Chuyên đề các phương pháp tính tích phân nguyễn duy khôi file word có đáp án và lời giải image marked

LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích
phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là
đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác
suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học...
Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo được
phổ biến trong tất cả các trường đại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai trong
chương trình học đại cương. Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh Đại
học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các đề thi môn Toán của khối A, khối B và cả khối
D. Bên cạnh đó, phép tính tích phân cũng là một trong những nội dung để thi tuyển sinh đầu vào
hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên đề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ĐỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” để phần nào củng cố, nâng
cao cho các em học sinh khối 12 để các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi
Tuyển sinh Đại học và giúp cho các em có nền tảng trong những năm học Đại cương của Đại học.
Trong phần nội dung chuyên đề dưới đây, tôi xin được nêu ra một số bài tập minh họa cơ
bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến số, phương pháp
tích phân từng phần. Các bài tập đề nghị là các đề thi Tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh Đại học
Cao đẳng của các năm để các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và phần cuối của chuyên
đề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân.
Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chuyên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý chân tình của quý Thầy
Cô trong Hội đồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai. Nhân dịp này tôi xin cảm
ơn Ban lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô trong tổ Toán trường
Nam Hà, các đồng nghiệp, bạn bè đã đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành chuyên đề này. Tôi xin
chân thành cám ơn./.

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

MỤC LỤC
1
2

I.
I.1.
I.2.
I.3.
I.4.
II.
II.1.
II.2.

Lời nói đầu
Mục lục
Nguyên hàm:
Định nghĩa nguyên hàm
Định lý
Các tính chất của nguyên hàm
Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung
Tích phân:
Định nghĩa tích phân xác định
Các tính chất của tích phân

II.3.

Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

5

Bài tập đề nghị 1

9

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

10

II.4.

II.4.1 Phương pháp đñổi biến số loại 1

III.

5
5

10

Định lý về phương pháp đổi biến số loại 1

13

Một số dạng khác dùng phương pháp đổi biến số loại 1

14

Bài tập đề nghị số 2

14

Bài tập đề nghị số 3

15

Bài tập đề nghị số 4: Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng

16

II.4.2 Phương pháp đổi biến số loại 2

II.5.

3
3
3
4

16

Bài tập đề nghị số 5

21

Các đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông

22

Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng

22

Phương pháp tích phân từng phần

23

Bài tập đề nghị số 6: Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng

28

Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính
CASIO fx570-MS

29

Bài tập đề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân

30

Phụ lục

36

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi

x∈(a;b):
F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R
b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
trên (0;+∞)
x

I.2. ĐỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:

a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết
dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số.
Theo định lý trên, để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên
hàm nào đó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C.
Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và được ký
1

n

hiệu: )  f ( x ) dx a 2 − a 2 sin 2 x = a 2 cos2 x = a. cos x ) m a = a m ; m a n = a m

(hay còn gọi là tích

phân bất định)
Vậy:

 f ( x ) dx = F ( x ) + C

VD2: a)  2xdx = x 2 + C

b)  sin xdx = − cos x + C

c)

1

 cos

2

x

= tgx + C

I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM:

1)

(  f ( x ) dx ) = f ( x )

2)

 a. f ( x ) dx = a  f ( x ) dx ( a  0)

3)

  f ( x )  g ( x )dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx

 f ( x ) dx = F ( x ) + C   f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F (u ( x ) ) + C

4)

'

VD3: a)

 (5x

4

− 6 x 2 + 8 x ) dx = x 5 − 2 x 3 + 4 x 2 + C

b)  6 cos x.sin xdx = −6  cos x.d ( cos x ) = −3cos 2 x + C

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


I.4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG
GẶP

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP

1/  dx = x + C

1/  du = u + C

x +1
2/  x dx =
+ C (  −1)
 +1
dx
= ln x + C ( x  0)
3/ 
x
4/  e x dx = e x + C

2/  u du =

ax
+C
5/  a dx =
ln a

au
+ C ( 0  a  1)
5/  a du =
ln a



x

3/

( 0  a  1)

u

6/  cos udu = sin u + C
7/  sin udu = − cos u + C

7/  sin xdx = − cos x + C
dx

 cos

9/ 

2

du
= ln u + C ( u = u ( x )  0)
u

4/  eu dx = eu + C

6/  cos xdx = sin x + C

8/



u +1
+ C (  −1)
 +1




=  (1 + tg 2 x ) dx = tgx + C  x  + k 
x
2



dx
=  (1 + cot 2 x ) dx = − cot x + C
2
sin x

( x  k )

8/

du

 cos

9/ 

2




=  (1 + tg 2u ) du = tgu + C  u  + k 

u
2



du
=  (1 + cot 2 u ) du = − cot u + C ( a  0 )( u  k )
2
sin u

CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG
❖ CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP
1
1/ 
dx = 2 x + C ( x  0)
x

1 ( ax + b )
+C
2/  ( ax + b ) dx =
a  +1
1
1
dx = ln ax + b + C ( a  0)
3/ 
ax + b
a
1
4/  e ax +b dx = e ax +b + C ( a  0)
a

a kx
+C
5/  a kx dx =
k .ln a
1
6/  cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C ( a  0)
a
7/
1

 sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C ( x  2 + k )
8/ .  tgxdx = − ln cos x + C . ( x  k )


 +1

❖ CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA:
1/ a m .a n = a m + n
am
1
2/ a n = a m−n ; n = a − n
a
a
3/
❖ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC:
1
1
1/ sin 2 x = (1 − cos 2 x ) 2/ cos 2 x = (1 + cos 2 x )
2

2
b. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1
1/ cos a.cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 
2
( 0  k  R,0  a  1)
1
cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2
1
3/ sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 
2

2/ sin a.sin b =

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


II. TÍCH PHÂN:
II.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ của K, F(x)
là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của
f(x). Ký hiệu:
b

b

 f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
a

II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
a

1/

 f ( x ) dx = 0
a

2/

a

b

b

a

 f ( x ) dx = −  f ( x ) dx
b

b

a

a

3/  k . f ( x ) dx = k . f ( x ) dx
b

4/

b

b

  f ( x )  g ( x ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx
a

5/

( k  0)

a

a

b

c

b

a

a

c

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

6/ Nếu f ( x )  0, x  a; b thì

với c  ( a; b )

b

 f ( x ) dx  0
a

7/ Nếu f ( x )  g ( x ) , x  a; b thì

b



b

f ( x ) dx   g ( x ) dx

a

a
b

8/ Nếu m  f ( x )  M , x a; b thì m ( b − a )   f ( x ) dx  M ( b − a ) .
a
t

9/ t biến thiên trên  a; b   G ( t ) =  f ( x ) dx là một nguyên hàm của f ( t ) và G ( a ) = 0

a

II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
b

Chú ý 1: Để tính tích phân I =  f ( x ) dx ta phân tích f ( x ) = k1 f1 ( x ) + ... + km f m ( x )
a

Trong đó: ki  0

(i = 1, 2,3,..., m) các hàm

fi ( x ) ( i = 1, 2,3,..., m) có trong bảng nguyên hàm cơ

bản.
VD4: Tính các tích phân sau:

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2

1) I =  ( 3x 2 − 4 x + 3) dx = ( x3 − 2 x 2 + 3x )
−1

(

2
−1

)

= ( 23 − 2.22 + 3.2 ) − ( −1) − 2. ( −1) + 3. ( −1) = 12
3

2

Nhận xét: Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/ và 2/ trong
bảng nguyên hàm.

3x 4 − 6 x3 + 4 x 2 − 2 x + 4
dx
x2
1
2

2) I = 

Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm,
trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng
công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm.

3x 4 − 6 x3 + 4 x 2 − 2 x + 4
2 4

I =
dx =   3x 2 − 6 x + 4 − + 2  dx
2
x
x x 

1
1
2

2

4 2

=  x3 − 3x 2 + 4 x − 2 ln x −  = 4 − 2 ln 2
x1

2

3) I = 
0

x2 − 5x + 3
dx
x +1

Nhận xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên
hàm, trước hết phân tích phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4 và
sử dụng công thức 1/, 2/ trong bảng nguyên hàm và công thức 3/ bổ sung.
1

4) I =  e x ( 2 xe − x + 5x e − x − e − x ) dx
0

Nhận xét: Câu 4: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng ngay
được các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn rồi áp dụng tính

chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ trong bảng nguyên hàm.
1
1

1
5x
4
I =  e x ( 2 xe− x + 5x e− x − e− x ) dx =  ( 2 x + 5x − 1) dx =  x 2 +
− x =
ln 5

 0 ln 5
0
0




2 

5) I =   4 cos x + 2sin x −
 dx = ( 4sin x − 2 cos x − 2tgx ) 4 = 2 2 − 2 − 2 + 2 = 2
cos 2 x 
0
0
4

Nhận xét: Câu 5 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/, 7/ và 8/ trong
bảng nguyên hàm.

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải






8

6) I =  ( 4sin 2 x − 12cos 4 x ) dx = ( −2cos 2 x − 3sin 4 x ) 8 = − 2 − 3 + 2 = −1 − 2
0
0
Nhận xét: Câu 6 trên ta cũng chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ , 7/ trong
bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung.




7) I =  sin 2  2 x −  dx
4

0
12

Nhận xét: Câu 7 học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm công thức 2/ trong bảng bảng nguyên


hàm cột bên phải, bởi đã xem u 2 = sin 2  2 x −  (hơi giống đạo hàm hàm số hợp).
4


Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các công
thức bổ sung.








1 12 
 
1 12


 I =  sin 2  2 x −  dx =  1 − cos  4 x −   dx =  (1 − sin 4 x ) dx
4
2 0
2 
20


0
12



1
1
1  1

  1 1
1

 
=  x + cos 4 x  12 =  + cos  −  0 + cos 0  =
−
2
4
2  12 4
3  2
4
0
 24 16

16

8) I =  cos 6 x.cos 2 xdx
0

Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng ngay
được các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết phải biến đổi lượng giác biến đổi tích thành
tổng rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức
bổ sung.




16

16

1
 I =  cos 6 x.cos 2 xdx =
2
0

11
1

0 ( cos8 x + cos 4 x )dx = 2  8 sin 8 x + 4 sin 4 x 

11
 1   11
1
2 1
 11
=  sin + sin  −  sin 0 + sin 0  =  +
1+ 2
=
28
2 4
4  28
4
 2  8 8  16

(


0

)

2

9) I =

x

2

− 1 dx

−2

Nhận xét: Câu 9 biểu thức trong dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, ta hướng học sinh
khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức x2 – 1 trên [-2;2] và kết hợp với tính chất 5/
của tích phân để khử giá trị tuyệt đối.

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2

I =



x 2 − 1 dx =

−2

−1

1

2

−2

−1

1

2
2
2
 ( x − 1) dx −  ( x − 1) dx +  ( x − 1) dx

 x3
 −1  x3
 1  x3
2
=  − x − − x + − x = 5
 3
 −2  3
 −1  3
1
3

10) I = 

2

3x + 9
dx
x − 4x − 5
2

Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực hiện phép chia đa thức được như câu 2 và 3, mặt khác
biểu thức dưới mẫu phân tích được thành ( x − 5)( x − 1) nên ta tách biểu thức trong dấu tích phân
3x + 9
A
B
4
1
=
+
=
−
(phương pháp hệ số bất định)
x − 4x − 5 x − 5 x +1 x − 5 x +1
3
3
3
3x + 9
1 
 4
I = 2
dx =  
−
dx

=
4ln
x
−
5
−
ln
x
+
1
(
)

2
x − 4x − 5
x − 5 x +1 
2
2

như sau:

2

= 4 ln 2 − ln 4 − 4 ln 3 + ln 3 = 2 ln 2 − 3ln 3 = ln

4
27

a ' x + b'
Chú ý 2: Để tính I =  2

dx (b2 − 4ac  0) ta làm như sau:
ax + bx + c
b 

TH1: Nếu b − 4ac = 0 , khi đó ta luôn có sự phân tích ax + bx + c = a  x + 
2a 


b 
ba '

a '  x +  + b' −
a'
2a 
2a
I = 
dx
=
2
a
b 

a x + 
2a 


2

2

2



dx
+
b
x+
2a

ba '
dx
2a
2

a
b 

x
+


2a 


b' −

TH2: Nếu b2 − 4ac  0  ax2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) . Ta xác định A,B sao cho

A + B = a '

a ' x + b ' = A ( x − x1 ) + B ( x − x2 ) , đồng nhất hai vế  
 Ax1 + Bx 2 = − b '
1 A ( x − x1 ) + B ( x − x2 )
1  A
B 
I= 
dx =  
+
dx.
a
a  x − x2 x − x1 
( x − x1 )( x − x2 )

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Chú ý 3:
TH1: Để tính I = 

P ( x)
dx ta làm như sau:
( x − a1 )( x − a2 ) ... ( x − an )

P ( x)
An
A1
A2
=
+
+ ... +

( x − a1 )( x − a2 ) ... ( x − an ) ( x − a1 ) ( x − a2 )
( x − an )

TH2: Để tính

P ( x)

( x − a1 ) ( x − a2 ) ... ( x − an )
m

k

P ( x)

=

r

ta làm như sau:

A1

+

A2

( x − a1 ) ( x − a2 ) ... ( x − an ) ( x − a1 ) ( x − a2 )
P ( x)
TH3: Để tính I = 
với P(x) và Q(x) là hai đa thức:

Q ( x)
m

k

r

m

m −1

+ ... +

Am
+ ...
( x − am )

* Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì lấy P(x) chia cho Q(x).
* Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì tìm cách đưa về các dạng trên.
Nhận xét: Ví dụ 4 trên gồm những bài tập tính tích phân đơn giản mà học sinh có thể
áp dụng ngay bảng công thức nguyên hàm để giải ñược bài toán hoặc với những phép biến đổi
đơn giản như nhân phân phối, chia đa thức, đồng nhất hai đa thức, biến đổi tích thành
tổng...Qua ví dụ 4 này nhằm giúp các em thuộc công thức và nắm vững phép tính tích phân cơ
bản.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1: Tính các tích phân sau:
1

(

)

1) I =  x x + 2 x + 1 dx
3

0

2) I = 
1

x − 3x − 5 x + 3
dx
3) I = 
x−2
−1
0

2 x 2 x + x 3 x − 3x + 1
dx
x2

2

3

2

2

4) I =

 (x



6

12

0

+ x − 3) dx
2

−2



5) I =  ( sin x + cos 2 x − sin 3 x ) dx

2

6) I =  4sin x.sin 2 x.sin 3 xdx
0


16

7) I =  cos 4 2 xdx
0

4

dx
9) I =  2
x − 5x + 6
1

2

8) I =

x

+ 2 x − 3 dx

−2

4

dx
x +1 + x

10) I = 
1

11) I = 

x + 2x + 6
dx
( x − 1)( x − 2 )( x − 4 )

12) I = 

13) I = 

xdx
4
x − 6x2 + 5

14) I = 

2

2

x2 + 1

( x − 1) ( x + 3)
3

dx

x 7 dx

(1 + x )

4 2

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
II.4.1. Phương pháp đổi biến số loại 1:
b

Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân

 f ( x ) dx

chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x), cận a và

a

b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Tức là:
b



b

b

a

a

f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du =...

a

Trong một số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp bằng công thức hay qua
các bước phân tích ta vẫn không giải được. Ta xét các trường hợp cơ bản sau:
VD5: Tính các tích phân sau:
1) I =

2
2

dx



2 − x2

0

Phân tích: Biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử căn bằng phép
biến đổi bình phương hai vế được, ta thử tìm cách biến đổi ñưa căn bậc hai về dạng

A2 , khi đó

ta sẽ liên tưởng ngay đến công thức: 1 − sin 2 x = cos2 x = cos x , do đó:
  
Đặt x = 2 sin t  dx = 2 cos tdt , t   − ; 
 2 2

Đổi cận: x =

2
2


 2 sin t =
t =
2
2
6

x = 0  2 sin t = 0  t = 0 f ( x ) =




6

6

I =
0

2 cos t.dt
2 − 2sin t
2

=
0



2 cos t.dt


0

2

.x =



=  dt = t 6 = (vì
6
2 (1 − sin 2 t ) 0
0
2



2



6

Trong VD trên khi ta thay đổi như sau: I =
quả I =

 
t  0;   cos t  0)
 6
2− x

1

6
6

 3 sin t =
t =
2
2
4

dx
2 − x2

. Học sinh làm tương tự và được kết

Kết quả trên bị sai vì hàm số không xác định khi

x= 2 .
  
Do x = 3 sin t  dx = 3 cos tdt , t   − ;  đó khi ra đề ở dạng trên Giáo viên cần chú ý:
 2 2
hàm số f(x) xác định trên [a;b]

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2

2)

I =  3 − x 2 dx
0

  
Đặt x = 3 sin t  dx = 3 cos tdt , t   − ; 
 2 2
6
6

 3 sin t =
t =
2
2
4

Đổi cận x =

x = 0  2 sin t = 0  t = 0






4

4

4

0

0

 I =  3 − 3sin 2 t . 3 cos t.dt =  3cos 2 t.dt =


a) Khi gặp dạng









a − x dx hay
2

2

dx
a2 − x2

3
(1 + cos 2t ) .dt =
2 0



3 1
3 1

 t + sin 2t  4 =  +  I =
2 2
 0 2 4 2

dx ( a  0)

  
Đặt x = a.sint  dx = a.cost.dt , t   − ;  A2
 2 2
( Để biến đổi đưa căn bậc hai về dạng , tức là
  
Đổi cận: x =   t =  ’   − ; 
 2 2
  
x =   t =  ’  − ; 
 2 2

  
  
Lưu ý: Vì t   − ;    ',  '   − ;   cost  0
 2 2
 2 2


'

'

  a − x dx =  a − a sin t .a cos tdt =  a 2 cos 2 tdt , hạ bậc cos 2 t
2

2

2



2

'



Hay

2







dx

a2 − x2

'



'

a.cos tdt

=

a 2 − a 2 sin 2 t

'

'

=  dt
'

Đến đây, công thức nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên ta tính được tích phân
theo biến số t một cách dễ dàng. Ở đây ta cần lưu ý: Biểu thức trong dấu tích phân này là hàm số
theo biến số t đơn điệu trên [α;β].
Ta mở rộng tích phân dạng trên như sau:


b) Khi gặp dạng





a −u
2

2

( x )dx



hay




dx
a2 − u 2 ( x )

( a  0)

  
Đặt u ( x ) = a.sint  u ' ( x ) .dx = a.cost.dt , t   − ; 
 2 2

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

6
2


0

3 − x 2 dx


  
Đổi cận: x =   t =  ’   − ; 
 2 2
  
x =   t =  ’  − ; 
 2 2
2+

VD6: Tính tích phân sau: I =

6
2

2+



− x 2 + 4 x − 1dx . Ta có: I =

2

6
2



3 − ( x − 2 ) dx
2

2

  
Đặt x − 2 = 3 sin t  dx = 3 cos t.dt , t   − ; 
 2 2
6
2

 sin t =
t =
2
2
4
x = 2  sin t = 0  t = 0

Đổi cận: x = 2 +




4

4

 I =  3 − 3sin 2 t . 3 cos t.dt =  3cos 2 t.dt

0

0



34
=  (1 + cos 2t ) .dt =
20



3 1
3 1

 t + sin 2t  4 =  + 
2 2
 0 2 4 2
2

VD7: Tính tích phân sau: I =

dx

 2+ x

2

dx

0

Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng phương pháp
hệ số bất định như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức trong dấu tích phân được như chú ý 2
và chú ý 3.
  
Đặt: x = 2tgt  dx = 2. (1 + tg 2t ) dt , t   − ; 
 2 2

Đổi cận: x = 2  2tgt = 2  t =
4
x = 0  2tgt = 0  t = 0


2. (1 + tg 2t ) dt

4

I =

2 + 2tg 2t

0



c) Khi gặp dạng


 a

2


4

=
0



2
2
t 4=
2
8
0

dx
(a > 0)
+ x2

Nhận xét: a2 + x2 = 0 vô nghiệm nên ta không phân tích biểu thức trong dấu tích phân được
như chú ý 2 và chú ý 3.

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


  
Đặt x = a.tgt  dx = a.(1 + tg 2t )dt , t   − ; 

 2 2
  
Đổi cận: x =   t =  ’   − ; 
 2 2
  
x =   t =  ’  − ; 
 2 2

Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo:
1+ 2

dx
x − 2x + 3
1
Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta phân tích mẫu số ñược

VD8: Tính tích phân sau: I =



2

thành: a2 + u2(x).
1+ 2



Ta có: I =

1

dx
=
2
x − 2x + 3

1+ 2


1

dx
2 + ( x − 1)

2

  
Đặt x − 1 = 2tgt  dx = 2. (1 + tg 2t ) dt , t   − ; 
 2 2

Đổi cận x = 1 + 2  tgt = 1  t =
4
x = 1  tgt = 0  t = 0

4

I=

2. (1 + tg 2t ) dt
2 + 2tg 2t

0


4

=
0



2
2
2
dt =
t 4=
2
2
8
0

Vậy:


d) Khi gặp dạng


 a

2

dx
(a > 0)
+ u2 ( x)

Với tam thức bậc hai a 2 + u 2 ( x ) vô nghiệm thì
  
Đặt u ( x ) = a.tgt  u ' ( x ) dx = a. (1 + tg ) dt , t   − ; 
 2 2
  
Đổi cận: x =   t =  ’   − ; 
 2 2
  
x =   t =  ’  − ; 
 2 2

Tóm lại: Phương pháp đổi biến số dạng 1:

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Định lý: Nếu
1. Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục, đơn điệu trên đoạn [α;β].
2. Hàm số hợp f[u(t)] được xác định trên đoạn [α;β].

3. u ( ) = a, u (  ) = b.
b

thì


a



f ( x ) dx =  f u ( t )u 't.dt


Từ đó ta rút ra quy tắc đổi biến số dạng 1 như sau:
B1: Đặt x = u ( t ) (với u(t) là hàm có đạo hàm liên tục trên [α;β], f(u(t)) xác định trên [α;β] và

u( ) = a, u (  ) = b) và xác định α,β
b



a



B2: Thay vào ta có: I =  f ( u ( t ) ).u ' ( t ) dt =  g ( t ) dt = G ( t )


= G (  ) − G ( )


Một số dạng khác thường dùng phương pháp đổi biến số dang 1:
a
1
* Hàm số trong dấu tích phân chứa a 2 − b2 x 2 hay

ta thường đặt x = sin t
b
a 2 − b2 x2
a
1
* Hàm số trong dấu tích phân chứa a 2 − b2 x 2 hay
ta thường đặt x =
b sin t
a 2 − b2 x2
1
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 2 2 ta thường đặt x = tgt
a +b x
b
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa x ( a − bx ) ta thường đặt x = sin 2 t
b
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2: Tính các tích phân sau:
1
1
x2
2
dx
1) I =  x 1 − x dx
2) I = 
4 − 3x 2
0
0
1

3) I = 
0
2

5) I = 
1

x

x2 −1
dx
x

2

4) I =

dx

3 + 2x − x2
x +1
dx
x (2 − x)

Hướng dẫn: Câu 4: Đặt x =


1
1

6) I = 
0

1
sin t

dx
x + x +1
2

Câu 5: Đặt x = 2 sin 2t

 
VD9: Chứng minh rằng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên 0;  thì
 2

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Áp dụng phương pháp trên để tính các tích phân sau :



2

4

sin x
dx
4

sin x + cos 4 x
0

1) I = 

2

2) I =  ln (1 + tgx ) dx
0

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Giải

2

VT =

 f ( sin x ) dx

Đặt x =

0



Đổi cận x = 0  t =

2

;x =


2


2

− t  dx = −dt

t =0


2
 

 VT = −  f  sin  − t   dt =  f ( cos x ) dx = VP (đpcm)
  2 

0
0

2

Áp dụng phương pháp trên để tính các tích phân sau :


sin 4 x
dx

sin 4 x + cos 4 x
0
2

1) I = 
Đặt x =


2

− t  dx = −dt

Đổi cận x = 0  t =


2

; x=


2

t =0





sin 4  − t 
4

2
2
cos
t
cos 4 x
2 
I = −
dt =  4
dt
=
0 sin 4 x + cos4 x dt
sin t + cos 4 t


4 
4 

0
sin  − t  + cos  − t 
2
2 
2 
0







2
sin x
cos x


dx
+
dx
=
dx =  I =
4
4
4
4


sin x + cos x
sin x + cos x
2
4
0
0
0
4

2

 2I = 

4

2


4

2) I =  ln (1 + tgx ) dx
0

Đặt x =


4

− t  dx = −dt

Đổi cận x = 0  t =


4

; x=


4

t =0






4
 1 − tgt 



 I = −  ln 1 + tg  − t  dt =  ln 1 +
dt
=
ln
2
−
ln
1
+
tgt
dt
=
ln
2.


(
)


0 
0 dt − I

 4 

 1 + tgt 

0
0

4

4

4

 2I =

 ln 2

I =

 ln 2

4
8
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 3: Tính các tích phân sau:

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải






2

2

0

0

1)  sin n xdx =  cos n xdx

HD: Đặt x =


2

−t

a

2) Cho I =

 f ( x ) dx . CMR:

−a

a

a) I = 2 f ( x ) dx nếu f(x) là hàm số chẵn.

0

b) I=0 nếu f(x) là hàm số lẻ.

b
f ( x)
dx
=
 a x + 1 0 f ( x ) dx
−b
b

3) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là hàm số chẵn thì

2 x2 + 1
Áp dụng: Tính I =  x
dx.
2 +1
−2
2



4) Chứng minh rằng:

 xf ( sinx ) dx

=

0



Áp dụng: Tính I = 
0





2 0

f ( sinx ) dx (HD: Đặt x =  − t )

x sin x
dx
4 + sin 2 x

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các đề tuyển sinh ðại học)
2
2



a) I =

0

1

x2
1 − x2

dx (ĐH TCKT 1997)

2

0

e) I =

1

g) I =



−1

(ĐH Y HP 2000)

a

d) I =  x 2 a 2 − x 2 dx (ĐH SPHN 2000)
0

x
1

2 3

0

c) I =  x 2 4 − x 2 dx (ĐH T.Lợi 1997)
3
2

(1 − x ) dx

b) I = 

dx
1− x

2

dx

(1 + x )

2 2

(ĐH TCKT 2000)

f) I =

(ĐH N.Ngữ 2001)

h) I =

dx
(ĐH T.Lợi 2000)
x + 4 x2 + 3
4

2

x
2
3

dx
x2 −1

(ĐH BKHN 1995)

II.4.2. Phương pháp đổi biến số loại 2: (Dạng nghịch)
Nếu tích phân có dạng
Đặt: u = u ( x )  du = u ' ( x ) dx
Đổi cận: x = b  u2 = u ( b )

x = a  u1 = u ( a )

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


I =

u2

 f ( u ) du

u1

Một số dạng cơ bản thường gặp khi đổi biến số loại 2:(Dạng nghịch)
Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích
phân bằng tích phân đổi biến số loại 1 không được nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích phân
có chứa:

1. Lũy thừa thì ta thử đặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có chứa lũy thừa cao
nhất.

2. Căn thức thì ta thử đặt u bằng căn thức.
3. Phân số thì ta thử đặt u bằng mẫu số.
4. cosx.dx thì ta thử đặt u = sinx.
5. sinx.dx thì ta thử đặt u = cosx.
dx
hay (1 + tg x ) dx thì ta thử đặt u = tgx
cos 2 x

6.

dx
hay (1 + cotg 2 x ) dx thì ta thử đặt u = cotgx .
sin 2 x
dx
8.
và chứa lnx thì ta thử đặt u = lnx.
x
VD 10: Tính các tích phân sau:

7.

1

1.a) I =  ( x3 + 1) x 2 dx
5

0

Đặt: u = x 3 + 1  du = 3 xdx 2  x 2 dx =

du
3

Đổi cận:

x
u

0

1

1

2

2 1
u −1

1  1
1
du =  1 −  du = ( u − ln u ) = ( 2 − ln 2 − 1) = (1 − ln 2 )
1 2
2u
2 1 u
2
1
2

2

I =


2

a) I =  (1 + sin x ) .cos x.dx
3

(Tương tự)

1

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2

2.a) I =  4 + 3x 2 .12 x.dx

0

Đặt: u =

4 + 3 x 2  u 2 = 4 + 3x 2

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 2udu = 6xdx  12xdx = 4udu
Đổi cận:
x
0

u
4

2

4

 I =  u.4u.du =  4u 2 .du =
2

2

2

4

4u 3 4 4.43 4.23 224
=
−
=
3 2
3
3
3
2

2

(HD: I =  x 2 . 1 + 2 x 2 .xdx )

b) I =  1 + 2 x 2 .x 3 .dx

0

0

Đặt u = 1 + 2 x  u 2 = 1 + 2 x 2  x 2 =
 2udu = 4 xdx  xdx =
1

c) I =  3
0

x2
1+ 7x

3

u2 −1
2

udu
...
2

Đặt u3 = 3 1 + 7 x3  u3 = 1 + 7 x3

dx

 3u 2 du = 21x 2 dx  x 2 dx =

u 2 du
7

Đổi cận:

x

0

1

u

1

2

2

2
u2
1
1u 2 2 22 12
3
du =  udu =
= − =
7u
71
14 1 14 14 14
1

I =

1

3.a) I = 
0

1

x3
dx
x2 + 1

Ta có: I =

x 2 .x
0 x 2 + 1 dx

Đặt u = x 2 + 1  x 2 = u − 1
du
 du = 2 xdx  xdx =
2
Đổi cận:

x

0

1

u

1

2

2
2 1
u −1
1  1
1
dx =  1 −  du = ( u − ln u ) = ( 2 − ln 2 − 1) = (1 − ln 2 )
1 2
2u

2 1 u
2
1
2

I =

2

b) I = 
1

x2
x +2
3

dx

(HD: Đặt u = x3 + 2)

Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải




1
2

1
 u5 

1 
4.a) I =  sin x.cos x.dx  I =  u du =   2 =
 5  0 160 6
0
0
6

4

4

Đặt: u = sinx  du = cosx.dx
Đổi cận:

x

0


6

u

0

1
2


2

sin x
dx
1 + 3cos x
0

b) I = 

(HD: Đặt u = 1 + 3cosx )


2

c) I =  1 + 3sin x .cos xdx

(HD: Đặt u = 1 + 3sinx )

0



sin 2 x + sin x
dx
1 + 3cos x
0
2

5.a) I = 



(Đề ĐH khối A – 2005)


2
sin ( 2 cos x + 1)
sin 2 x + sin x
dx = 
dx
1 + 3cos x
1 + 3cos x
0
0
2

Ta có I = 

Đặt u = 1 + 3cos x  u 2 = 1 + 3cos x  cos x =
 2udu = −3sinxdx  sinxdx =

u2 −1
3

−2udu
3

Đổi cận:

x

0


2

u

2

1

 u − 1   −2udu 
+ 1 

2
2
3
2
 3 


I =
dx =  ( 2 x 2 + 1) du
u
91
2
2

1

 2 2  2.23
2  2u 3
2.13  34
= 
+u = 
+2−
− 1 =
9 3
3
1 9 3
 27

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhận xét: Đối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể đặt u bằng biểu thức trong dấu căn,
nhưng sau khi đổi biến thì tích phân mới vẫn còn chứa căn thức nên việc tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn
(tức là học sinh phải đưa về xα). Ví dụ: Cách 2 của câu 5


sin 2 x + sin x
dx
1 + 3cos x
0
2

5.a) I = 



(Đề ĐH khối A – 2005)


2
sin x ( 2 cos x + 1)
2sin x cos x + sin x
dx = 
dx
Ta có I = 
1 + 3cos x
1 + 3cos x
0
0
2

u −1
3
−du
 du = −3sinxdx  sinxdx =
3
Đổi cận:
x
0

Đặt u = 1 + 3cos x  cos x =


2

u

2
1
 u − 1  −du 
+ 1
1 2
4

3

 3  du = 1 ( 2u + 1) du
I =
9 1
u
u
4
4
4
1
− 
1 
1  1  12
14
4
2
2
u
+
=
2
u

+
u

=  u u +2 u




9 1
u  91
1
 93
1  32
4
 34
=  + 4 − − 2 =
9 3
3
 27
Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 đặt u bằng biểu thức trong căn thấy phức tạp hơn so với cách 1.

=


2

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0

b) I = 


4

6.a) I = 
0

( tgx + 1)

(ĐH khối B – 2005)

2

2

cos x

dx

Đặt: u = tgx + 1  du =

dx
cos 2 x

Đổi cận:

x

0

u

1
u  2 8 1 7
 I =  u 2 du =   = − =
 3 1 3 3 3
1
2


4
2

3

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải




tg 2 x − 3tgx + 1
dx
cos 2 x
0
4

b) I = 

(HD: Đặt u = tgx )


2

7.a) I = 


ecot x
dx
sin 2 x

4

Đặt: u = cot x  du =

−dx
sin 2 x

Đổi cận:

u
0

1

 −  e du =  eu du = eu
u

1


2
0


4
1

x

0

1
= e −1
0


2

b) I = − 
p
4

e3

8.a) I = 
1

3cot x + 1

dx
sin 2 x

1 + ln x .dx
x

(HD: Đặt u =

3cotgx + 1 )

Đặt: u = 1 + ln x  u 2 = 1 + ln x  2udu =

dx
x

Đổi cận:
x

1

e3

u

1

2

2

2

2u 3 2 2.23 2.13 14
 I =  u.2udu = 2 u du =
=
−
=
3 1
3
3
3
1
1
2

e7

b) I = 
1

ln x. 1 + ln x
dx
x

Đặt u = 3 1 + lnx  u 3 = 1 + lnx  u 3 − 1 = lnx  3u 2 du =

dx
x

Đổi cận:

x

1

e7

u

1

2

2
2
 u 7 u 4  2  27 24  300
 I =  ( u 3 − 1) .u.3u 2 du = 3 ( u 6 − u 3 ) du = 3  −  = 3  −  =
7
 7 4 1
7 4
1
1
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 5:

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


1. Tính các tích phân sau:

2

2

a) I =  ( 5sin x − 1) cos x.dx
3

2

0

p
2

sin x
dx
1 + cos x
0

0

0



p
4

e) I =  sin 4 x.cos x.dx

6



2

4

0

0

3

0

4

sin 2 x
dx
2
1
+
cos
x
0

k) I = 

0

dx



2

j) I =  sin x − sin 3 x .dx

1 + 26 x 3

i) I =  (1 + sin 2 x ) .cos 2 x.dx



p
2

3

0



h) I =  1 + 3sin x .cos xdx

I =  sin x.cos x.dx
3

x2

f) I =  cos5 x.dx

0



g)

c) I = 

3

6

d) I = 

2

1

b) I =  1 + 2 x .x .dx

3

l) I = 
0

etgx + 1
dx
cos 2 x

1. Tính các tích phân sau: (Các đề thi tốt nghiệp)

2

a) I =  sin 5 xdx (TNTHPT Năm 93-94)
0

2

b) I = 
1

x2
x3 + 2

dx (TNTHPT Năm 95-96)


2

c) I =



x 2 + 2.x3 .dx (TNTHPT Năm 96-97)

2

d) I =  cos 2 4 x.dx I(TNTHPT Năm 98-99)

1

0





6

e) I =  ( sin 6 x sin 2 x + 6 ) .dx (TNTHPT 00-01)
0

f) I =  ( x + sin 2 x ) cos x.dx (TNTHPT 04-05)
2

0

2. Tính các tích phân sau: (Các đề thi tuyển sinh ðại học)


sin 2 x + sin x
dx
1 + 3cos x
0
2

a) I = 

(ĐH khối A – 2005)


2

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0

b) I = 

(ĐH khối B – 2005)


2

(

)

c) I =  esin x + sin x cos xdx

(ĐH khối D – 2005)

0


2

d) I = 

0

sin 2 x
cos x + 4sin 2 x
2

ln 5

e

e) I =

ln 3

x

dx

dx
+ 2e − x − 3

(ĐH khối A – 2006)
(ĐH khối B – 2006)

1

f) I =  ( x − 2 ) e 2 x dx

(ĐH khối D – 2006)

0

4. Tính các tích phân sau: (các dạng khác)

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


13

a) I = 
0

3

3

dx
2x +1

2sin 2 x + 3sin x
dx
d) I = 
6 cos x − 2
0

g) I = 
1

1

k) I = 
0

e7

e) I = 
1

ln x. 1 + ln x
dx
x

e3

1
dx
3
x 1 + ln x

e4

3

1

1

e−1
ln 5

l) I =

x



5
4

i) I = 
5
3

e

m) I = 

e x − 1dx

0

3

1 + ln x .dx
x.ln x

f) I = 

 x.ln x.ln ( ln x ) dx

h) I =

dx
1+ e

dx
x +1
0 1+

c) I = 

0

p
3

e7

1

b) I =  x x + 1.dx

0

x +1
.dx
x −1

( x + 1)

x (1 + xe

x

)

dx( HD : t = xe x )

5. Tính các tích phân sau: (Các đề thi tuyển sinh Đại học)
7

1) I =



1

x3dx

(ĐH T.Mại 1997);

1 + x2

0

5
3
2) I =  x (1 − x ) (ĐH KTQD 1997)
6

0



sin 3 x
dx (ĐH QGHN 1997);
2
1
+
cos
x
0
2

3) I = 

1

xdx
(ĐHQGTPHCM 1998)
2x +1

4) I = 
0





5)  cos x sin xdx (ĐHBKHN98);

0

7
3

7) I = 
0

x +1
dx (ĐH GTVT 1998);
3
3x + 1

6) I =  cos 2 x ( sin 4 x + cos 4 x ) dx (ĐHBKHN 98)
2

0

1

dx
(ĐH QGHN 1998)
e +1
0

8) I = 

x





2

0

sin 2 x
dx (ĐHQGTPHCM 1998)
1 + cos 4 x
0





9) I =  sin 3 x cos xdx (ĐH DLHV 1998);
11) I =  sin 2 x (1 + sin 2 x ) dx (ĐHNT 1999);
2

3

0

10) I = 

sin 4 x
dx (ĐH GTVT 1999)
sin 4 x + cos 4 x
0

2

12) I = 

1

dx
(ðH Cđoàn 2000);
2x
e
+
3
0

13) I = 

ln 2



14) I =

0

e 2 x dx
ex + 1

(ðH BKHN 2000)



4

sin 4 x
dx (ĐH CThơ 2000);
4
sin x + cos 4 x
0

15) I = 

2

dx
x ( x3 + 1)

(ĐH NNghiệp 2000)




2

2

16) I = 

6

sin x
dx (ĐH Huế 2000);

17) I = 
6
cos x + sin 6 x
0

2

18) I = 
0

cos x
dx (ĐHNN1-KB 01)
sin x + cos x


2

dx
19) I = 
(ĐH Aninh 2001)
4
1 x ( x + 1)

2

20) I =  cos 2 x sin 2 xdx (ĐH NL HCM 2001)
0

Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải