CHỦ đề 1 vấn đề 3 GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số image marked

VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG
Định nghĩa
- Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.
1) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x )  M với mọi
x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 ) = M .
- Kí hiệu M = max f ( x )
D

2) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x )  m với mọi
x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 ) = m .
- Kí hiệu m = max f ( x )
D

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một khoảng:
- Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên (a;b), ta xét hai trường hợp:
x

a

f ' (x )

b

x0
-

0

+

f (x )
GTNN

x

f ' (x )

a

b

x0
+

f (x )

0

-

GTLN

Minh họa
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x +

4
+ 9 trên khoảng c.
x

4 4 x2 − 4

=
= 0  x =1
x2
x2
Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

− Trên khoảng ( 0;+ ) , ta có y ' = 4 −


− Bảng biến thiên:

x

0

y'
y

+

1
+

0

-

+

+

17

 f ( x )  17, x  ( 0; + )
Từ bảng biến thiên ta thấy 
 f (1) = 17
Suy ra được min f ( x ) = 17 (tại x = 1)
( 0; + )

Không tồn tại giá trị lớn nhất của f ( x ) trên khoảng ( 0;+ )
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cả hàm số y = −8 x −
− Trên khoảng ( 0;+ ) , ta có y ' = −8 +

8
+ 11 trên khoảng ( 0;+ ) .
x

8 −8 x 2 + 8
=
= 0  x =1
x2
x2

− Bảng biến thiên:

x

0

y'

+

1
+

y

0

-

-5
−

−

 f ( x )  −5, x  ( 0; + )
Bảng biến thiên ta thấy 
 f (1) = −5
Suy ra được max f ( x ) = −5 (tại x = 1)
( 0; + )

Không tồn tại gái trị nhỏ nhất của f ( x ) trên khoảng ( 0;+ )
Định lí:
− Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Nhận xét:

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

1) Nếu đạo hàm f ' ( x ) giữ nguyên dấu trên đoạn  a; b thì hàm số đồng biến hoặc nghịch
biến trên cả đoạn. Do đó, f ( x ) đạt được gái trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các dấu
mút của đoạn.
2) Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi ( xi  xi +1 ) mà tại đó f ' ( x ) bằng 0 hoặc không xác
định thì hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên mỗi khoảng ( xi ; xi +1 ) . Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá
trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn  a; b là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của
hàm số tại hai đầu mút a, b và các điểm xi nói trên.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cảu hàm số liên tục trên một đoạn:
1) Tìm các điểm x1, x2,…,xn trên khoảng (a, b) tại đó f ' ( x ) bằng 0 hoặc f ' ( x ) không xác
định
2) Tính f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f (b )
3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số nói trên.
Ta có: M = max f ( x ) , m = min f ( x )
 a ;b

 a ;b

MINH HỌA:
1) Tìm giá trị lớn nhất và gá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x +

4
1 
+ 9 trên đoạn  ;5 .
x
2 

1 
Hàm sô xác định và liên tục trên đoạn  ;5 .
2 

4 4 x2 − 4
1 
= 0  x =1
Trên khoảng  ;5  , ta có y ' = 4 − 2 =
x
x2
2 
✓ Cách 1:
− Bảng biến thiên:
x

1
2

y'

+

1
+

0

y

149
5

19

17

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải



1 
 f ( x )  17, x   2 ;5
Từ bảng biến thiên ta thấy 


 f (1) = 17

Suy ra được min f ( x ) = 17 (tại x = 1).
1 
 2 ;5




149
1 
 f ( x )  5 , x   2 ;5


Từ bảng biến thiên ta thấy 
 f ( 5 ) = 149

5
Suy ra được max f ( x ) =

1 
 2 ;5



149
(tại x = 5).
5

✓ Cách 2:
y = 4x +

4
+9
x

149
1
y   = 19, y (1) = 17, y ( 5 ) =
5
2

Suy ra được min f ( x ) = 17 (tại x = 1), max f ( x ) =
1 
 2 ;5



1 
 2 ;5




149
(tại x = 5).
5

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −8 x −
Trên khoảng ( 4;5) , ta có y ' = −8 +

8
+ 11 trên  4;5
x

8 −8 x 2 + 8
=
 0, x  ( 4;5) .
x2
x2

✓ Cách 1:
− Bảng biến thiên:
x

4

y'
y

5

-

-23
−153
5

−153

 f ( x )  5 , x   4;5
Từ bảng biến thiên ta thấy 
 f ( 5 ) = −153

5

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Suy ra được min f ( 5 ) =
 4;5

−153
(tại x = 5).
5

 f ( x )  −23, x   4;5
Từ bảng biến thiên ta thấy 
 f ( 4 ) = −23
Suy ra được max f ( 4 ) = −23 (tại x = 4).
 4;5

✓ Cách 2:

8 −8 x 2 + 8
− Trên khoảng ( 4;5) , ta có y ' = −8 + 2 =
 0, x  ( 4;5)  y nghịch biến trên
x
x2
khoảng ( 4;5) .
− Suy ra min f ( 5 ) =
 4;5

−153
(tại x = 5), max f ( 4 ) = −23 (tại x = 4).
 4;5
5

Chú ý:
− Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
khoảng đó. Chẳng hạn, hàm số f ( x ) =

1
không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
x

khoảng ( 0;1) . Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
trên một khoảng.
Định lí 1:
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a,b).
1) Nếu f "( x )  0 với mọi x  ( a; b ) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
2) Nếu f "( x )  0 với mọi x  ( a; b ) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.

Định lí 2:
− Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) và x0  ( a; b ) . Nếu f "( x )
đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M 0 ( x0 ; f ( x ) )
BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) =
A. Không tồn tại GTLN, GTNN
C. Không tồn tại GTLN,

21
37

5x − 4
trên đoạn 5;7 lần lượt là:
6x + 7

B.

31
; không tồn tại GTNN
49

D.

31 21
;
49 37

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
− Xét hàm số f ( x ) =

5x − 4
trên đoạn 5;7 .
6x + 7

7  7


− Tập xác định: D =  −; −    − ; +  .
6  6



Ta có:

f '( x ) =

( 5x − 4 ) '.( 6 x + 7 ) − ( 5 x − 4 ).( 6 x + 7 ) ' = 5 ( 6 x − 7 ) − 6 (5 x − 4 ) = 59
2
2
2
(6x + 7)
(6x + 7)
(6x + 7)

 0, x  D

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên D, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 5;7 .
− Nên ta được: max f ( x ) = f (17 ) =
5;7

21
31
, min f ( x ) = f ( 5 ) =
.
37
49 5;7

 Chọn D
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến khoanh đáp án A và
đã sai lầm.
B. Đáp án B sai.
7

Một số học sinh chỉ xét hàm số trên khoảng  −; −  và khoanh đáp án B và đã sai
6


lầm.
C. Đáp án C sai.
 7

Một học sinh chỉ xét hàm số đã cho trên khoảng  − ; +  và khoanh tròn đáp án C
 6


và đã sai lầm
Ví dụ 2: GTLN GTNN của hàm số f ( x ) =
A. Không tồn tại GTLN, GTNN
C. Không tồn tại GTLN,

31
50

6x − 5
trên đoạn  6;8 lần lượt là:
7x + 8

B.

43
; không tồn tại GTNN
64

D.

43 31
;
.
64 50

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

− Xét hàm số f ( x ) =

6x − 5
trên đoạn  6;8 .
7x + 8

8  8


− Tập xác định: D =  −; −    − ; +  .
7  7



Ta có:
f '( x ) =

( 6 x − 5) '.( 7 x + 8) − ( 6 x − 5).( 7 x + 8) ' = 6 ( 7 x + 8) − 7 ( 6 x − 5) = 83
2
2
2
( 7 x + 8)
( 7 x + 8)
( 7 x + 8)

 0, x  D

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên D, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn  6;8
Nên ta nhận được: max f ( x ) = f ( 8 ) =

6;8

31
43
, min f ( x ) = f ( 6 ) =
.
6;8


50
64

 Chọn D
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đén khoanh đáp án và đã
sai lầm.
B. Đáp án B sai.
8

Một số học sinh chỉ xét hàm số đã chi trên khoảng  −; −  và khoanh đáp án B và đã
7


sai lầm.
 8

C. Một số học sinh chỉ xét hàm số cho trên khoảng  − ; +  và khoanh đáp án C và đã
 7


sai lầm
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) =

2
4

với tập xác định D =  ; +  . Giá trị max f ( x ) ,
1;2
5
6 + 5x − 4



min f ( x ) lần lượt là:
1;2

A.

1
; không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
3

B.

1 6− 6
;
.
3
15

C.

2 6− 6
;
7
15

D.

