CHỦ đề 1 vấn đề 1 DẠNG TOÁN về sự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN của hàm số image marked

VẤN ĐỀ 1: DẠNG TOÁN VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG
Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. ta
nói:
1) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2
thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2  f(x1) < f(x2).
Minh họa:

2) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn
x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1 < x2  f(x1) > f(x2).
Minh họa:

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Nhận xét:
- Từ định nghĩa trên ta thấy:
f(x 2 ) - f(x1 )
→  0, x1 ,x 2  K (x1  x 2 ) .
1) f(x) đồng biến trên K  ⎯⎯⎯⎯
x 2 - x1

Minh họa:
f(x) đồng biến trên K:

x1 < x 2
0  x 2 - x1
f(x 2 ) - f(x1 )

 ⎯⎯⎯⎯
→  0, x1 , x 2  K(x1  x 2 )


x 2 - x1
f(x1 ) < f(x 2 ) 0Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


f(x 2 ) - f(x1 )
2) f(x) nghịch biến trên K  ⎯⎯⎯⎯
→  0, x1 ,x 2  K (x1  x 2 ) .
x 2 - x1

Minh họa:
f(x) nghịch biến trên K:

x1 < x 2
0  x 2 - x1
f(x 2 ) - f(x1 )

 ⎯⎯⎯⎯
→  0, x1 , x 2  K(x1  x 2 )

x 2 - x1
f(x
)
>
f(x
)
0
>
f(x
)

f(x
)
 1
2

2
1
3) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

4) Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Định lí:
- Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
1) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
2) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Minh họa:
1) Cho hàm số y =

1 3 2
1
.
x + x + 6x +
3
1+ 5

Ta có: y’ = x2 + 2x + 6; y’ = 0  x2 + 2x + 6 = (x + 1)2 + 5 = 0 (vô nghiệm).
Do đó: y’ > 0; x  R  y đồng biến trên R.

1 3 5x 2
2) Cho hàm số y = x + 6x 3

2

1

.

1+ 5

x = 2
Ta có: y’ = x2 – 5x + 6; y’ = 0  x2 – 5x + 6 = 0  (x - 2)(x - 3) = 0  
x = 3
Do đó: y’ < 0; x  (2;3)  y nghịch biến trên khoảng (2;3).
Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


1
3) Cho hàm số y = - x 3 - x 2 - 6x +
3

1

.

1+ 5

Ta có: y’ = -(x2 + 2x + 6); y’ = 0  -(x2 + 2x + 6) = 0 -(x + 1)2 – 5 = 0 (vô nghiệm).
Do đó: y’ < 0; x  R  y nghịch biến trên R.
Lưu ý: Các quy tắc xét dấu cơ bản của phương trình bậc 2, các bạn vui lòng xem lại các kiến
thức đã học ở lớp dưới.
Tóm lại:

- Trên K
f’(x) > 0  f(x) đồng biến
f’(x) < 0  f(x) đồng biến
Chú ý
- Nếu f’(x) = 0 x  K thì f(x) không đổi trên K.
Minh họa:
Cho hàm số y =

3+ 2
4

Ta có: y’ = 0; y’ = 0  0 = 0 (luôn đúng).
Do đó: y’ = 0; x  R  y không đổi trên R.

Định lí mở rộng:
- Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
1) Nếu f’(x)  0, x  K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến
trên K.
2) Nếu f’(x)  0, x  K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến
trên K.
Minh họa:
1
1) Cho hàm số y = - x 3 + 2x 2 - 4x - 5 .
3

Ta có: y’ = -x2 + 4x - 4; y’ = 0  -x2 + 4x - 4 = 0 -(x - 2)2 = 0  x = 2
Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


y’  0; x  R

Do đó: y nghịch biến trên R.
2) Cho hàm số y =

1 3
x - 2x 2 + 4x - 5 .
3

Ta có: y’ = x2 - 4x + 4; y’ = 0  x2 - 4x + 4 = 0 (x - 2)2 = 0  x = 2
y’  0; x  R
Do đó: y đồng biến trên R.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính đạo hàm f’(x). tìm các điểm xi (i = 1,2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định.
3) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Minh họa:
1) Cho hàm số y =

1 3 5x 2
x + 6x - 4
3
2

x = 3
y’ = x2 – 5x + 6; y' = 0  
; lim y = + ; lim y = −
x→−
 x = 2 x→+
Bảng biến thiên:

x

2

-

y’

+

y

0

3
-

0

2
3

+
+
+

1
2

-

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;2),(3;+ ).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3)
2) Cho hàm số y =

y' =

x-4
x-5

-1
 0;  x  5 , lim y = 1 ; lim+ y = + ; lim− y = −
x→
x →5
x →5
(x - 5)2

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


x

5

-

y’
y

+

-

-

1

+

1

-
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-;5), (5; +)
Định lí La-grang: (đọc thêm)

- Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một
điểm c  (a;b) sao cho:
f(b) – f(a) = f’(c)(b - a)
Hay f'(c) =

f(b) - f(a)
b-a

Hệ quả
Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì f(x) bằng hằng số trên khoảng đó.
Tổng kết:
- Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Thế thì
1) f’(x) > 0, x  (a;b)  f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
2) f’(x) < 0, x  (a;b)  f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)
3) f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)  f’(x)  0, x  (a;b).
4) f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)  f’(x)  0, x  (a;b).

