CHỦ đề 2 vấn đề 2 các DẠNG TOÁN về CỘNG TRỪ, NHÂN, CHIA số PHỨC image marked

VẤN ĐỀ 2: CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỘNG TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC
LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG
Phép cộng và phép trừ
- Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i
Minh họa:
1)

(11 + 8i ) + ( 44 −10i ) = (11+ 44) + (8 −10) i = 55 − 2i.

2)

(11 + 8i ) − ( 44 −10i ) = (11 − 44) + (8 +10) i = −33 +18i.

Phép nhân
- Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i 2 = −1 trong kết
quả nhận được.

( a + bi )( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i.
Minh họa:
1)

(1 + 4i )( −3 + i ) = ( −3 − 4) + (1 −12) i = −7 −11i

2)

(1 + 3i ) ( −3 + i ) = ( −3 − 3 ) + (1 − 3 3 ) i

Chú ý

- Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các
số thực.
Tổng và tích của hai số phức liên hợp
- Cho số phức z = a + bi. Ta có:

z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a
z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 − ( bi ) = a 2 + b 2 = ( z )
2

2

+ Tổng của một số phức với một số phức liên hợpcủa nó bằng hai lần phần thực của số phức
đó.
+ Tích của một số phức với một số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số
phức đó.
Minh họa:
1) z = 5 + 4i; z + z = ( 5 + 4i ) + ( 5 − 4i ) = 2.5 = 10.

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2) z = 5 + 4i; z.z = ( 5 + 4i )( 5 − 4i ) = 52 − ( 4i ) =
2

(

52 + 4 2

)

2

= 41.

Phép chia
- Trong thực hành, để tính thương

c + di
, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của
a + bi

a + bi .
Minh họa:
1)

10 + i (10 + i )( 2 + 3i ) 17 + 32i 17 32
=
=
= + i.
2 − 3i ( 2 − 3i )( 2 + 3i )
13
13 13

2)

(10 + i ) 2 + 3i 20 − 3 + 2 + 10 3 i 20 − 3 2 + 10 3
10 + i
=
=
=

+
i.
7
7
7
2 − 3i
2 − 3i 2 + 3i

(

(
)(

)

)

(

)

BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính module của số phức sau: w = 1 + i + z = 8 − i, biết 2 + iz +
A. w = 53

B. w = 65

C. w = 65

2. (1 + 2i )

= 7 + 8i
1+ i
D. w = 53

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta tìm số phức z trước sau đó mới suy ra w = 1 + i + z.
Tương tự các câu trên ta tìm ra được: z = 7 − 2i.
Suy ra: w = 1 + i + z = 8 − i  w = 65

 Chọn B.
Ví dụ 2: Đẳng thức nào sau đây đúng:
A. z.z  z .z

B.

z ' z. z '
= 2
z
z

C. z.z = z 2

D. z + z = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

z.z = ( a − bi )( a + bi ) = a2 + b2 = z 2
 Chọn C.
Ví dụ 3: Đẳng thức nào sau đây sai:
A. z = − z = z

B.

z ' z. z '
= 2
z
z

C. z.z = z 2

D. z1.z2 = z1 . z2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Cho z = a + bi
Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. z = a 2 + b2 = z = a 2 + ( −b ) = − z
2

B. z.z = ( a − bi )( a + bi ) = a2 + b2 = z 2

(

) (

)(

)

C. z1 z2 = ( z1.z2 ) . z1.z2 = z1.z1 . z2 z2 = z1 . z2  z1.z2 = z1 . z2
2

2

2

 Chọn B.
Ví dụ 4: Đẳng thức nào sau đây đúng:
A. z.z  z .z

B. z −1 = z

−1

C. z.z = 1

D. z + z = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

1
1
1 1
−1
z. = 1  z . = 1  =  z −1 = z
z
z
z
z

 Chọn B.
Ví dụ 5: Đẳng thức nào sau đây đúng:
A.

z
z1
= 1
z2
z2

B.

1 z
=
z z

C. z.z = 1

D. z + z = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

z1
z
−1
= z1.z2−1 = z1 . z2 = 1
z2
z2
 Chọn A.

BÀI TẬP MINH HỌA
MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT
Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)
-

Ấn  MODE 2 (CMPLX) để vào toán số phức.

-

Sau khi ấn  MODE  ( CMPLX ) , ấn  ENG  ( i ) để hiện i.

-

Phím CALC  dung để thay giá trị và tính.
Áp dụng:

1) Nhập

2) Nhập

(( 2 + 3i ) + ( 4 − 5i )) ( 4 − i ) , nhấn
( ( 2 + 3i ) + ( 4 − 5i )( 4 − i ) )
2i (1 − i )

= , màn hình sẽ hiện 22 − 14i

, nhấn = , màn hình sẽ hiện 2 − 9i

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

3) Nhập X + 2Y , nhấn CALC , màn hình sẽ hiện X ? , nhập 1 + i , nhấn = , màn

(

)

hình sẽ hiện Y ? , nhập i 2 + 3 , nhấn = , màn hình sẽ hiện 7 + 1 + 2 2 i . Ta

(

được đáp án trên màn hinh là kết quả của tổng (1 + i ) + 2 i 2 + 3

)

Một số công thức nhanh
1)

z=z

6)

z z'= z z'

1)

z = z

7)

z + z'  z + z'

2)

z = z = zz

8)

zz ' = z.z '

3)

z =0 z =0

9)

zz ' = z . z '

4)

z =0z =0

10)

z z
  = ( z '  0)
 z' z'

2

2

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Tính module các số phức sau. (Từ câu 1 đến câu 4).
Câu 1:

A.

2 3 +i 2
−4i 3 + 3 2

3 29
33

 1− i 
Câu 2: 

 1+ i 

B.

C.

681
28

D.