2
; không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
7

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
− Xét hàm số f ( x ) =

2
trên đoạn 1;2
6 + 5x − 4

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta có: f ' ( x ) =

(

)

2 6 + 5x − 4 '

(

6 + 5x − 4

2.
=

) (
2

(5x − 4) '
2 5x − 4

6 − 5x − 4

=

) (
2

5

)

2

6 + 5x − 4 . 5x − 4

 0,  x  1;2

− Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 1;2 .
− Nên ta được:
max f ( x ) = f (1) =
1;2

6− 6
2
, min f ( x ) = f ( 2 ) =
.
15
7 1;2

 Chọn C
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến đáp án A và đã sai
lầm
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định đêtr tìm giá trị lớn nhất và xét hàm
số đã cho trên đoạn 1;2 để tìm giá trị nhỏ nhấ. Nên dẫn đến đáp án B và học sinh đã
sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên đoạn 1;2 để tìm giá lớn nhất và xét hàm số đã
cho trên tập xác định để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm.
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) =

1

3

với tập xác định D =  ; +  . Giá trị max f ( x ) ,
 2;4
5 + 4x − 3
4


min f ( x ) lần lượt là:
 2;4

A.

1
; không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
5

B.

1 5 − 13
;
.
5
12

C.

5 − 5 5 − 13
;
12

20

D.

5− 5
; không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
20

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
− Xét hàm số f ( x ) =

1
trên đoạn  2;4 .
5 + 4x − 3

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta có: f ' ( x ) =

(

)

2 5 + 4x − 3 '

(5 +

4x − 3

2.

=

) (
2

( 4 x − 3) '

4
2 4x − 3 =
 0,  x   2;4
2
2
5 + 4x − 3
5 + 4x − 3 . 4x − 3

) (

)

− Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn  2;4 .
− Nên ta được:
max f ( x ) = f ( 2 ) =
 2;4

5 − 13
5− 5
, min f ( x ) = f ( 4 ) =

.
 2;4
12
20

 Chọn C
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến đáp án A và đã sai
lầm.
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định để tìm giá trị lớn nhất và xét hàm
số đã cho  2;4 để tìm để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án B học sinh đã sai
lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh xét hàm số cho trên  2;4 để tìm giá trị lớn nhất và xét hàm số đã cho
trên tập xác định để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm.
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) =

1
với tập xác định D = 1; + ) . Giá trị max f ( x ) ,
 2;4
4 + 3x − 3

min f ( x ) lần lượt là:
 2;4

A.

1

; không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
4

B.

1 1
; .
4 7

C.

4− 3 1
;
7
13

D.

4− 3
; không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
13

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
− Xét hàm số f ( x ) =

1
trên đoạn  2;4 .
4 + 3x − 3

− Ta có:
Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


f '( x ) =

(

)

2 4 + 3x − 3 '

(

4 + 3x − 3

2.
=

) (
2

( 3 x − 3) '
2 3x − 3

4 + 3x − 3

)

2

=−

(

3

)

2

4 + 3x − 3 . 3x − 3

 0,  x   2;4

− Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn  2;4
− Nên ta được:
max f ( x ) = f ( 2 ) =
 2;4

4− 3
1
, min f ( x ) = f ( 4 ) = .
 2;4
13
7

 Chọn C
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến đáp án A và đã sai
lầm.
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định để tìm giá trị lớn nhất và xét hàm
số đã cho trên đoạn  2;4 để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án B và học sinh đã
sai lầm
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh xét hàm số đã cho trên đoạn  2;4 để tìm giá trị lớn nahats avf xét hàm
số đã cho trên tập xác định để tìm gái trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm.
Ví dụ 6: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
A.

13
3

B. 7

10 + 3sin x
là:
2 + sin x

C. 5

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
− Xét hàm số f ( x ) =
− Tập xác định: D =

10 + 3sin x
.
2 + sin x

.

x  , ta có −1  sin x  1.
Mà

10 + 3sin x 4 + 3 ( 2 + sin x )
4
=
=
+ 3 nên ta được:
2 + sin x
2 + sin x
2 + sin x

−1  sin x  1  1  2 + sin x  3 

4
4
13
4

4

+37
3 2 + sin x
3 2 + sin x

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải




13 10 + 3sin x

 7.
3
2 + sin x

− Với x = −




 
   13
thì f ( x ) = f  −  = 7 ; với x =
thì f ( x ) = f   = . Nên theo định
2
2
 2
2 3

nghĩa, ta có: giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định bằng 7; giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên tập xác định bằng

13

.
3

Theo đề bài, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho.

 Chọn B
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã
cho trên tập xác định và khoanh vào đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
− Một số học sinh trình bày như sau:
− Hàm số f ( x ) =

10 + 3sin x
2 + sin x

− Tập xác định D = 0;  .
Ta có:

f '( x ) =

(10 + 3sin x ) ' ( 2 + sin x ) − (10 + 3sin x )( 2 + sin x ) '
2
( 2 + sin x )

=
=
=

3cos x ( 2 + sin x ) − cos x (10 + 3sin x )

( 2 + sin x )

2

6cos x + 3cos x sin x − 10cos x − 3cos x sin x

( 2 + sin x )
−4cos x

( 2 + sin x )

2

2

.

f ' ( x ) = 0  cos x = 0  x =


2

+ k ( k 

)

Vì x  0;  nên:
x   0;  


2

+ k   0;   0 


2

+ k    0 

1
1
1
+ k 1 −  k  .
2
2
2

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


nên ta có k = 0  x =

Vì k 


2

.

   13
Ta có: f   = ; f ( 0 ) = 5; f ( ) = 5
2 3

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 5.
Vậy học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh khoanh đáp án D vì đọc không kỹ đề. Đề yêu cầu tìm giá trị lớn nhất
của 1 hàm số cho trước trên tập xác định của nó, không phải là tìm giá trị lớn nhất của
hàm số y = sin x trên tập xác định của nó.
Ví dụ 7: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
A. 3

B. 5

7 + 2sin x
là:
2 + sin x

C.

7
2

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
− Xét hàm số f ( x ) =

− Tập xác định: D =

7 + 2sin x
.
2 + sin x

.

x  , ta có −1  sin x  1.
Mà

7 + 2sin x 3 + 2 ( 2 + sin x )
3
=
=
+ 2 nên ta được:
2 + sin x
2 + sin x
2 + sin x

−1  sin x  1  1  2 + sin x  3  1 
3

3
3
3 3
+25
2 + sin x
2 + sin x

7 + 2sin x
5.
2 + sin x

− Với x = −




 
 
thì f ( x ) = f  −  = 5 ; với x =
thì f ( x ) = f   = 3 . Nên theo định
2
2
 2
2

nghĩa, ta có: giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định bằng 5; giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên tập xác định bằng 3.
Theo đề bài, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho.

 Chọn B
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã
cho trên tập xác định và khoanh vào đáp án B và đã sai lầm.

C. Đáp án C sai.
− Một số học sinh trình bày như sau:
− Hàm số f ( x ) =

7 + 2sin x
2 + sin x

− Tập xác định D = 0;  .
Ta có:

f '( x ) =

( 7 + 2sin x ) ' ( 2 + sin x ) − ( 7 + 2sin x )( 2 + sin x ) '
2
( 2 + sin x )

=
=
=

2cos x ( 2 + sin x ) − cos x ( 7 + 2sin x )

( 2 + sin x )

2

4cos x + 2cos x sin x − 7 cos x − 2cos x sin x

( 2 + sin x )
−3cos x

( 2 + sin x )

2

2

.

f ' ( x ) = 0  cos x = 0  x =


2

+ k ( k 

)

Vì x  0;  nên:
x   0;  

Vì k 


2

+ k   0;   0 

nên ta có k = 0  x =


2


2

+ k    0 

1
1
1
+ k 1 −  k  .
2
2
2

.

7
7
 
Ta có: f   = 3; f ( 0 ) = ; f ( ) =
2
2
2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là

7
.

2

Vậy học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh khoanh đáp án D vì đọc không kỹ đề. Đề yêu cầu tìm giá trị lớn nhất
của 1 hàm số cho trước trên tập xác định của nó, không phải là tìm giá trị lớn nhất của
hàm số y = sin x trên tập xác định của nó.
Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
16
3

A.

B. 8

12 + 4sin x
2 + sin x

C. 6

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
❖ Phân tích:
− Xét hàm số f ( x ) =
− Tập xác định: D =

12 + 4sin x
.
2 + sin x

.

x  , ta có −1  sin x  1.
Mà

12 + 4sin x 4 + 4 ( 2 + sin x )
4
=
=
+ 4 nên ta được:
2 + sin x
2 + sin x
2 + sin x

−1  sin x  1  1  2 + sin x  3 


4
4
16
4

4

+48
3 2 + sin x

3 2 + sin x

16 12 + 4sin x

8.
3
2 + sin x

− Với x = −




 
   16
thì f ( x ) = f  −  = 8 ; với x =
thì f ( x ) = f   = . Nên theo định
2
2
 2
2 3

nghĩa, ta có: giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định bằng 8; giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên tập xác định bằng

16
.
3

− Theo đề bài, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho.

 Chọn B
❖ Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã
cho trên tập xác định và khoanh vào đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh trình bày như sau:
− Hàm số f ( x ) =

12 + 4sin x
2 + sin x

− Tập xác định D = 0;  .
Ta có:

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


f '( x ) =

(12 + 4sin x ) ' ( 2 + sin x ) − (12 + 4sin x )( 2 + sin x ) '
2
( 2 + sin x )

=
=
=

4cos x ( 2 + sin x ) − cos x (12 + 4sin x )

( 2 + sin x )

2

8cos x + 4cos x sin x − 12cos x − 4cos x sin x

( 2 + sin x )
−4cos x

( 2 + sin x )

2

2

.

f ' ( x ) = 0  cos x = 0  x =


2

+ k ( k 

)

Vì x  0;  nên:
x   0;  

Vì k 


2

+ k   0;   0 

nên ta có k = 0  x =


2


2

+ k    0 

1
1
1
+ k 1 −  k  .
2
2
2

.

   16
Ta có: f   = ; f ( 0 ) = 6; f ( ) = 6
2 3

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 6.
Vậy học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học snh khoanh đáp án D vì đọc không kỹ đề. Đề yêu cầu tìm giá trị lớn nhất
của 1 hàm số cho trước trên tập xác định của nó, không phải là tìm giá trị lớn nhất của
hàm số y = sin x trên tập xác định của nó.
MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT
Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)
− Nhấn

và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng cá chức năng của hàm

đó.
− Nhấn

và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm

đó.
− Phím

dùng để thay giá trị và tính…
Áp dụng:

1. Nhấn

nhấn

, màn hình sẽ hiện

nhập

nhấn

, màn hình sẽ

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


hiện

, nhập

, nhấn

(

hình là kết quả của 3 + 2. 5

2. Nhập

)

2

.

,nhấn

hiện , nhập , nhập

. Ta được đáp án trên màn

, màn hình sẽ hiện

, màn hình sẽ hiện

, nhấn

, nhập

màn hình sẽ

. Ta được đáp án trên màn

,màn hình sẽ hiện

(2 − 2 5 )
hình là kết quả của

, nhấn

2

2.2

− Nhấn

(TABLE) tính giá trị, dự đoán giá trị lướn nhất, nhỏ nhất của bài toán.
Áp dụng:

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = −8 x −
Nhấn

(TABLE), màn hình sẽ hiện

nhấn

, màn hình sẽ hiện

, nhập

, nhập

, nhấn , màn hình sẽ hiện

, nhập

gồm một số giác trị của x và giá trị

8
+ 11 trên khoảng
x

,nhấn

4;5 .

, nhấn

,

, màn hình sẽ hiện, nhập

, nhấn , màn hình sẽ hiện ra một bảng

f ( x ) , ta dễ dàng có thể suy đoán được GTLN,

GTNN của hàm số trên khoảng thông qua bảng giá trị đó.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −8 x −
Nhấn
nhấn

(TABLE), màn hình sẽ hiện
, màn hình sẽ hiện

, nhập

nhấn , màn hình sẽ hiện , nhập , nhập

8
+ 11 trên khoảng
x

, nhập

, nhấn
, nhấn

, màn hình sẽ hiện

,nhấn

,

, nhập

,

,màn hình sẽ hiện ra một bảng gồm

một số giác trị của x và giá trị , ta dễ dàng có thể suy đoán được GTLN, GTNN của hàm
số trên khoảng thông qua bảng giá trị đó.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Câu 1: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 x +

1
− 2 trên tập xác định của nó
3x

lần lượt là:
A. Không tồn tại GTLN,GTNN

B. 0; -4

C. Không tồn tại GTNN; 0

D. + ; −

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 − 3x + 3x + 16 trên đoạn 0;1 là:
D. 1 + 19

C. 2 10

B. 2 5

A. 6

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 + 3x 2 − 6 x + 5 trên đoạn  −2; −1 là:
B. 13 − 6 3

A. 13
Câu 4: Cho hàm số y =

D. 13 + 6 3

C. 21

5
\   . Giá trị bằng:
4

1
với tập xác định D =
4x − 5

A. -1.

B. −

C. Không tồn tại GTNN

D. 0

1
9

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =
A. Không tồn tại GTNN, GTLN
C. Không tồn tại GTNN,

2
3

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) =

2x − 1
trên đoạn  2;6 lần lượt là:
3x + 4

B.

2
; không tồn tại GTLN.
3

D.

3 1
;
10 2

2
5

với tập xác định D =  ; +  . Các giá trị
4x − 5 + 6
4


max f ( x ) ;min f ( x ) lần lượt là:
3 9
2; 4



3 9
2; 4



A.

1
;0
3

B.

1
; không tồn tại
3

C.

2 1
;
7 4

D.

1 1
;
3 4

5

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = 2 x + 3x − 5 xác định trên  , +  .
3

2

2

Đặt A =  max f ( x )  −  min f ( x )  . Giá trị A bằng:


 2;7
  2;7
A. 299

B. -299

C. 18

Câu 8: Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất cảu hàm số y =
A. 3; 0
C.

19 11
;
7 3

B.

D. 5
15 + 4sin x
lần lượt là:
5 + 2sin x

11 19
;
3 7

D. Không tồn tại GTLN, GTNN.

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

(
(

) (
) (
2

)
)

2

2
max f ( x ) + min f ( x )
cos 2 x + (1 + sin x )
R
R
A
=
Câu 9: Cho hàm số y =
, đặt
. Giá trị A
2
2
2 + sin x
max f ( x ) + min f ( x )
R

R

bằng
A. 0

B. -1

C. 1

D.

 
Câu 10: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cả hàm số y = sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) trên đoạn 0; 
 2

lần lượt là:
A. max y = 2;min y = −1

B. max y = 2;min y = 1

C. max y = 2;min y = −2

D. max y = 2;min y = − 2

 
0; 2 



 

0; 2 



 
0; 2 



 
0; 2 



 
0; 2 



 
0; 2 



 
0; 2 



 

0; 2 



Câu 11: Giá trị lớn nhát của hàm số y = x3 − 12 x + 5 trên đoạn  −4; −1 ; 1;4 lần lượt là:
A. 21; 21

B. 21;-11

C. 21

D. -11

Câu 12: Cho hàm số f ( x ) = 16 − x 2 với tập xác định D =  −4;4 . GTNN, GTLN trên đoạn

− 3;4 lần lượt là:
A. 4; 0

B. 0; 4

Câu 13: Cho hàm số y =
b = min

 −4 + 10 ;1



7;4

C.

D. 4;

7

x2 + x − 1
với tập xác định D = R \ −1 . Đặt a = max f ( x ) ;
 − 3; − 2 
x +1



f ( x ) ; c = min f ( x ) . Các nghiệm phương trình bậc 3 sau ax3 + bx + c = 0 lần
 5 + 53 
;8

 2


lượt là :
A. 1; -7; 6
C. 1;

B. 1; 2; -3

1 71
;
2 9

D.

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =
A. m = −

3
2

B. m = −1

1− 3
; -7; 6
2

4 x − m 2 − 3m +
3x + 2

1
3 trên đoạn 0;2 bằng 31 khi:
24

C. m = −1 ; m = −2

D. m = −2

Câu 15: Cho hàm số y = 3x 2 − 2 x3 . Mệnh đề đúng là:
A. Hàm số đã cho đồng biến trên R
Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


B. Tại x0 = 1, hàm số đã cho đạt cực đại và đạt giá trị lớn nhất trên R.

C. Tại x0 = 0, hàm số đã cho đạt cự tiểu và đạt giá trị nhỏ nhất trên R.
D. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R
Câu 16: Cho hàm số y = 2 x + 1 +

1
3
có tập xác định D = R \   . Mệnh đề nào sau đây
2x − 3
2

là đúng.
A. Không tồn tại GTLN. GTNN.

B. min f ( x ) = 6;max f ( x ) = 2 .

C. max f ( x ) = 2 , không tồn tại GTNN

D. min f ( x ) = 6 , không tồn tại GTNN

D

D

D

Câu 17: Cho hàm số y = 2 x − 1 −

D

1

4

tập xác định D =  ; +  ta xét các mệnh đề
3x − 4
3


sau đây:
1. Không tồn tại max y

2. Không tồn tại min y

3. Hàm số đồng biến trên R

4. Hàm số y nghịch biến trên D.

D

5. y ' =

D

1
1
+
2 x − 1 3x − 4

6. y' =

1

2x − 1

+

1

2(3x − 4) 3x − 4

- Mệnh đề đúng là:
A. 4

B. 1

Câu 18: Cho hám số y =

C. 3

D. 2

2x − 1
 5
với tập xác định D = R \ −  . Ta xét các mệnh đề sau
4x + 5
 4

đây:
1. y '  0, x  R

2. min f ( x ) =

1
2

1
2

4. max f ( x ) =

3
13

3. max f ( x ) =
D

D

1;2

5

 5

5. Vì f đồng biến trên từng khoảng  −; −  và  − ; +  nên f đồng biến trên R.
4

 4


- Số mệnh đề sai là:
A. 2

Câu

B. 1
19:

f ( x ) = x2 +

Cho

a   2;4

C. 4
sao

cho

D. 3

a = min f ( x ) + max g ( x ) ,
 2;4

 2;4

trong

1
, x  R \ 0 và g ( x ) = 0, x  R .
x2

- Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

đó


D. a  R

C. a  2

B. a  0

A. a = 2

Câu 20: Cho các hàm số sau:

g ( x ) = sin x − cos x, x 

f ( x ) = sin x + cos x, x 
h ( x ) = 1 + 2sin x, x 

y = 3cos x, x 

- Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau:
A. min f ( x ) = 2

B. max g ( x ) = − 2

C. min h ( x ) = −1

D. max y = −3

R

R

R

Câu 21: Giá trị

R

2 là giá trị lớn nhát của hàm số nào (xét trên R) sau đây:
B. y = 2

A. y = x
Câu 22: Cho hàm số: y =

D. y = sin x

C. y = cos x

x −1
1
+ x − + 2 xác định trên R.
2x + 1
x

Một học sinh trình bày các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số y trên 1;2 như sau:
✓ Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y
 1 

Tập xác định D = R \ − ;0 
 2 

✓ Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y.

y' =

( 2 x + 1) − 2 ( x − 1) + 1 + 1 = 3 + 1 + 1
2
x 2 ( 2 x + 1)2
x2
( 2 x + 1)

 0, x  D

✓ Bước 3: y đồng biến trên D suy ra y đồng biến trên đoạn 1;2 .
✓ Bước 4: max y = y (1) = 2
1;2

− Bạn học sinh đóa trình bày sai ở bước:
A. 1
Câu

B. 2
23:

Đặt

C. 3

a = max f ( x ) ; b = min f ( x ) ; c = max g ( x ) ; d = min g ( x ) ,
1;2

 2;4

f ( x ) = 2 x xác định trên 0,+ ) và g ( x ) = −

at + bt2 = 2
trình:  1
ct1 + dt2 = 0

D. 4

(I )

 −2; −1

1
xác định trên
x

1;2

trong

đó

\ 0 . Xét hệ phương

là:

− Với t1, t2 là các ẩn của hệ phương trình và a, b, c, d là hệ các hệ số của hệ được định nghĩa
như trên. Nghiệm của hệ ( I ) là:
Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 2 2
;
A. 

4
4 


 2
2
;−
B. 

4 
 4


2 2
;
C.  −

 4 4 



2
2
;−
D.  −

4 
 4

Câu 24: Cho hàm số f ( x ) = 1 − 4 x − 8 xác định trên  2,+ ) và g ( x ) = x2 − 3x + 5 xác

g (b ) − g ( a )
. Giá trị của biểu thức A
b−a

định trên R. Đặt a = max f ( x ) ; b = min f ( x ) và A =
5;6

3;4

bằng:
A. 2 3 + 2 2 − 1

B. −2 3 − 2 2 + 1

C. 2 3 + 2 2 + 1

D. −2 3 − 2 2 − 1

Câu 25: Cho hàm số f ( x ) = x2 − 3x xác định trên R, g ( x ) =

2
xác định trên R \ 1 . Giả
x −1

sử a = max f ( x ) ; b = min g ( x ) . Với a, b được định nghĩa như trên t thỏa mãn bất phương
 2;3

1;2

trình at + b  2 là:
A. t  −

1
2

B. t  −

4
9

D. t  −

C. t  0

1
2

2
Câu 26: Cho hàm số f ( x ) = − + x − 1 + 3 với tập xác định D = 1; + ) . 3 là giá trị của:
x

B. max f ( x )

A. max f ( x )

 2;3

1;2

Câu 27: Cho hàm số f ( x ) =

C. max f ( x )

D. max f ( x )
 4;5

3;4

2
1
x x + 2x −
+ 4 với tập xác định D = 0; + ) .
3
x+5

− Mệnh đề đúng là:
A. min f ( x ) = min f ( x )

B. min f ( x ) = max f ( x )

C. max f ( x ) = min f ( x )

D. max f ( x ) = min f ( x )

1;2

0;1

1;3

 2;3

1;2

3;4

3;4

5;6

Câu 28: Cho hàm số y = sin x với mọi x  R . Giá trị max f ( x ) bằng:
 
 0; 4 



A.

2
2

B. 1

C. -1

D. 0

  
Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x trên đoạn  ;  bằng:
4 2

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A.

2
2

B. 0

C. 1

D. -1

−2 x 2 + 3, khi x   −2;1

Câu 30: Giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =  3
trên đoạn
1

x
+
,
khi
x

1;5
(


4
4

−2;5 lần lượt là:
A. 4; -5

B.4, không tồn tại GTNN

C. 1;-5

D. 4; 1

3

Câu 31: Cho hàm số f ( x ) = 3x + 4 x − 6 với tập xác định D =  ; +  . Gá trị biểu thức
2

2

2

A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:

 3;6
  3;6
A. A = 255 − 18 6 + 108 2

B. A = 18 + 3 2

C. A = 9 + 6

D. A =

9
2

7

Câu 32: Cho hàm số f ( x ) = 4 x + 5x − 7 với tập xác định D =  ; +  . Giá trị của biểu
5

2

2

thức A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:

 4;5
  4;5
A. A = 20 + 3 2

B. A = 149 − 32 6 + 120 2

C. A = 16 + 13

D. A =

28
5

4

Câu 33: Cho hàm số f ( x ) = 5 x + 6 x − 8 với tập xác định D =  ; +  . Giá trị của biểu
3

2

2

thức A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:

 5;6
  5;6
A. A = 30 + 2 7

B. A = 25 + 22

C. A = 281 + 120 7 − 50 22

D. A =

20
3

9

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = 6 x + 7 x − 9 với tập xác định D =  ; +  . Giá trị của biểu
7


2

2

thức A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:

 3;4
  3;4
Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. A =

54
7

B. A = 24 + 19
D. A = 259 + 48 19 − 72 3

C. A = 18 + 2 3

Câu 35: GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) =
A. Không tồn tại GTLN, GTNN
C. Không tại tại GTLN,

1
2

4x − 3
trên đoạn  4;6 lần lượt là:
5x + 6

B.

7
; không tồn tại GTNN.
12

D.

7 1
;
12 2

Đáp án
1-A

2-A

3-A

4-A

5-D

6-C

7-A

8-B

9-A

10-A

11-A

12-B

13-B

14-A

15-D

16-A

17-D

18-C

19-D

20-C

21-B

22-D

23-A

24-C

25-D

26-A

27-A

28-A

29-B

30-D

31-A

32-B

33-C

34-D

35-D

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Đáp án A
❖ Phân tích
y = f ( x ) = 3x +

 f '( x ) = 3 −

1
− 2, D = R \ 0
3x

1
9x2 − 1
=
3x 2
3x 2

f '( x ) = 0  9x2 − 1 = 0  x 
1
f   = 0; f
3

1

.
3

 1
 −  = −4
 3

BBT:
−

x

−

f’(x)

0

1
3
||

0

f(x)

1
3

+

0

−

−

+

+

-4

0

− Theo bảng biến thiên, ta có:
− Không tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Vậy đáp án A là chính xác
❖ Sai lầm thường gặp:
B. Đáp án V sai vì min f ( x )  max f ( x ) , x  D nên loại nhanh đáp án B.
D

D

Chú ý để tránh nhầm lẫn min f ( x )  min f ( x ) = 0 ; max f ( x )  max f ( x ) = −4
D

( 0; + )

D

( − ;0 )

− Vì:
Theo định nghĩa, ta có f ( x )  0, x  ( 0, + ) thì không nhất thiết f ( x )  0, x  D
Theo định nghĩa, ta có f ( x )  −4, x  ( −;0) thì không nhất thiết f ( x )  −4, x  D
C. Đáp án C sai vì:
Theo định nghĩa, ta có f ( x )  0, x  ( 0, + ) thì không nhất thiết f ( x )  0, x  D .
Nên min f ( x )  min f ( x ) = 0
D

( 0; + )

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta cũng có thể dùng phản chứng để chứng minh điều này.
Giả sư min f ( x ) = 0 theo định nghĩa, ta có:
D

f ( x )  0, x  D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 ) = 0
Mà theo bảng biến thiên trên, ta có:
Tại x = −

1
 1
thì f ( x ) = f  −  = −4  0 nên điều ta giả suer ban đầu là sai.
3
 3

Điều đó chúng tỏ min f ( x )  0 .
D

Vậy loại đáp án C
D. Đáp án D sai.
Chứng minh
Giả sử min f ( x ) = − . Theo định nghĩa ta có:
D

f ( x )  −, x  D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 ) = −
Vì x  D, f ( x )  R nên không tồn tại x0  D sao cho f ( x0 ) = −
Vậy giả thiết phản chứng sai, chứng tỏ min f ( x )  − . Loại đáp án D
D

Tương tự, ta cũng chứng minh được max f ( x )  − .
D

Tổng kết:
• Xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 hàm số phải xét trên toàn bộ tập xác định của
hàm số đó.
• Giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 hàm số (nếu có) là số hữu hạn, tức là:

−  min f ( x )  max f ( x )  +
D

D

Câu 2: Đáp án A
❖ Phân tích
 16 4 

− TXĐ: D =  − ;  , y = f ( x )
 3 3

− Xét hàm số y trên đoạn 0;1 .
− Ta có : y ' =
y' = 0 

3
3
+
2 4 − 3x 2 3x + 16

1
1
−
=0
3x + 16
4 − 3x

Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải