Đề thi giáo viên giỏi môn toán đề 2 cấp THPT sở GDĐT vĩnh phúc 2015 2016 file word có lời giải chi tiết image marked

0
 ( cos x + 1)( 2sin x − 1) = 0
+) 1 + cos x = 0  cos x = −1  x =  + k 2 ( k 

)
0,25



x = + k 2

1
6
+) 2sin x − 1 = 0  sin x =  
(k 
2
 x = 5 + k 2

6

).
0,25

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

x =  + k 2 , x =


6

+ k 2 , x =

5
+ k 2 , k  .
6

Câu 2 (2,0 điểm).
Nội dung trình bày
a)

Điểm
1,00

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


Theo giả thiết ta có: Cnn + Cn1+1 + Cn2+2 = 210
0,25

(n + 2)(n + 1)
 1 + (n + 1) +
= 210
2

 n = 18
, kết hợp với điều kiện của n ta được n = 18 .
 n 2 + 5n − 414 = 0  
 n = −23
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là: C18k ( x )

18− k

(x )

−2 k

= C18k x18−3k

0,25

0,25

Số hạng chứa x 6 tương ứng với k thỏa mãn 18 − 3k = 6  k = 4 .
0,25
6

4 6
.
18

Vậy số hạng chứa x cần tìm là C x
b)

1,00

Phương trình tham số của d là

 x = 1 + 2t


. Gọi B là giao điểm của d và  suy ra B (1 + 2t; t; −1 − t ) .
y = t
 z = −1 − t


0,25

Ta có AB = ( 2t − 1; t ; −t − 2 ) . Do  vuông góc với d nên
0,5

AB.u = 0  2 ( 2t − 1) + t + t + 2 = 0  t = 0  AB = ( −1;0; −2 ) .
Do đó phương trình đường thẳng 

x = 2 − t

y = 0
 z = 1 − 2t


0,25

Câu 3 (3,0 điểm).
Nội dung trình bày
a)

Điểm
1,00

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5




Ta có:




4

6

4

tan xdx
0 cos 2 x = 0

6

tan xdx
 sin x 
cos x 1 +

 cos x 

2

2

Đặt t = 1 + tan x  dt =

=
0

tan x

(1 + tan x )

2

.

dx
cos 2 x

0,25


dx
. Đổi cận: x = 0  t = 1; x =  t = 2 .
2
4
cos x

0,25

Khi đó:


4

2

tan xdx

 ( sin x + cos x )

2

0

=
1

( t − 1) dt = 2  1 − 1  dt =  ln t + 1 
t2

  t
1


t2 




0,25

2


t 1



. = ln 2 +

1
1
− ( ln1 + 1) = ln 2 − . Vậy
2
2

4

tan xdx

 ( sin x + cos x )
0

2

= ln 2 −

1
.
2

0,25

b)

1,00

Điều kiện xác định: x  0, x  1 .

0,25

1
log
2

2

( x + 3) +

1
8
log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x )
4
0,25

1 1
 log 2 ( x + 3) + . .8.log 2 x − 1 = log 2 ( 4 x )
4 2

 log2 ( x + 3) + log2 x − 1 = log2 ( 4 x )
 log 2 ( ( x + 3) x − 1 ) = log 2 ( 4 x )

 ( x + 3) x − 1 = 4 x

0,25

+) x  1 phương trình trên trở thành

 x = −1
, kết hợp với điều kiện ta được x = 3
x = 3

( x + 3)( x − 1) = 4 x  x 2 − 2 x − 3 = 0  
+) 0  x  1 phương trình trên trở thành

0,25

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


 x = −3 + 12
2
, kết hợp với điều kiện ta được
x
+
3
1
−
x
=

4
x

x
+
6
x
−
3
=
0

(
)( )

 x = −3 − 12





x = −3 + 12 . Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 3; −3 + 12 .
c)

1,00

 2sin 2 x sin x 1 
 1 − cos 2 x

.tan

x
=
lim
.
.

 x →0 
2
x2
x cos x 


 x

Ta có lim 
x →0

0,5

  sin x 2 sin x 1 
= lim  2 
.

 .
x →0 
x
x
cos
x






0,25

1
 1 − cos 2 x

= 2.1. = 2 . Vậy lim 
.tan x  = 2 .
3
x
→
0
1
x



0,25

Câu 4 (1,0 điểm).
Nội dung trình bày

Điểm

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương ta được:

a3

a3
3
+ b +1  3
.b.1 = 3a .
b
b
Tương tự ta được
0, 5

b3
b3
3
+ c +1  3
.c.1 = 3b
c
c
c3
c3
3
+ a +1  3
.a.1 = 3c
a
a
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

a3
b3
c3
+ b + 1 + + c + 1 + + a + 1  3a + 3b + 3c
b

c
a

0,25

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7




a 3 b3 c 3
+ +  2a + 2b + 2c − 3
b c a



a 3 b3 c 3
+ + 3
b c a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

0,25

Câu 5 (1,0 điểm).
Điểm

Nội dung trình bày

Ta có tứ giác CDHE nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp chính là đường tròn đường kính HC
suy ra phương trình là

( C ) : ( x − 5)

2

0,25

+ ( y − 2) = 5
2

 x 2 + y 2 − 10 x − 4 y + 24 = 0
Đường thẳng AB đi qua điểm M và nhận HC = ( 4; −2 ) làm vtpt nên AB : 2 x − y − 1 = 0 .
Gọi A ( t;2t − 1)  B ( 4 − t;7 − 2t ) . Ta có tứ giác AEDB nội tiếp và đường tròn này nhận

0,25

AB làm đường kính nên pt là ( C ') : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 13 − 5 ( t − 2 ) = 0 .
2

Do D, E là giao điểm của

(C )

và

( C ')

nên phương trình đường thẳng DE là:

−6 x + 2 y + 11 + 5 ( t − 2 ) = 0 .
2

0,25

Do đường thẳng DE đi qua điểm N ( 2; −2 ) nên ta
có: −12 − 4 + 11 + 5 ( t − 2 ) = 0  t = 3; t = 1 . Từ đó A ( 3;5) , B (1;1) hoặc A (1;1) , B ( 3;5)
2

0,25

Yêu cầu:
+ Điểm toàn bài tính đến 0,25;
+ Với các ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống nhất để chia nhỏ đến 0,25;
+ Với mỗi ý, Hướng dẫn chấm chỉ trình bày 1 cách giải với các bước cùng kết quả bắt buộc phải có.
Nếu thí sinh giải theo cách khác và trình bày đủ các kết quả thì vẫn cho điểm tối đa của ý đó.
+ Trong mỗi ý, thí sinh sai từ đâu thì không cho điểm từ đó.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


+ Bài hình học nếu không phụ thuộc vào hình vẽ thì không bắt buộc phải vẽ hình.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9