- Khoảng (a;b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.
BÀI TẬP MINH HỌA
1
Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x 3 + (m - 3)x 2 + (m + 1)x + 4 . Tìm các giá trị của m sao cho
3

hàm số tăng trên đoạn có độ dài bằng 4.
A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = -x2 + 2(m – 3)x + (m + 1).
2

•

5  15

Xét ’ = (m – 3)2 + m + 1 = m2 – 5m + 10 = (  m −  +  0; m 
2
4


Suy ra phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (x1< x2)

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


x
y’
•

x1

-
-

0

x2
+

+

0

-

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số tăng trên đoạn có độ dài bằng 4 thì

x 2 - x1 = 4  (x1 + x 2 )2 − 4x1x 2 = 4  4m2 - 20m + 24 = 0  m = 2 hoặc m = 3.
 Chọn D.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3mx2 – 3mx + 4. Tại giá trị nào của m thì hàm số giảm trên
đoạn có độ dài bằng 1?
A. m =

−1 + 2
2

B. m =

2

C. m =

2+ 3

5
3

D. m =

2 3
3

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3x2 + 6mx – 3m.
Xét ’  0  9 + 9m  0  m  -1: ta có hệ số của x2 của y’ là a = 3 > 0
 y’  0; x  R  hàm số đồng biến trên R  m  -1 (loại).
Xét ’> 0  9 + 9m > 0  m > -1 (*) thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2
(x1x
y’
•

x1

-
+

0

x2
-

0

+
+

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số tăng trên đoạn có độ dài bằng 1 thì

x 2 - x1 = 1  (x1 + x 2 ) 2 − 4x1x 2 = 1  4m 2 + 4m = 1  m =

Vậy với m =

−1 + 2
vì (*).
2

−1 + 2
thỏa mãn yêu cầu đề bài. Suy ra ta chọn đáp án A.
2

❖ Lời bình:
Để giải quyết bài toán này ta thực hiện từng bước như sau:
•

Xét y’  0 đồng thời xét dấu đạo hàm, để giải quyết bài toán tăng (giảm) trên R.

•

Xét y’ > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (x1 < x2). Vẽ bảng
biến thiên sơ lược như trên để dựa vào đó mà kiểm chứng xem có phù hợp đề bài
không?

•

Nếu đã phù hợp đề bài, ta chỉ cần ghép x 2 - x1 = 1 rồi sử dụng định lý Vi-ét sẽ tìm ra
được tham số m.

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 3: Cho hàm số y =

-3x + m
. Trong tất cả giá trị m để hàm số nghịch biến trên
2x + 1

 1

 − ; +  , thì m không thể bẳng?
 2



A. m =

1
2

C. m =

B. m = -5

5
3

D. m =

2 3
3

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Ta có đạo hàm của hàm số là y' =

-2m - 3
(2x + 1) 2

 1

- Để hám số nghịch biến trên  − ; + 
 2


3
 1

 y’  0; x   − ; +   -3 – 2m  0  m  −
2
 2


 3
Do m = -5   − ; + )
 2

 Chọn D.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = mx2 – 2x2 + mx – 1. Giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến
trên [-1;2]?
A. m =

1
2

B. m =

1

C. m =

2 3

2 3

3

D. m =

3
2 3

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
- Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3mx2 – 4x + m,
- Để hàm số đồng biến trên [-1;2]  y’  0; x  [-1;2]  m 
 m  Max f(x)(*), với f(x) =
x[ −1;2]

Ta có: f'(x) =

4x
; x  [ − 1; 2]
3x 2 + 1

4x
3x 2 + 1

-12x 2 + 4
; x [ − 1; 2]
(3x 2 + 1)2

Với f’(x) = 0  -12x2 + 4 = 0  x =

3

vì x  [-1;2].
3

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 3 2 3
8
; f (2) =
Đồng thời ta có f(-1) = -1; f 
 =
3
13
 3 

x

-1

2

3
3

f’

+

0

f

-

2 3
3

-1

Vậy Max f(x) =
x[ −1;2]

8
13

2 3
2 3
2 3
;(*)  m 
. Suy ra GTNN của m là
.
3
3
3

 Chọn C.
Ví dụ 5: Cho hàm số y =
A. m 

1

2

mx 2 + 6x + 3
. Tìm m để hàm số đồng biến trên (-1;0)?
x+2
B. m 

1

C. m  3

2 3

D. m 

10
3

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:

mx 2 + 4mx + 10
Ta có đạo hàm của hàm số là y' =
(x + 2)2
Để hàm số đồng biến trên (-1;0)
 y’  0; x  (-1;0)  mx2 + 4mx + 10  0; x  (-1;0)
 m

10
10

; x  (−1;1)  m  Max f(x)  , với f(x) = 2
x( −1;0)
x + 4x
(x + 4x)
2

Ta có: f’(x) = =

-10(2x + 4)
; x  (-1;1)
(x 2 + 4x)2

Với f’(x) = 0  2x + 4 = 0  x = -2; lim f(x) =
x →( −1)

+

10
; lim f(x) = −
3
x →0−

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy rằng không tìm được Max  f(x) , nhưng f(x) 
x( −1;0)

10
; x  (−1;0)
3

 Chọn D.

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 6: Cho hàm số . Giá trị lớn nhất của m để hàm số giảm trên [2; +)?
A. m =

1
20

B. m = −

1
20

C. m = 3

D. m = -3

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = x2 – 2(m - 1)x + m - 6
Để hàm số giảm trên [2;+)  y’  0; x  [2; +)  m 
 m  Min f(x) (*), với f(x) 
x[2;+ )

Ta có f'(x) =

-x + 6
; x  [2; +)
x - 2x + 1

2

-x + 6
x - 2x + 1
2

x 2 - 12x + 11
; x [2; +)
(x - 1)4

x

2

f’

11
-

f

0

+
+

4

+
−1

20

Với f’(x) = 0  x2 – 12x + 11 = 0  x = 11 vì x  [2;+)
Đồng thời ta có f(2) = 4; f(11) = −
Vậy Min f(x) = −
x[2;+ )

1
; lim f(x) = +
20 x→+

1
1
1
; (*)  m  − . Suy ra GTLN của m là −
20
20
20

 Chọn B.
1
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (m - 2 )x + 5 . Với 0  m  9 thì có bao nhiêu giá trị m
3

là số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên [2;5]?
A. 7

B. 5

C. 3

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = x2 – 2mx + m -2
Để hàm số đồng biến trên [2;5]  y’  0; x  [2;5]  m 

-x 2 + 2
; x  [2;5]
-2x +1


-x 2 + 2 
 m  Max f(x) =
(*)
x[2;5]
-2x +1 

2

 1 7
2  x-  +
2
2x - 2x + 4
2 2
= 

 0 ; x  [2;5]  f(2) < f(5)
Ta có f'(x)=
2
(-2x+1)
(-2x+1) 2

Vậy Max f(x) = f(5) =
x[2;5]

23
23
;(*)  m 
9
9

 23 
Suy ra theo đề bài m   ;9   m  {3;4;5;6;7;8;9}  có 7 giá trị của m thỏa mãn.
9 

 Chọn A.
Ví dụ 8: Cho hàm số y =

mx - 2
. Với mọi m thuộc tập hợp nào sau đây để hàm số tăng trên
x - 3m

(-;-1)?

A. A=  x 


:−

1
2 
x

3
3 

5

B. B =  −;   [1; +)
9



C. C=  x 


:−

2
2 
x

3
3 

D. D = {x 

: x > 0}

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Ta có đạo hàm của hàm số là y' =

-3m2 + 2
; x  3m
(x - 3m)2

Để hàm số tăng trên (-;-1)

 2 2
m   − ;

2
−3m + 2  0
 y '  0; x  (−; −1)

 3 3   m  − 1 ; 2 





3m  (−; −1)
3m  −1
 3 3


 `

m   − 3 ; + 



 1 2  1 2 
A. SAI vì A =  − ;    − ;

 3 3  3 3 

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 1 2
5

B. SAI vì B =  −;   [1; +)   − ;

9

 3 3
 1 2
C. ĐÚNG vì C =  − ;

 3 3
 1 2
D. SAI vì D = (0; +)   − ;

 3 3

 Chọn C.
Lỗi sai thường gặp:
- Nhiều học sinh làm nhanh và vô tình quên đi điều kiện x  3m dẫn đến làm sai bài toán như
sau:
- Để hàm số tăng trên (-;-1)  y’  0; x  (-;-1)  -3m2 + 2  0
 2 2
 m  − ;

 3 3

Do vậy, ta cũng không nên làm quá nhanh để dẫn đến những sai lầm đáng tiếc, hoặc không chọn
được đáp án thì bảo đề sai hoặc sẽ lúng túng không biết phải chọn phương án nào.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3mx + m -1. Hàm số nghịch biến trên (-1;1) thì mệnh đề
nào về m là đúng?
A. 1 − m  2

B. m  (-;-3)  (1;+ )

C. m > 1

D. Không xác định được m
HƯỚNG DẪN GIẢI

❖ Phân tích:
Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3x2 + 6x + 3m.
➢ Cách 1: “Cách cổ điển”
•

Xét ’  0  9 – 9m  0  m  1 : ta có hệ số trước x2 ở đạo hàm là a = 3 > 0.

 y’  0; x  R  Hàm số đồng biến trên R  Hàm số đồng biến trên (-1;1)
 m  1 (loại).
•

Xét ’ > 0 9 – 9m > 0  m < 1 (*) thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2
(x1 < x2).

Suy ra x1 = −1 − 1 − m và x 2 = −1 + 1 − m . Ta có bảng biến thiên:
x
y’

x1

-
+

0

x2
-

0

+
+

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

 x  −1
Để hàm số nghịch biến trên (0; +)  y’  0; x (-1;1)   1
x 2  1
* Hướng 1: Dùng định lý Vi-ét.
Ta có:

 x1  −1 x1 + 1  0

 (x1 + 1)(x 2 − 1)  0

x 2 − 1  0
x 2  1
 x2 - x1 + x1x2 – 1  1 

(x1 + x 2 )2 − 4x1x 2 + x1x 2  0

 2 1 − m − (1 − m)  0  1 − m(2 − 1 − m)  0  1 − m  4  m  −3
* Hướng 2: Dùng ngay nghiệm cụ thể
Ta có:

 x1  −1 −1 − 1 − m  −1  1 − m  0
m  1


 m  −3


m

−

3
−
1
+
1
−
m

1
1
−
m

2

x 2  1




So với điều kiện (*) thấy thỏa mãn.
Vậy với m  −3 thõa mãn đề bài.
 Chọn A.
➢ Cách 2: “Dùng GTLN – GTNN”.
- Để hàm số nghịch biến trên (0; +)  y’  0; x (-1;1)  m  -2x – 2x; x (-1;1)

 m  min f(x) với f(x) = -x2 – 2x
x( −1;1)

Ta có: f’(x) = 6x – 6; f’(x) = 0  6x – 6 = 0  x = 1.

- Mặt khác:
f(1) = -2;

lim + f(x) = 1; lim − f(x) = -3

x →( −1)

x →( −1)

x

-1

1

f’
f

1

Suy ra Mi n f(x) = -3;(*)  m  -3 .
x( −1;1)

-3

Vậy chọn đáp án là A.

Lời bình: Thực chất ta tính lim + hay lim − là thế x = 1 hay x = -1 vào hàm số để tìm GTLN
x →( −1)

x →( −1)

của hàm số. Nên đối với các bước này, ở trên nháp ta chỉ thế số vào như bình thường mà thôi.
(Để tính giới hạn các hàm phức tạp hơn, các bạn xem lý thuyết ở vấn đề 4).
 Chọn A.

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 10: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + (m – 1)x – 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên
(0;+)?
A. m  -2

B. m = 2

C. m > 1

D. Không xác định được m
HƯỚNG DẪN GIẢI

❖ Phân tích:
Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = -3x2 + 6x + m -1.
➢ Cách 1: “Cách cổ điển”.
•

Xét ’  0  9 + 3(m – 1)  0  m  -2: ta có hệ số trước x2 ở đạo hàm là a = -3 < 0.

 y’  0; x  R  Hàm số nghịch biến trên R  Hàm số nghịch biến trên (0;+)
 m  -2 (nhận).
•

Xét ’ > 0  9 + 3(m – 1) > 0  m > -2 (*) thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt x1;x2 (x1 < x2).

Suy ra x1 =

3 − 3m + 6
3 + 3m + 6
và x 2 =
. Ta có bảng biến thiên:
3
3

x
y’

x1

-
-

0

x2
+

+

0

-

Để hàm số nghịch biến trên (0; +)  y’  0 x  (0; +)  x2  0 

3m + 6  −3 (BPT vô

nghiệm).
Trường hợp m > -2 (loại). vậy với m  -2 thỏa mãn đề bài.
 Chọn A.
➢ Cách 2: “Dùng GTLN – GTNN”.
- Để hàm số nghịch biến trên (0; +)  y’  0;
x (0; +)  m  3x2 – 6x + 1; x (0; +)
m 

min f(x) = 3x 2 − 6x + 1 (*)

x(0; + )

Ta có: f’(x) = 6x – 6; f’(x) = 0  6x – 6 = 0 
x = 1.

x

0

1

f’
f

-

0 +

1

+
-2

- Mặt khác:
f(1) = -2; lim+ f(x) = 1; lim− f(x) = +
x →0

+

x →+

Suy ra Mi n f(x) = -2;(*)  m  -2 (thõa mãn)
x(0:+ )

 Chọn A.
Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT
Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)
- Nhấn SHIFT và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng các chức năng của hàm đó.
- Nhấn ALPHA và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm đó.
- Phím CALC dùng để thay giá trị và tính.
Áp dụng:

1/ Nhập (X+2Y)2 , nhấn CALC màn hình sẽ hiện X?, nhập 3, nhấn =, màn hình sẽ hiện Y?,
nhập

5 , nhấn = màn hình sẽ hiện 29 + 12 5 . Ta được đáp án trên màn hình là kết quà

(

)

2

của 3 + 2 5 .
2/ Nhập

( X − 2Y ) 2
, nhấn CALC, màn hình sẽ hiện X?,, nhập2, nhấn=, màn hình sẽ hiện
2X

Y, nhập

5 , nhấn =, màn hình sẽ hiện 12 − 4 5 . Ta được đáp án trên màn hình kết quả

(2 − 2 5 )
của

2

2.2

 d

- Nhấn SHIFT  
 dx


 tính giá trị của đạo hàm tại một điểm cho trước.


Áp dụng:
1/

Nhấn

(

 d
SHIFT  
 dx

d
X3 − 5X + X
dx

)


,


nhập

(

d
X3 − 5X + X
dx

)

x=4

,

màn

hình

sẽ

x=4

43, 25
Ta được đáp án trên màn hình là kết quả của y’(4) với y = x 3 − 5x + x

1

3
2
 y = x − 5x + x  y ' = 3x − 5 + 2 x
Kiểm tra: 
 y '(4) = 3.42 − 5 + 1 = 43.25


2 4

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

hiện


2/
d
dx

d
SHIFT  
 dx

Nhấn

(

X 2 +1

)


,


nhập

(

d
X3 − 5X + X
dx

)

x=4

,

màn

hình

sẽ

hiện

x=4

0,9701425001

Ta được đáp án trên màn hình là kết quả của y’(4) với y = x 2 + 1

x

2
y = x +1  y ' =

x2 +1

Kiểm tra: 
 y '(4) = 4 = 4 17  0,9701425001

17
42 + 1
BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số y =

-3x + m
. Trong tất cả giá trị m để hàm số nghịch biến trên
2x + 1

 1

 − ; +  , thì m không thể bằng?
 2


A. m =

1
2

B. m = -5

C. m =

5
3

D. m =

2 3
3

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
 1

Để hàm số nghịch biến trên  − ; +   y  0; x 
 2


 1

 − ; +  .
 2


 d
Thay m vào từng đáp án và sử dụng chức năng SHIFT  
 dx

 d
- Nhấn SHIFT  
 dx

- Nhấn SHIFT 

 d

 dx





1

−3 X − 
1


d
2
−3 X − 
d 



2
màn hình sẽ hiện dx  2 X + 1 


 , nhập
dx  2 X + 1 



 x =0

 x =0

d  −3 X − 5 
d  −3 X − 5 




 , màn hình sẽ hiện dx  2 X + 1  x =0
 , nhập
dx  2 X + 1  x =0

7

ở đây ta chọn ngay đáp án là B mà không cần tính các đáp án còn lại.
 Chọn A.
Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

−2


Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx3 – 2x2 + mx – 1. Giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đông biến
trên [-1;2]?
A. m =

1
2

B. m =

1
2 3

C. m =

2 3
3

D. m =

3
2 3

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Để hàm số đông biến trên [-1;2]  y’  0; x [-1;2]
 d
Thay m vào từng đáp án và sử dụng chức năng SHIFT  
 dx
 d
SHIFT  
 dx

- Nhấn






d 
1 3
1


2
 y = . X − 2 X + . X − 1 , màn hình sẽ hiện
 , nhập
dx 
2
2
 x =0


d 
1 3
1

2
 y = . X − 2 X + . X − 1
dx 
2
2
 x =0
1
2
- Nhấn

 d
SHIFT  
 dx

d 
1
1


y=
.X 3 − 2 X 2 +
. X − 1 , màn hình sẽ hiện
 , nhập

dx 
2 3
2 3

 x =0

d 
1
1

y=
.X 3 − 2 X 2 +
. X − 1

dx 
2 3

2 3
 x =0
0,2886751346
Tương tự cho các đáp án còn lại, ta dự đoán được giá trị nào làm cho hàm số đồng biến trên [1;2] (lưu ý điều phỏng đoán chưa đúng trên một khoảng lớn).
- Dễ dàng ta có thể chọn đáp án C (khuyến khích cách giải tự luận ở câu này – xem lại ví dụ 4 - ở
phần trên).
 Chọn C.
1
m

Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx 3 - (m - 1)x 2 + 3  - 2  x . Giá trị lớn nhất của m để hàm số
3
3


giảm trên [2; +)?
A. m =

1
20

B. m = −

1
20

C. m = 3

D. m = -3

HƯỚNG DẪN GIẢI
Tương tự như ví dụ 2. Các bạn tự xem lại nhé. (khuyến khích cách giải tự luận ở câu này – xem
lại ví dụ 4 - ở phần trên).
Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Câu 1: Đồ thị nào sau đây biểu diễn hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi f(x)  0; x  (a;b).
B. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b). Nếu x1 > x2 thì f(x1) > f(x2) với x1; x2  (a;b).
C. Hàm số y = f(x) là hàm hằng trên (a;b) khi f’(x) = 0; x  (a;b).
D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi f’(x) < 0; x  (a;b).
Câu 3: Cho đồ thị biểu diễn hàm số y = f(x) thì phát biểu sai là:

A. f(x) > 0; x  (d;e)
B. f’(x) > 0; x  (c;d)
C. Hàm số tăng trên (a;b).
D. f(x) < 0; x  (b;c)
Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b) với a;b là nghiệm của phương trình f’(x) =
0. Khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên (a;b) khi f’(x0) > 0; với x0  (a;b)
B. Hàm số đồng biến trên (a;b) khi

f(x 2 ) - f(x1 )
 0 ; với
x 2 - x1

 x1;x 2  (a;b)

 x1  x 2

C. Hàm số nghịch biến trên (a;b) khi f’(x0) < 0; với x0  (a;b)
D. Hàm số là hàm hằng trên (a;b) khi

f(x 2 ) - f(x1 )
= 0 ; với
x 2 - x1

 x1;x 2  (a;b)

 x1  x 2

Câu 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x) > 0; với x  (c;d)
B. Hàm số y =

m - nx

nghịch biến trên từng khoảng xác định khi nq – mp > 0
px + q

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x)  0; với x  (c;d)

và f’(x) = 0 chỉ tại

một số hữu hạn điểm.
D. Hàm số y = f(x) là hàm hằng khi f’(x) = 0; x  (c;d)
Câu 6: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + 10 = 0. Kết luận nào chính xác nhất?
A. Hàm số giảm trên (-;-21)
B. Hàm số tăng trên (-;-2)  (1;+)
C. Hàm số tăng trên (-;-2) và (1;+)
D. Hàm số giảm trên (-2;-1)
Câu 7: Cho hàm số y = 3x4 – 6x2 + 13. Xác định khoảng mà hàm số nghịch biến trên
khoảng đó:
 1+ 2 3 
;
A. 

2 
 4

Câu 8: Cho hàm số y =

B. (-;0)

C. (1;3)

D. (-1;+)

−4 3
x + 5 x 2 − 6 x + 216 . Cho các phát biểu sau, chọn câu trả lời đúng.
3

 3
(1) Hàm số tăng trên 1; 
 2
3

(2) Hàm số giảm trên (-;-1)   ; + 
2

 6
6 3
(3) Hàm số tăng trên 1;  hoặc  ; 
 5
5 2

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


x = 1
(4) y’ = 0  
x = 3

2
A. (1); (3)

B. (1); (2); (3)

C. (1); (3); (4)

D. (1); (2)

Câu 9: Cho hàm số. Mệnh đề nào sau đây đúng:
 1
\ − 
 2

A. Hàm số đồng biến trên

−1   −1


B. Hàm số nghịch biến trên  −;    ; + 
2   2



−1 

 −1

C. Hàm số nghịch biến trên  −;  và  ; + 
2 

 2


D. Hàm số nghịch biến trên
Câu 10: Cho hàm số y =

 1
\ − 
 2

−4 3
x + 2 x 2 − x + 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
3

1

A. Hàm số đồng biến trên  −; 
2


1

B. Hàm số nghịch biến trên  ; + 
2

1

C. Hàm số nghịch biến trên  −; 
2


D. Hàm số nghịch biến trên

2 x 2 − x + 26
Câu 11: Cho hàm số y =
. Có bao nhiêu khoảng đồng biến của hàm số đã cho?
x+2

(

(1) −; −1 − 15
(5) (-3;0)
A. 0

)

(

(2) (-1;1)

(3) (10;+)

(4) −1 + 15; +

(6) (-6;-3)

 5

(7)  − ; −1 + 15 
 2


(8) 1 − 15; −1

B. 1

C. 3

(

)

D. 4

Câu 12: Cho hàm số y = 2 x − 5 − x . Đâu là khoảng nghịch biến của hàm số đã cho?
A. (2;5)

5 
B.  ;3 
2 

Câu 13: Cho hàm số y = 3 x − 5 +

C. (4;5)


2 + 15 
D.  −2;

2 


1

. Chỉ ra khoảng đồng biến có độ dài lớn nhất?
x−2

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

)


 −3

C.  ; −1 
 2


 11 
B.  ; 6 
2 

 13 
A.  ; 4 
6 

Câu: Cho hàm số y =

5 8
D.  ; 
 2 3

2x − 3
. Tìm ra khoảng nghịch biến có độ dài nhỏ nhất?

2x −1

 3 + 15 7 
 2 + 15 4 + 13 
;
; 
C. 
 D. 
2
2 
 2
 2

6 5
B.  ; 
5 2

1 
A.  ; 2 
2 

Câu 15: Cho hàm số y = 1 − 2 x + x − 3 . Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu điểm gãy?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 16: Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên khoảng xác định của chúng?
A. y =

−2 x + 3
x +1

B. y =

2x − 3
x +1

C. y =

−2 x + 3
x −1

D. y =

2x − 3
−x −1

Câu 17: Cho hàm số y = 3 − 2 x − x 2 . Hàm số đã cho có khoảng đồng biến có độ dài lớn
nhất là:
A. (-3;-1)
Câu

18:

y = sin 2 x −

B. (-1;0)
Cho

khoảng

sau

C. (-1;1)
đây,

đâu

là

khoảng

D. (-1;2)
nghịch

biến

của

hàm

3
x; x  [ −  ;  ]
2

 −5 −3 

;
(1) 

4 
 6

−9 

(2)  − ;

10 


 − 
;0 
(5) 
 2 

  7 
(6)  ;

 4 12 

A. (1);(3); (5)
Câu 19: Cho hàm số y =

B. (2);(3);(4)

  
(3)  0; 

 12 

  
(4)  ; 
4 3

C. (2);(3); (5)

D. 1);(3); (6)

1 4 5 3
x − x + 4 x 2 − 4 x − 10 . Tìm mệnh đề sai?
4
3

3 7
A. Hàm số đồng biến trên  ; 
2 3

B. Đạo hàm của hàm số đổi dấu hai lần
C. Hàm số nghịch biến trên (-;0)
D. Khoảng đồng biến dài nhất là (1;+)
Câu 20: Cho hàm số y =
A. 2

x2
x2 −1
B. 4

. Đồ thị hàm số đổi chiều mấy lần?

C. 3

D. 1

Câu 21: Hàm số sau đây có khoảng đồng biến (2;5)?
Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

số


A. y =

3x − 1
x−2

1
B. y = x3 + 2 x 2 − 5 x + 3
3

1
9
C. y = − x 4 + x 2 + 1
4
2

D. y =

x−5
x−3

Câu 22: Đâu là mệnh đề sai?
A. Hàm số y =

3x − 2
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
x +1

B. Hàm số y =

2− x
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
x+5

C. Hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 5 nghịch biến trên (-;-9)
D. Hàm số y = x4 – 2x2 – 5 đồng biến trên (9;+)
Câu 23: Đâu là đồ thị hàm số y = -x3 + 2x2 – x – 2?

A.

B.

C.

D.

Câu 24: Đâu là bảng biến thiên của hàm số y = x3 – 3x – 2?
A.

x

-2

-

y’

+

0

1
-

0

+
+

y

x

-

+

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


y’

B.

+

y

C.

x

-1

-

y’

+

0

1
-

+

0

+

y

D.
x

-

y’

+

0

+

3

- 3
-

0

+

y

Câu 25: Đâu là mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y = x3 – 6x2 + 3x – 4 có khoảng đồng biến là (2 − 3; 0)
B. Hàm số y = -x2 + 5x + 3 có khoảng nghịch biến là (3;+)
C. Hàm số y =

2x − 5
có khoảng nghịch biến dài nhất là (2;+)
x−3

D. Hàm số y =

x 2 − 3x − 2
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
x −1

Câu 26: Đâu là đồ thị của hàm số y = x4 – 3x2 + 2?

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A.

B.

C.

D.

Câu 27: Cho các hàm số sau:
4x − 3
2x −1

(2) y =

4 3
x − 3x 2 + 2 x + 1
3

(3) y = x4 – 4x2 + 3

(4) y =

5 3
x − 5 x 2 + 6 x − 27
3

x+4
x − 2x − 4

(6) y =

1 4
1
x − x 3 − x 2 + 11
4
2

(1) y =

(5) y =

2

Tìm các hàm số có đồ thị không đổi chiều biến thiên trên từng khoảng xác định của chúng?

A. (2);(3);(5)

B. (1); (4); (5)

C. (1); (3); (6)

D. (2); (5); (6)

Câu 28: Cho các phát biểu sau:
(1) Hàm số y = x3 – 3x2 + 12x + 1 có khoảng nghịch biến là (-3;+).
(2) Hàm số y = 2x + 11 + tanx luôn đồng biến trên R.
(3) Hàm số y = -6x4 + 8x3 – 3x2 – 1 có đồ thị đổi chiều biến thiên ba lần.
(4) Hàm số y =

1 − s inx
 
; x  0;  luôn nghịch biến trên khoảng xác định.
1 + s inx
 2

(5) Hàm số y =

3x − 1
có khoảng đồng biến dài nhất là
x2

(6) Hàm số y =

x2 − 2 x − 3
thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất.

x+5

1

 −; 
2


Số phát biểu đúng là:
Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. 5

B. 3

C. 1

D. 0

1
Câu 29: Cho hàm số y = − x3 + (m − 1) x 2 + (m − m 2 ) x − 3 . Tìm m để hàm số nghịch biến
3

trên R?
A. (1;+)

C. [1;+ )

B. (-;-1)

D. (-;-1]

 m − 2  2  2m − 7 
Câu 30: Cho hàm số y = x3 − 
x −
 x + 5 . Hàm số đồng biến trên R khi nằm
 2 
 12 

trong khoảng giá trị nào?
A. (-1;3)

B. [1;3]

C. (-;-1)  (3;+)

D. Không xác định được m
m 3  m − 3  2  3m − 1 
x −
x −
 x + m . Với m nằm trong tập hợp nào
3
 2 
 2 

Câu 31: Cho hàm số y =

sau đây để hàm số đồng biến trên


A. A =  x 


:

?

−9

 x  1
5


5

B. B =  −;   1; + )
9


 5 
C. C =  − ;1
 9 

D. D = x  : x  0

Câu 32: Cho hàm số y =
biến trên

m 3  2m − 1  2
x +

 x + (3m − 2) x − 7 . Tìm m để hàm số luôn đồng
3
 2 

?

A. m < 1

B. m =1

C. m > 1

D. Không xác định được m

m−2 3
2
Câu 33: Cho hàm số y = 
 x − (m − 2) x + (m − 1) x + 3m . Giá trị nguyên m là nhỏ nhất
 3 

để hàm số luôn đồng biến trên
A. 2
Câu 34: Cho hàm số y =

B. 3

?
C. 4

D. 0

mx − 2m
. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm m để hàm số luôn nghịch
x+m

biến trên từng khoảng xác định?
A. 1
Câu 35: Cho hàm số y =

B. 2

C. 3

D. 4

−3x 2 + mx − 2
. Hãy cho biết có bao nhiêu giá trị nguyên dương m
2x − 3

để hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định với m (0;10)?
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 36: Cho hàm số y =

2x − m

. Có bao nhiêu giá trị m đối nhau để hàm số luôn đồng biến
x+3

trên từng khoảng xác định?
A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

(m − 1) x 2 + 2 x
Câu 37: Cho hàm số y =
. Hãy cho biết có bao nhiêu giá trị m là số nguyên tố
mx + 1
sao cho hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định?
A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 38: Cho hàm số y = cosx – 2ax. Xác định tham số a để hàm số trên
A. a 

1
2

−1
a
2

B.

C. −

1
a
2

?
D. a 

1
2

Câu 39: Cho hàm số y = -cos2x + sin2x – ax + 4. Phát biểu nào sau đây đúng khi nói về a?
A. Khi a = 0 thì -1  y’ 1
B. Khi a  −2 2 thì hàm số luôn đồng biến trên
C. Hàm số luôn đồng biến với mọi a.
D. Khi a  −2 2 thì hàm số luôn nghịch biến trên
Câu 40: Cho hàm số y = sin2x + sinx + 3mx. Phát biểu nào sai khi nói về m?
A. y + y” – 3mx + 3 > 0; x 
B. Khi m = 0 thì với x =


2

 y ' = −1

C. Khi m 

3
thì hàm số luôn đồng biến trên
2

D. Khi m 

3
thì hàm số luôn nghịch biến trên
2

Đáp án
1-A

2-C

3-D

4-D

5-B

6-C

7-A

8-C

9-C

10-A

11-D

12-C

13-B

14-D

15-A

16-B

17-A

18-C

19-B

20-A

21-B

22-C

23-B

24-C

25-D

26-A

27-B

28-C

29-C

30-B

31-D

32-B

33-A

34-B

35-C

36-A

37-D

38-A

39-B

40-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải