GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT HỒNG BÀNG
  
Mã số: …………………………
SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI
Người thực hiện: Lê Thị Thúy An
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lí giáo dục:
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm: Các sản phẩm thể hiện trong bản in SKKN
□ Mô hình □ Phần mềm □ Phim ảnh □ Hiện vật khác
Năm học: 2011 – 2012
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 1
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: LÊ THỊ THÚY AN
2. Ngày tháng năm sinh: 26/03/1983
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Số 59/1 Ngô Quyền, Thị trấn Gia Ray, Xuân Lộc, Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613.740090 (CQ)/ (NR); ĐTDT: 01658291478
6. Fax: Email:
7. Chức vụ: Giáo viên.
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Hồng Bàng, Thị trấn Gia Ray, Xuân Lộc, Đồng
Nai.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Cử nhân.

- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên nghành đào tạo: Toán – Tin.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán học ở trường
THPT.
Số năm kinh nghiệm: 07 năm.
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1. Một số dạng toán thường gặp của hình học không gian.
2. Phương pháp dạy học toán cho học sinh yếu kém.
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 2
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
Tên SKKN: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Đặt vấn đề
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bài
toán không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Trong đó thường
gặp nhiều bài toán “Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K ”. Khi
giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y′ < 0 (y′ > 0) trên K hoặc phương trình
y′= 0 có nghiệm trên K”. Đây thực chất là vấn đề so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai
với số thực
α
. Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng
định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có
nhiều bài toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp.
Hơn nữa, theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến
thức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải
vấn đề “Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến
thức được học trong chương trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các
em tìm tòi, sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán, đồng thời nâng cao chất

lượng giảng dạy nên tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Giải bài toán về tính đơn điệu,
cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”.
2. Nội dung sáng kiến
I. Lý do chọn đề tài.
II. Tổ chức thực hiện đề tài.
A.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa
B.Bài tập thực hành
III. Hiệu quả của đề tài.
IV. Đề xuất, kiến nghị khả năng áp dụng.
V. Tài liệu tham khảo.
Xuân Lộc, ngày 15 tháng 12 năm 2011.
Người viết
Lê Thị Thúy An
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 3
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Kiến thức cần nhớ
i) Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.
• Phương trình bậc hai đối với ẩn x (
x R
∈
) là phương trình có dạng:

( ) ( )
2
ax 0 0 1bx c a+ + = ≠
b)Cách giải.
• Tính

2
4b ac∆ = −
 Nếu
0
∆ <
thì phương trình (1) vô nghiệm.
 Nếu
0
∆ =
thì phương trình (1) có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
.
 Nếu
0∆ >
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= =
c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.
 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn

x R
∈
:
( ) ( )
2
ax 0 1 0bx c a+ + = ≠
có hai
nghiệm
1 2
,x x
thì
1 2 1 2
, .
b c
S x x P x x
a a
−
= + = = =
.
 Dấu các nghiệm:
 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
0P
⇔ <
.
 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥

⇔


>

.
 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương
0
0
0
P
S
∆ ≥


⇔ >


>

.
 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm
0
0
0
P
S
∆ ≥


⇔ >



<

.
ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là
'( ) 0,f x x K≥ ∀ ∈
đồng thời
'( ) 0f x =
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là
'( ) 0,f x x K≤ ∀ ∈
đồng thời
'( ) 0f x =
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
• Định lí 1 : Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
, khi đó nếu f có đạo hàm tại x
0

thì
0
'( ) 0f x =
• Định lí 2 : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x
0
và có đạo hàm trên các
khoảng (a;x
0

) và (x
0
;b) klhi đó :
 Nếu
0
'( ) 0, ( ; )f x x a x< ∀ ∈
và
0
'( ) 0, ( ; )f x x x b> ∀ ∈
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
 Nếu
0
'( ) 0, ( ; )f x x a x> ∀ ∈
và
0
'( ) 0, ( ; )f x x x b< ∀ ∈
thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
2. Phương pháp giải toán
* Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a
≠
0)
Tìm điều kiện để hàm số (1):

a) Đồng biến trên
( ; )
α
−∞
.
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 4
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
b) Đồng biến trên
( ; )
α
+∞
.
c) Đồng biến trên
( ; )
α β
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
a) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
−∞

( ) 0, ( ; )f x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞
0
0

0
0
( ) 0
2 0
a
a
f
S
α
α
 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >




≥




− >



Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
TH1: Nếu bpt:
( ) 0 ( ) ( ) ( )f x h m g x i≥ ⇔ ≥
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
−∞

( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞


( ; ]
( ) ( )h m Max g x
α
−∞
⇔ ≥
b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
+∞

( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞


[ ; )
( ) ( )h m Max g x
α
+∞
⇔ ≥
c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α β

( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α β
⇔ ≥ ∀ ∈


[ ; ]
( ) ( )h m Max g x
α β
⇔ ≥
b) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
( ) 0, ( ; )f x x
α

⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
0
0
0
0
( ) 0
2 0
a
a
f
S
α
α
 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >





≥



− <



c) Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
( ; )
α β
( ) 0, ( ; )f x x
α β
⇔ ≥ ∀ ∈
0
0
0
( ) 0
2 0
( ) 0
2 0
0
0
( ) 0
( ) 0
a
a
f
S

f
S
a
f
f
α
α
β
β
α
β


>




∆ ≤


>




 ≥








− <
 


⇔


≥






− >






∆ >



<





≥




≥


Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh
giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet,
tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa.
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 5
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
*Ví dụ 1: Cho hàm số : y =
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 2 1 3 2 1 1
3
m x m x m x+ − − + − +
(1)
( 1)m ≠ −
Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng
( ; 1)−∞ −

.
b) Đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
.
c) Đồng biến trên khoảng
( 1;1)−
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
2
' ( )
( 1) 2(2 1) 3(2 1)
y f x
m x m x m
= =
+ − − + −

a) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; 1)−∞ −
( ) 0, ( ; 1)f x x⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ −
0
' 0
0
' 0
( 1) 0
2( 1) 0
a
a
f
S