231
33

3

A. -1
 1− i 
Câu 3: 

 1+ i 

231
28

B. i

C. 1

D. -i

B. 1

C. -i

D. i

B. 104

C. 102

D. 102

2

A. -1
Câu 4: z = 2i (1 − 5i )
A. 104
Câu 5: Cho số phức z =
A. 0

1
3
1− z + z2
−
i , module của số phức w =
là:
2 2
3 + 2z

B. -1

Câu 6: Tìm a 0 để z = 0 , biết z =

C. 1

D. -i

a+i a
:
a −i a

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

A. a=0 hoặc a=-i

B. a=0 hoặc a=i

C. a=-i

D. a  0, a  i, a = −i
Câu 7: Tính module của số phức sau z =
50
2

A.

B.

4 − 3i

(1 − i )

3

5 2
4

:

C.

1+ 7
2

D.

(1 + i 3 ) + (1 − i 3 )
Câu 8: Xác định phần ảo của số phức sau z =
5

(1 − i )

B. −8

A. 8
Câu 9: Cho số phức z =

A.

4

5 2
2

5

(1 + i )

4

:

C. 0

D. i

1+ i
, giá trị của biểu thức M = 1 + z + z 2 + ... + z18 là bao nhiêu:
2

2+ 2 2+ 2
−
i
2
2

B.

2− 2 2− 2
+
i
2
2

C.

1+ i
2− 2

D.

1− i
2− 2

Câu 10: Kết quả của phép tính (1 + 3i )(1 + 2i ) là:
A. −5 + 5i

1

Câu 11: z =

1
3
−
i
2 2

1 3 3
i
A. − +
4
4

B.

 1+ i 3 
Câu 12: w = 

 1+ i 

1

3
+
i
2 2

2 − 2i

(
2 − 6 + (6

)(

1 3 3
+
i
4
4

D.

C. (1 + i ) 2

B. 1 + 2i

(

C.

(

D. 1 + 2i

))

2 + 3 2 −4 i

)
2 + 6) i

(

)

A. 6 − 6 2 − 6 + 6 2 i

B. 6 2 − 6 − 6 2 − 6 i

C. 6

D. −6 − 6 2 + 6 − 6 2 i

Câu 14: w =
A. −1

5 2
2

3

A. i − 2

Câu 13: v =

D. 5 (1 + i )

C. −5 (1 + i )

B. 5 − 5i

(

)

u v + v u .i
v u − u v .i
B. i

C. 1

D. − i

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 15: Tìm phần ảo của số phức sau
A.

−2b
a+b

B.

−2a
a+b

1
2

B.

2009

 1− i 
+

 2

2

Câu 17: Tìm số phức sau w = (1 − i )
A. −21008

D.

2a − 2b
a+b

2009

:
C. 1

D. − 2

C. −2i

D. 2i

C. 1

D. − i

2016

B. 21008

 1+ i 
Câu 18: Tìm số phức sau u = 

 1− i 

A. −1

2b − 2a
a+b

C.

 1+ i 
Câu 16: Tính số phức sau z = 


 2
A.

a +i b
b +i a
−
:
a −i b
b −i a

35

B. i

Câu 19: Giá trị của a là a = i 2014 + i 2015 + i 2016 + i 2017
A. a =

2
i −1

B. a =

2
1− i

C. a =

1
i −1

D. a = 0

Câu 20: Tìm a và v là một số thuần ảo, biết:
1
 i

3
3
v =  sin 5a + i.
cos 5a  .  − sin 6a +
cos 6a  :
2
2
2
 2


A.


22

+

k
(k 
11

)

B. −


22

+

Câu 21: Tìm phần thực của số phức
A. 0

k
(k 
11

)

C.

k
(k 
11

1
5

B. −1

B.

2 k

(k 
11

)

170
10

D. − i

C. 1

C.

iz − 2
là:
z −i

2
5

Câu 23: Tìm điều kiện của a, b, c 0 để số phức sau có độ dài bằng 0, v =
A. a = b = c

D.

1
i

Câu 22: Cho số phức z = 1 − 2i , module của số phức a =

A.

)

B. c = −b, a = bc

C. c = −b, a 2 = b2

D.

3
10

a + bi
:
a − ci

D. Không tồn tại

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 24: Tìm tất cả các số nguyên dương n để z " là số thực, biết z =

B. n = 6k , k  *

A. n = 5k , k  *

1
3 1

− i
2 2

C. n = 8k , k  *

D. n = 7k , k  *

C. 2 − i

D. i

Câu 25: z − ( 2 + 3i ) .z = 1 − 9i
B. 1 + 2i

A. 2 + i
Câu 26: (1 − 2i ) .z −
A. −

2−i
= ( 3 − i ) .z
1+ i

1 7
− i
10 10

B.

1 7
− i

10 10

(

C.

1 7
+ i
10 10

D. −

C.

1 1
− i
3 3

D.

1 7
+ i
10 10

)

Câu 27: ( 2 z − 1) . (1 + i ) + z + 1 . (1 − i ) = 2 − 2i
A.

1

. ( i + 1)
3

1 1
B. − − i
3 3

1 1
+ i
3 3

Câu 28: Cho số phức z,. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z có phần ảo gấp rưỡi phần thực và
phần ảo của z là nghiệm của phương trình x2 − 5 x + 6 = 0
A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Câu 29: Cho số phức z. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z có phần thực gấp đôi phần ảo và
sai khác nhau một đơn vị
A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Câu 30: Số phức có tổng bình phương phần thực và phần ảo lớn nhất trong số các số phức
tìm được là:
9
9
A. z = −3 − i hoặc z = 3 + i
2
2

9
9
B. z = −3 − i và z = 3 + i
2
2

C. z = −2 − 3i hoặc z = 2 + 3i

D. z = −2 − 3i và z = 2 + 3i

Câu 31: Tính giá trị của biểu thức sau: M = 2 − i + 2 + i
A.

5 −1

B.

5 +1

 3 1 
Câu 32: Rút gọn z = 

− i 
 2 2 
A. −

3 1
− i
2 2

B.

3

C. 4 + 2 5

D.

4+2 5

3

 3 1 
. 
+ i  :
 2 2 

3 1
− i
2 2

C.

1
3
+
i
2 2

D. −

3 1
+ i
2 2

Câu 33: Tìm a , b để z = 0 , biết z = ( a −10i ) . (10 + bi )
Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. a, b =10, −10 −10,10

B. a, b =10, −10 −10,10

C. a, b =−10,10  10,10

D. Một kết quả khác

 3 4 
Câu 34: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện sau z = z.  − − i 
 5 5 

A. z = 4 − 2i hoặc z = 1 − 2i

B. z = 1 + 2i hoặc z = 4 + 2i

C. z = 2 − 2i hoặc z = 1 − 4i

D. z = 4 − 2i hoặc z = 2 + i

Câu 35: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện sau z = − z.i
B. z = −2 + 2i

A. z = −1 −1i

C. z = −2i

D. z = 0

Câu 36: Số phức z nào sau đây thỏa: 13.z = z. (12i − 5)
C. z = 2 − 3i

B. z = 3 − 2i

A. z = 1 − 3i

(

D. z = 4 + 6i

)

Câu 37: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: z − 4 .4i = 13i − z

A.

1
. ( −36 − 9i )
5

1
C. − . ( 36 + 9i )
5

1
B. − . ( 36 − 9i )
5

(

D.

1
. ( 36 − 9i )
5

)

Câu 38: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: z − 4 = 13z − 2i
1 1
A. z = − + i
3 7

B. z =

1 1
+ i
7 3

Câu 39: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: 10 z.

6−i
− ( 5 + 5i ) .z = 12
5 − 5i

B. z = −5 + i

A. z = −5 − i

C. z = 5 + i

Câu 40: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: z + 2.
2

B. z = 1 + 8i

A. z = −1 − 8i

1
D. z = . ( −2 + i )
6

1
C. z = − . ( 2 + i )

6

D. z = 5 − i

z −i
− z.z = 6i + 4 z + z
1+ i

(

)
D. z = i

C. z = −i

Câu 41: Trong các số phức z thỏa z + 2i = 5 , có module lớn nhất
A. z = 1 − 2i

B. z = −1− 2i

Câu 42: Tìm số phức 3z + 4 z và
A. 7a + bi và −100.
C. 7a − bi và 100.

b + ai
a 2 + b2

b + ai
a 2 + b2

D. z = −7i

C. z = 3i

100i
, với z = a − bi
z

B. −7a + bi và −100.
D. −7a + bi và 100.

Câu 43: Tìm phần thực của các số phức −6z + 14z + 2 và

b − ai
a 2 + b2

b − ai
a 2 + b2

17i
, với z = mn − ni
z +1

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. 8mn + 2 và

17n

( mn + 1)

C. −8mn − 2 và

B. 8mn − 2 và −

2

17n

( mn − 1)

D. 8mn + 2 và

2

Câu 44: Tìm module của số phức 8z biết z =

A. 8z = 8 + 4 3

B. 8z = 4 + 8 3

1− i

(1 − 3i )

2

17 n

( mn + 1)

2

17n

( −mn + 1)

2

:

C. 8 z = 2 2

D. 8z = 8 + 4 3

Câu 45: Tìm phần ảo của số phức z biết z = ( 5 − i ) . (1 − 5i ) − 24i :
A. −50

C. −50i

B. 50

Câu 46: Tìm số phức z biết z − i = z − 2 và
A. z = 2 + 2i; z =
C. z =

2 2
− i
3 3

D. 50i

z
=i:
z

B. z = 2 − 2i; z =

3 3
+ i
2 2

D. z =

2 2
− i
3 3

2 2
− i
3 3

(

)

Câu 47: Tìm số phức z biết z − 2 = 2 và phần thực của ( 2 + i ) . z − 1 bằng 0:
A. z =

3
9 1
+ i; z = − − i
2
10 5

B. z =

3
9 1
C. z = − + i; z = − − i
2
10 5

3
9 1
+ i; z = − i
2
10 5

3
9 1
D. z = − + i; z = − i
2
10 5

(

)

Câu 48: Tìm số phức z biết z − 2i = 5 và ( z + 8) . z − 2i là số thực:
A. z = 4 − 3i; z = −4 − i

B. z =

36 43
− i; z = −4 − i
17 17

C. z = 4 − 3i; z = 4 − i

D. z =

36 43
− i; z = 4 − i
17 17

Câu 49: Tìm số phức z thỏa mãn ( z − i ) .(1 + 3i ) + (1 + 2 zi ) . (3 + 6i ) = 15 + 16i
A. z = 0

C. z = −i

B. z = 1

(

D. z = i

)

Câu 50: Tính module số phức sau ( 2 z − 1)(1 + i ) + 1 + z (1 − i ) = 2 − 2i
A. z =

3
2

B. z =

2
3

C. z =

2
9

D. z =

2
3

Câu 51: Tính module của số phức z sau, biết: (1 + 2i ) .z + z = 1 − 9i
2

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. z = 5

C. z =

B. z = 5

449
12

D. z = 0

Câu 52: Đẳng thức nào sau đây đúng:
A. Với n là số nguyên âm, thì i n 1, −1, i, −i
B. z − z luôn là một số thực
C. z.z = 1
D. z1 + z2 = z1 + z2
Câu 53: Giá trị đúng của biểu thức sau là z1 + z2 + z1 − z2
2

(

)

(

)

(

2

(
)

: 2. z1 + z2

C. z1 + z2

2

A. i n 1, −1, i, −i n 

B. z −1 = − z

−1

C. z.z = i

D. z − z = 0

A. 4. z1 + z2
2

2

B.

2 z1 + z2
2

2

2

2

2

)

D.

Câu 54: Câu nào sau đây đúng:

Câu 55: Câu nào sau đây đúng:
A. Với z = a + bi thì số phức liên hợp của z là z = − ( a + bi )
B. z −1 = − z
C. z.z là một số thực dương.
D. z = z  z 
Câu 56: Câu nào sau đây đúng:
A. Module của một số thực là một số thực.
B. Module của một số ảo là một số ảo.
C. Số phức được biểu diễn dưới nhiều dạng đại số khác nhau.
D. Với z = a + bi thì z = a 2 + b 2 được gọi là module của số phức z
2

Câu 57: Công thức nào sau đây đúng:

C.

(

B. z1 + z2 + z1 − z2 = 2. z1 + z2

A. −z = −a + bi

2

z
z1
= 1
z2
z2

2

2

2

)

D. i 4 n+1 = −i, n  *

Câu 58: Cho hai số phức: z = a + bi và z ' = a − bi . Phát biểu nào sau đây sai:
A. z = z '

B. z ' = z

C. z + z ' = 2a

D. z − z ' = −2bi

Câu 59: Câu nào sau đây đúng:
Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. z = − z thì z là số thuần ảo.
B. Module của một số thuần ảo là một số thuần ảo.
C. Số phức được biễu diễn dưới nhiều dạng đại số khác nhau.
D. Với z = a + bi thì z 2 + ( z ) là số thuần ảo.
2

Câu 60: Điều nào sau đây đúng:
A. z = z thì z là số thuần ảo
B. zi 2 = i 2 . z
C.

z−z

(z )

3

+ z3

là số thuần ảo. (với mọi số phức sao cho biểu thức xác định)

D. Với z = a + bi thì z 2 = a 2 + b2 + 2abi
Câu 61: Điều nào sau đây đúng. Khi có một số phức bất kì:
1
(z + z )
2

A. Phần thực của z là
B. Phần ảo của z là

1
(z + z )
2

C. Với z = a + bi, a, b 

, thì phần thực của số phức

D. Với z = a + bi, a, b 

, thì phần ảo của số phức

z −i
a 2 − b2 − 1
là: 2
2
z +i
a + (b − i )

z −i
a
là: 2
2
z +i
a + (b − i )

Câu 62: Tìm phát biểu sai. Khi có một số phức bất kì:
A. z là số thực thì module của z là giá trị tuyệt đối của z .
B. z không là số thực thì module của z cũng lag giá trị tuyệt đối của .
C. Module của một số thuần ảo là một số thực.
D. Mỗi số phức được biểu diễn dưới dạng z = a + bi, a, b  ,i 2 = −1.
Câu 63: Câu nào sau đây sai:
A. z = z

B. zi 2 = z

C.

z1
z
= 1
z2
z2

D. z1 + z2 = z1 + z2

Câu 64: Tìm phát biểu sai.
A. Tập hợp các số thực là tập con của số phức.
B. Module của một số phức bất kì luôn luôn dương.
C. Đơn vị ảo được kí hiệu là i sao cho i 2 = −1 , i được gọi là số Euler.
Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


D. Mỗi số phức được biễu diễn dưới dạng z = a + bi, a, b  , i 2 = −1 .
Câu 65: Tìm phát biểu sai. Khi có một số phức bất kì:
A. Phép chia số phức được thực hiện bằng cách nhân tử số với số phức liên hợp của mẫu

số.
B. Phép cộng số phức có tính giao hoán và kết hợp.
C. Phép nhân, lũy thừa các số phức được thực hiện như trong tập số thực.
D. Tích hai số phức có thể là số thực cũng có thể là số phức.
Đáp án
1-D

2-C

3-B

4-B

5-A

6-C

7-B

8-C

9-C

10-D

11-B

12-B

13-B

14-B

15-D

16-B

17-D

18-D

19-D

20-D

21-D

22-A

23-D

24-B

25-C

26-C

27-C

28-A

29-B

30-B

31-D

32-C

33-D

34-A

35-A

36-C

37-B

38-A

39-C

40-B

41-D

42-C

43-A

44-C

45-B

46-C

47-B

48-D

49-C

50-B

51-A

52-D

53-D

54-A

55-D

56-A

57-C

58-D

59-A

60-C

61-A

62-B

63-D

64-B

65-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án D
❖ Phân tích:
Ở các bài toán dao động tính module của số phức thông thường ta phải thực hiện các
phép tính sau đó mới áp dụng công thức: với z = a + bi thì z = a2 + b2
Ta có: z =

=

(

)(

2 3 + i 2 . 3 2 + 4i 3
2 3 +i 2

2 3 +i 2
=
=
2
−4i 3 + 3 2 3 2 − 4i 3
3 2 − 4i 3

(

(

)

2 3.3 2 − 4 3. 2 + 2 3.4 3 + 3 2. 2 .i

(3 2 ) + ( −4 3 )
2

2

=

)

)

2 6 + 30i
66

2

 6   15 2
231
 z = 
 +   =
33
 33   33 

Câu 2: Đáp án C
Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Tương tự
3
 1 − i   (1 + i ) . (1 − i )   (1 − 1)( −2 ) i 
z =
 =
 = ( −i ) = i  z = 1
 =
2
2
2
 1+ i   1 +1
 

3

3

3

Câu 3: Đáp án B
 1 + i   (1 + i )(1 + i )   2i 
2
z =
 =   = i = −i  z = 1
 =
2
2
 1− i   1 +1
 2
2

2

2

i 4 n = 1
 4 n +1
=i
i
Nên nhớ:  4 n + 2
= −1
i
i 4 n +3 = −i

Câu 4: Đáp án B

z = 2i (1 − 5i ) = 2i −10i 2 = 10 + 2i  z = 102 + 22 = 104
Câu 5: Đáp án A

Với z =

1
3
−
i, ta thay vào:
2 2
2

1
3  1
3 
1
3 1
3  1
3 
1
−
−
i
+
−
i
+
i
+
−
i
.
−

i







2 2  2 2 
2 2
2 2  2 2 
1− z + z2


=
=
3 + 2z
1
3 + 2 − 3.i
3 
3 + 2.  −
i
2 2 
1
3 1
3
+
i− −
i
2 2 =0

=2 2
5 − 3i

 z =0
Câu 6: Đáp án C

(

)(
( )

)

2
a+i a . a+i a
a+i a
a 2 − a + 2a a .i a − 1 + 2 a .i ( a + i )
z=
=
=
=
=
0, vì ( a  0)
2
2
2
a
+
a
a

+
1
a
+
1
a −i a
a + a

(a + i)
z =0
a +1

2

= 0  a = −i

Câu 7: Đáp án B

z=

4 − 3i

(1 − i )

2

=

4 − 3i

(1 − i ) . (1 − i )
2

=

4 − 3i
4 − 3i ( 4 − 3i ) . ( −2 + 2i )
=
=
2
2
−2i. (1 − i ) −2 − 2i
( −2 ) + ( −2 )

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2

2

5 2
 1 7
 z = −  +  =
4
 4 4

Câu 8: Đáp án C

(1 + i 3 ) + (1 − i 3 )

5

z=

(1 − i )

(1 + i )

4

4

((1+ i 3 ) ) .(1+ i 3 ) + ((1− i 3 ) ) .(1− i 3 )
2 2

5

=

2 2

((1 − i ) )

2 2

((1 + i ) )

2 2

( −2 + 2 3i ) .(1 + i 3 ) + ( −2 − 2 3i ) .(1 − i 3 )

=
2

2

( −2i )

( 2i )

2

2

( −8 − 8 3i ).(1 + i 3 ) + ( −8 + 8 3i ) .(1 − i 3 )
=
2

−4

=

−4

16 − 16 3i 16 + 16 3i
+
−4
−4

z=−

32
= −8
4

Ta có thể viết: giả sử số phức z có dạng z = a + bi , trong trường hợp của bài này thì

 a = −8

b = 0
Suy ra: phần ảo của số phức z bằng 0.
Câu 9: Đáp án C
M = 1 + z + z 2 + ... + z16

Ta viết lại: M = z 0 + z + z 2 + ... + z16

u = 1
Ta thấy biểu thức của M là tổng của 19 số hạng đầu của cấp số nhân với  1
q = z
❖ Nhắc lại: Cấp số nhân: dãy u1 , u2 ,..., un là cấp số nhân có công bội q, thì tổng của n

1 − qn
số hạng đầu tiên là: Sn = u1.
1− q
Suy ra: M = 1.

1 − z19 1 − z19
=
1− z
1− z

❖ Chú ý: Nếu gặp bài toán có số mũ của z quá lớn, thì ưu tiên tính những lũy thừa
bậc hai, bậc ba trước, sau đó mới biến đổi các lũy thừa bậc cao về đơn giản. Ví dụ:

z100 = z 99 .z = ( z 3 ) .z, nếu như tìm ra z 3 đơn giản thì bài toán được giải quyết.
33

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 1 + i   1 + i  2i
z2 = 
 .
= =i
 2 2 2

i 4 n = 1
 4 n +1
=i
i
Nên nhớ:  4 n + 2
= −1
i
i 4 n +3 = −i


z18 = ( z 2 ) = i9 = i 4.2+1 = i
9

 1+ i  1
z19 = z18 .z = i. 

( −1 + i )
=
2
 2

 −1 + i 
1− 

1− z
2 +1− i
2 
 M = 1.
= 
=
=
1+ i
1− z
2
−
1
−
i
1−
2
19

(

)(
( 2 −1)

2 +1− i .

2 −1 + i
2

+ 12

)=

2 + 2i
1+ i
=
4−2 2 2− 2

Câu 10: Đáp án D

(1 + 3i ) .(1 + 2i ) = (1 − 6) + ( 2 + 3) i = −5 + 5i
Câu 11: Đáp án B
1
3
+
i
1
z
1
1
3
2
2

Ta có:
=
= +
i (Sử dụng công thức = 2 )
2
2
z z
2 2
1
3
−
i  1  +  3 
 
2 2
2  2 

Hoặc: coi 1=1+0. i , rồi thực hiện phép chia số phức:
1

1 + 0.i
=
1
3
−
i
2 2

(1 + 0.i ) 

+

3 
i
2 

2
2
2
1  3

  +
2  2 

=

1
3
+
i
2 2

Câu 12: Đáp án B

(

) (
3

) (
2

) (

)(

)

1+ i 3
1+ i 3 . 1+ i 3
−2 + 2 3i . 1 + i 3
 1+ i 3 
−8
w = 
=
=
=
=

3
2
2i. (1 + i )
−2 + 2i
(1 + i )
(1 + i ) . (1 + i )
 1+ i 
3

= −8.

( −2 − 2i )

2
2
( −2 ) + ( −2 )

= 2. (1 + i )

Câu 13: Đáp án B
Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


v=

(

)(

))

(

) ( 2 (3

(

2 + 3 2 − 4 i = 2. 2 − ( −2 ) . 3 2 − 4 +

2 − 2i .

(

)

(

)

)

2 − 4 + ( −2 ). 2 i

)

= 2 + 6 2 −8+ 6 − 4 2 − 4 2 i = 6 2 −6 − 6 2 −6 i
Câu 14: Đáp án B

w=

(

)(
) (

)

u v + v u .i . v u + u v .i
uv uv − uv uv + ( u 2 .v + v 2 .u ) i
u v + v u .i
=
=
=i

2
2
2
2
u
.
v
+
v
.
u
v u − u v .i
v u − u v

(

)

Câu 15: Đáp án D

a +i b
b +i a
−
= A− B
a −i b
b −i a
Ta tìm A bởi vì ta thấy vai trò của a và b trong hai biểu thức A và B là như nhau. Nên ta
hoàn toàn suy ra được B nếu tính xong A .

A=

a +i b
=
a −i b

A− B =

(

)(

a +i b .

a +i b

a+b

) = a −b + 2

ab .i

a+b

(

a − b + 2 ab .i − b − a + 2 ab .i
a+b

B=

b + i a b − a + 2 ab .i
=
a +b
b −i a

) = 2a − 2b
a +b

Câu 16: Đáp án B
Do bậc số phức có bậc cao nên ta cần đưa nó về dạng z = a + bi . Ta tính lũy thừa bậc hai của
số phức mong tìm được dạng đơn giản hơn.

 1+ i 
z =

 2

2009

 1− i 
+

 2

2009

1004

  1 + i 2 
= 


  2  



1004

2
 1+ i    1− i  
.
 + 
 
 2    2  

 1− i 
.

 2

2i
 1 + i  (1 + i )

 = 2 = 2 = i;
 2
2

2

−2i
 1 − i  (1 − i )


 = 2 = 2 = −i
 2
2

2

Thay vào ta được:
1004  1 − i 
 1+ i 
 1+ i   1− i 
z = i1004 . 
 + ( −i ) . 
=
+
= 2
 2
 2  2  2

i 4 n = 1
 4 n +1
=i
i
Cần nhớ:  4 n + 2
= −1
i
4
n
+
3

i
= −i

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Áp dụng cho bài trên thì:
i1004 = i 4.251 = 1

( −i )

1004

=

(( −i )

)

2 1002

= ( −1)

=1

)

= ( −2i )

1002

Câu 17: Đáp án B
w = (1 − i )

2016

(

= (1 − i )

2 1008

1008

= 21008. ( −i )

1008

(

= 21008. ( −i )

)

2 504

= 21008.1 = 21008

Câu 18: Đáp án D
 1+ i 

Với: u = 

 1− i 

35

1 + i (1 + i )
2i
17
 1+ i 
35
34
2 17
Ta tính trước:
= 2 2 = =iu =
 = i = i .i = ( i ) .i = − (1) .i = −i
1− i 1 +1
2
 1− i 
2

35

Câu 19: Đáp án D
a = i 2014 + i 2015 + i 2016 + i 2017  a = i 2014 . (1 + i + i 2 + i 3 )

Ta có: i 2014 = ( i 2 )

1007

= ( −1)

1007

= −1

Ta nhìn thấy vế sau là tổng của 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là
u1 = i 0 = 1 và công bội q = i , suy ra:
2
1 − i4 1 − (i ) 1 −1
2
3
0
2
3
1 + i + i + i = i + i + i + i = 1.
=
=
=0a =0
1− i
1− i
1− i
2

Câu 20: Đáp án D
Tìm a để v là một số thuần ảo
1
 i

3

3
cos 5a  .  − sin 6a +
cos 6a 
Ta có: v =  sin 5a + i.
2
2
2
 2

1
 3

3
1
=  sin 5a + i.
cos 5a  . 
cos 6a − i. sin 6a 
2
2
2
 2


Do đề yêu cầu: a để v là một số thuần ảo, tức là phần thực của v bằng không. Vậy nên ta chỉ
quan tâm đến phần thực của v .

u = a + bi
Nhắc lại: Với  '
thì ta có: u.u ' = ( a.a ' − b.b ' ) + ( a.b ' + a ' .b ) .i
'

'
u = a + b
Phần thực của số phức v là:

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


1
3
3
 1

A = sin 5a.
cos 6a −
cos 5a.  − sin 6a 
2
2
2
 2

3
3
( sin 5a.cos 6a + sin 6a.cos 5a ) = sin11a
2
4
A = 0  sin11a = 0  11a = k .2  a =

2 k
(k  Z)
11

Câu 21: Đáp án D
Tìm phần thực của số phức
Ta có:

1
:
i

1 −i
= = −i
i 1

Câu 22: Đáp án A

z = 1 − 2i
a=

iz − 2 i. (1 − 2i ) − 2 2 + i − 2 i. (1 + 3i ) −3 + i
=
=
= 2
=
2
z −i
1 − 2i − i
1 − 3i
10
1 + ( −3)
2

2

1
 3 1
 a = −  +  =
5
 10   10 

Câu 23: Đáp án B
v=

2
a + bi ( a + bi )( a + ci ) a − bc + ( ac + ab ) i a 2 − bc ac + ab
=
=
= 2 2+ 2 2i
a − ci
a2 + c2
a2 + c2
a +c
a +c

a 2 − bc
= 0  a 2 = bc
2
2
a +c

(1)

ac + ab
= 0  ac = − ab  c = −b
a2 + c2

(2)

(1)(2)  a 2 = −b 2 (vô lí)
Câu 24: Đáp án B

z=

1
3 1
− i
2 2
2




 1
1
3

 = +
i
2 2
 3 1 
− i


 2 2 

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


3





2
1

 = i  ( z 3 ) = z 6 = i 2 = −1
 3 1 
− i

 2 2 

(z )

3 2

= z12 = i 4 = 1

Vậy với những n = 6k , k  * thì z n = 0
Câu 25: Đáp án C
Đặt z = a + bi , ta tìm a , b .

Ta có: ( a + bi ) − ( 2 + 3i ) . ( a − bi ) = 1 − 9i

 a + bi − ( 2a + 3b + ( 3a − 2b ) i ) = 1 − 9i
 ( −a − 3b ) − ( 3a − 3b ) i = 1 − 9i
−a − 3b = 1 a = 2
Đồng nhất hai vế ta được hệ  

 z = 2−i
3a − 3b = 9 b = −1
Câu 26: Đáp án C
Tương tự câu trên z = a + bi
Ta có: (1 − 2i ) . ( a + bi ) −

2−i
1 
3

= ( 3 − i ) . ( a + bi )   −2a + b −  +  −a − 2b +  i = 0
1+ i
2 
2


1
1


a = 10
−2a + b = 2
1 7



z= − i
10 10
−a − 2b = − 3 b = 7

2  10
Hoặc: z = −

2−i
2−i 1 7
=
= + i.
(1 + i ) . ( 2 + i ) 1 + 3i 10 10

Câu 27: Đáp án C

( 2z −1) .(1 + i ) + ( z + 1) .(1 − i ) = 2 − 2i  ( 2 ( a + bi ) −1).(1 + i ) + (( a − bi ) + 1).(1− i ) = 2 − 2i
1

a=

3
a
−
3
b
=
2


1 1

3
 3a − 3b + ( a + b − 2 ) i = 2 − 2i  

z= − i
3 3
a + b = 0
b = − 1

3
Câu 28: Đáp án A
Giả sử số phức z có dạng: z = a + bi

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 a − 2b = 0
 a = 2
a = 2b


a = 2b
 z = −2 − i

a − b = 1
b = 1

Theo đề ta có: 
 a − b = 1 





a − 2b = 0
a = −2
 a − b = 1  
z = 2 + i

  a − b = −1  
 a − b = 1
 b = −1

Vậy có hai số phức thỏa điều kiện.
Câu 29: Đáp án B
Giả sử số phức z có dạng: z = a + bi
Do đề, a là nghiệm của phương trình: x2 − 5 x + 6 = 0
Nên: a2 − 5 a + 6 = 0
Đặt: a = t ( t  0)  t 2 = a2
 a = 2

t = 2  a = 2
 a = −2
2


Suy ra: t − 5t + 6 = 0  
 a = 3
t = 3  a = 3


  a = −3

Vì các giá trị của a độc lập nên các giá trị của b cũng độc lập. Do đó, có 4 giá trị của a,b nên
có 4 số phức thỏa mãn.
Câu 30: Đáp án A
Ta thành lập được bốn số phức từ kết quả bài trên. Nhưng theo đề thì chỉ cần tính tổng bình
phương, ta cần biết hai thành phần của số phức.
Với: b =

3
9
a thì: a1 = 3  b1 =
2
2

a2 = −3  b2 = −

9
2

a3 = 2  b3 = 3
a4 = −2  b4 = −3
9
9
Dễ thấy: Với z1 = 3 + i và z2 = −3 − i thì thỏa mãn yêu cầu của đề.
2
2

Câu 31: Đáp án D

M = 2−i + 2+i
Ta bình phương hai vế của phương trình:

M2 =

(

2−i + 2+i

)

2

 M 2 = 2−i + 2+i + 2

( 2 − i ).( 2 + i )

Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 M2 = 4+2 5  M = 4+2 5

Câu 32: Đáp án C

 3 1 
z = 
− i 
2
2 


3

5

 3 1  1
3
. 
+ i  = +
i
2
2
2
2



Câu 33: Đáp án D
Đặt số phức z = a + bi
Từ phương trình ta suy ra: z = (10a + 10b ) + ( ab −100) i

10a + 10b = 0
z = 0  (10a + 10b ) + ( ab − 100 ) i = 0  
ab = 100
 b 2 = −100 (vô lí)

Câu 34: Đáp án A
 3 4 
Với phương trình: z = z .  − − i 
 5 5 

Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

 a 2 − b2
3
=−

2
2
z
3 4
a + bi
3 4
a − b + 2abi
3 4

5
=− − i
=− − i
= − − i  a + b
2
2
z
5 5
a − bi
5 5
a +b
5 5
 2ab = − 4
 a 2 + b 2

5
2

2

a = 2b

Giải hệ phương trình ta có hệ nghiệm: 
1
a=− b


2
Câu 35: Đáp án A
z = z .i  Tương tự câu 34.

Câu 36: Đáp án C
Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

13a = −5a − 12b
13. ( a − bi ) = ( a + bi ) . (12i − 5)  13a − 13bi = −5a − 12b + (12a − 5b ) i = 0  
−13b = 12b − 5b
−18a − 12b = 0

12a + 8b = 0
- Bấm máy giải phương trình này ta thấy phương trình có vô số nghiệm.
- Chú ý câu hỏi, đề hỏi số phức nào thỏa mãn điều kiện đã cho, do đó ta tìm mối liên hệ giữa
a và b.
Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

−18a − 12b = 0

 3a = −2b
12a + 8b = 0
- Để cho nhanh, đối với dạng câu hỏi này, ta nên dùng máy tính thay từng đáp án xem thử
đáp án nào thỏa mãn.
Câu 37: Đáp án B
- Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

( a − bi − 4) .4i = 13i − ( a + bi )  4b − ( a − 4) .i = −a + (13 − b ).i
36

a=−

a = −4b
1

5


 z = − ( 36 − 9i )
5
a − b = −9
b = 9

5
Câu 38: Đáp án A
- Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

−1

a = 3
a − 4 = 13a
−1 1

z=
+ i
( a − bi − 4 ) = 13 ( a + bi ) − 2i  
3 7
−b = 13b − 2 b = 1

7
Câu 39: Đáp án C
- Các bạn đặt z = a + bi , thế vào phương trình và giải như câu 36,37,38.
- Tuy nhiên ở đây điều kiện đã cho khá rắc rối 10 z.

6−i
− ( 5 + 5i ) .z = 12
5 − 5i

- Cho nên để cho dễ ta dùng máy tính casio thay từng đáp án và chọn đáp án chính xác.
Câu 40: Đáp án B
Tương tư câu 39.
Dùng phương pháp loại trừ, thay từng đáp án vào dữ kiện đề cho.
Câu 41: Đáp án D
- Đặt: z = a + bi , sau đó dựa vào phương trình của đề, ta được:

a + ( b + 2) i = 5  a2 + (b + 2) = 5
2

- Nhìn cả 4 đáp án thì phần ảo của số phức bằng không ( a − 0 ) , suy ra:

b = 3
Vậy có 2 đáp án thỏa mãn một vế của đề, do module của z = −7i lớn hơn cả
a =0
b = −7
trong hai đáp án còn lại.
Câu 42: Đáp án C
Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


3z + 4z = 3 ( a + bi ) + 4 ( a − bi ) = 7a − bi
100i 100i 100 ( b + ai )
=
=
z
a + bi
a 2 + b2
Câu 43: Đáp án A

−6 z + 14z + 2 = −6 ( mn − ni ) + 14 ( mn − ni ) + 2 = 8mn + 2 − 8ni
17i ( mn + 1 + ni )
17i
17i
=
=
=
z + 1 mn − ni + 1 ( mn + 1)2 + n 2
17i

17i
17i
=
=
z + ni − 1 mn − ni + ni − 1 mn − 1

Câu 44: Đáp án C

z=

1− i

(1 − 3i )

 8z =

8z =

2

=

−1 + 3 1 + 3
+
i
8
8

1− i

(1 − 3i )

2

 −1 + 3 1 + 3 
= 8 
−
i  = −1 + 3 − 1 + 3 i
8
 8


(

( −1 + 3 ) + (1 + 3 )
2

2

) (

)

=2 2

Câu 45: Đáp án B

z = ( 5 − i ) . (1 − 5i ) − 24i = −50i  z = 50i
Câu 46: Đáp án C

z − i = z − 2  a + bi − i = a + bi − 2
 a 2 + ( b − 1) =
2

( a − 2)

2

+ b2

z
a + bi
2
=i
= i  ( a + bi ) = ( a 2 + b 2 ) i
z
a − bi
2
2

a − b = 0

a=b
2
2

2ab = a + b

- Thay vào trên ta được:
a 2 + ( a − 1) =

2

( a − 2)

2

+ a 2  a 2 + ( a − 1) = ( a − 2 ) + a 2  a =
2

2

3
2

Câu 47: Đáp án B
- Đặt: z = a + bi , ta có: ( 2 + i ) . ( a −1 − bi ) = 2 ( a −1) + b + ( a −1 − 2b ) i
Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


- Theo đề: 2 ( a − 1) + b = 0  a =

z−2 = 2 


( 2b −1)

2

( a − 2)

2

b
+ 1 (1)
2

+ b2 = 2

+ b2 = 2  5b2 − 4b − 1 = 0

(2)

3

5b 2 − 4b − 1 = 0 b = 1  a =

2
(1) và (2)  

b
b = − 1  a = 9
a = + 1

2

5
10
Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện: z =

3

9 1
+ i; z = − i
2
10 5

Câu 48: Đáp án B
- Ta đặt: z = a + bi , ( a, b  , i 2 = −1)  z = a − bi.
- Ta có:

z − 2i = 25  a + bi − 2i = 25  a 2 + ( b − 2) = 25  a 2 + ( b − 2) = 25 (*)
2

2

( z + 8) .( z − 2i ) = zz − 2zi + 8 ( z − 2i ) = ( a + bi )( a − bi ) − 2 ( a + bi ) i + 8 ( a − bi − 2i )
= ( a 2 + b 2 + 2b + 8a ) + ( −2a − 8b − 16 ) i

- Vì ( z + 8) . ( z − 2i ) là số thực  −2a − 8b −16 = 0  a = −4b − 8
- Thay vào (*) ta được: ( −4b − 8 ) + ( b − 2 )
2

2

b = −1
 z = −4 − i

= 25 

b = − 43  z = 36 − 43 i
17

17 17



Câu 49: Đáp án C
- Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

( z − i ) . (1 + 3i ) + (1 + 2 zi ) . ( 3 + 6i ) = 15 + 16i
a = 0
 ( a + bi − i ) . (1 + 3i ) + 1 + 2 ( a + bi ) i  . ( 3 + 6i ) = 15 + 16i  
 z = −i
b = −1

Câu 50: Đáp án B
- Tương tự các câu trên, ta cũng đặt z = x + yi , thế vào phương trình, bằng cách đồng nhất
hai vế của đề ta tìm được hệ hai phương trình hai ẩn:

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


1

y=−

x
+
y
=
0



3


3x − 3 y = 2  x = 1

3
2
3

Suy ra: z = x 2 + y 2 =
Câu 51: Đáp án C

Ta đặt: z = a + bi , ( a, b  , i 2 = −1)  z = a − bi

(1 + 2i )

2

.z + z = 1 − 9i  (1 + 2i ) ( a + bi ) + a − bi = 1 − 9i  ( −3 + 4i )( a + bi ) + a − bi = 1 − 9i
2

−5

a=
2
2

−
2

a
−
4
b
=
1

449

 5  7 
3


 z = −  +  =
12
 3   12 
4a − 4b = −9
b = 7
 12
Câu 52: Đáp án D
z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i = ( a1 + a2 ) − ( b1 + b2 ) i = ( a1 − b 1i ) + ( a2 − b2i ) = z1 + z 2

Câu 53: Đáp án D

(

)

(

z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) . z1 + z2 + ( z1 − z2 ) . z1 − z2
2

2

)

= ( z1 + z2 ) . ( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 ) . ( z1 − z2 )
= z1 + z1.z2 + z2 .z1 + z2 + z1 − z1.z2 − z2 .z1 + z 2
2

(

2

= 2 z1 + z2
2

2

2

2

)

Câu 54: Đáp án A
B. sai vì z = a 2 + b 2  − z

−1

=−

1
a +b
2

2

C. sai vì z.z = a 2 + b2

D. sai vì z − z = 2bi.
Câu 55: Đáp án D
A. Hiển nhiên sai
B. z.z là một số thực không âm
Với z = a + bi thì z.z = a 2 + b2  0
D. a, b 

z = z  b = −b  b = 0  z = a 
Câu 56: Đáp án A
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải