13 SDMTCT trong các bài toán hình học giải tích trong không gian (đã tải) image marked

§13. Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán hình học giải tích trong không gian
Bài

tập

1:

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

các

vecto

a = ( 2; −5;3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1;7; 2 ) . Tìm tọa độ của vecto u = a − 4b − 2c
A. u = ( 0;27;3)

B. u = ( 0; −27;3)

C. u = ( 0; −27; −3)

D. u = ( 0;27; −3)

Cách giải bằng máy tính:
Ta thực hiện như sau:
(nhập vecto a )
(nhập vecto b )
(nhập vecto c )
(xóa màn hình)
(tìm tọa độ vecto u )
Màn hình hiện

Vậy, u = ( 0; −27;3) . Do đó đáp án đúng là đáp án B
Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a = ( 2; −5;3) và b = ( 0; 2; −1) . Tính

a.b
A. -13
B. 13
Cách giải bằng máy tính:

C. 11

D. 0

Ta thực hiện như sau:
(nhập vecto a )

(nhập vecto b )
(xóa màn hình)
Tính a.b
Màn hình hiện

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy a.b = −13 . Do đó, ta chọn đáp án A
Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a = ( 2; −5;3) và b = ( 0; 2; −1) . Tính
 a.b 
 

A. a.b  = (1; 2; 4 )
B. a.b  = ( −1; −2; 4 )
Cách giải bằng máy tính:

C. a.b  = ( −1; 2; 4 )

D. a.b  = ( −1; 2; −4 )

Ta thực hiện như sau:
(nhập vecto a )
(nhập vecto b )
(xóa màn hình)
Tính  a.b 
Màn hình hiện

Vậy a.b  = ( −1; 2; 4 ) . Do đó ta chọn đáp án C
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a = ( 2; −5;3) và b = ( 0; 2; −1) . Tính

góc giữa hai vecto a và b .

( )

A. a.b = 450

( )

( )

C. a.b = 1350

B. a.b = 900

( )

D. a.b = 00

Công thức: Công thức tính góc giữa hai vecto:

( )

cos a, b =

a.b
a.b

Cách giải bằng máy tính:
Ta thực hiện như sau:
(nhập vecto a )

(nhập vecto b )
(xóa màn hình)
Tính a.b
Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Màn hình hiện

Tiếp tục nhấn:

Màn hình hiện

(lưu giá trị vừa tìm)
(chuyển đổi sang góc). Màn hình xuất hiện

( )

Vậy, a.b = 1350 . Do đó, đáp án đúng là đáp án C.
Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a = ( 2; −5;3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1;7; 2 ) .

a.u = −5

Tìm tọa độ vecto u thỏa mãn u.b = −11
u.c = 20

A. u = ( −2; −3;2)

B. u = ( 2; −3;2)

C. u = ( 2; −3; −2 )

D. u = ( 2;3; −2)

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Đặt u = ( x; y;z ) . Khi đó, ta có:

2.x + ( −1) .y + 3.z = −5
a.u = −5
x = 2



u.b = −11  1.x + ( −3) .y + 2.z = −11   y = 3
u.c = 20

z = −2


3.x + 2.y + ( −4 ) .z = 20
Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy, u = ( 2;3; −2) . Do đó, đáp án đứng là đáp án D
Lưu ý: Để tìm x, y, z trong hệ trên. Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tục các phím sau:

Nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện:

Nhấn tiếp dấu bằng màn hình xuất hiện

Tiếp tục nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện

Vậy nghiệm của hệ là ( 2;3; −2)
Còn đối với máy VINACAL 570ES PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Sau đó nhấn dấu bằng xem nghiệm:
Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. a + b + c = 0

B. a, b cùng phương

( )

C. cos b, c =

2
6

D. a.c = 1

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta giải và tìm đáp án của bài toán này bằng tất cả các thao tác trên máy tính. Nhập tpaj độ các vecto vào
máy.
(nhập vecto a )
(nhập vecto b )
(nhập vecto c )
(xóa màn hình)
Kiểm tra đáp án A. Ta nhấn liên tục các phím:

Màn hình hiện:

Tức là a + b + c = (1;3;1)  0 . Do đó, đáp án A sai.
(xóa màn hình)
Kiểm tra đáp án B. Ta nhấn liên tục các phím:

Màn hình hiện

Tức là a, b  = ( 0;0; 2 )  0 . Do đó, đáp án B sai.
(xóa màn hình)
Kiểm tra đáp án B. Ta nhấn liên tục các phím:

Màn hình hiện
Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


( )

Tức là cos b, c = 0.8164965809 =

2
. Do đó, đáp án C đúng.
6

Vậy đáp án D còn lại là đáp án sai. Hoặc ta cũng có thể kiểm tra đáp án D như sau:
Ta nhấn liến tục các phím:

Màn hình hiện

Do đó, đáp án D là đáp án sai.
Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;2; −3) , B ( 0;3;7 ) ,C (12;5;0 ) . Tính
diện tích  ABC .
A. SABC =

6847
2

B. SABC =

8647
2

C. SABC =

8467
2

D. SABC =

8764
2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có: AB = ( −1;1;10 ) , AC = (11;3;3)

SABC =

1
6847

AB, AC =

2
2

Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto AB )
(nhập vecto AC )
(xóa màn hình)

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Màn hình hiện

Nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Nhấn phím ,

màn hình hiện

Nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Nhấn phím

Nhấn phím

, màn hình hiện

, màn hình hiện

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy SABC =

1
6847
AB, AC =
. Do đó, ta chọn đáp án A.


2
2

Bài tập 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;2; −3) , B ( 0;3;7 ) ,C (12;5;0 ) . Tính
độ dài đường cao AH của  ABC

13649
13694
13694
16349
B. AH =
C. AH =
D. AH =
197
197
197
179
Công thức: Cho điểm M, đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương a . Khi đó, khoảng cách

A. AH =

từ điểm M đến đường thẳng d xác định bởi:

d ( M, d ) =

 M0 M, a 


a

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có:

AH = d ( A, BC ) =

 BA, BC 


BC

BA = (1; −1; −10 ) , BC = (12; 2; −7 )
Do đó, để tính AH ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto BA )
(nhập vecto BC )
(xóa màn hình)

Màn hình xuất hiện

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Màn hình hiện

Vậy, AH =

13694
197

Do đó, ta chọn đáp án C
Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
A (1;1;0) , B ( 0;2;0 ) ,C ( 0;0;3) , D (1;2;3) . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ABC) .

12
17
7
B. d ( D, ( ABC) ) = 12 C. d ( D, ( ABC ) ) =
D. d ( D, ( ABC ) ) =
12
7
2
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
A. d ( D, ( ABC ) ) =

Ta có: VABCD =

1
1
 AB, AC  .AD = d ( D, ( ABC ) ) .SABC


6
3

Suy ra: d ( D, ( ABC ) ) =

 AB, AC .AD AB, AC  .AD




=
2SABC
 AB, AC



Ta có: AB = ( −1; 2;0 ) , AC = ( −1;0;3) , AD = ( 0; 2;3)
Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto AB )
(nhập vecto AC )
(nhập vecto AD )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

điểm

Vậy, d ( D, ( ABC ) ) =

12
Do đó, a chọn đáp án A.
7

Bài tập 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng

A (1;1;0) , B ( 0;2;0 ) ,C ( 0;0;3) , D (1;2;3) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và OB.
1
1
B. d ( OB, ( AC ) ) =
C. d ( OB, ( AC ) ) = 2 D. d ( OB, ( AC) ) = 2
2
2
Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 chéo nhau. Đường thẳng d1 đi qua M1 và có vecto chỉ
A. d ( OB, ( AC ) ) =

phương u1 ; đường thẳng d 2 đi qua M2 và có vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, khoảng cách giữa hai
đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:

 u1 , u 2  .M1M 2


d ( d1 , d 2 ) =
 u1 , u 2 


Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có: AC = (1;1;1) , OB = ( 0;0;1) , OA = (1;0;0 )

d ( AC, OB) =

 AC, OB .OA
1


=
2
 AC, OB



Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto AC )
(nhập vecto OB )
(nhập vecto OA )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Màn hình hiện

Màn hình hiện

Vậy d ( OB, ( AC ) ) =

1
1
=
. Như thế ta chọn đáp án A
2
2

Bài tập 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y + 3 z − 4
=
=
và
2
1
−2

 x = −2 − 4t

d 2 :  y = 1 − 2t . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 , d 2 .
z = −1 + 4t


386
3

386
386
97
C. d ( d1,d 2 ) =

D. d ( d1 , d 2 ) =
2
3
3 3
Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Đường thẳng d1 đi qua M1 và có
A. d ( d1 , d 2 ) =

B. d ( d1 , d 2 ) =

vecto chỉ phương u1 ; đường thẳng d 2 đi qua M2 và có vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, khoảng cách
giữa hai đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:

d ( d1.d 2 ) = d ( M1 , d 2 ) =

 M1M 2 , u 2 


u2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Đường thẳng d1 đi qua M1 (1; −3;4) và có vecto chỉ phương là: u1 = ( 2;1; −2)
Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Đường thẳng d 2 đi qua M2 ( −2;1; −1) và có vecto chỉ phương là: u 2 = ( −4; −2; −4 ) .
Ta có: u 2 = −2u1 và M1 (1; −3;4)  d2 . Suy ra d1 / /d 2
Ta có M1M 2 = ( −3; 4; −5)

d ( d1.d 2 ) = d ( M1 , d 2 ) =

 M1M 2 , u 2 
386


=
u2
3

Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto M1M 2 )
(nhập vecto u 2 )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Vậy d ( d1 , d 2 ) =

386
như thế ta chọn đáp án A
3

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài tập 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x y +1 z −1
=
=
và
2
1
−2

 x = −1

d 2 :  y = t . Tính góc giữa hai đường thẳng.
z = 3 − t


(

)

A. d1,d 2 = 450

(

)

(

B. d1,d 2 = 900

)

C. d1,d 2 = 1350

(

)

D. d1,d 2 = 00

Công thức: Cho hai đường thẳng d1 và d 2 . Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương u1 ; đường thẳng

d 2 vecto chỉ phương u 2 . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 được xác định bởi công thức:

(

)

cos d1 , d 2 = cos ( u1 , u 2 ) =

u1 , u 2
u1 u 2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có: u1 = ( 2;1; −2 ) , u 2 = ( 0;1; −1)

(

)

cos d1 , d 2 = cos ( u1 , u 2 ) =

u1 , u 2
u1 u 2

= 0, 7071067812

(nhập vecto u1 )
(nhập vecto u 2 )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


(

)

Vậy, d1,d 2 = 450 . Như thế ta chọn đáp án A.
Bài tập 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng

A (1;0;0) , B ( 0;1;0 ) ,C ( 0;0;1) , D ( 2; −1;3) . Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC) và ( ABD )
6
6
C. −
3
3
Công thức: Cho mặt phẳng ( α ) và (β ) lần lượt có phương trình

6

A.

B.

D.

6
2

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A 2 x + B2 y + C2z + D2 = 0
Các vecto pháp tuyến của chúng lần lượt là n ( α ) = ( A1; B1;C1 ) , n (β ) = ( A 2 ; B2 ;C2 )
Khi đó, góc giữa hai mặt ( α ) và (β ) được xác định bởi công thức:

(

)

(

)

cos ( α ) , ( β ) = cos n ( α ) , n (β ) =

n ( α ) , n (β )
n ( α ) n (β )

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , AD = (1; −1;3)

n ( ABC) =  AB, AC = (1;1;1) , n ( ABD) =  AB, AD  = ( 3;3;0 )

(

)

(

)

cos ( ABC ) , ( ABD ) = cos n ( ABC) , n ( ABD ) =

n ( ABC) , n ( ABD )
n ( ABC) n ( ABD )

=

6
3

Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto AB )
(nhập vecto AC )
(nhập vecto AD )
(xóa màn hình)
Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Màn hình hiện

Tức là: n ( ABC) =  AB, AC = (1;1;1)
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Tức là: n ( ABD) =  AB, AD = ( 3;3;0 )
Nhấn ON. Sau đó, ta tiếp tục nhấn
(nhập tọa độ vecto n ( ABC ) )
(nhập vecto u 2 )
(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


(

)

(

)

Tức là: cos ( ABC ) , ( ABD ) = cos n ( ABC) , n ( ABD) =

n ( ABC) , n ( ABD )
n ( ABC) n ( ABD )

=

2
6
=
. Do đó, ta chọn đáp
3
3

án B
x = 1

Bài tập 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = 2 + t và mặt phẳng
z = 3 + t


( α ) : x + y − 3 = 0 . Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) .

(

)

A. d, ( α ) = 600

)

(

(

)

(

)

D. d, ( α ) = 1200

C. d, ( α ) = 300

B. d, ( α ) = 900

Công thức: Cho mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có vecto pháp tuyến n = ( A;B;C ) và đường thẳng
 x = x 0 + at

d :  y = y0 + bt có vecto chỉ phương u = ( a;b;c ) . Khi đó, góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng
z = z + ct
0


( α ) được xác định bởi:

)

(

n.u

sin d, ( α ) =

n.u

=

Aa + Bb + Cc
A 2 + B2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Vecto chỉ phương của d là u d = ( 0;1;1)
Vecto pháp tuyến của ( α ) là n ( α ) = (1;1; 0 )

(

)

sin d, ( α ) =

n ( α ) .u d
n(α) . u d

(

)

= 0,5  d, ( α ) = 300

Ta thao tác trên máy tính như sau:
(nhập vecto u d = ( 0;1;1) )
(nhập vecto n ( α ) = (1;1;0 ) )

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện

(

)

Vậy, d, ( α ) = 300 . Như thế ta chọn đáp án C.

x − 2 y z +1
= =
và mặt phẳng
−3
1
2
( P ) : x + 2y − 3z + 2 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng  và mặt phẳng ( P ) .

Bài tập 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

A. M ( 5; −1; −3)

B. M ( 2;0; −1)

C. M ( −1;1;1)

D. M (1;0;1)

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Tạo độ giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng ( P ) là nghiệm của hệ:
x − 2 y
 −3 = 1
 x + 3y = 2
 x = −1

 y z +1


 2y − z = 1
 y = 1
 =
1
2

 x + 2y − 3z = −2
z = 1


 x + 2y − 3z + 2 = 0



Do đó, ta chọn đáp án C
Lưu ý: Để tìm nghiệm của hệ trên ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Màn hình lần lượt xuất hiện các kết quả như sau:

Bài tập 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;0) , B ( 0; −2;0 ) ,C ( 0;0; −3) .
Lập phương trình mặt phẳng ( ABC) .
A. x − 2y − 3x = 0

B. 6x − 3y − 2z − 6 = 0

C. 3x − 2y − 5z + 1 = 0

D. x + 2y + 3x = 0

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có: AB = ( −1; −2;0 ) , AC = ( −1;0; −3)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC) là: n ( ABC) =  AB, AC = ( 6; −3; −2 )
Phương trình mặt phẳng ( ABC) là: 6 ( x − 1) − 3y − 2z = 0  6x − 3y − 2z − 6 = 0
Lưu ý: Để tính được n ( ABC) =  AB, AC = ( 6; −3; −2 ) , ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Màn hình xuất hiện

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài tập 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;0) , B ( 0; −2;0 ) ,C ( 0;0; −3) .
Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A và B, đồng thời vuông góc với mặt phẳng (β )
A. − x + 13y + 5z − 8 = 0

B. x + 13y + 5z − 5 = 0

C. − x + 13y + 5z − 5 = 0

D. − x − 13y + 5z − 5 = 0

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Ta có: AB = ( −1; −2;5) . Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (β ) là: n (β ) = ( 2; −1;3)
Vì mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β ) nên vecto pháp tuyến của
mặt phẳng ( α ) là: n( α ) = AB, n (β )  = ( −1;13;5)


Phương trình mặt phẳng ( α ) là: −1. ( x − 3) + 13 ( y −1) + 5 ( z + 1) = 0  −x + 13y + 5z − 5 = 0
Như thế ta chọn đáp án C.
Lưu ý: Để tính được n( α ) = AB, n (β )  = ( −1;13;5) ta nhấn liên tiếp các phím sau:



Màn hình xuất hiện

Bài tập 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( −1; −2;5) và hai mặt phẳng

(β ) : x + 2y − 3z +1 = 0, ( γ ) : 2x − 3y + z +1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( α )
vuông góc với hai mặt phẳng (β ) , ( γ )
A. x + y + z − 3 = 0

B. x + y − z − 2 = 0

C. x + y + z − 2 = 0

D. x + y + z − 5 = 0

đi qua điểm M và

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (β ) là: n (β ) = (1; 2; −3)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( γ ) là: n ( γ ) = ( 2; −3;1)
Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vì mặt phẳng ( α ) vuông góc với hai mặt phẳng (β ) và ( γ ) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α )
là:

n( α) = n(β ) , n( γ )  = ( −7; −7; −7 )


Phương trình mặt phẳng ( α ) là: −7 ( x + 1) − 7 ( y + 2) − 7 ( z − 5) = 0  x + y + z − 2 = 0
Như thế ta chọn đáp án C.
Lưu ý: Để tính được n( α ) = n(β ) , n( γ )  = ( −7; −7; −7 ) , ta nhấn liên tiếp các phím sau:



Màn hình xuất hiện

Bài tập 19: Cho tứ diện ABCD với A (1;0;0) , B (1;0;0) ,C ( 0;0;1) , D (1;1;1) . Mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện có bán kính là:

3
B. 2
2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
A.

C.

3

D.

3
4

Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

(

x 2 + y2 + z 2 − 2Ax − 2By − 2Cz + D = 0 A 2 + B2 + C2 − D  0

)

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có hệ:

2

A = 3

11 + 02 + 02 − 2A.1 − 2B.0 − 2C, 0 + D = 0
−2A + D = −1
B = 2
 2 2


2

0 + 1 + 0 − 2A.0 − 2B.1 − 2C.0 + D = 0
−2B + D = −1
3


 2
2
2
0 + 0 + 1 − 2A.0 − 2B.0 − 2C.1 + D = 0
−2C + D = −1
C = 2
2 2 1
−2A − 2B − 2C + D = −3 
3
1 + 1 + 1 − 2A.1 − 2B.1 − 2C.1 + D = 0

1
D =
3

Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Lưu ý: Để giải hệ trên, đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II, ta nhấn liên tiếp các phím sau:

2
2

2
1
Sau đó, ta nhấn dấu bằng thu được nghiệm X = , Y = , Z = , T = .
3
3
3
3

2
2
2
1
Tức là A = , B = , C = , D =
3
3
3
3
Còn đối với máy tính CASIO 570VN PLUS, ta khử một biến đưa về hệ ba phương trình ba ẩn rồi sử
dụng chức năng giải hệ của máy tính tìm nghiệm.
Bài tập 20: Cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z − 6 = 0 và điểm M ( 2; −3;5) . Tìm tọa độ hình chiếu H
của M trên ( P ) .

 −4 −16 23 
; 
A. H  ;
 9 9 9 

 −4 16 23 
B. H  ; ; 
 9 9 9 

 4 −16 23 
; 
C. H  ;
9 9 9 

 −4 −16 −23 
;
D. H  ;

9 
 9 9

Công thức: Cho ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0, M ( x 0 , y0 , z0 ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
 x H = x 0 + Ak
( P ) . Khi đó, tọa điểm H được xác định bởi công thức:  yH = y0 + Bk
z = z + Ck
0
 H

Trong đó, k =

− ( Ax 0 + By0 + Cz0 + D )
A 2 + B2 + C2
Chứng minh

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng ( P ) . Khi đó, d nhận vecto pháp tuyến của
 x = x 0 + At
( P ) làm vecto chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của d là:  y = y0 + Bt
z = z + Ct

0


Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên

( P ) nên

H = d  ( P ) . Khi đó H  d , suy ra

H ( x 0 + Ak; y0 + Bk;z0 + Ck ) . Hơn nữa H  ( P ) nên ta có:

A ( x 0 + Ak ) + B ( y0 + Bk ) + C ( z0 + Ck ) + D = 0
 Ax 0 + By0 + Cz0 + D + A 2 k + B2k + C2k = 0  k =

− ( Ax 0 + By0 + Cz0 + D )
A 2 + B2 + C2

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 x H = x 0 + Ak

Vậy tọa độ điểm H được xác định bởi công thức:  y H = y0 + Bk
z = z + Ck
0
 H

Trong đó, k =

− ( Ax 0 + By0 + Cz0 + D )

A 2 + B2 + C2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
−4

x
=
2
+
2.k
=
H

9

− ( 2.2 − ( −3) + 2.5 − 6 )
−16

11
Ta có: k =
. Khi đó:  y H = −3 − k =
=−
2
2
2
9
9
2 + ( −1) + 2

23


 z H = 5 + 2.k = 9


 −4 −16 23 
;  . Như thế ta chọn đáp án A
Vậy, tọa độ điểm . H  ;
 9 9 9 
Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau. Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức
− ( 2X − Y + 2M − 6 )
22 + ( −1) + 22
2

Sau đó nhấn CALC nhập X = 2; Y = −3; M = 5 . Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Tức là k = −
Nhấn

11
9
(lưu vào biến A). Màn hình hiện

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính x H , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính y H , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính z H , ta nhấn .

Màn hình hiện

Bài tập 21: Cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z − 6 = 0 và điểm M ( 2; −3;5) . Tìm tọa độ điểm M’ đối
xứng với M qua ( P ) .

 −26 5 1 
; ; 
A. M ' 
 9 9 9

 −26 5 −1 
; ; 
B. M ' 
 9 9 9 

 26 5 1 
C. M '  ; ; 
 9 9 9

 −26 −5 1 
; ; 
D. M ' 

 9 9 9

Công thức: Cho ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0, M ( x 0 , y0 , z0 ) . Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua. Khi
đó, tọa độ điểm M’ được xác định bởi công thức:

k=

− ( Ax 0 + By0 + Cz0 + D )

 x M ' = x 0 + 2Ak

 y M ' = y0 + 2Bk
z = z + 2Ck
0
 M'

A 2 + B2 + C2
Chứng minh

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

. Trong đó,


 x H = x 0 + Ak

Gọi H là hình chiếu của M lên ( P ) , tọa độ điểm H được xác định bởi công thức:  y H = y0 + Bk
z = z + Ck
0
 H

Trong đó, k =

− ( Ax 0 + By0 + Cz0 + D )
A 2 + B2 + C2

Vì M’ là điểm đối xứng với M qua ( P ) nên H là trung điểm của MM’. Theo tính chất trung điểm ta
có:
 xM + xM '
= xH

2
 x M ' = x 0 + 2Ak
 x M ' = 2x H − x M

 yM + yM '


= y H   y M ' = 2y H − y M   y M ' = y 0 + 2Bk

2

 z = 2z − z

H
M
 M'
 z M ' = z 0 + 2Ck
 zM + zM '
= zH


2


Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách giải có hỗ trợ của máy tính:
−26

 x M ' = 2 + 2.2.k = 9

− ( 2.2 − ( −3) + 2.5 − 6 )
−5
11

y
=
−
3
−
2.k
=
Ta có: k =
.
Khi
đó:
=
−

M
'

2
9
9
22 + ( −1) + 22

1

 z M ' = 5 + 2.2.k = 9


 −26 −5 1 
; ;  . Như thế ta chọn đáp án D.
Vây, tọa độ điểm M 
 9 9 9
Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau. Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức
− ( 2X − Y + 2M − 6 )
22 + ( −1) + 22
2

Sau đó, nhấn CALC nhập X = 2; Y = −3; M = 5 . Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tức là k = −

11
9

Nhấn

( lưu vào biến A). Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính x M ' , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính y M ' , ta nhấn

. Màn hình hiện

Nhấn AC, xóa màn hình.
Tính z M ' , ta nhấn

. Màn hình hiện

Bài tập 22: Cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 3z − 4 = 0 và ( Q) : 3x + 2y − 5z − 4 = 0 . Viết phương
trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q) .
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải