Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (NCKH)

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(M/xM ) ≤ e(x; M ) + C

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◆♦❡t❤❡r✱
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M

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R

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R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❝❤✐➲✉ d✱ A ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➔ N

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♥❤➜t t❤✐➳t ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❤❛② ❆rt✐♥✮✳

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▲þ t❤✉②➳t ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✤➛✉ t✐➯♥ ❜ð✐ ❆✳
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♥â trð t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ❝ö ❦❤æ♥❣ t❤➸ t❤✐➳✉ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ ❍➻♥❤ ❤å❝
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sè t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ♥❤÷ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ë❝ ❧➟♣

✈î✐ ✈➔♥❤ ❝ì sð✱ t➼♥❤ ❆rt✐♥✱ t➼♥❤ tr✐➺t t✐➯✉ ✈➔ ❦❤æ♥❣ tr✐➺t t✐➯✉✳✳✳❚r÷î❝ t✐➯♥✱

✻



ú tổ ợ t tỷ


ợ ộ



Rổ N

ỗ

t

Rổ

ữủ ồ

I (N ) =

t

I (f ) : I (N ) I (N )
I ()

I

n0 (0 :N

I n )

f (I (N )) I (N )

ữủ

I

ừ

R

f :N N





õ t õ ỗ

I (f )(x) = f (x)

õ

tỷ I

ứ õ t õ ổ ố ỗ ữỡ ữ s



ợ ộ số

tỷ t tự

i

ừ

I ()

ữủ ồ

i 0

tỷ ố ỗ

ữỡ tự ố ợ ữủ HIi () t q ừ t ở
HIi (N ) Rổ N HIi (N ) ồ ổ ố ỗ
ữỡ tự ừ ợ
ởt số t t q trồ ừ ổ ố ỗ
ữỡ tữớ ữủ ũ tr ự s ừ t
ỵ s r r ổ ố ỗ ữỡ ổ ử tở
ỡ s ỵ ú ỵ r
ởt ỗ

f

N



R ổ

tr õ ổ ữợ

rR

t
ợ

N



f :RR

Rổ

m N





s

f (r)m

R R số N
R ổ I ừ R õ ợ ồ i 0 t õ
i
HIR
(N )
= HIi (N ) Rổ
ỵ



R



ở ợ ỡ s

R

ỵ

số t õ ỵ s ỵ

õ t õ R HIi (N ) R R


p

R R số

i

(N R R ) ợ ồ i 0
= HIR

ỵ ỡ s

tố t ý ừ

R

õ

Rp



R

số



ứ ỵ t ổ õ

Rp



i

HIi (N ) R Rp
(N R Rp ).
= HIR
p
ỡ ỳ

N R Rp
= Np

ợ ồ

Rổ N



i
(Np ).
(HIi (N ))p
= HIR
p
ởt tr ỳ t q q trồ õ ự ử ừ ỵ tt
ố ỗ ữỡ t trt t ừ ổ ố ỗ
ữỡ

ỵ

ỵ trt t ừ rt

i > dim N

HIi (N ) = 0

ợ ồ

sỷ r (R, m)
ữỡ M = 0 ởt Rổ ỳ s ổ õ
õ d = max{i | (Hmi (M ) = 0}

ỵ

ỵ ổ trt t

r t trt t ừ ổ ố ỗ ữỡ ỏ
q ổ

I

q số ồ ừ

q t ỵ trtsr
t t trt t ổ ố ỗ ữỡ t t
ợ tũ ỵ ỵ
ổ ố ỗ ữỡ ổ ổ ỳ
s ụ ổ ổ rt ỵ s ỵ
ỵ r r ổ ố ỗ ữỡ ợ ỹ
t t ổ rt

sỷ r (R, m) ữỡ M Rổ
ỳ s õ
Hmi (M ) Rổ rt ợ ồ số tỹ i

HId(M ) Rổ rt ợ ồ I
ỵ



s trữ ỗ ừ ợ ổ q trồ
ổ ổ s rở

ổ M ổ
Hmi (M ) = 0 ợ ồ i = 0, ..., d 1
ổ M ổ s rở (Hmi (M )) <
ợ ồ i = 0, ..., d 1
ờ

P t t ú tổ s ởt số t t
q ừ t tr ừ

q p tố ừ R ởt
tố

q = p0 p1 ... pn = p

i = 0, ..., n 1

ữủ ồ ởt

s

pi = pi+1

ợ ồ

tố ỏ ỳ p

q ợ ồ 0 i n 1 ổ tỗ t tố q tọ
pi q pi+1 pi = q = pi+1 õ n ữủ ồ ở ừ
tố ỏ tr õ R tr ợ ộ
tố
ỏ ỳ

q

qp



p

ừ

R

ổ tỗ t ởt tố

ồ tố ỏ ỳ

qp

õ ở
ú ỵ r

R

tr ữỡ t

õ ợ ộ tố
tố ỏ ỳ

q



p

qp

ừ

R

dim R <



ổ tỗ t ởt

r trữớ ủ

ồ tố ỏ ỳ

R
q

tr



p

õ

ở
r

R

ữủ ồ

ồ tố tố t

p

dim R/p = dim R ợ

ừ

R

sỷ R ữỡ tr
õ R tr ợ ộ tố p ừ
R t õ ht p + dim R/p = dim R
ỵ





ởt t ừ tr tr ờ ử ữủ
ữ s





R

ữủ ồ

ử ộ R số ỳ s tr
sỷ




R

số ỳ s õ tỗ t

S = R[a1 , ..., at ] õ S

tự

tr

S

tr ờ
a1 , ..., at S

s

ợ ởt tữỡ ừ

R[x1 , ..., xt ] tữỡ ừ tr tr
R
R

tr ờ ử tự ỳ

tr

ởt số trữ ừ tr ờ ử rữợ t
ú t tỹ ổ trở trở t
tt ỳ ừ t


ừ

m R

p min Ass R
ợ ồ



ừ



R

R

R

ữủ ồ

tỹ ổ trở

tự

ữủ ồ



dim R/p = dim R

ợ ồ

ổ trở dim R/p = dim R

p Ass R

ỵ

ỵ

sỷ R tỹ ổ trở

õ
R tr ờ ử
Rp tỹ ổ trở ợ ồ p Spec(R)
I ừ R t R/I R/I tỹ
ổ trở

t q s ú t ởt tr ờ ử

ỵ

ỵ

s tữỡ ữỡ

R tr ờ ử
tự ởt R[x] tr
R/p tỹ ổ trở ợ ồ p Spec(R)

✶✶
❈❤ó þ r➡♥❣ ♠å✐ ✈➔♥❤ ❝â ❝❤✐➲✉ ♥❤ä ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ✷ ❧➔ ❝❛t❡♥❛r②✳ ◆➳✉

dim R ≤ 1 t❤➻ dim R[x] ≤ 2✱ ❞♦ ✤â R[x] ❧➔ ❝❛t❡♥❛r②✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥➳✉ dim R ≤ 1
t❤➻

R

❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱

❤➻♥❤ t❤ù❝ ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② t❤➻

R

R/p

❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔ ♠å✐ t❤î
❧➔ ❦❤æ♥❣ trë♥ ❧➝♥ ✈î✐ ♠å✐

p ∈

Spec(R)✳

✶✳✷ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥
▲þ t❤✉②➳t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝❤♦ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ ■✳ ●✳
▼❛❝❞♦♥❛❧❞ ❬✶✼❪ ❝â t❤➸ ①❡♠ ❧➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì✳
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ✭✐✮ ▼ët R✲♠æ✤✉♥ N

✈î✐ ♠å✐

x ∈ R✱

♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❜ð✐

tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✱
❣å✐

N

❧➔

✭✐✐✮ ❈❤♦

p✲t❤ù

N

❧➔

Rad(AnnR N )

x

tr➯♥

N

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t❤ù ❝➜♣ ♥➳✉ N = 0 ✈➔

❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❤♦➦❝ ❧ô② ❧✐♥❤✳ ❚r♦♥❣

❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❧➔

p✱

✈➔ t❛

❝➜♣✳

R✲♠æ✤✉♥✳

▼ët

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ N ❧➔ ♠ët ♣❤➙♥ t➼❝❤

N = N1 + N2 + ... + Nn
t❤➔♥❤ tê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
♠ët ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ t❤➻ t❛ ♥â✐
♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

N

pi ✲t❤ù
❧➔

❝➜♣

Ni ✳

◆➳✉

N =0

❤♦➦❝

N

❝â

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝✳ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣

tè✐ t❤✐➸✉ ♥➳✉ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè pi ❧➔ ✤æ✐ ♠ët ❦❤→❝ ♥❤❛✉

✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ❤↕♥❣ tû
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉
❝ô♥❣ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥

Ni

♥➔♦ ❧➔ t❤ø❛✱ ✈î✐ ♠å✐

i = 1, ..., n✳

N1 , N2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ p✲t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ N
p✲t❤ù

❝➜♣ ❝õ❛

N✳

t❤➻

N1 + N2

❱➻ t❤➳ ♠å✐ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛

{p1 , ..., pn }

❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐

✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥

✤➲✉ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✤÷ñ❝ ✈➲ ❞↕♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✳ ❚➟♣ ❤ñ♣
✈✐➺❝ ❝❤å♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛

N

N

♥❣✉②➯♥ tè ❣➢♥ ❦➳t ❝õ❛ N ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ AttR N ✳ ❈→❝ ❤↕♥❣ tû Ni✱ i = 1, ..., n


✶✷

❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ N ✳ ◆➳✉ pi ❧➔ tè✐ t❤✐➸✉ tr♦♥❣ t➟♣
AttR N t❤➻ pi ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❣➢♥ ❦➳t ❝æ ❧➟♣ ❝õ❛ N ✈➔ Ni ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤ù ❝➜♣ ❝æ ❧➟♣ ❝õ❛ N ✳

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔ sû N

❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ❦❤➥♥❣

✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿
✭✐✮ AttR N = ∅ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ N = 0✳
✭✐✐✮ ❚➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ R ❝❤ù❛ AnnR N ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➟♣
❝→❝ ♣❤➛♥ tû tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ AttR N ✳
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ x ∈ m ✈➔ x ∈/ p ✈î✐ ♠å✐ p ∈ min AttR N \ {m} t❤➻
R (N/xN )

✭✐✈✮ ❈❤♦ 0 → N → N
❞✐➵♥ ✤÷ñ❝✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

→N →0

< ∞.

❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ ❜✐➸✉

AttR N ⊆ AttR N ⊆ AttR N ∪ AttR N .
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ♠ët ❧î♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ì❝✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶✳

❈❤♦

❬✶✼✱ ✣à♥❤ ❧þ ✺✳✷❪

▼å✐ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✤➲✉ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ì❝✳

A ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑❤✐ ✤â A ❝â ❝➜✉ tró❝ tü ♥❤✐➯♥ ♥❤÷ R✲♠æ✤✉♥✳

❱î✐ ❝➜✉ tró❝ ♥➔②✱ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛
♥â ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

A

①➨t ♥❤÷

A

①➨t ♥❤÷

R✲♠æ✤✉♥✳

❉♦ ✤â

R✲♠æ✤✉♥
A

❧➔

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

R✲♠æ✤✉♥

❆rt✐♥ ✈➔

t❛ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➟♣ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ♥❤÷ s❛✉✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✳

❬✹✱ ✽✳✷✳✹ ✈➔ ✽✳✷✳✺❪

❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✱ ❣å✐ ❧➔

AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttR A}.

t➼♥❤ ❝❤➜t ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ②➳✉✱ ✤÷ñ❝ ❞ò♥❣

tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➲ s❛✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✳

❈❤♦ p ∈ SuppR N s❛♦ ❝❤♦ dim R/p = t✳
●✐↔ sû i ≥ 0 ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔ q ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ✈î✐ q ⊆ p s❛♦ ❝❤♦
qRp ∈ AttR (HpiR (Np ))✳ ❑❤✐ ✤â q ∈ AttR (Hmi+t (N ))✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✷✳

p

❬✷✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✹✳✽❪

p

ứ ỵ t õ q s

p AssR M ợ dim R/p = t õ
Hmt (M ) = 0 p AttR Hmt (M )

q

q

ỵ ổ ố ỗ ữỡ t ợ
ỹ rt õ õ õ tự tố
t ừ

Hmd (M ) = 0

ữủ ổ tự s

sỷ M = 0 Rổ ỳ s
ợ dim M = d õ Hmd (M ) = 0

ỵ

ỵ

AttR (Hmd (M )) = {p AssR (M ) | dim R/p = d}.
ợ ộ

Rổ A

t t

dimA := dim(R/AnnR A)

õ

dim(R/AnnR A) = max{dim R/p | p AttR A}
t ờ ợ ộ số
ữỡ

Hmj (M )



Rổ

rt ữ

dimR Hmj (M ) dimR Hmj (M )
ợ ộ t

T

ừ

j 0

ổ ố ỗ

Rổ

rt ú ỵ r

t

Spec(R)

số

i 0

t

(T )i = {p T | dim(R/p) = i}.
t q s r ố q ỳ

j0

(AssR M )j



(AttR Hmj (M ))j

ợ

số

ỵ

(AssR M )j (AttR Hmj (M ))j

j 0 số sỷ r R tr ờ
ử ồ tợ tự õ
dimR Hmj (M ) = dimR Hmj (M ) dimR Hmj (M ) j
(AttR Hmj (M ))j = (Var(AnnR Hmj (M )))j = (AssR M )j
ờ

ự

t q t ữủ t t q

ỵ