 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >




− ≥



− − >



2
2
1 0
2 7 4 0

1 0
2 7 4 0
11 4 0
0
1
m
m m
m
m m
m
m
m
 + >



− − + ≤



+ >



⇔

− − + >





− ≥




>


+



1
2
4 1
11 2
m
m

≥

⇔


≤ <


4
11

m⇔ ≥
Kết luận :
4
11
m ≥
thì hàm số (1) đồng biến
trong khoảng
( ; 1)−∞ −
Txđ: D = R
2
' ( ) ( 1) 2(2 1) 3(2 1)y f x m x m x m
= = + − − + −
Ta có:
' 0 ( ) 0.y f x≥ ⇔ ≥
2
( 1) 2(2 1) 3(2 1) 0.m x m x m⇔ + − − + − ≥
2
2
2 3
.
4 6
x x
m
x x
− − +
⇔ ≥
− +
Đặt :
2
2

2 3
( ) .
4 6
x x
g x
x x
− − +
=
− +

2
2 2
6 18
'( ) .
( 4 6)
x
g x
x x
−
⇒ =
− +
a) Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
( ; 1)−∞ −

' 0, (1; )y x⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( ), ( ; 1)m g x x⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ −
( ; 1]
( )m Max g x
−∞ −
⇔ ≥

Xét :
( ) , ( ; 1]y g x x= ∀ ∈ −∞ −
Ta có bảng biến thiên:
x
−∞
-1
g’(x
)
+
g(x)

4
11

-1
Từ bảng biến thiên ta được :
4
11
m ≥
Kết luận :
4
11
m ≥
thì hàm số (1) đồng biến
trong khoảng
( ; 1)−∞ −
b) Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )+∞
( ) 0, (1; ).f x x⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
0

' 0
0
' 0
(1) 0
2.1 0
a
a
f
S
 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >




≥




− <



2
2
1 0
2 7 4 0
1 0
2 7 4 0
3 0
2
0
1
m
m m
m
m m
m
m
m
 + >



− − + ≤




+ >



⇔

− − + >




≥



−

<


+



b) Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )+∞
' 0, (1; )y x⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
( ), (1; )m g x x⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
[1; )
( )m Max g x

+∞
⇔ ≥
Xét :
( ) , [1; )y g x x= ∀ ∈ +∞
Ta có bảng biến thiên:
x 1 3
+∞

g’(x
)
- 0 +
g(x) 0 -1
-4
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 6
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
1
2
1
0
2
m
m

≥

⇔


≤ <




0m⇔ ≥
Kết luận :
0m ≥
thì hàm số (1) đồng biến
trong khoảng
(1; )+∞
Từ bảng biến thiên ta được :
0m ≥
Kết luận :
0m ≥
thì hàm số (1) đồng biến trong
khoảng
(1; )+∞
c) Hàm số đồng biến trong khoảng
( 1;1)−
( ) 0, ( 1;1)f x x⇔ ≥ ∀ ∈ −
0
' 0
0
( 1) 0
2( 1) 0
(1) 0
2.1 0
' 0
0
( 1) 0
(1) 0
a

a
f
S
f
S
a
f
f


>




∆ ≤


>




 − ≥








− − <
 


⇔


≥






− >






∆ >



<





− ≥




≥


2
2
1 0
2 7 4 0
2 7 4 0
3 0
2
0
1
11 4 0
0
1
1 0
1 0
3 0
11 4 0
m
m m
m m
m
m

m
m
m
m
m
m
m
m


+ >




− − + ≤




− − + >


 ≥








−

>



+
 

⇔



− ≥









<




+






+ >



+ <




≥



− ≥



1
2
m⇔ ≥
Kết luận :
1
2
m
≥

thì hàm số (1) đồng biến
trong khoảng
( 1;1)−
c) Hàm số đồng biến trong khoảng
( 1;1)−
' 0, ( 1;1)y x⇔ ≥ ∀ ∈ −
( ), ( 1;1)m g x x⇔ ≥ ∀ ∈ −
[ 1;1]
( )m Max g x
−
⇔ ≥
Xét :
( ) , [ 1;1].y g x x= ∀ ∈ −
Ta có bảng biến thiên:
x -1 0 1
g’(x
)
+ 0 -
g(x)

1
2
4
11
0
Từ bảng biến thiên ta được :
1
2
m ≥
Kết luận :

1
2
m ≥
thì hàm số (1) đồng biến trong
khoảng
( 1;1)−
Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta đã phải sử
dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được
lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh.
*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a
≠
0)
a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên
( ; )
α
−∞
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên
( ; )
α
+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên
( ; )
α β
.

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 7
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0, ( ; )f x x
α
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
0
0
0
0
( ) 0
2 0
a
a
f
S
α
α
 <



∆ ≤




<

⇔


∆ >




≤



− >



b) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
( ) 0, ( ; )f x x
α
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
0
0

0
0
( ) 0
2 0
a
a
f
S
α
α
 <



∆ ≤



<

⇔


∆ >




≤




− <



c) Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α β
( ) 0, ( ; )f x x
α β
⇔ ≤ ∀ ∈
0
0
0
( ) 0
2 0
( ) 0
2 0
0
0
( ) 0
( ) 0
a
a
f
S
f
S
a

f
f
α
α
β
β
α
β


<




∆ ≤


<




 ≤








− <
 


⇔


≤






− >






∆ >



>





≤




≤


Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
TH1: Nếu bpt:
( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i≤ ⇔ ≤
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
−∞

( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞


( ; ]
( ) ( )h m Max g x
α
−∞
⇔ ≥
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng

( ; )
α
+∞

( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞


[ ; )
( ) ( )h m Max g x
α
+∞
⇔ ≥
c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α β

( ) ( ) , ( ; )h m g x x
α β
⇔ ≥ ∀ ∈


[ ; ]
( ) ( )h m Max g x
α β
⇔ ≥
TH2: Nếu bpt:
( ) 0f x ≥
không đưa được về

dạng (i) thì ta đặt : t = x -
α
Khi đó ta có:
2 2
' ( ) 3 2(3 ) 3 2y g t at a b t a b c
α α α
= = + + + + +
.
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0, 0g t t⇔ ≤ ∀ <
0
0
0
0
0
0
a
a
S
P
 <



∆ ≤




<

⇔


∆ >




>



≥




b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
( ) 0, 0g t t⇔ ≤ ∀ >
0
0
0
0
0

0
a
a
S
P
 <



∆ ≤



<

⇔


∆ >




<



≥





Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 8
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =
( )
( )
2 3 2
1
1 1 2 1
3
m x m x x− + − − +
(1)
( 1)m ≠ ±
Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng
( ;2)−∞
.
b) Nghịch biến trên khoảng
(2; )+∞
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
y’ = f(x) =
2 2
( 1) 2( 1) 2m x m x− − − −
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)−∞
( ) 0, ( ;2)f x x⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
0

' 0
0
' 0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S
 <



∆ ≤



<

⇔


∆ >




≤




− >



2
2
2
2
2
1 0
3 2 1 0
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
4 6
0
1
m
m m
m
m m
m m
m
m


− <




− − ≤





− <


⇔

− − >





+ − ≤


− −


>


+



1
1
3
m
−
⇔ ≤ <
Kết luận: Với
1
1
3
m
−
≤ <
thì hàm số (1)
nghịch biến trong khoảng
( ;2)−∞
Txđ : D = R
y’ = f(x) =
2 2
( 1) 2( 1) 2m x m x− − − −
Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =
2 2 2 2
( 1) (4 2 6) 4 4 10m t m m x m m− + + − + + −
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)−∞
( ) 0, 0g t t⇔ ≤ ∀ <
0
0

0
0
0
0
a
a
S
P
 <



∆ ≤



<

⇔


∆ >




>




≥



2
2
2
2
2
1 0
3 2 1 0
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3
0
1
m
m m
m
m m
m m
m
m


− <




− − ≤





− <


⇔

− − >





+ − ≤


− −


>


+


1

1
3
m
−
⇔ ≤ <
Kết luận: Với
1
1
3
m
−
≤ <
thì hàm số (1) nghịch
biến trong khoảng
( ;2)−∞
b) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )+∞
( ) 0, (2; )f x x⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
0
' 0
0
' 0
(2) 0
2.2 0
a
a
f
S
 <




∆ ≤



<

⇔


∆ >




≤



− <



b) Hàm số (1 ) nghịch biến trong khoảng
(2; )+∞
( ) 0, 0g t t⇔ ≤ ∀ >
0
0
0

0
0
0
a
a
S
P
 <



∆ ≤



<

⇔


∆ >




<



≥




Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 9
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
2
2
2
2
2
1 0
3 2 1 0
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
4 6
0
1
m
m m
m
m m
m m
m
m


− <




− − ≤





− <


⇔

− − >





+ − ≤


− −


<


+



1 1m⇔ − < <
Kết luận: Với
1 1m
− < <
thì hàm số (1)
nghịch biến trong khoảng
(2; )+∞
2
2
2
2
2
1 0
3 2 1 0
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3
0
1
m
m m
m
m m
m m
m
m



− <



− − ≤





− <


⇔

− − >





+ − ≤


− −


<



+


1 1m⇔ − < <
Kết luận: Với
1 1m
− < <
thì hàm số (1) nghịch
biến trong khoảng
(2; )+∞
*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài toán phải sử
dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến thức về định lý Viet đã
được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự hứng thú đối với học sinh.
*Bài toán 3: Cho hàm số :
2
(2), ( , 0)
ax bx c
y a d
dx e
+ +
= ≠
+
.
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
( ; )
α
−∞
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
( ; )

α
+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
( ; )
α β
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ:
\
e
D R
d
−
 
=
 
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
a) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng

( ; )
α
−∞
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞
−

≥

⇔


≥ ∀ <

0
0
0
( )
0
( ) 0
2 0
ad

ad
I
f
S
α
α
 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >




≥



− >




Txđ:
\
e
D R
d
−
 
=
 
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
TH1: Nếu:
( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i≥ ⇔ ≥
a) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ; ]

( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
−∞
−

≥

⇔


≥ ∀ <

−

≥

⇔

≤



b)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
[ ; )
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
α
+∞
−

≤

⇔


≥ ∀ >

−

≤


⇔

≤


Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 10
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α β
( )
( )
[ ; ]
;
( ) ( ), ( ; )
;
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α β
α β
α β
α β
−


∉

⇔


≥ ∀ ∈

−

∉

⇔

≤


b) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞

−

≤

⇔


≥ ∀ >

0
0
0
( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
II
f
S
α
α
 >



∆ ≤




>

⇔


∆ >




≥



− <



TH2: Nếu bpt:
( ) 0f x ≥
không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
α
Khi đó bpt:
( ) 0f x ≥
trở thành :
( ) 0g t ≥
, với:
2 2

( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc
α α α
= + + + + + −

a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t ii
α
−

≥

⇔


≥ ∀ <

0
0
0
( )
0
0
0
a

a
ii
S
P
 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >




>



≥




c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α β
' 0, ( ; )
( ; )
( ) 0, ( ; ) ( )
y x
e
d
f x x III
α β
α β
α β
⇔ ≥ ∀ ∈
−

∉

⇔


≥ ∀ ∈

(III)
0
0
0
( ) 0
2 0

( ) 0
2 0
0
0
( ) 0
( ) 0
ad
ad
f
S
f
S
ad
f
f
α
α
β
β
α
β


>




∆ ≤



>




 ≥







− <
 


⇔


≥






− >







∆ >



<




≥




≥


b)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t iii

α
−

≤

⇔


≥ ∀ >

0
0
0
( )
0
0
0
a
a
iii
S
P
 >



∆ ≤




>

⇔


∆ >




<



≥



*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với cách làm như
trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà không cần sử dụng kiến thức
lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải
*Ví dụ 3: Cho hàm số:
2
2 3
(2).
1
x x m
y
x
− +

=
−
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 11
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)−∞ −
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(2; )+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
2
2 2
2 4 3 ( )
' .
( 1) ( 1)
x x m f x
y
x x
− + −
= =
− −
a)Hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)−∞ −
' 0, ( ; 1)
( ) 0, 1

y x
f x x
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ −
⇔ ≥ ∀ < −
0
' 0
0
' 0
( 1) 0
2( 1) 0
a
a
f
S
 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >





− ≥



− − >



1
1
9 0
m
m
m
≤


⇔
>




− ≥


9m
⇔ ≤

Kết luận: Vậy
9m ≤
thì hàm số (2) đồng
biến trên
( ; 1)−∞ −
Txđ : D = R
2
2 2
2 4 3 ( )
' .
( 1) ( 1)
x x m f x
y
x x
− + −
= =
− −
Ta có:
2
( ) 0 2 4 3f x m x x≥ ⇔ ≤ − +
Đặt :
2
( ) 2 4 3g x x x= − +

'( ) 4 4g x x⇒ = −
a)Hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)−∞ −
( ; 1]
' 0, ( ; 1)
( )

y x
m Min g x
−∞ −
⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ −
⇔ ≤
Ta có bảng biến thiên của hàm số:
( ), ( ; 1]g x x∀ ∈ −∞ −
x
−∞
-1
g’(x
)

g(x)
+∞

9
Kết luận: Vậy
9m
≤
thì hàm số (2) đồng biến
trên
( ; 1)−∞ −
b)Hàm số (2) đồng biến trên
(2; )+∞
[2; )
' 0, (2; )
( )
y x
m Min g x

+∞
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
⇔ ≤
Ta có bảng biến thiên của hàm số:
( ), [2; )g x x∀ ∈ +∞
x 2
+∞
g’(x
)
+
g(x)

+∞

b)Hàm số (2) đồng biến trên
(2; )+∞
' 0, (2; )
( ) 0, 2
y x
f x x
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
⇔ ≥ ∀ >
0
' 0
0
' 0
(2) 0
2.2 0
a
a

f
S
 >



∆ ≤



>

⇔


∆ >




≥



− <



1
1

3 0
m
m
m
≤


⇔
>




− ≥


3m⇔ ≤
Kết luận: Vậy
3m
≤
thì hàm số (2) đồng
biến trên
(2; )+∞
c)Hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
' 0, (1;2)
( ) 0, (1;2)
y x
f x x
⇔ ≥ ∀ ∈

⇔ ≥ ∀ ∈
' 0
' 0
(1) 0
2.1 0
(2) 0
2.2 0
f
S
f
S
∆ ≤


∆ >




 ≥



⇔



− <

 





≥







− >





1
1
1 0
0 0
3 0
2 0
m
m
m
m
≤



>




 − ≥



⇔



<

 




− ≥







− >






1m
⇔ ≤
Kết luận: Vậy
1m ≤
thì hàm số (2) đồng
biến trên
(1;2)
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 12
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài toán có thể
ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều.
*Bài toán 4: Cho hàm số :
2
(2), ( , 0)
ax bx c
y a d
dx e
+ +
= ≠
+
.
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ; )
α
−∞

.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ; )
α
+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ; )
α β
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ:
\
e
D R
d
−
 
=
 
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −

= =
+ +
a)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
−∞
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
−

≥

⇔


≤ ∀ <

0
0
0
( )
0

( ) 0
2 0
ad
ad
I
f
S
α
α
 <



∆ ≤



<

⇔


∆ >




≤




− >



Txđ:
\
e
D R
d
−
 
=
 
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
TH1: Nếu:
( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i≤ ⇔ ≥
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
( ; )

α
−∞
( ; ]
( ) ( ),
( ) ( )
e
d
g x h m x
e
d
h m Min g x
α
α
α
−∞
−

≥

⇔


≥ ∀ <

−

≥

⇔


≤


b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
[ ; )
( ) ( )
( ) ( ),
e
e
d
d
h m Min g x
g x h m x
α
α
α
α
+∞
−

−

≤
≤
 
⇔ ⇔
 

≤
 
≥ ∀ >


c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α β
( )
( )
[ ; ]
;
;
( ) ( )
( ) ( ), ( ; )
e
e
d
d
h m Min g x
g x h m x
α β
α β
α β
α β
−

−

∉

∉
 
⇔ ⇔
 
≤
 
≥ ∀ ∈


b)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α
+∞
' 0, ( ; )
( ) 0, ( )
y x
e
d
f x x I
α
α
α
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
−

≤

⇔



≤ ∀ >

0
0
0
( )
0
( ) 0
2 0
ad
ad
II
f
S
α
α
 <



∆ ≤



<

⇔


∆ >





≤



− <



TH2: Nếu bpt:
( ) 0f x ≤
không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
α
Khi đó bpt:
( ) 0f x ≤
trở thành :
( ) 0g t ≤
, với:
2 2
( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc
α α α
= + + + + + −

a )Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α

−∞
( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t ii
α
−

≥

⇔


≤ ∀ <

0
0
0
( )
0
0
0
a
a
ii
S
P
 <




∆ ≤



<

⇔


∆ >




>



≥




c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α β
b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
( ; )
α

+∞
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 13
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
' 0, ( ; )
( ; )
( ) 0, ( ; ) ( )
y x
e
d
f x x III
α β
α β
α β
⇔ ≤ ∀ ∈
−

∉

⇔


≤ ∀ ∈

( ) 0, 0 ( )
e
d
g t t iii
α
−


≤

⇔


≤ ∀ >

(III)
0
0
0
( ) 0
2 0
( ) 0
2 0
0
0
( ) 0
( ) 0
ad
ad
f
S
f
S
ad
f
f
α
α

β
β
α
β


<




∆ ≤


<




 ≤







− <
 



⇔


≤






− >






∆ >



>




≤





≤


0
0
0
( )
0
0
0
a
a
iii
S
P
 <



∆ ≤



<

⇔



∆ >




<



≥



*Ví dụ 4: Cho hàm số:
2 2
2 3
(2).
2
x mx m
y
m x
− +
=
−
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ;1)−∞
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
(1; )+∞
.

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
2 2
2 2
4 ( )
' .
( 2 ) ( 2 )
x mx m f x
y
x m x m
− + −
= =
− −
a) Hàm số (2) nghịch biến trên
( ;1)−∞
' 0, ( ;1)
2 1
( ) 0, 1 ( )
y x
m
f x x I
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
>

⇔

≤ ∀ <

' 0
' 0

( )
(1) 0
2.1 0
I
f
S
∆ =


∆ >


⇔


≤



− >



2
0
0
4 1 0
4 2 0
m
m

m m
m
=


≠


⇔


− + − ≤



− >



0
2 3
m
m
=

⇔

≥ +

Kết luận: Với

2 3m ≥ +
thì hàm số (2)
nghịch biến trên
( ;1)−∞
Txđ : D = R\{2m}
2 2
2 2
4 ( )
' .
( 2 ) ( 2 )
x mx m f x
y
x m x m
− + −
= =
− −
Đặt : t = x-1
Khi đó bpt:
( ) 0f x ≤
trở thành :
2 2
( ) 2(1 2 ) 4 1 0g t t m t m m= − − − − + − ≤
a) Hàm số (2) nghịch biến trên
( ;1)−∞

' 0, ( ;1)
2 1
( ) 0, 0 ( )
y x
m

g t t i
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞
>

⇔

≤ ∀ <

' 0
' 0
( )
0
0
i
S
P
∆ =


∆ >


⇔


>



≥




2
0
0
4 2 0
4 1 0
m
m
m
m m
=



≠

⇔


− >



− + ≥



0

2 3
m
m
=

⇔

≥ +

Kết luận: Với
2 3m ≥ +
thì hàm số (2) nghịch
biến trên
( ;1)−∞
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 14
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
b)Hàm số (2) nghịch biến trên
(1; )+∞
' 0, (1; )
2 1
( ) 0, 1 ( )
y x
m
f x x II
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
<

⇔

≤ ∀ >


' 0
' 0
( )
(1) 0
2.1 0
II
f
S
∆ =


∆ >


⇔


≤



− <



2
0
0
4 1 0

4 2 0
m
m
m m
m
=


≠


⇔


− + − ≤



− <



2 3m⇔ ≤ −
Kết luận: Với
2 3m ≤ −
thì hàm số (2)
nghịch biến trên
(1; )+∞
b)Hàm số (2) nghịch biến trên
(1; )+∞

' 0, (1; )
2 1
( ) 0, 0 ( )
y x
m
g t t ii
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
<

⇔

≤ ∀ >

' 0
' 0
( )
0
0
ii
S
P
∆ =


∆ >


⇔



<



≥



2
0
0
4 2 0
4 1 0
m
m
m
m m
=



≠

⇔


− <




− + ≥



2 3m⇔ ≤ −
Kết luận: Với
2 3m ≤ −
thì hàm số (2) nghịch
biến trên
(1; )+∞
*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1) (a
≠
0).
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Có cực trị trong
( ; )
α
−∞
.
b) Có cực trị trong
( ; )
α
+∞
.
c) Có hai cực trị x
1

, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.
e) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R

2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ; )
α
−∞
.
( ) 0
' 0
( ) 0
2 0
af
af
S
α
α
α
<


∆ ≥


⇔



≥



− <



Txđ: D = R
2
' ( ) 3 2y f x ax bx c= = + +
dạng (i) thì ta đặt : t = x -
α
khi đó :
2 2
' ( ) 3 2(3 ) 3 2y g t at a b t a b c
α α α
= = + + + + +
.
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
−∞
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ; )
α
−∞
.

( ) 0g t⇔ =
có nghiệm: t < 0
0
' 0
0
0
P
S
P
<


∆ ≥


⇔


<



≥



b) Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
+∞

( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ; )
α
+∞
.
( ) 0
' 0
( ) 0
2 0
af
af
S
α
α
α
<


∆ ≥


⇔


≥



− >




b) Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
+∞
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ; )
α
+∞
.
( ) 0g t⇔ =
có nghiệm: t > 0
0
' 0
0
0
P
S
P
<


∆ ≥


⇔



>



≥



Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 15
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
c) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
.
( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α

< <

( ) 0af
α
⇔ <
c) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
.
( ) 0g t⇔ =
có hai nghiệm t
1
,t
2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
0P⇔ <
d) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:

1 2
x x
α
< <

( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <

' 0
( ) 0
2 0
af
S
α
α
∆ >


⇔ >


− <


d) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
.
( ) 0g t⇔ =
có hai nghiệm t
1
,t
2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
' 0
0
0
S
P
∆ >


⇔ <



>

e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <

( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <

' 0
( ) 0
2 0
af
S
α

α
∆ >


⇔ >


− >

e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <


( ) 0g t⇔ =
có hai nghiệm t
1
,t
2

thỏa mãn :
1 2
0 t t< <
' 0

0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>

Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các nghiệm của một
tam thức bậc hai với một số thực
α
. Nhưng với cách làm trên ta đã đưa về bài toán quen
thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng quát học sinh có thể dùng cách
này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương tự mà không cần sử dụng các kiến thức
liên quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.
*Ví dụ 5: Cho hàm số : y =
3 2 2
1
( 1) 1
3
x mx m m x− + − + +
(1).
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong
( ;1)−∞
.

b) Có cực trị trong
(1; )+∞
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
e) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1 x x< <
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
y’ = f(x) =

2 2
2 1x mx m m− + − +
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ;1)−∞
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ;1)−∞
(1) 0
' 0
(1) 0
2.1 0
af
af
S
<


∆ ≥


⇔


≥



− <




Txđ: D = R
y’ = f(x) =
2 2
2 1x mx m m− + − +
• Đặt
1 1t x x t= − ⇒ = +
ta được :
( )
2 2
' ( ) 2 1 3 2y g t t m t m m= = + − + − +
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ;1)−∞

( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
( ;1)−∞
.

( ) 0g t⇔ =
có nghiệm: t < 0

0
' 0
0
0
P
S
P
<



∆ ≥


⇔


<



≥




2
2
3 2 0
1 0
2 2 0
3 2 0
m m
m
m
m m

− + <



− ≥

⇔


− <




− + ≥


Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 16
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
2
2
3 2 0
1 0
3 2 0
2 2 0
m m
m
m m
m

− + <

− ≥



⇔


− + ≥



− <



1 2m
⇔ < <
Kết luận: Với
1 2m
< <
thì hàm số (1) có
cực trị trong khoảng
( ;1)−∞

1 2m
⇔ < <
Kết luận: Với
1 2m
< <
thì hàm số (1) có cực
trị trong khoảng
( ;1)−∞

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(1; )+∞
( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
(1; )+∞
(1) 0
' 0
(1) 0
2.1 0
af
af
S
<


∆ ≥


⇔


≥



− >



2

2
3 2 0
1 0
3 2 0
2 2 0
m m
m
m m
m

− + <

− ≥


⇔


− + ≥



− >



1 m
⇔ <
Kết luận: Với
1m >

thì hàm số(1) có cực trị
trong khoảng
(1; )+∞
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(1; )+∞

( ) 0f x⇔ =
có nghiệm trong khoảng
(1; )+∞
.

( ) 0g t⇔ =
có nghiệm: t > 0

0
' 0
0
0
P
S
P
<


∆ ≥


⇔



>



≥




2
2
3 2 0
1 0
2 2 0
3 2 0
m m
m
m
m m

− + <


− ≥

⇔


− >





− + ≥



1 m
⇔ <
Kết luận: Với
1m >
thì hàm số(1) có cực trị
trong khoảng
(1; )+∞
c)Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
.
( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <

(1) 0af⇔ <
2
3 2 0m m⇔ − + <

1 2m⇔ < <
Kết luận: Với
1 2m< <
thì hàm số(1) có
hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
c) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
.
( ) 0g t⇔ =
có hai nghiệm t
1
,t
2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
0P⇔ <
2
3 2 0m m⇔ − + <
1 2m⇔ < <
Kết luận: Với
1 2m
< <
thì hàm số(1) có hai
cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <

( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x

1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <

' 0
(1) 0
2.1 0
af
S
∆ >


⇔ >


− <

2
1 0
3 2 0
2 2 0
m
m m m
m
− >



⇔ − + > ⇔ ∈∅


− <

Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa
mãn yêu cầu của bài toán
d) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
( ) 0g t⇔ =
có hai nghiệm t
1
,t
2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
' 0
0
0
S
P
∆ >



⇔ <


>


2
1 0
3 2 0
2 2 0
m
m m m
m
− >


⇔ − + > ⇔ ∈∅


− <

Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa
mãn yêu cầu của bài toán
e) Hàm số (1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:

1 2
1 x x< <

( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1 x x< <
e) Hàm số(1) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1 x x< <
.
( ) 0g t⇔ =
có hai nghiệm t
1
,t
2
thỏa mãn:
1 2
0 t t< <
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 17
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

' 0
(1) 0
2.1 0
af
S
∆ >


⇔ >


− >

2
1 0
3 2 0 2
2 2 0
m
m m m
m
− >


⇔ − + > ⇔ >


− >

Kết luận: Với
2m >

thì hàm số (1) có hai
cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1 x x< <
.
' 0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>


2
1 0
3 2 0 2
2 2 0
m
m m m
m

− >


⇔ − + > ⇔ >


− >

Kết luận: Với
2m >
thì hàm số (1) có hai cực
trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1 x x< <
.
*Bài toán 6: Cho hàm số :
2
(2), ( , 0)
ax bx c
y a d
dx e
+ +
= ≠
+
.
Tìm điều kiện để hàm số (2):

a.Có cực trị trong
( ; )
α
−∞
.
b.Có cực trị trong
( ; )
α
+∞
.
c.Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.
d.Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
.

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ:
\
e
D R
d
−
 
=
 
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =
+ +
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
−∞
khi và chỉ khi:
Phương trình
( ) 0f x =
có nghiệm trong

khoảng
( ; )
α
−∞
(I) và
( ) 0
e
f
d
−
≠
.
(I)
( ) 0
' 0
( ) 0
2 0
af
af
S
α
α
α
<


∆ ≥


⇔



≥



− <



Txđ:
\
e
D R
d
−
 
=
 
 
( ) ( )
2
2 2
2 ( )
'
adx aex be dc f x
y
dx e dx e
+ + −
= =

+ +
ta đặt : t = x -
α
Khi đó :
( )
2
( )
'
g t
y
dt d e
α
=
+ +
, với :
2 2
( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc
α α α
= + + + + + −

a) Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
−∞
khi
và chỉ khi :
Phương trình
( ) 0g t =
có nghiệm t < 0 (i)
và

( ) 0
e
g
d
α
−
− ≠
.
0
' 0
( )
0
0
P
i
S
P
<


∆ ≥


⇔


<




≥



b)Hàm số(2) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
+∞
khi và chỉ khi:
phương trình
( ) 0f x =
có nghiệm trong
khoảng
( ; )
α
+∞
(II) và
( ) 0
e
f
d
−
≠
.

( ) 0
' 0
( )
( ) 0
2 0

af
II
af
S
α
α
α
<


∆ ≥


⇔


≥



− >



b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ; )
α
+∞
khi
và chỉ khi :

phương trình
( ) 0g t =
có nghiệm t > 0 (ii)
và
( ) 0
e
g
d
α
−
− ≠
.

0
' 0
( )
0
0
P
ii
S
P
<


∆ ≥


⇔



>



≥



c)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <

c) Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
khi và chỉ khi:
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 18

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
khi và chỉ khi:
phương trình
( ) 0f x =
có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
(III) và
( ) 0
e
f
d
−
≠
.
(III)
( ) 0af
α
⇔ <
phương trình
( ) 0g t =
có hai nghiệm t
1

,t
2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
(iii)
và
( ) 0
e
g
d
α
−
− ≠
.
(iii)
0P
⇔ <
d)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <

khi và chỉ khi:

phương trình
( ) 0f x =
có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn :
1 2
x x
α
< <
(IV) và
( ) 0
e
f
d
−
≠
.
(IV)
' 0
( ) 0
2 0
af
S
α
α
∆ >



⇔ >


− <

d) Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
x x
α
< <
khi và chỉ khi:
phương trình
( ) 0g t =
có hai nghiệm t
1
,t
2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
(iv)
và
( ) 0
e

g
d
α
−
− ≠
.
(iv)
' 0
0
0
S
P
∆ >


⇔ <


>

*Ví dụ 6: Cho hàm số:
2 2
2 3
(2).
2
x mx m
y
x m
− +
=

−
Tìm điều kiện để hàm số (2) :
a) Có cực trị trong
( ;1)−∞
.
b) Có cực trị trong
(1; )+∞
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
2 2
2 2
4 ( )
' .

( 2 ) ( 2 )
x mx m f x
y
x m x m
− +
= =
− −
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ;1)−∞
khi và chỉ khi:
phương trình
( ) 0f x =
có nghiệm trong
khoảng
( ;1)−∞
(I) và
(2 ) 0f m ≠
(I’)
(I)
(1) 0
' 0
(1) 0
2.1 0
af
af
S
<


∆ ≥



⇔


≥



− <



2
2
2
4 1 0
3 0
4 1 0
4 2 0
m m
m
m m
m

− + <


≥


⇔


− + ≥




− <


2 3 2 3
2 3
2 3
m
m
m

− < < +
⇔ ⇔ < +

≤ −


(I’)
2
3 0 0m m⇔ − ≠ ⇔ ≠
Txđ : D = R\{2m}
2 2
2

4
'
( 2 )
x mx m
y
x m
− +
=
−
Đặt : t = x-1
Khi đó:
2
( )
' .
( 1 2 )
g t
y
t m
=
+ −
với:
2 2
( ) 2(1 2 ) 4 1 0g t t m t m m= + − + − + ≤
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ;1)−∞
khi
và chỉ khi phương trình:
( ) 0g t =
có nghiệm t
< 0 (i)

và
(2 1) 0g m − ≠
(i’).
0
' 0
( )
0
0
P
i
S
P
<


∆ ≥


⇔


<



≥



2

2
2
4 1 0
3 0
4 2 0
4 1 0
m m
m
m
m m

− + <


≥

⇔


− <




− + ≥


2 3 2 3
2 3
2 3

m
m
m

− < < +
⇔ ⇔ < +

≤ −


Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 19
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
Kết luận: Với
2 3
0
m
m

< +


≠


thì hàm số (2) có
cực trị trong khoảng
( ;1)−∞

(i’)
2

3 0 0m m⇔ − ≠ ⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3
0
m
m

< +


≠


thì hàm số (2) có cực
trị trong khoảng
( ;1)−∞

b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
(1; )+∞

khi và chỉ khi: phương trình
( ) 0f x =
có
nghiệm trong khoảng
(1; )+∞
(I) và
(2 ) 0f m ≠
(I’)
(I)
(1) 0

' 0
(1) 0
2.1 0
af
af
S
<


∆ ≥


⇔


≥



− >



2
2
2
4 1 0
3 0
4 1 0
4 2 0

m m
m
m m
m

− + <


≥

⇔


− + ≥




− >


2 3 2 3
2 3
2 3
m
m
m

− < < +
⇔ ⇔ > −


≥ +


(I’)
2
3 0 0m m⇔ − ≠ ⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3m > −
thì hàm số (2) có
cực trị trong khoảng
(1; )+∞

B )Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
(1; )+∞
khi
và chỉ khi phương trình :
( ) 0g t =
có nghiệm t
> 0 (i)
và
(2 1) 0g m − ≠
(i’).
0
' 0
( )
0
0
P
i

S
P
<


∆ ≥


⇔


>



≥



2
2
2
4 1 0
3 0
4 2 0
4 1 0
m m
m
m
m m


− + <


≥

⇔


− >




− + ≥


2 3 2 3
2 3
2 3
m
m
m

− < < +
⇔ ⇔ > −

≥ +



(i’)
2
3 0 0m m⇔ − ≠ ⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3m > −
thì hàm số (2) có cực
trị trong khoảng
(1; )+∞

c)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <

khi và chỉ khi :
phương trình
( ) 0f x =
có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn :
1 2
1x x< <
(III) và
(2 ) 0f m ≠

(I’).
(III)
(1) 0af⇔ <
2 3 2 3m⇔ − < < +
(I’)
0m⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3 2 3m− < < +
thì hàm
số (2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <

c) Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
khi và chỉ khi :
phương trình
( ) 0g t =
có hai nghiệm t
1
,t

2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
(iii)
và
(2 1) 0g m − ≠
(i’).
(iii)
0P
⇔ <
2 3 2 3m⇔ − < < +
(i’)
0m⇔ ≠
Kết luận :Với
2 3 2 3m− < < +
thì hàm số
(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <

d)Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2

thỏa mãn:
1 2
1x x< <
khi và chỉ khi:phương trình
( ) 0f x =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
(IV) và
(2 ) 0f m ≠
(I’).
(IV)
' 0
(1) 0
2.1 0
af
S
∆ >


⇔ >


− <

2

2
3 0
4 1 0 2 3
4 2 0
m
m m m
m

>

⇔ − + > ⇔ < −


− <

(I’)
0m⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3
0
m
m

< −


≠


thì hàm số (2) có

d) Hàm số(2) có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1x x< <
khi và chỉ khi: phương trình
( ) 0g t =

có hai nghiệm t
1
,t
2

thỏa mãn :
1 2
0t t< <
(iv)
và
(2 1) 0g m − ≠
(i’).
(iv)
' 0
0
0
S
P
∆ >



⇔ <


>

2
2
3 0
4 2 0 2 3
4 1 0
m
m m
m m

>

⇔ − < ⇔ < −


− + >

(i’)
0m⇔ ≠
Kết luận: Với
2 3
0
m
m


< −


≠


thì hàm số (2) có hai
cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <

Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 20
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <

B. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1: Cho hàm số : y =
( ) ( ) ( )
3 2 2
1

2 2 8 1
3
m x m x m x m+ − + + − + −
(1)
( 1)m ≠ −
Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng
( ;1)−∞
.
b) Đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
.
c) Đồng biến trên khoảng
(1;2)
.
Bài 2: Cho hàm số : y =
( )
( )
2 3 2
1
1 1 2 1
3
m x m x x− + − − +
(1)
( 1)m ≠ ±
Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng
( ;1)−∞
.
b) Nghịch biến trên khoảng

(1; )+∞
.
Bài 3: Cho hàm số:
2
8
(2).
1
x mx m
y
x
+ − +
=
−
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)−∞ −
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(2; )+∞
.
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
.
Bài 4: Cho hàm số:
2
2
(2).
x mx m
y
x m
− +

=
+
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
( ;1)−∞
.
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên
(1; )+∞
.
Bài 5: Cho hàm số : y =
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1x m x m x+ − + − −
(1).
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong
( ;1)−∞
.
b) Có cực trị trong
(1; )+∞
.
c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x

2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
e) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1 x x< <
.
Bài 6 : Cho hàm số:
2 2
2 3 1
(2).
x mx m
y
x m
− − + −
=
−
Tìm điều kiện để hàm số (2) :
a) Có cực trị trong
( ;1)−∞
.
b) Có cực trị trong
(1; )+∞
.

c) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
d) Có hai cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn :
1 2
1x x< <
.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi
nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà
một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là định lý đảo về
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 21
Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
dấu tam thức bậc hai và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu bằng
cách ứng dụng đạo hàm và một định lý quen thuộc là định lý Vi-et. Chính vì các em nhận thấy
với mỗi bài tốn nếu ta chịu tìm tòi sáng tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích nên rất
hứng thú với mơn học. Do đó mỗi năm học tơi nhận thấy chất lượng của mơn tốn nói riêng, và
kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm là
học sinh yếu, trung bình nhưng cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh trung bình, khá và
giỏi. Trong các kỳ thi tủn sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khá
cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. Cụ thể:

Kết quả học tập bợ mơn:
Năm học
Đầu năm học (%) Cuối năm học (%)
Yếu- Kém TB Khá Giỏi Yếu- Kém TB Khá Giỏi
2009-2010
28.3 45.9 19.2 6.6 14.6 55.1 18.7 11.6
2010-2011
30.2 48.6 16.7 4.5 16.9 54.2 20 8.9
2011-2012
29.4 50 15.5 5.1 13 52.9 21.4 12.7
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà
nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới
phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục ln coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện
một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt cơng việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn
luyện nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chun mơn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp
giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong cơng
tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chun đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy
và học. Từ những nhận thức đó, hàng năm tơi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho cơng
tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chun mơn, góp
phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và
học được tốt hơn. Thực tế qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy đại đa số các em học sinh đều
ngại và lúng túng khi gặp các bài tốn có chứa tham số, bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10
đã giảm tải phần định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, nên khi gặp các dạng tốn
trong chun đề này đã trình bày các em cảm thấy lúng túng, nhất là các em học sinh lớp 10,
ngay cả các em học sinh lớp 12 khi đã được trang bị cơng cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn.
Từ thực tế đó nhằm giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học tốn, biết cách vận
dụng, khai thác một số dạng tốn có chứa tham số, quy lạ về quen nên tơi viết sáng kiến kinh
nghiệm:

“Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu
tam thức bậc hai”.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến q báu của q thầy giáo, cơ giáo!
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 – Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo dục
– 2008.
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 22
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
2. Sách giáo khoa Đại số 10 – Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo dục –
2006.
3. Giải toán Khảo sát hàm số – Trần Tiến Tự – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội –
2007.
4. Phương pháp giải các dạng toán Khảo sát hàm số – Nguyễn Ngọc Thu – ĐHQG TP
HCM – 2008.
5. Chuyên đề Khảo sát hàm số tự luận và trắc nghiệm – Lê Duy Lễ, Lê Khắc Bảo, Trần
Lưu Cường, Phạm An Hòa – NXB Đà Nẵng – 2004.
6. Hướng dẫn giải toán tự luận và trắc nghiệm Khảo sát hàm số – Chủ biên: Lê Đức Phúc
– ĐHQG TP HCM – 2008.
7. Tuyển tập 225 bài toán Khảo sát hàm số – Trần Văn Kỉ – NXB Trẻ – 2001.
8. Tự luận và trắc nghiệm phương pháp giải toán Khảo sát hàm số – Chủ biên: Lê Đức
Phúc – ĐHQG TP HCM – 2008.
MỤC LỤC
I. Lý do chọn đề tài 3
1. Đặt vấn đề 3
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 23
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
2. Nội dung sáng kiến 3
II. Tổ chức thực hiện đề tài 4
A. Cơ sở lý thuyết - Ví dụ minh họa 4
1. Kiến thức cần nhớ 4

2. Phương pháp giải toán 4
B. Bài tập thực hành 21
II. Hiệu quả của đề tài 22
IV. Đề xuất, kiến nghị khả năng áp dụng 22
V. Tài liệu tham khảo 23
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 24
Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
Nhận xét và xếp loại của tổ chuyên môn
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Nhận xét và xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT Hồng Bàng
……………………………………………………………

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Nhận xét và xếp loại của HĐKH Sở Giáo dục – Đào tạo tỉnh Đồng Nai
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 25
Tổ trưởng
Hội đồng xét duyệt SKKN
Hội đồng xét duyệt SKKN