu 14 : Nguồn gốc của thời gian va chạm:
➢ Tính hữu hạn của độ dẫn điện có nguồn gốc từ sự không hoàn hảo trong tính tuần hoàn
của mạng tinh thể .Điều này xảy ra do:
● Dao động nhiệt của các ion.
● Tạp chất hay các khuyết tập của mạng tinh thể.
➢ Xác suất tổng để xảy ra va chạm của điện tử trong một đơn vị thời gian = tổng các xác
suất tán xạ bởi phonon và bởi khuyết tật.
● Do hai cơ chế này có thể được giả sử độc lập với nhau, ta có:
1
𝑄

=

1
𝑄𝑄

+

1

𝑄𝑄𝑄

[1]

( Trong đó: 𝑄𝑄 là do các khuyết tật ; 𝑄𝑄𝑄 do các phonon)
→sự tán xạ của các khuyết tật không phụ thuộc vào nhiệt độ, còn tán xạ của các
phonon phụ thuộc vào nhiệt độ do số phonon tăng theo nhiệt độ.

Page 10


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

● Thế [1] vào 𝑄 =

𝑄
2

𝑄𝑄 𝑄

ta có 𝑄 = 𝑄𝑄 + 𝑄𝑄𝑄 =

𝑄
2

𝑄𝑄 𝑄𝑄

+

𝑄
2

𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄

( Trong đó, số hạng 𝑄𝑄 không phụ thuộc vào nhiệt độ gọi là điện trở suất dư; số hạng
𝑄𝑄𝑄 phụ thuộc vào nhiệt độ gọi là điện trở suất mạng ).
➢ Ở nhiệt độ rất thấp, tán xạ bởi các phonon không đáng kể do biên độ dao động rất nhỏ.
𝑄𝑄𝑄 → ∞, 𝑄𝑄𝑄 → 0 => 𝑄 = 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄.
➢ Khi nhiệt độ tăng,tán xạ bởi phonon trở nên đáng kể hơn và 𝑄𝑄𝑄 tăng làm 𝑄 tăng.Khi
nhiệt độ đủ lớn tán xạ ,tán xạ bởi phonon trội và tỉ lệ với 𝑄𝑄𝑄 .
Việc 𝑄á𝑄𝑄 𝑄 thành hai phần được gọi là quy tắc Mathiessen.

Câu 15: Độ dẫn nhiệt và định luật Wiedemann-Franz
15.1 Độ dẫn nhiệt:
➢ Trong chất cách điện, nhiệt được mang hoàn toàn bởi các phonon, nhưng trong kim loại
nhiệt được vận chuyển bởi điện tử và phonon, tương ứng với Ke và Kph.
=> Độ dẫn nhiệt K = tổng của 2 phần: K = Ke+ Kph
➢ Trong phần lớn kim loại phần đóng góp của các điện tử lớn hơn nhiều phần đóng góp của
phonon do mật độ điện tử lớn .
➢ Từ K = CeℓvFℓ/3 ( với Ceℓ: nhiệt dung e trong đơn vị thể tích; v: Vận tốc Fermi ; ℓ :
quãng đường tự do trung bình tại mức năng lượng Fermi ), ta đc:
1 𝑄2

K= (

3 2

1

𝑄

2

➢ Với 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑄 𝑄à
2

𝑄𝑄

𝑄

𝑄𝑄 𝑄
𝑄𝑄

)𝑄𝑄 𝑄

= 𝑄 ,ta đơn giản phương trình trên thành K =

𝑄2 𝑄𝑄𝑄 2 𝑄𝑄
3𝑄

15.2 Định luật W-F:
➢ Từ biểu thức của độ dẫn điện 𝑄 =
𝑄
𝑄

=

1 𝑄𝑄𝑄 2

(
) 𝑄
3 𝑄

𝑄𝑄2 𝑄
3𝑄

,ta tìm đc:

= 𝑄𝑄 => Công thức Wiedemann-Franz.

Hằng số tỉ lệ L được gọi là số Lorentz, không phụ thuộc vào kim loại và bằng
2,45.10-18 ( WΩ/𝑄2 ).
➢ Phát biểu định luật W-F: Tỉ số giữa độ dẫn điện và độ dẫn nhiệt tỉ lệ thuận với nhiệt độ.
Câu 16: Cộng hưởng Cyclotron:
Page 11


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ Nếu kim loại được đặt trong từ trường ngoài,điện tử sẽ chịu tác dụng của lực Lorenz
⃗⃗ + ( ⃗⃗𝑄 × 𝑄
⃗⃗ )]
F = - e[𝑄
➢ Nếu từ trường hướng dọc theo trục z ta có các thành phần của công thức trên là
𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄

= −𝑄𝑄 𝑄𝑄 ;

𝑄𝑄𝑄
𝑄𝑄

= 𝑄𝑄 𝑄𝑄 với 𝑄𝑄 =

𝑄𝑄
𝑄

là tần số Cyclotron

→Vậy từ trường làm cho các điện tử chuyển động ngược chiều kim đồng hồ trong mặt
phẳng vuông góc với trục.
⃗⃗ .
Xét sóng điện từ truyền qua sóng phẳng theo phương song song với 𝑄
➢ Điện trường của sóng điện từ tác dụng lên các điện tử và một phần năng lượng sóng bị
hấp thụ .Độ hấp thụ lớn nhất khi tần số của sóng dừng bằng tần số Cyclotron => cộng
hưởng Cycloron .
➢ Cộng hưởng Cyclotron thường dùng để đo khối lượng các điện tử trong bán dẫn và trong
kim loại.
Câu 17: Hiệu ứng Hall
➢ Xét dòng điện có mật độ Jx chạy trong dây dẫn theo phương x và từ trường Bz ⊥ với
dây dẫn theo hướng phương z.Ta nhận thấy xuất hiện một điện trường mới ⊥ với Jx và Bz
,tức là hướng trên trục y .Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Hall.

➢ Dưới tác dụng của lực Lorentz, các điện tử có quỹ đạo bị bẻ cong.
⇨ Tất cả các điện tử tập trung nhiều ở mặt dưới, tạo ra điện tích (-) tại đó; đồng thời
xuất hiện điện tích (+) ở mặt trên do thiếu đi các điện tử.Các đtich (+) và (-) ở 2
mặt này tạo ra điện trường hướng xuống EH được gọi là điện trường Hall.

EH = Ey =

−1
𝑄𝑄

𝑄𝑄 𝑄𝑄

Với hằng số tỉ lệ RH = -1/ne được gọi là hằng số Hall và chỉ phụ thuộc vào hạt mang
điện.
Page 12


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ Ta xác định mật độ của hạt mang điện bằng cách đo mật độ điện trường Hall.Từ kết quả
đó ta có thể đánh giá số điện tử hóa trị tham gia vào quá trình dẫn điện trong vật liệu.
Câu 18: Phép gần đúng của các điện tử độc lập (không tương tác).Bloch electron
➢ Ta khảo sát mô hình điện tử gần tự do chuyển động trong trường thế năng tuần hoàn đc
⃗⃗ ) = U(𝑄
⃗⃗ + 𝑄
⃗⃗ ) với 𝑄
⃗⃗ là vecto mạng thuận.
tạo bới các ion dương: U(𝑄
➢ Trong phép gần đúng của điện tử không tương tác, các tính chất điện tử trong chất rắn
ћ2

được mô tả trong phương trình sóng Schrodinger :[− 2𝑄 𝑄2 + 𝑄(⃗⃗⃗𝑄)]𝑄(⃗⃗⃗𝑄) = 𝑄𝑄(⃗⃗⃗𝑄)
⃗⃗ ) hàm sóng đối với 1 điện tử

với 𝑄(𝑄
⇨ Các điện tử độc lập tuân theo phương trình trên được gọi là các điện tử Bloch.
Câu19: Các tính chất của nghiệm phương trình Schrodinger khi tính đến tuần
hoàn của thế năng: điều kiện biên tuần hoàn,dạng khai triển Fourier của thế
năng,hệ phương trình liên kết, định lý Bloch.
⃗⃗ ) =
➢ Ta biểu diễn nghiệm của phương trình theo dưới dạng sóng phẳng: 𝑄(𝑄
➢ Tổng được thực hiện theo mọi vecto k được phép với các điều kiện biên tuần hoàn
𝑄(𝑄, 𝑄, 𝑄) = 𝑄(𝑄 + 𝑄, 𝑄, 𝑄) = 𝑄(𝑄, 𝑄 + 𝑄, 𝑄) = 𝑄(𝑄, 𝑄, 𝑄 + 𝑄)
𝑄à 𝑄𝑄 =

2𝑄𝑄𝑄
2𝑄𝑄𝑄
2𝑄𝑄𝑄
; 𝑄𝑄 =
; 𝑄𝑄 =
𝑄ớ𝑄 𝑄𝑄 , 𝑄𝑄 , 𝑄𝑄 𝑄à 𝑄á𝑄 𝑄ố 𝑄𝑄𝑄𝑄ê𝑄
𝑄
𝑄
𝑄

➢ Thế năng tuần hoàn bất biến đối với phép tịnh tiến trong tinh thể → phép khai triển sóng
phẳng chỉ chứa các sóng phẳng với tính tuần hoàn của mạng → chỉ còn lại các vecto
mạng đảo trong phép khai triển Fourier đối với thế năng:
Fourier tương ứng với
➢ Thế năng

,

,

: số hạt

với Vc là thể tích của ô đơn vị.

được biểu diễn như ở trên là tuần hoàn

.
➢ Ta có hệ pt tuyến tính (cách biểu diễn khác) đối với các hệ số 𝑄⃗𝑄

⇨ Hệ pt này là pt Schrodinger trong không gian động lượng được đơn giản hóa dựa
trên tính chất tuần hoàn của thế năng.
Nhận xét:
Page 13


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

⃗ , hệ phương trình trên chỉ liên kết với hệ số mà vecto sóng của
❖ Với một giá trị của vecto 𝑄
chúng khác vecto ⃗𝑄 một lượng bằng vecto mạng đảo .
❖ Ta có thể giả sử rằng vecto ⃗𝑄 thuộc vùng Brillouin thứ nhất.Bài toán bây giờ được tách
⃗ trong
thành bài toán N(là số nguyên tử của mạng) đối với mỗi giá trị được xét của vecto 𝑄
vùng Brillouin được xét.
⃗⃗ của
❖ Mỗi bài toán như vậy có nghiệm là tổ hợp của các sóng phẳng chỉ chứa vecto sóng 𝑄

mạng đảo và ta đưa vào chỉ số k đối với hàm sóng. Khi đó:
=> định lí Bloch, với

hoặc

là hàm tuần hoàn được định nghĩa

.
Câu 20: Các hệ quả rút ra từ định lý Bloch:
a) Khái niệm động lượng của tinh thể:
⃗ có vai trò quan trọng trong trường thế năng tuần hoàn
➢ Định lý Bloch đưa vào sóng ⃗𝑄
⃗ của điện tử tự do.Mặt dù vecto sóng của điện tử tự do ⃗𝑄
⃗ = ⃗𝑄
⃗ /ћ (
tương tự, vecto sóng ⃗𝑄
⃗ là động lượng của điện tử ), trong trường hợp Bloch, ⃗𝑄
⃗ không tỉ lê thuận với động
với ⃗𝑄
lượng của điện tử .
⃗⃗ là dạng mở rộng tự nhiên của vecto P đối với
➢ Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, ћ𝑄
trường hợp thế năng tuần hoàn.Nó được gọi là động lượng tinh thể của điện tử hay quasimomentum
b) Các sơ đồ vùng năng lượng điện tử:
⃗ xuất hiện trong định lý Bloch có thể bị giới hạn trong vùng Brillouin thứ
➢ Vecto sóng ⃗𝑄
⃗ ′ không nằm trong vùng Brillouin thứ nhất, đc viết qua:
nhất. Điều này là do mọi vecto ⃗𝑄
⃗⃗ ’=𝑄
⃗⃗ +𝑄

⃗⃗ với G là là vecto mạng đảo
𝑄
➢ Năng lượng E của điện tử tự do phụ thuộc vào k được biểu diễn dưới dạng đường
parabol(H.1)
➢ H.2 trình bày kết quả của phép tịnh tiến này. Các đoạn của đường parabol trong H.1 bị cắt
tại biên của các vùng và bị tịnh tiến đi một lượng bằng bội số lần G = 2𝑄/a để đảm bảo
rằng năng lượng như nhau tại hai điểm tương đương bất kì . H.3 là dạng của phổ năng
lượng khi giới hạn trong vùng Brillouin thứ nhất.

Page 14


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

H.1

H.2

Sơ đồ khai triển vùng

Sơ đồ tuần hoàn vùng

H.3
Sơ đồ thu gọn vùng

● Tất cả các cách biểu diễn này là tương đương nhau ,viêc sử dụng các cách biểu
diễn nào đó tùy vào sự thuận tiện.
c) Các vùng năng lượng trong chất rắn:

➢ Ta có pt trị riêng Schrodinger:
⃗⃗ )𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄
⃗⃗ ) = [−
𝑄(𝑄

ћ2
2𝑄

2

⃗⃗ + 𝑄) + 𝑄(𝑄
⃗⃗ )]𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄
⃗⃗ ) = 𝑄(𝑄
⃗⃗ )𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄
⃗⃗ )
(𝑄𝑄

[1]

⃗ ) = 𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄
⃗⃗ + ⃗𝑄
⃗)
Với điều kiện riêng 𝑄⃗𝑄⃗ (⃗𝑄
➢ Do điều kiện riêng tuần hoàn ta có thể xem [1] như bài toán trị riêng giới hạn trong một ô
cơ sở của tinh thể .Ta sẽ có một họ vô hạn các nghiệm với các trị riêng rời rạc được đánh
⃗ ) cho biết mỗi giá trị của n và vecto ⃗𝑄
⃗ ,đặc
số bằng chỉ số vùng n => Hàm Bloch 𝑄𝑄𝑄⃗⃗ (⃗𝑄
trưng cho trạng thái của điện tử hay quỹ đạo với năng lượng En(k).
⃗ xác định thay đổi liên tục khi vecto ⃗𝑄

⃗ thay đổi
➢ Mỗi mức năng lượng đối với một vecto ⃗𝑄
=> mô tả đc các mức của điện tử trong trường thế tuần hoàn dưới dạng họ của các hàm
liên tục En(k).
➢ Đối với mỗi giá trị n, tập hợp các mức điện tử được đặc trưng bởi En(k) được gọi là vùng
⃗ được gọi là vùng
năng lượng.Thông tin chứa các hàm này đối với các giá trị n và vecto ⃗𝑄
năng lượng chất rắn.

d) Số trạng thái trong vùng:
➢ Số quỹ đạo trong một vùng giới hạn bởi vùng Brillouin thứ nhất bằng số ô đơn vị N trong
tinh thể.
➢ Xét trường hợp một chiều.

Page 15


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

● Các giá trị cho phép của k tạo thành lưới cách đều nhau khoảng 2𝑄/𝑄.Số trạng thái
trong một vùng có chiều dài 2𝑄/a sẽ là L/a =N (số ô đơn vị)
● Lập luận tương tự cho mạng 2 và 3 chiều.
➢ Mỗi vùng có N trạng thái bên trong vùng Brillouin thứ nhất. Theo nguyên lý loại trừ
Pauli, mỗi trạng thái chứa tối đa hai điện tử .Vậy số tối đa các điện tử có thể chiếm một
vùng là 2N.
e) Vận tốc trung bình của điện tử trong vùng thứ n:
⃗⃗ có vận tóc trung bình khác
➢ Điện tử ở trên mức được chỉ bởi mức chỉ số vùng n và vecto 𝑄

⃗ ) = dEn(𝑄
⃗⃗ ) / (ħd𝑄
⃗⃗ )
0: 𝑄𝑄 (⃗𝑄
➢ Ta có thể chứng minh bằng :

𝑄ћ

̂ = (− )𝑄 là toán tử vecto vận tốc.
⟨𝑄𝑄 ⟩ = ⟨𝑄𝑄 ⟩ = ⟨𝑄𝑄 ⟩ do ⃗⃗⃗𝑄
𝑄

➢ Vậy có những nút tĩnh đối với điện tử trong trường thế năng tuần hoàn sao cho nó chuyển
động mãi mãi không bị suy giảm vận tốc trung bình.Điều này tương phản với mô hình
Drude trong đó các va chạm giữa điện tử với các ion luôn được tịnh tiến.

Câu 21: Giải bài toán trong trường hợp thé năng yếu sử dụng lý thuyết nhiễu loạn,
trường hợp khoảng cách giữa các vùng năng lượng lớn
2

ћ
➢ Khi thế năng bằng 0 nghiệm của phương trình(2𝑄
𝑄2 − 𝑄)𝑄⃗⃗𝑄 + ∑𝑄

𝑄𝑄 𝑄⃗⃗𝑄−𝑄⃗⃗ =0 là các

sóng phẳng có
⃗⃗ )=ћ2k2/2m
Trị riêng E0(𝑄

⃗)=
Hàm sóng 𝑄⃗𝑄⃗ 0 (⃗𝑄

1
√𝑄𝑄

⃗⃗ ⃗𝑄
⃗ ) được chuẩn hóa trong thể tích của đơn vị Vc.
exp(𝑄𝑄

⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗𝑄)| ≫ 𝑄 với mọi ⃗𝑄
⃗ ≠
➢ Điều kiện để sử dụng lý thuyết nhiễu loạn là |𝑄0 (⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄0 (𝑄
0.Theo lý thuyết nhiễu loạn, năng lượng:
0

0 2

0

⃗ ) = 𝑄 (⃗𝑄
⃗ ) + ⟨𝑄𝑄 ⟩ + ∑
𝑄(⃗𝑄
𝑄≠0

Trong phương trình này:
Page 16

|⟨𝑄𝑄−𝑄 ⟩|

⃗ )− 𝑄0 (⃗𝑄
⃗ − ⃗𝑄
⃗)
𝑄0 (⃗𝑄


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

● Số hạng thứ 1 là giá trị bị nhiễu loạn của năng lượng của điện tử tự do
⃗⃗ )
● Số hạng thứ 2 là giá trị trung bình của thế năng được mô tả bởi hàm sóng 𝑄𝑄 0 (𝑄
1

0

𝑄

⟨𝑄𝑄 ⟩ = 𝑄 ∫𝑄𝑄𝑄𝑄
𝑄

𝑄(⃗⃗⃗𝑄)𝑄𝑄 → số hạng này là hằng số không phụ thuộc vào k → ta có

thể đặt nó bằng 0 để đơn giản .
● Số hạng thứ 3 có thể được viết lại bởi biểu thức
0

⟨𝑄𝑄−𝑄 ⟩=

1 𝑄
∫
𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄

⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ )𝑄𝑄(𝑄−𝑄)𝑄 𝑄𝑄 =
𝑄−𝑄𝑄 𝑄 𝑄(𝑄

1 𝑄
∫
𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄

⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ )𝑄𝑄 = 𝑄⃗𝑄⃗
𝑄−𝑄𝑄 𝑄 𝑄(𝑄

⇨ Cuối cùng biểu thức năng lượng
⃗ ) = 𝑄0 (⃗𝑄
⃗ )+∑𝑄≠0
𝑄(⃗𝑄

|𝑄𝑄 |2
0 ⃗⃗
⃗ −𝑄
⃗⃗ )
𝑄 (𝑄)− 𝑄0 (⃗𝑄

Câu 22: Bài toán thế tương tác yếu, trường hợp khoảng cách giữa các vùng năng
lượng nhỏ.Sự xuất hiện của vùng cấm
Lý thuyết nhiễu loạn không còn đúng trong trường hơp thế năng được xem như nhiễu
loạn nhỏ.Điều này xảy ra khi độ lớn của thế năng bằng khoảng cách giữa các vùng:
⃗ )− 𝑄0 (⃗𝑄
⃗ − ⃗𝑄
⃗)≪𝑄
𝑄0 (⃗𝑄

[1]

Trong trường hợp này ta phải đưa các mức trong phương trình Schrodinger và giải bằng
cách tường minh.
➢ Tồn tại những điểm vecto k mà các mức năng lượng trở lên suy biến và thỏa pt [1] đối
⃗⃗ này ta có𝑄0 (𝑄
⃗⃗ ) = 𝑄0 (𝑄
⃗⃗ − 𝑄
⃗⃗ )
với mọi giá trị bất kì của thế năng.Đối với các điểm vecto 𝑄
⃗⃗ phải có đầu mút nằm trong mặt phẳng trung trực
=> |⃗⃗⃗𝑄| = |⃗⃗⃗𝑄 − ⃗⃗⃗𝑄| : cho thấy vecto 𝑄
⃗⃗ và điểm của mạng đảo đặc trưng bởi vecto 𝑄
⃗⃗ .
của đường nối góc của không gian vecto 𝑄
➢ Vậy thế năng yếu có hiệu ứng đối với các mức năng lượng của điện tử tự do có vecto
sóng gần với những giá trị mà tại đó, phản xạ Bragg có thể xảy ra.
2

ћ

➢ Xét phương trình: (2𝑄
𝑄2 − 𝑄)𝑄⃗⃗𝑄 + ∑𝑄

𝑄𝑄 𝑄⃗⃗𝑄−𝑄⃗⃗ = 0 hai mức:một mức tương ứng với

⃗𝑄
⃗ − ⃗𝑄
⃗
⃗ nằm gần mặt phẳng Bragg, ta có hệ:
➢ Giả sử rằng ⃗𝑄
0
(𝑄 (⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄)𝑄𝑄 + 𝑄𝑄 𝑄𝑄−𝑄 = 0

0
(𝑄 (⃗⃗⃗𝑄 − ⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄)𝑄𝑄−𝑄 + 𝑄−𝑄 𝑄𝑄 = 0

Page 17


VẬT LÝ CHẤT RẮN

ÔN TẬP CUỐI KÌ

➢ Hệ phương trình này có nghiệm khi định thức = 0 dẫn đến pt sau (𝑄0 (⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄)(𝑄0 (⃗⃗⃗𝑄 −
⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄) − |𝑄 |2 = 0 có hai nghiệm => từ đó, ta nhận đc: E =E0(⃗⃗⃗𝑄) ± |𝑄 |
𝑄
𝑄
⇨ Vậy tại mọi điểm trong Bragg một mức bị tăng lên một lượng |𝑄𝑄 | và mức kia
giảm đi một lượng giống vậy .Có nghĩa là không tồn tại một trạng thái nào trong
khoảng hai mức này.Điều này dẫn đến sự hình thành vùng cấm .Độ lớn của vùng

cấm bằng hai lần UG của thế năng.
Câu 23:Phân loại kim loại và chất cách điện
Có thể xác định một kim loại là một chất cách điện bằng cách xét các số điện tử hóa trị.
➢ Một tinh thể là một chất cách điện chỉ khi số lượng của các điện tử hóa trị trong một ô cơ
sở của tinh thể là một số nguyên chẵn. Điều này có đc vì mỗi nhóm chỉ chứa 2 electron
trên mỗi ô cơ sở.( VD: Carbon có hai nguyên tử hóa trị bốn => có 8 điện tử hóa trị ở
mỗi ô cơ sở. Năng lượng vùng cấm của Carbon vào khoảng 7eV nên nó là một chất cách
điện tốt ).
➢ Tuy nhiên, nếu một tinh thể có một số chẵn điện tử hóa trị ở mỗi ô cơ sở, nó không nhất
thiết phải là một chất cách điện. Nếu các dãy năng lượng chồng lên nhau, thay vì nhận đc
chất cách điện từ một dãy lấp đầy, ta sẽ nhận đc 1 kim loại từ 2 dải lấp đầy độc lập.
(Vd: Mg hoặc Zn là các nguyên tử hóa trị II, có 2 điện tử hóa trị trong 1 ô nhưng chúng
ko phải là chất cách điện mà là kim loại, mặc dù độ dẫn điện của chúng nhỏ).

Page 18