01 (2) image marked

ĐÁP ÁN
Câu 1. Đáp án B
Hướng dẫn giải.
Ta có: T ( t ) = −0 , 1t + 1, 2t + 98 , 6 ,  T' ( t ) = −0 , 2t + 1, 2  T' ( t ) = 0  t = 6
2

T ( 0 ) = 98 , 6 o F = 37 0 C
 max T ( t ) = T ( 6 ) = 390 C


t0 ;12
Đồng thời ta có: T ( 6 ) = 102 , 2 o F = 390 C    
 t = 20 C
0
T ( t ) = T ( 0 ) = 37 C

tmin
o
0
0 ;12 
T
11
=
99
,
7
F
=
37
,
6

C

(
)



Cách khác: Ta có T ( t ) = −0 , 1t 2 + 1, 2t + 98 , 6 = 102 , 2 − 0 , 1 ( t − 6 )  102 , 2 t  0 ; 12 
2

Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 6 . Do đó maxT = 102 , 2  t = 6
Câu 2. Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Ta có thể tổng quát bài toán lên khi xét thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều trên là

V (đvtt)
Gọi x,y  0 lần lượt là chiều dài cạnh đáy và chiều cao của lặng trụ
Khi đó ta có V = y.x 2  y =

V
x2

Ta có Sxq = 2Sday + 4Smat ben = 2x2 + 4xy = 2x2 +

4V
x

Đặt f ( x ) = 2 x2 +

4V

. Bài toán trở thành tìm min f ( x ) = ?
x 0
x
4V
Ta có f ' ( x ) = 4 x − 2  f ' ( x ) = 0  x = 3 V .
x
8V
Lại có f '' ( x ) = 4 + 3  0 , x  0 . Do đó minf ( x ) = f 3 V = 4 4V
x

( )

Theo đề bài ta có minStp = 6 3 V 2 = 6 3 27 2 = 54 .
Câu 3. Đáp án B
Hướng dẫn giải.
Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho diện
tích toàn phần của khối hộp là lớn nhất.
Ta có Sxq = x 2 + 4 xy

4
16
4
 S ( x ) = x2 + 4x 2 = x2 +
2
x
x
x
Do S, x phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của S
Do V = x 2 y = 4  y =
trên ( 0 ; + ) .

Ta có : S' ( x ) = 2 x −

16
,S' ( x ) = 0  x3 = 8  x = 2
2
x
32
Lại có S'' ( x ) = 2 + 3  0 , x  ( 0 ; + ) . Do đó minS = S ( 2 ) = 12
x


4
=1
x2
Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với cạnh đáy hình hộp là 2m, chiều cao hình hộp
Và khi đó y =

là 1 m và khi đó diện tích toàn phần nhỏ nhất sẽ là 12 m2 .
Câu 4. Đáp án A
Hướng dẫn giải.
2
 a
Gọi phần bị cắt là x , ta thấy x   0 ;  . Khi đó thể tích khối hộp V = x ( a − 2 x )
 2
2
 a
Xét f ( x ) = x ( a − 2 x ) , x   0 ;  . Bài toán trở thành tìm max f ( x ) = ?
 a
x 0 ; 

 2
2





 f ' ( x ) = ( a − 2 x ) − 4 x ( a − 2 x ) = ( a − 2 x )( a − 6 x )
2


a
 x = 2 ( ktm )
a
2a3
Cho f ' ( x ) = 0  
. Lập bảng biến thiên, ta thấy x =  maxf ( x ) =
6
27
 x = a ( tm )

6
a 48
=8
Câu 5. Đáp án A. Tương tự câu 4 ta có x = =
6 6
Câu 6. Đáp án C
Hướng dẫn giải:

Bài toán có thể tổng quát lên thành một hình nón có bán

kính đáy R, chiều cao là H.
Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình
trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón trên.
Đồng thời gọi O, I lần lượt là tâm của hai đường tròn
đáy như hình vẽ.
SI
r H−h
H−h
Ta có
với 0  h  H và
= =
r=R
SO R
H
H

0rR

Ta có Vtru = h.S = h. r = h R
2

2

( H − h)
H

2

2

=

 R2
H

2

h (H − h)

2

f ( h)

Ta có max Vtru  maxf ( h )

Ta có f ' ( h ) = ( H − h ) − 2h ( H − h ) = ( H − h )( H − 3h )
2

f ' ( h) = 0  h =

H
 H . Lập bảng biến thiên ta có: max f ( h ) =
0 h H
3

Khi đó ta có Vtru =

 R2 H 
H2

2

H
f 
3

H
4 R2 H
r H−h 2
và đồng thời
H
−
=
=
= .


3
3
27
R
H
3

Trở lại bài toán ta có: VTru =

4 62 .9
= 48 cm3 . Đáp án C.
27

(

)


Câu 7. Đáp án A
Hướng dẫn giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử chiều dài dây là L ( cm ) .
Khi đó đoạn dây thứ nhất chính là chu vi của hình vuông và bằng 4a
Khi đó ta có đoạn dây thứ hai là L − 4a và cũng chính là chu vi của đường tròn bán kính

L − 4a
L
0a
2
4

r  2 r = L − 4a  r =

Do đó Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn = Svuong + Stron = a
Đặt S ( a ) = a

2

( L − 4a )
+

2

với 0  a 

4

−2 ( L − 4a )



( L − 4a )
+

2

4 2

L
4

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của S ( a ) với 0  a 
Khi đó ta có: S' ( a ) = 2a +

2

=

L
4

L
L

( + 4 ) a − L  , S' ( a ) = 0  a =



 +4 4
2

Lập bảng biến thiên, ta có:
a

S' ( a )

−

S ( a)

L
4

L
+4

0

0

+

min

 L 
Dựa vào bảng biến ta có: min S ( a ) = S 
và khi đó bán kính của đường tròn sẽ
 L
 + 4 

a 0 ; 
4


là r =



L
a
a
= . Do đó lập tỉ số ta sẽ có = 2
r
2 ( + 4 ) 2

Như vậy rõ ràng, ta không cần thiết phải biết chính xác số đo chiều dài dây mà cần
nhớ kết quả quan trọng a = 2r khi gặp các bài toán tương tự.
Câu 8. Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi x là chiều rộng của đáy hình chữ nhật và y là
chiều cao của khối hộp chữ nhật.
Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao
cho diện tích toàn phần của khối hộp là lớn nhất.
Ta có Sxq = 2 x 2 + 2 xy + 2 ( 2 xy ) = 2 x 2 + 6 xy

V
2x2
V
3V
 S ( x ) = 2x2 + 6x 2 = 2x2 +
x
2x

Do V = 2 x2 y  y =

Do S, x phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của S trên ( 0 ; + ) .
Ta có : S' ( x ) = 4 x −
Lại có S'' ( x ) = 4 +

3V
3V
3
,S'
x
=
0

x
=
(
)
4
x2

 3V
6
 0 , x  ( 0 ; + ) . Do đó minS = S  3
3
 4
x


Và khi đó chiều cao là y =

V
=
2 x2

V
23

9V 2
16

= 23


9V 2
 = 33

2


16V
9

Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với chiều rộng đáy hình hộp là 5m, chiều dài là 10

40
m và khi đó diện tích toàn phần nhỏ nhất sẽ là 150 m2 .
3
Do đó chi phí thấp nhất sẽ là 150. ( 500000 ) = 75.000.000 (đồng)
m, chiều cao hình hộp là

Cách khác: S ( x ) = 2x2 +

3V
3V 3V
9V 2
9V 2
3
.
= 2x2 +
+
 3 3 2x2
=
3
x
2x 2x
2
4 x2

Câu 9. Đáp án C

Hướng dẫn giải:
Gọi x,y lần lượt là chiều dài cạnh đáy hình vuông và
chiều cao của hình hộp ( x  0 , y  0 )
Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho
diện tích toàn phần của khối hộp là lớn nhất.
Ta có Sxq = x 2 + 4 xy
108
x2
108
432
 S ( x ) = x2 + 4x 2 = x2 +
x
x
Do S, x phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất

Do V = x2 y = 108  y =

của S trên ( 0 ; + ) .
Ta có : S' ( x ) = 2 x −

432
,S' ( x ) = 0  x3 = 216  x = 6
x2
864
Lại có S'' ( x ) = 2 + 3  0 , x  ( 0 ; + ) . Do đó minS = S ( 6 ) = 108
x
108
Và khi đó y = 2 = 3
6

Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với cạnh đáy hình hộp là 6m, chiều cao hình hộp
là 3 m và khi đó diện tích toàn phần nhỏ nhất sẽ là 108 m2 .
Câu 10. Đáp án A
Gọi x là giá bán thực tế ( 5  x  10 )

Hướng dẫn giải:

Ta có giảm 2USD thì tăng thêm 40 sản phẩm
Do đó giảm ( 10 − x ) USD thì tăng thêm 20 ( 10 − x ) sản phẩm
Số sản phẩm bán được tương ứng với giá bán là 25 + 20 ( 10 − x ) = −20 x + 225
Vậy tổng lợi nhuận thu được sẽ là ( −20 x + 225 )( x − 5 ) = −20 x 2 + 325x − 1125
Đặt P ( x ) = −20 x 2 + 325x − 1125 với 5  x  10
Bài toán trở thành tìm max P ( x ) = ?
x 5 ;10 

Ta có P' ( x ) = −40x + 325,P' ( x ) = 0  x =

65
= 8 , 125  5 ; 10 
8

P ( 5 ) = 0

 65 
  65  3125
Xét  P   =
 195 , 3125  max P ( x ) = P  



x

5
;
10
16


 8 
  8 
 P ( 10 ) = 125

Câu 11. Đáp án B.
Hướng dẫn giải.
Gọi x (triệu đồng) là giá tua ( 0  x  2 )
Giá đã giảm so với ban đầu là 2 − x
Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán x là

( 2 − x ) 20 = 400 − 200x
0,1

Số người sẽ tham gia nếu bán giá x là 150 + 400 − 200x = 450 − 200x
Tổng doanh thu là f ( x ) = x ( 550 − 200 x ) = −200 x 2 + 550 x

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) với 0  x  2

f ' ( x ) = −400x + 550 , f ' ( x ) = 0  x =

11
.

8

Lập bảng biến thiên ta có:
x

11
8

0

f ' ( x)
f ( x)

+

0

2
−

3025
8

 11 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x ) = f   = 378 , 125
x( 0 ; 2 )
8
Vậy công ty cần đặt giá tua là 1.375.000 (đồng) thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là

378.125.000 (đồng).

Câu 12. Đáp án C
Hướng dẫn giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu.
Thời gian tàu chạy quảng đường 1km là

1
(giờ).
x

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là

1
480
(ngàn Đồng).
.480 =
x
x

Tại v = 10 km/h chi phí cho quảng đường 1 km ở phần thứ hai là

1
.30 = 3 (ngàn
10

đồng).
Xét tại vận tốc x(km/h): gọi y (ngàn Đồng) là chi phí cho quảng đường 1km tại vận
tốc x, ta có y = kx 3 , 3 = k10 3 (k là hệ số tỉ lệ giữa chi phí 1km đường của phần thứ hai và
3

lập phương của vận tốc), suy ra

y  x 
=    y = 0 , 003 x 3 .
3  10 

Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đường là p = p ( x ) =
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số p ( x )

480
+ 0 , 003 x 3 .
x

Áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ nhất khi tàu chạy với vận tốc x = 20 ( km / h ) .
Câu 13. Đáp án A
Hướng dẫn giải:

V ' (t ) =

t = 60
1
1
90t 2 − t 3  V '' ( t ) = 0 
180t − 3t 2 = 0  
100
100
t = 0

(

)

(

)

Lập bảng biến thiên ta có:
t

V ' (t )

0
0

+

60
0

90
−

V (t )

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án A.
Câu 14. Đáp án C
Hướng dẫn giải:
Gọi x là bán ính nửa hình tròn và y là chiều cao của hình chữ nhật, phần dưới của
gương. Chu vi của gương là:

1
P
P − 2x −  x ) và y  0  0  x 
(
2
 +2

1
1

Diện tích của gương là S = 2 xy +  x 2 = x ( P − 2 x −  x ) +  x 2 = Px −  2 +  x 2
2
2
2

P = 2x + 2y +  x do y =



Đặt f ( x ) = Px −  2 +  x 2 . Bài toán trở thành tìm
2


max f ( x ) = ?


P 
x 0 ;


  +2 




P
Ta có f ' ( x ) = P − 2  2 +  x, f' ( x ) = 0  x =
2
 +4

Lập bảng biến ta suy ra bán kính x =

P
thỏa yêu cầu bài toán.
 +4

Câu 15. Đáp án B
Hướng dẫn giải

Gọi q ( 0  q  60 ) là số sản phầm mà công ty A cần sản xuất để thu được lợi nhuận
cao nhất.

Khi đó, nếu bán hết số sản phẩm thì doanh thu sẽ là D ( q ) = q ( 180 − 3q ) = 180q − 3q 2
Suy ra lợi nhuận mà công ty thu được là L ( q ) = D ( q ) − C ( q ) = −6q 2 + 108q + 9789
Bài toán trở thành tìm max L ( q ) = ?
0q 60

Ta có L' ( q ) = −12q + 108 , L' ( q ) = 0  q = 9  ( 0 ; 60 )
Lập bảng biến thiên ta có max L ( q ) = L ( 9 ) = 10275
0q60

Vậy để thu được lợi nhuận cao nhất thì công ty cần sản xuất 9 sản phẩm.
Câu 16. Đáp án A
Hướng dẫn giải:

V=

1
3
h r 2 = 1  h = 2
3
r

Ta có Sxq =  rl =  r h 2 + r 2 =  r

9
9
+ r2 = 
+ r4
2 2
 r
 r
2 4

f (r )

Nhận xét khi Sxq min  f ( r ) min
Cách 1: khảo sát hàm số
Cách 2: sử dụng bất đẳng thức Cauchy
9

9
9
9
9
81
+ r4 =
+
+ r4  3 3
.
.r 4 = 3 3
2
2
2
2
 r
2 r
2 r
2 r 2 r
4 2
2 2

Do đó dấu bằng xảy ra 

9
9
= r4  r = 6
.
2
2
r

Câu 17. Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Lần lượt gọi S là chi phí , x, y lần lượt chiều rộng của đáy và chiều cao của đáy hộp.

( )

Từ giả thiết đề bài ta có: S = 10000Sday + 5000 Sxq = 10000. ( 2 x.x ) + 2 ( xy + 2 xy ) 5000
Suy ra S = 20000x2 + 30000xy . Mặt khác ta có V = 2 x2 y = 10  y =
Do đó S = 20000 x2 +

150000
. Bài toán trở thành tìm min f ( x ) = ?
x 0
x

5
x2


 4 
150000
15
,S' ( x ) = 0  xo = 3
 y = 53  
Ta có S' ( x ) = 40000 x −
2
4
x
 15 

2

Lập bảng biến thiên, ta có:
0

x

S ' ( x)

+

xo
−

0

S ( x)

+

Smin

 15 
Dựa vào bảng biến thiên ta có yêu cầu bài toán  minS ( x ) = S  3

 4 
x 0



Do đó các kích thước là dài 2 3

15
, rộng
4

3

15
4

Câu 18. Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi Q là lượng gạo doanh nghiệp X cần sản xuất đề đạt lợi nhuận cao nhất thì khi đó
1
2

ta có Q = QD = 656 − P  P = 1312 − 2Q .
● Doanh thu của doanh nghiệp: R = P.Q = (1312 − 2Q) .2Q
● Lợi nhuận của doanh nghiệp: L = R − C = −Q3 + 75Q2 + 312Q − 100
Khảo sát hàm trên ta thấy lợi nhuận đạt cực đại khi Q = 52 .
Câu 19. Đáp án B
Hướng dẫn giải:

Gọi x (ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra. ( x  400 )
Giá chênh lệch sau khi tăng là x − 400 .
Số phòng cho thuê giảm nếu giá tăng là 2

( x − 400 ) = x − 400

20

10

x − 400
x
= 90 −
10
10

x
x2
f
x
=
x
90
−
=
90
x
−
Tổng doanh thu trong ngày là ( )


10 
10

Số phòng cho thuê với giá x là 50 −

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) với x  400
Ta có f ' ( x ) = 90 −

x
, f ' ( x ) = 0  x = 450 ( tm ) . Lập bảng biến thiên ta có:
5
x

f ' ( x)

400
+

450
0

+

−

20250

f ( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

max f ( x ) = f ( 450 ) = 20250

x( 400 ; + )

Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là
2.025.000 đồng.
Câu 20. Đáp án B (Trích dẫn đề ôn số 13 – Bùi Thế Việt)
Hướng dẫn giải:
Gọi điểm như hình vẽ.
Kẻ PQ ⊥ CD . Điểm N chạm đáy CQ thì

MB  MC  x  4
Vì MNC đồng dạng
NPQ 



MN NC
x
NC
=

=
NP
PQ
PB
8

x
y 2 − x2

x2 − ( 8 − x )

=

8

2

x3
y =
x−4
2

Hơn nữa do PB  AB = 12  y 2 − x2  12  x  18 − 6 5 ; 18 + 6 5 



x3
Tóm lại, 18 − 6 5  x  8 . Đặt f ( x ) =
.Bài toán trở thành tìm
x−4
Ta có: f ' ( x ) =

2 x2 ( x − 6 )

( x − 4)

2

min

x18 − 6 5 ;8 




f ( x) = ?

x = 6
; f ' ( x) = 0  
 x = 0 ( ktm )

 f ( 6 ) = 6 3  10 , 39


Xét  f 18 − 6 5 = 6 15 − 6 3  12 , 8455  min f ( x ) = f ( 6 ) = 6 3 .

 f ( 8 ) = 128
a 48
=8
Câu 21. Đáp án D, Tương tự câu 4 ta có x = =
6 6
Câu 22. Đáp án C
Hướng dẫn giải:

(

)

Gọi x là giá bán của sản phẩm. ( 0  x  120 )

Ta có doanh thu mà công ty thu được là R ( x ) = x.q ( x ) = x ( 120 − x ) = 120 x − x 2
Đồng thời, chi phí mà công ty bỏ ra là C ( x ) = 40 ( 120 − x ) = 4800 − 40 x

Lợi nhuận mà công ty thu được chính là R ( x ) − C ( x ) = − x 2 + 160 x − 4800
Xét f ( x ) = − x 2 + 160 x − 4800 . Bài toán trở thành tìm max f ( x ) = ?
0  x 120

Ta có f ' ( x ) = −2 x + 160 , f ' ( x ) = 0  x = 80 . Lập bảng biến thiên ta có:
x

f ' ( x)

f ( x)

0
0

+

80
0
1600

120
−


Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f ( x ) = f ( 80 ) = 1600
0  x120

Vậy khi bán với giá 80 ngàn thì công ty đạt lợi nhuận cao nhất.
Câu 23. Đáp án C (Trích đề thi thử THPT Thanh Miện, Hải Dương, 2016)
Hướng dẫn giải:

Đặt x = BM ( km) . Điều kiện: 0 < x < 12 .
Suy ra quãng đường AM = 81 + x2 và
quãng đường MC = 12 − x .
Thời gian người canh hải đăng chèo đò đi
81 + x 2
từ A đến M là t AM =
.
4
Thời gian người canh hải đăng đi bộ từ M

đến C là t MC =

12 − x
.
8

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là t = t AM + t MC =

81 + x2 12 − x
+
4
8

81 + x 2 12 − x
trên đoạn ( 0 ; 12 ) .
+
4
8
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) với x  ( 0 ; 12 )

Xét hàm số f ( x ) =

Đạo hàm f ' ( x ) =

x
4 81 + x 2

−

1
8

( )
f ' ( x ) = 0  81 + x2 = 2x ⎯⎯⎯
→x = 3 3 .
x 0 ;12

12 + 9 3
8
Vậy giá trị nhỏ nhất của t tại điểm M cách B một khoảng x = 3 3km » 5,196km.
Câu 24. Đáp án A
Hướng dẫn giải:

(

)

Lập bảng biến thiên, ta suy ra min f ( x ) = f 3 3 =

Gọi x ( x  45 ) là giá bán mới của 1 sản phẩm mà doanh nghiệp phải xác định để lợi

nhuận thu được sau khi tăng giá là cao nhất. Suy ra số tiền đã tăng là x − 45
Ta có nếu tăng 2 ngàn thì sẽ bán ít đi 6 sản phẩm
Vậy nếu tăng x − 45 thì số lượng sản phẩm giảm xuống là

6 ( x − 45 )

Tổng số sản phẩm bán được l2a 60 − ( 3x − 135 ) = 195 − 3 x

2

Lợi nhuận công ty thu được sau khi tăng giá là

( x − 27 )(195 − 3x ) = −3x

2

+ 276 x − 5265

Đặt f ( x ) = −3x 2 + 276 x − 5625 . Bài toán trở thành tìm max f ( x ) = ?
x  45

Ta có f ' ( x ) = −6 x + 276 , f ' ( x ) = 0  x = 46 (ngàn đồng)

= 3x − 135


Lập bảng biến thiên, ta suy ra max f ( x ) = f ( 46 ) = 1083 (ngàn đồng).
x  45

Câu 25. Đáp án D

Hướng dẫn giải:
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc với
bờ giậu.
Theo đề bài ta có x + 2 y = a  x = a − 2 y, 0  y 
Diện tích của miếng đất là S = xy = y ( a − 2 y )

a
.
2

 a
Đặt f ( y ) = y ( a − 2 y ) , y   0 ;  .
 2
 a
Nhận xét bài toán trở thành tìm y   0 ;  để f ( y ) lớn nhất.
 2
Ta có f ' ( y ) = a − 4 y  f ' ( y ) = 0  y =

a
 a
và f '' ( y ) = −4  0 , y   0 ; 
4
 2

a2
a
a
Do đó: maxS = max f ( y ) =
y= x= .
8

4
2
Cách khác: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
1
1 ( 2y + a − 2y )
a2
S = xy = y ( a − 2 y ) = 2 y ( a − 2 y ) 
= .
2
2
4
8
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 y = a − 2 y  y =

a
a
x= .
4
2

Câu 26. Đáp án A
Hướng dẫn giải:
N

M•

→

Trước tiên ta tính độ cao nhất của vật
trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà
nó đạt được độ cao đó (g = 10m/s2)

K

v0

Véc tơ vo



P

được phân tích thành tổng

của hai véc tơ theo hai phương vuông
x

góc với nhau (phương ngang và

phương thẳng đứng) như hình vẽ. Vật cao nhất khi MN = −MP ,
 MP = gt (1)

  0;900
trong đó 
2
2
2
2

2
2

MN = vo − MK = vo − vo cos  ( 2 )

(

(

)

Từ (1) và (2)  ( gt ) = vo 2 1 − cos 2   t =
2

vo sin 
g

)


Do đó h lớn nhất khi và chỉ khi t =

vo sin 
v 2 sin 2 
và khi đó h = vo sin .t = o
g
g

Vì quỹ đạo của vật ném xiên là Parabol nên tầm ném của vật được
vo sin  vo 2 .sin 2

Ta tính x = MK.2t = vo cos .2
=
= f ()
g
g

( )

Ta có thể ứng dụng đạo hàm tìm max f (  ) = f 45

0

của hàm số lượng giác x =

vo 2
=
hoặc sử dụng tính bị chặn
9

vo 2 .sin 2 vo 2

( do sin 2  1) .
g
g

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin 2 = 1   = 450 .
Câu 27. Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. 0  x  a
Ta có chu vi của hình bán nguyệt là  x ,

Tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a −  x .
Khi đó 1 cạnh của hình chữ nhật có độ dài là 2x và cạnh còn lại là
Diện tích của cửa số là: S = S1 + S2 =

 x2
2

+ 2 x.

( a −  x ) − 2x .
2

a −  x − 2x
2

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S ( x ) với 0  x  a

a


 S ( x ) = ax −  + 2  x 2  S' ( x ) = a − ( + 4 ) x  S' ( x ) = 0  x =
.
4 +
2

 a 
Đồng thời S'' ( x ) = − ( + 4 )  0 , x  ( 0 ; a ) . Do đó maxS = S 

 4 + 
Khi đó kích thước của nó là chiều cao bằng

2a
a
, và chiều rộng bằng
.
4 +
4 +

Câu 28. Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi x = HM ( 0  x  25 , 86 ) . Khi đó thời gian của lộ trình đi được là
Ta có t = t AM

16 , 26 2 + x 2 25 , 68 − x
AM MB
+ t MB ⎯⎯⎯→
+
=
+
vAM vMB
8
12
S = vt t =

S
v


16 , 262 + x2 25 , 68 − x
+

Xét f ( x ) =
( 0  x  25, 68 )
8
12
Bài toán trở thành tìm
Ta có f ' ( x ) =

min

x( 0 ; 25 ,68 )

f ( x) = ?

3x − 2 16 , 26 2 + x2

, f ' ( x ) = 0  xo =

24 16 , 26 2 + x2

Lập bảng biến thiên, ta suy ra

2.16 , 26
5

 14 , 5434

min f ( x ) = f ( xo ) = 3 , 669 s

x( 0 ; 25 ,68 )

Suy ra MB = 25, 68 − 14,5434  11,14 km .

Câu 29. Đáp án C
Hướng dẫn giải.

f (t ) =

26t + 10
120
120
6
ycbt 
 f ' (t ) =
= 0 , 048 =
2
2 . Khi đó
t+5
125
(t + 5)
(t + 5)

 2500 = ( t + 5 )  t + 5 = 50  t = 45 . Như vậy đến năm 1970 + 45 = 2015 thì đạt tốc
2

độ tăng dân số 0,048 người/năm .

Câu 30. Đáp án B
Hướng dẫn giải.
V = xyh

Ta có 

h = 4 y

 V = 4y2 x  x =

V
(x  y)
4y2

(

)

Để ít tốn nguyên vật liệu nhất suy ra Sxq + Sday → min
Ta có Sxq + Sday = xy + 2 xh + 2 yh = y.

Cách 1: Đặt f ( y ) =

V
V
V 2V
9V
+ 2 + 2 y.4 y =
+
+ 8y2 =
+ 8y2
2
y
4y

y
4y
4y

9V
+ 8 y 2 (khảo sát hàm tìm min f ( y ) )
4y

2
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 9V + 8 y 2 = 9V + 9V + 8 y 2  3 3 81V

4y

8y

8y

8

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 9V = 8 y 2  y = 3 9V  x = 4  1, 333  1, 5
8y

64

3


Câu 31. Đáp án A
Hướng dẫn giải
SMNP = SABC − SAMP − SBMN − SCNP

Trong đó SABC =
SBMN =

122 3
;
4

(

1
3
BM.BN.sin 600 =
12x − 2x2
2
4

(

1
3
SCNP = CN.CP.sin 600 =
24x − 6x2
2
4
SAMP =

(

1

3
AM.AP.sin 600 =
36x − 3x2
2
4

Vậy SAMN =

(

)

)

)

3
11x2 − 72 x + 144 Khảo sát
4

f ( x ) = 11x2 − 72 x + 144 ; x  0 ; 12  → Minf ( x ) =

288
36
,khi : x =
11
11

Câu 32. Đáp án D
Hướng dẫn giải:

Ta có: V ' ( t ) =

3330e −0 ,6 t

(1 + 74.e )
−0 ,6 t

 V '' ( t ) = 0  e −0 ,6t =

2

 V '' ( t ) =

(

1998 e −0 ,6t . 74.e −0 ,6t − 1

(1 + 74e )
−0 ,6 t

3

).

1
 to  7 , 17
74

Lập bảng biến ta suy ra max V ' ( t ) = V ' ( 7 , 17 )
t0 ;14 

Câu 33. Đáp án D
Hướng dẫn giải.
Gọi vận tốc bơi của chiến sĩ là v  0 thì vận tốc chạy là 2v
2
2
Độ dài cần ơi là AM = x ta có điều kiện 155  x  1000 + 155
2
2
2
2
Thời gian bơi là x . Độ dài HM = x − 155 ,BM = 1000 − x − 155

v

1000 − x 2 − 1552
Thời gian chạy bộ là
2v

)


)

(

Tổng thời gian f ( x ) = 1 2x + 1000 − x2 − 1552 ,v  0
2v

f ' ( x) =


1 
x
310
 2 −
 = 0  x =
.
2v 
3
x 2 − 1552 






3 

Lập bảng biến thiên, ta suy ra min f ( x ) = f  310   178 , 9786 m
Câu 34. Đáp án
Hướng dẫn giải.
 AM = x 2 + 1, 44
Đặt x = HM ( 0  x  4 , 1)  
2
BN = ( 4 , 1 − x ) + 2 , 25



Gọi a là số tiền để làm 1 km đường bên bờ có điểm A. Khi đó chi phí để làm hai đoạn

AM và BN là: f ( x ) = a x 2 + 1, 44 + 1, 3a

( 4,1 − x )

2

+ 2 , 25 .

Bài toán trở thành tìm min f ( x ) = ?
x( 0 ; 4 ,1)


x

−
Ta có f ' ( x ) = a 
2
 x + 1, 44





2
( 4 ,1 − x ) + 2 , 25 
1, 3 ( 4 , 1 − x )

Cho f ' ( x ) = 0  x 2 ( 4 , 1 − x ) + 2 , 25  = 1, 32 ( 4 , 1 − x ) ( x 2 + 1, 44 )



2

2





(Dùng chức năng của MTCT giải được xo  2 , 6303 )
Lập bảng biến thiên ta suy ra min f ( x ) = f ( xo ) = 6 , 222a
x( 0 ; 4 ,1)

Câu 35. Đáp án A
Hướng dẫn giải.
Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x là độ dài của cạnh hình tam giác đều. Khi đó ta có
Chiều dài phần dây làm thành tam giác là 3x
Chiều dài phần dây làm thành hình tròn là L − 3x 
đường tròn.

L − 3x
chính là bán kính của
2


Khi đó ta có: S = Stron + Stamgiac

(

)

2
9 +  3 x2 − 6 Lx + L2
 L − 3x  x 2 3
=
=
 +
4
4
 2 

 f ( x ) : parabol
−b
3L
Xét f ( x ) = 9 +  3 x2 − 6 Lx + L2 . Ta có 
 xmax =
=
2a 9 +  3
a = 9 +  3  0

(

)

Do đó ta có x =

3L
9 + 3

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 36. Đáp án C
Hướng dẫn giải.
Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x là độ dài của cạnh hình tam giác đều. Khi đó ta có
Chiều dài phần dây làm thành tam giác là 3x

x
x
nên đoạn dây uốn thành hình vuông là 4 = 2 x
2
2

Chiều dài cạnh hình vuông là

Chiều dài phần dây làm thành hình tròn là L − 5x 

L − 5x
chính là bán kính của
2

đường tròn.
Khi đó ta có: S = Stron + Stamgiac

(

(

)

2
25 +  3 +  x2 − 10 Lx + L2

 L − 5x  x 2 3 x 2
=
+
=
 +
4
4
4
 2 

)

Xét f ( x ) = 25 +  3 +  x2 − 10 Lx + L2 .


−b
5L
 f ( x ) : parabol
Ta có 
 xmax =
=
2a 25 +  +  3

a = 26 +  3 +   0
Do đó ta có x =

5L
25 +  +  3

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 37. Đáp án
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức giải nhanh
x=

a + b − a 2 − ab + b2
130 − 80 2 − 80.50 + 50 2
a = 80
⎯⎯⎯
→
x
=
= 10
b =15
6
6


Câu 38. Đáp án C
Hướng dẫn giải:
Gọi x,y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp. ( 0  x  y )
Khi đó ta có V = 96.000 = 60xy  x =

1600
y

Ta có chi phí hoàn thành bể cá là C ( x ) = 70.10 3 .Sxq + 100.10 3 .Sday
 C ( x ) = 70.10 3 . ( 2.60 x + 2.60 y ) .10 −4 + 16000 = 840 ( x + y ) + 16000

Ta có: x + y  2 xy = 2 1600 = 80 Do đó ta có C ( x )  840.80 + 16000 = 83200

Câu 39. Đáp án C
Hướng dẫn giải:
S=

1
2a + 2 x ) a 2 − x 2 ( 0  x  a )
(
2

S = ( a + x ) a2 − x2 . Xét f ( x ) = ( a + x ) a2 − x2 . Bài toán trở thành tìm min f ( x )
x( 0 ;a )

( )

Ta có: f ' x =

a2 − x2 +

( a + x )( −x ) = ( a + x )( a − 2x )
a2 − x2

a2 − x2

 x = −a ( ktm )
 a  3a3 3

. Lập bảng biến thiên ta suy ra min f ( x ) = f   =
f ' ( x) = 0 

x = a  0 ; a
x( 0 ;a )
4
2
(
)

2

Câu 40. Đáp án A
Hướng dẫn giải:
(bạn đọc có thể tham khảo thêm bài tâp tương tự số 2 (thuộc bài toán số 5, chương I)
Gọi C’, D’ lần lượt là điểm đối xứng của C và D qua cạnh AB.
Ta có MC + MD = MC'+ MD  DC' = AB2 + ( BD + BD') = 8 34
2

Áp dụng định lý Thales ta có:

MB
BD
MB 30 3
=

=
=  MB = 18  MA = 6
C' D' DD'
AB 40 4

Câu 41. Đáp án C
Hướng dẫn giải:

Gọi d1 ,d2 lần lượt là khoảng cách các vật A và B đến 0 lúc đầu ( t = 0 )
Đồng thời d = AB . Gọi t' là thời điểm mà dmin . Khi đó A ở A’. B ở B’ như hình vẽ
Kí hiệu góc

B' A'O =  , A' B'O =  .

Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác A' B'O ta có:
d − AA' d2 − BB'
d − v1t d2 − v2 t
d
OA' OB'
=
=
 2d = 1
=
 2d = 1
=
(* )
s in 30 sin  sin 
sin 
sin 
sin 
sin 

Do v2 =

v1
3

( * )  2d =

A C C−A
, ta có:
= =
B D D−B

và áp dụng

3d2 − d1
3 sin  − sin 

Do đó ta có d =

(

(

)

(

mà sin  = sin 1800 −  = sin 300 + 

3d2 − d1

)

2  3 sin 300 +  − sin  




)

3d2 − d1

=

3 cos  + sin 

Xét f ( ) = 3 cos  + sin  . Ta có dmin  f (  )max
Cách 1: khảo sát hàm f (  ) (xin dành cho bạn đọc)
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:

3 cos  + sin   3 + 1 cos2  + sin2  = 2  −2  f ( )  2  max f ( ) = 2
Dấu “=” xảy ra 

Khi đó ta có

0
sin 
1
=
 tan  = t an300   = 300 và khi đó  = 120
cos 
3

d1 '
d2 '

sin 1200
d
=
=

d
'
=
d1 ' = 3d1 ' = 90 ( m )
2
sin 300 sin 300 sin 1200
sin 300

Câu 42. Đáp án A
Hướng dẫn giải:
U R + U L = I ( R + ZL ) =

U
R + ZL
2

2

( R + ZL ) =

U
R + ZL 2
2

( R + ZL )

2

y( R )

→ y ( R ) MIN với
Để (U R + U L ) MAX ⎯⎯

y ( R) =

R 2 + ZL 2

( R + ZL )

2

( R  0)


(

2

Khi đó

y' ( R ) =

)

2 R ( R + ZL ) − 2 R 2 + ZL 2 ( R + Z L )

( R + ZL )

4

=

(

2 R ( R + ZL ) − 2 R 2 + ZL 2

( R + ZL )

3

).

y' ( R ) = 0  2 R2 + 2 RZL − 2 R2 − 2ZL 2 = 0  2ZL ( R − ZL ) = 0  R = ZL

1
2

Dựa vào bảng biến thiên (họ sinh tự vẽ) ta suy ra ymin =  R = ZL
Do đó (UR + U L )MAX = U 2  R = ZL  (UR + U L )MAX = 100 2  A

Câu 43. Đáp án B
Hướng dẫn giải:

 AA' = v1 t = 24t
Độ dài quãng đường mà hai canô đi được sau thời gian t lần lượt là: 

BB' = v2 t = 18t
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác A' B' B vuông tại B ta có:
A' B' 2 = A' B2 + BB' 2 = ( AB − AA' ) + BB' 2 = ( 1 − 24t ) + ( 18t )
2

2

2

Xét f ( t ) = 900t 2 − 48t + 1 . Bài toán trở thành tìm min f ( t ) = ?

−b
48
2
 f ( t ) : Parabol
Ta có 
 xmin =
=
=
 min f ( t ) =
2a 2.900 75

a = 900  0

 2 
f   = 0 , 36
 75 

Vậy khi đó 2 ca nô cách nhau 1 khoảng ngắn nhất là d = A' B' = 0 , 6km = 600m

Câu 44. Đáp án D
Hướng dẫn giải.
Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x là độ dài của cạnh hình tam giác đều. Khi đó ta có
Chiều dài phần dây làm thành tam giác là 3x
Chiều dài phần dây làm thành hình vuông là L − 3x 

L − 3x
chính là chiều dài
4

cạnh của hình vuông.
Khi đó ta có: S = Svuong + Stamgiac

( L − 3x )
=
16

2

(

)

9 + 4 3 x2 − 6 Lx + L2
x2 3
+
=
4
16


−b
3L
 f ( x ) : parabol
Xét f ( x ) = 9 + 4 3 x2 − 6 Lx + L2 . Ta có 
 xmax =
=
2a 9 + 4 3

a = 9 + 4 3  0

(

)

Do đó ta có x =

18
9+4 3

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 45. Đáp án D
Hướng dẫn giải.

(

)

(

C ( t ) = 100 e −0 ,4t − e −0 ,6t  C' ( t ) = 100 −0 , 4e −0 ,4 t + 0 , 6.e −0 ,6t

)

Xét C' ( t ) = 0  e 0 ,2t = 3  t = 5 ln 3  2 , 027
2

2


3
Lập bảng biến thiên ta suy ra maxC ( t ) = C  5 ln 
2

Câu 46. Đáp án C
Hướng dẫn giải :
Theo đề : a = 2b  b =

a
1
24
 V = a.b.h = a2 h = 288  a =
2
2
h

Diện tích xung quanh của hồ cá : S = 3ah +

a2
24 288
288
= 3h.
+
= 72 h +
2
h
h
h

Xét hàm số f ( t ) = 72t + 288
với t = h  t  3
2
t

 f ' ( t ) = 72 −

576
 0 t  3
t3

Hàm số đồng biễn trên 3, + ) nên min f ( t ) = f ( 3)  t = 3  h = 9  a = 8  b = 4 .
t3 ,+ )
Vậy a = 8cm,b = 4cm,h = 9cm .
Câu 47. Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Gọi t là thời gian của con bọ đi được
Ta có 0  t  L và đồng thời t = L với L là chiều dài thanh cứng.
u

v

Khi B di chuyển một đoạn S = vt thì con bọ đi được L = u.t


L2 − S2 u 2 2
=
L t − v2 t 4
Độ cao mà nó đạt được khi đó là h = L sin a = ut
L
L
Đặt f ( t ) = L2 t 2 − v 2 t 4 . Bài toán trở thành tìm max f ( t ) = ?
Ta có f ' ( t ) = 2 L2 t − 4v 2 t 3 , f ' ( t ) = 0  t 2 =

L2
L
t =
2
2v
v 2

2


Lập bảng biến thiên ta suy ra max f ( t ) = f  L  = L .

2v

v 2

Câu 48. Đáp án D
Hướng dẫn giải.

(

)

0 , 28. 4 − t 2
0 , 28t
C (t ) = 2
 C' ( t ) =
. Khi đó C' ( t ) = 0  t = 2
2
t +4
t2 + 4

(

)

Lập bảng biến thiên ta suy ra maxC ( t ) = 2
t( 0 ; 24 )

Câu 49. Đáp án A
Hướng dẫn giải
Tóm tắt bài toán: MP : − − − − R − − − − − − . − − L − C − Rx − − − ( Rx
MN

)

NP

Yêu cầu Rx → R  U LCR → MIN ⎯⎯
→ cos = ?
?

x

Ta có: U LCR = I Rx 2 + ( ZL − ZC ) =

U

2

( R + R ) + (Z
2

x

x

U

 U LCRx =

( R + R ) + (Z − Z )
R + (Z − Z )
2

x

L

(

f '( x) =

x

)

(

min

1+

2

2

x

Vậy ULCR

2

L

− ZC )

2

2

U

=

C

L

Rx 2 + ( ZL − ZC )

C

R2 + 2 RRx

Rx 2 + ( ZL − ZC )

2

f ( Rx = x )

 f ( x )max . Xét f ( x ) =

2 Rx + R2
x 2 + ( ZL − ZC )

2

( x  0)

) − 2x.( 2Rx + R ) = 2R ( −x − Rx + (Z − Z ) ) .
( x + (Z − Z ) )
( x + (Z − Z ) )

2 R x 2 + ( ZL − ZC )

2

2

L

2

2

L

2

2

2

2

2

C

C

L

2

C

Xét f ' ( x ) = 0  x 2 + Rx − ( ZL − ZC ) = 0.  = R2 + 4 ( ZL − ZC )  0 .
2

2

2

− R + R2 + 4 ( ZL − ZC )

2
tm )
(
R2 + 4 ( ZL − ZC ) − R
 x1 =
2
f ' ( x) = 0  
 Rx =

2
2
2

− R − R + 4 ( ZL − ZC )
x =
 0 ( ktm )
 2
2


Bảng biến thiên.
x 0
y'

x1
+

+¥

0

-

f (x 1 )

y
R2

( ZL − ZC )

0

2

R2 + 4 ( ZL − ZC ) − R
2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có max f ( x ) = f ( x1 )  Rx =

2

Như vậy khi đó ta có 2Rx + R = R2 + 4 ( ZL − ZC )  4Rx 2 + 4Rx R = 4 ( ZL − ZC )
2

 Rx 2 + Rx R = ( ZL − ZC ) .
2

Z − ZC
2
( ZL − ZC ) = Rx 2 + Rx R ⎯⎯⎯
2
1
R = Rx
 ( tan  ) =
→ ( tan  ) =
Khi đó tan  = L
2
2
R + Rx

2
( R + Rx ) ( R + Rx )
2

 ( cos  ) =
2

2
6
 cos  =
 0, 816 .
3
3

Câu 50. Đáp án C
Hướng dẫn giải.
Đặt AB = a, AD = b, AA' = c . Khi đó VABCD.A' B'C' D' = abc .
Và ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên giả sử a  b
Theo giả thiết, ta có 2.SABCD + 2.SABB' A' + 2.SBCC' B' = 36 .
 SABCD + SABB' A' + SBCC' B' = 18  ab + bc + ca = 18 .

Xét tam giác AA'C' vuông tại A' , ta có AC'2 = AA'2 + A'C'2 .
Mà xét tam giác A'B'C' vuông tại B' , có A'C' 2 = A' B' 2 + B'C' 2 .
Khi đó AC'2 = AA'2 + A' B'2 + B'C'2 = a2 + b2 + c 2 = 36 .
Ta có ( a + b + c ) − 2 ( ab + bc + ca ) = 36  ( a + b + c ) = 72 .
2

2

Cho các số a,b,c . Đặt m = a + b + c , n = ab + bc + ca , p = abc .

(

Khi đó, ta có 9mn − 27 p − 2m3  2 m2 − 3n

m = a + b + c = 6 2
ta được:

n = ab + bc + ca = 18

Áp dụng với 

)

3

.

2


108 2 − 27 p  108 2  27 p − 108 2  108 2  p  8 2

Hay nói cách khác abc đạt giá trị lớn nhất tại 8 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 4 2 , b = c = 2 .