Lý thuyết và công thức môn toán 12 chương 2 hàm số mũ và logarit file word image marked

II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LOGARIT

§1. LŨY THỪA

1. Đònh nghóa luỹ thừa
Số mũ 

Luỹ thừa a

Cơ số a

a= nỴ ¥ *

a R

a = an = a.a......a (n thừa số a)

 =0

a0

a = a 0 = 1

a = - n (n Ỵ ¥ *)

a0

a  = a −n =

a =

m
(m Ỵ ¢ , n Ỵ ¥ *)
n

a = lim rn (rn Ỵ ¤ , n Ỵ ¥ *)

m
n

a0

a =a

a0

a  = lim a rn



1
an

= n a m ( n a = b  b n = a)

2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a  0, b  0 ta có:
a  .a  = a  + 

;

a
= a  −

a



; (a  )  = a  . ; (ab)  = a  .b 

•

a
a
;   = 
b
b

a  1: a  a     ;

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


0  a  1: a  a    
• Với 0  a  b ta có:
am  bm  m  0 ;
am  bm  m  0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác

0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức

• Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a .
• Với a, b ³ 0, m , n Ỵ ¥ *, p, q Ỵ ¢ ta có:
n
n

mn

a na
=
(b  0) ;
b nb

ap = ( n a ) (a  0) ;
p

a = mn a
Nế
u

n

n

ab = n a.n b ;

a=

p q
= thì
n m

n

ap =

m q

a (a  0) ;

Đặc

biệt

mn m

a

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a  b thì

n

a nb.

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0  a  b thì
Chú ý:

n

a nb.

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n . Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

C = A(1+ r ) N

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA

Đònh nghóa

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


Số mũ 

Hàm số y = x

 = n (n nguyên dương )

y = xn

 = n (n nguyên âm hoặc

n = 0)

 là số thực không nguyên

Chú ý: Hàm số y =

1
xn

Tập xác đònh D
D=R

y = xn

D = R \ 0

y = x

D = ( 0; + )

không đồng nhất với hàm số y =

n

x (n Ỵ ¥ *) .

Đạo hàm
•

( x ) =  x −1 ( x  0) ;

Chú ý:

( n x ) =

1
n xn−1
n

( u ) =  u −1.u
 vớ
i x  0 nế
u n chẵ
n
.
 vớ
u n lẻ 
 i x  0 nế

( n u ) =

u
n un−1
n

§3. LƠGARIT

1. Đònh nghóa
• Với a  0, a  1, b  0 ta có: loga b =   a = b


Chú ý: loga b có nghóa khi a  0, a  1
b  0
• Logarit thập phân:

lg b = log b = log10 b

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


n

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

 1
ln b = loge b (với e = lim  1 +   2,718281)
 n

2. Tính chất
• loga 1 = 0 ;

loga a = 1;

loga ab = b ;

loga b

a

= b (b  0)

• Cho a  0, a  1, b, c  0 . Khi đó:
+ Nếu a  1 thì loga b  loga c  b  c
+ Nếu 0  a  1 thì loga b  loga c  b  c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a  0, a  1, b, c  0 , ta có:
 b
• loga   = loga b − loga c
c

• loga (bc) = loga b + loga c

• loga b =  loga b

4. Đổi cơ số
Với a, b, c  0 và a, b  1, ta có:
• logb c =

• loga b =

loga c
loga b

hay loga b.logb c = loga c

1
logb a

• loga c =

1



loga c (  0)

§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LƠGARIT

1. Hàm số mũ y = ax (a  0, a  1).
• Tập xác đònh: D = R.
• Tập giá trò:

T = (0; +).

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


• Khi a  1 hàm số đồng biến, khi 0  a  1 hàm số nghòch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thò:
y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

x

a>1

0
2. Hàm số logarit y = loga x (a  0, a  1).
• Tập xác đònh: D = (0; +).
• Tập giá trò:

T = R.

• Khi a  1 hàm số đồng biến, khi 0  a  1hàm số nghòch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thò:
y

y

y=logax

y=logax

O

x

1

x

1

O
a>1
0
3. Đạo hàm
•

( ax ) = ax ln a ;

( au ) = au ln a.u

( ex ) = ex ;

( eu ) = eu .u

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

5

•

( loga x ) = x ln1 a ;

( loga u ) = u lnu a

•

( l n x ) = 1 ( x
x

( ln u ) = u

 0) ;

u

§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƠGARIT

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:
Với a  0, a  1:

b  0
ax = b  
 x = loga b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:

Với a  0, a  1:

a f ( x) = ag( x)  f ( x) = g( x)

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: aM = aN  (a − 1)( M − N ) = 0
b) Logarit hoá:

a f ( x ) = b g ( x )  f ( x) = ( loga b ) .g ( x)
c) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:

f ( x)

, t  0 , trong đó P t là đa thức theo t .
P(a f ( x) ) = 0  t = a
()
P(t ) = 0

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


• Dạng 2:

 a2 f ( x) +  (ab) f ( x) +  b2 f ( x) = 0

 a
Chia 2 vế cho b 2 f ( x ) , rồi đặt ẩn phụ t =  
 b

f ( x)

• Dạng 3: a f ( x) + b f ( x) = m , với ab = 1. Đặt t = a f ( x)  b f ( x) =

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:

f ( x) = g ( x)

(1)

• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1) .
• Dựa vào tính đồng biến, nghòch biến của f ( x ) và g ( x ) để kết luận x0
 f ( x) đồ
ng biế
n vàg( x) nghòch biế
n (hoặ
c đồ
ng biế
n nhưng nghiê
m ngặ
t).
là nghiệm duy nhất: 
u vàg( x) = c hằ
ng số
 f ( x) đơn điệ

• Nếu f ( x ) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì f (u) = f (v)  u = v
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
• Phương trình tích A.B = 0  
B = 0
A = 0
• Phương trình A2 + B2 = 0  
B = 0

f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:

f ( x) = g ( x)

(1)

 f ( x)  M
Nếu ta chứng minh được: 
thì
 g( x)  M

(1) 

 f ( x) = M
 g( x) = M


PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản
Với a  0, a  1:

loga x = b  x = ab

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


a) Đưa về cùng cơ số
Với a  0, a  1:

 f ( x) = g( x)
loga f ( x) = loga g( x)  
c g( x)  0)
 f ( x)  0 (hoặ

b) Mũ hoá
Với a  0, a  1:

loga f ( x)

loga f ( x) = b  a

= ab

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghóa.
• Với a, b, c  0 và a, b, c  1: alogb c = clogb a

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.

a f ( x)  ag( x)

 a  1
  f ( x)  g( x)
 
 0  a  1
  f ( x)  g( x)

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.

– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

aM  aN  (a − 1)( M − N )  0

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


 a  1
  f ( x)  g( x)  0
loga f ( x)  loga g( x)   
 0  a  1
 0  f ( x)  g( x)

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

loga B  0  (a − 1)(B − 1)  0 ;

loga A

loga B

 0  ( A − 1)( B − 1)  0

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

10