đề khảo sát học sinh giỏi lớp 9

25 16............ 25 16− −
Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2008-2009
thời gian : 90 phút
*********
Phần 1 : Trắc nghiệm khách quan (3 điểm )
Câu 1 : Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng
Giá trị của biểu thức
4 4 2 2
sin cos 2sin cos
α α α α
+ + bằng
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Câu 2 : Điền dấu ( > ; < ; = ) thích hợp vào ô vuông
A
25 16−

25 16−
B.
16 9+

16 9+
C.
2004 2006+
2
2005
D.
2
a b+

ab

( với a
0
≥
; b
0
≥
)
Câu 3 : Hai đường thẳng y = kx + ( m - 2 ) ( với k
≠
0 ) và y = ( 2 - k ) x + ( 4 - m )
( với k
≠
2 ) sẽ song song với nhau khi
A. k
≠
1 ; m = 3 B. k
≠
1; m
≠
3 C. k = 1; m
≠
3 D. k = 1; m = 3
Câu 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm ; AC = 4 cm . Khi đó bán kính đường
tròn bàng tiếp trong góc A bằng
A.
7 7
2
+
cm B. 6cm C. 3cm D. 4cm
Câu 5 : Hai hệ phương trình

1
3 2 0
x y
x y
− =


− =

và
1
1
x y
ax by
− =


− = −

tương đương khi
A. a = -1 ; b = 2 B. a = 1 ; b = 2 C. a = 2 ; b = -1 D. a = 2 ; b = 1
Câu 6 : Cho đường tròn ( O: R) và dây cung AB không qua tâm O . Gọi M là điểm chính giữa
cung nhỏ AB . Biết AB =
2R
. Độ dài AM bằng
A.
3R
B .
1 2R +
C.

2 2R −
D.
2 2R +
Phần II : Bài tập tự luận ( 7 điểm)
Bài 1 ( 2 đ) Tính
( ) ( )
3 5. 3 5 10 2− + −

Bài 2 : Tìm nghiệm x > 0 ; y > 0 của hệ phương trình
2
2
420
280
x y xy
y x xy

+ =


+ =


Bài 3 : ( 2 đ) Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến MA và MB . Trên
cung nhỏ AB lấy một điểm C . Vẽ CD
⊥
AB và CF
⊥
MB ; CE
⊥
MA. Goi I là giao điểm của

AC và DE ; K là giao điểm của BC và DF . Chứng minh rằng
a. Tứ giác AECD nội tiếp
b. CD
2
= CE. CF
Bài 4 ( 1, 5 đ) Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AH ,nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi
E; F theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AD của đường tròn tâm O . M và N
theo thứ tự là trung điểm của BC ; AB . Chứng minh
a. 4 điểm A; B; H; E cùng thuộc một đường tròn
b. M là tâm đường tròn ngoại tiếp
HEF∆
C
1
1
1
1
O
M
A
B
D
E
F
2
2
420
280
x y xy
y x xy


+ =


+ =


( )
( )
2
2
420
420
280
280
x x x y y
x y xy
y x xy
y y y x x

+ =

+ =
 
⇔
 
+ =
+ =





2
2
2 2
2 2 2
9 9
420
4 4
81 3
420
16 2
81 24 6720 64
y y
y
y y
y y y
 
+ =
 ÷
 
⇔ + =
⇔ + = ⇔ =
Đáp án
Phần I : Trắc nghiêm khách quan ( 3 điểm )
Câu 1 2 3 4 5 6
Đáp án C >; < ; < ;
≥
C B D C
Bài 1 : Tính (2 điểm )
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 5. 3 5 10 2 6 2 5. 3 5 5 1
5 1 3 5 5 1 5 1 3 5
6 2 5 3 5 2 3 5 3 5 2.4 8
− + − = − + −
− + − = − +
− + = − + = =
Bài 2 : ( 1, 5 điểm )
Tìm nghiệm x > o ; y > o của hệ phương trình ( 1 )
Vì x > 0 ; y > 0 nên chia từng vế hai phương trình của hệ ta có
3 9
2 4
x y
x
y
= ⇔ =
Thay vào ( 1 ) ta có

Mà y > 0 ; x > 0 nên y = 8 ; x = 18
Bài 3 : ( 2 điểm)
a.
·
·
0
180AEC ADC+ =
=> Tứ giác AECD nội tiếp
b. Tứ giác AECD nội tiếp I
=>

·
·
0
180EAD ECD+ =
Tương tự :
·
·
0
180FCD FBD+ =
Mà
· ·
FBD EAD=
K
=>
· ·
ECD FCD=
+)
¶
µ µ
µ
1 1 1 1
D A B F= = =
Nên
EDC DFC∆ = ∆
( g-g)
=> CD
2
= CE. CF
H
1

1
1
Q
E
P
N
M
F
O
CB
A
D
Bài 4 : ( 1,5 điểm )
a.Tứ giác AEHB nội tiếp
=>
·
·
BAD EHM=
;
·
·
BAE BCD=
=>
·
·
BCD EHM=
=> HE //CD
b. MN là đường trung bình của tam giác ABC
=> MN //AC Mà
AC DC⊥

=> MN
⊥
DC Mà DC // HE
=> MN
⊥
HE
=>
∆
HNE cân có đường cao MN đồng thời là
trung trực của HE (1)
+) Lấy P là trung điểm của AC
PM là đường trung bình của
∆
ABC
=> PM //AB ; AB
⊥
BD => PM
⊥
BD
µ µ
1 1
B A=
( hai góc nội tiếp chắn cung DC) ;
¶
µ
1 1
H A=
( tứ giác AHFC nội tiếp )
=>
¶

µ
1 1
H B=
=> HF //BD mà BD
⊥
PM => HF
⊥
PM
∆
HPF cân có PM là đường cao là trung trực của HF (2)
Từ ( 1) và ( 2 ) => M là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
EHF
Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2008-2009
thời gian : 90 phút
*********
Phần 1 : Trắc nghiệm khách quan
Câu 1 : Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng
Giá trị của biểu thức
2 2
3 2 2 3 2 2
+
+ −
bằng
A. - 8
2
B. 8
2
C. 12 D. -12

Câu 2 : Hai đường thẳng y = ( m - 3 ) x + 3 ( với m
≠
3 ) và y = ( 1 - 2 m ) x + 1
( với m
≠
1
2
) sẽ cắt nhau khi
A. m =
4
3
B.
4 1
; 3;
3 2
m m m≠ ≠ ≠
C. m = 3 D.
1
2
m =

Câu 3 : Phương trình
( )
( )
2 2
1 2 2 2 0x x mx m m− − + − + =
có 3 nghiệm phân biệt khi
A. m> 1 B. m
≥
1 C.

1m ≥
và
3m ≠
D. m > 1 và
3m ≠

Câu 4 : Tam giác PQR vuông tại P có đường cao PH = 4 cm và
1
2
QH
HR
=
. Khi đó độ dài QR
bằng
A.
6 2
cm B.
4 3
cm C.
5 2
cm D.
5 3
cm
Câu 5 : Cho tam giác đều MNP ngoại tiếp đường tròn bán kính 2 cm . Khi đó diện tích tam giác
MNP bằng
A.
9 3
cm
2
B.

12 3
cm
2
C. 12cm
2
D. 18cm
2

Câu 6 : Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
a
2
. Diện tích xung quanh của hình nón là
A.
2
a
π
B.
2
2
2
a
π
C.
2
2
a
π
D.
2
2a

π
Phần 2 : Bài tập tự luận
Bài 1 : Cho phương trình 2 x
2
+ ( 2m - 1 ) x + m - 1 = 0
a. Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
Bài 2 ( 1.5 đ) Chứng minh bất đẳng thức :
1
1
2 1
n n
n
+ − >
+
( n là số tự nhiên )
Bài 3 : Cho tam giác ABC có AC > AB , trung tuyến AM . Điểm N bất kì thuộc đoạn AM .
Đường tròn tâm O đường kính AN .Đường tròn tâm O cắt đường phân giác trong của góc A tại
F , cắt đường phân giác ngoài của góc A tại E .
a. Đường tròn ( O ) cắt AB , AC lần lượt tại K và H . Đoạn KH cắt AD tại I . minh
AKF∆
đồng dạng với
KIF∆
b. Chứng minh : NH.CD = NK. BD
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC; BD
cắt nhau tại E . Vẽ EF vuông góc với AD . Chứng minh
a. Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCF
b. Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
1
I

H
K
D
F
E
O
M
B
C
A
N
Đáp án
Phần trắc nghiệm khách quan
Câu 1 2 3 4 5 6
Đáp án C B D A B B
Phần tự luận :
Bài 1 ( 2 điểm )
a.
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2 1 8 1 4 4 1 8 8
4 12 9 2 3
m m m m m
m m m
∆ = − − − = − + − +
= − + = −

0∆ ≥
với mọi m
=> phương trình có nghiệm với mọi m
b. Vì phương trình có nghiệm với mọi m nên phương trình có hai nghiệm dương
1
0
0
1
2
1
1 2
2
0 0
2
c
m
a
m
b m
a
−


>
>


 
⇔ ⇔ ⇔ < <
 

− −
 
> >




Bài 2 : Chứng minh ( 1,5 điểm )
( ) ( )
( )
( )
1
1
2 1
1 1
1
1
1 1 2
1 1 2 1
1
n n
n
n n n n
n n
n n
n n n
n n
+ − >
+
+ − + +

+ − =
+ +
= > =
+ + + +
+ +
Bài 3 :
a.
·
0
90EAF =
=> EF là đường kính của đừờng tròn tâm O
+) AD là phân giác của
·
BAC
=>
·
·
»
¼
KAF FAH KF FH= ⇒ =
·
µ
1
HKF A⇒ =
=>
AKF∆

KIF∆
( g- g) ( 1 )
b. Chứng minh

. .S ABM S ACM=
( do có chung đường cao vẽ từ A và cạnh đáy
bằng nhau )
mà
. .S BMN S CMN=
( do có chung đường cao ; cạnh đáy bằng nhau )
=>
. .S ABN S ACN=
=> KN. AB = HN. AC =>
AB NH
AC KN
=
mà
AB BD
AC CD
=
( AD là phân giác của góc BAC )
=>
NH BD
KN CD
=
=> NH.CD = KN.BD
S