Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan thầy bảo file word image marked

I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu hàm số f ( x) đồng biến trên K thì f '( x)  0 với mọi x K
b) Nếu hàm số f ( x) nghịch biến trên K thì f '( x)  0 với mọi x K
•

[ f ( x) đồng biến trên K ]

 [ f '( x)  0 với mọi x K ]

•

[ f ( x) nghịch biến trên K ]

 [ f '( x)  0 với mọi x K ]

[ f ' ( x ) = 0 với mọi x K ]

 [ f ( x) không đổi trên K ]

Định lý 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f ' ( x )  0 với mọi x K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K
b) Nếu f ' ( x )  0 với mọi x K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K
c) Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi x K thì hàm số f ( x) không đổi trên K
•

[ f ' ( x )  0 với mọi x K ]

 [ f ( x) đồng biến trên K ]

•

[ f ' ( x )  0 với mọi x K ]

 [ f ( x) nghịch biến trên K ]

Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


a) Nếu f '( x)  0 với mọi x K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f ( x) đồng biến trên K .
b) Nếu f '( x)  0 với mọi x K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K .

Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0) , ta có

f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c .
a) Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0)
đồng biến trên R  f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c  0 x  R
b) Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0)
nghịch biến trên R  f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c  0 x  R

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


NHẮC LẠI

Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) ta có:
•

f ( x) ³ 0 " x Ỵ R

Û

•

f ( x) £ 0 " x Ỵ R

Û

ìïï D £ 0
í
ïïỵ a > 0
ïìï D £ 0
í
ïïỵ a < 0

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f ( x ) , ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới
hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến,
nghòch biến của hàm số.
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số y = f ( x, m) , m là tham số, có tập xác đònh D .

• Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
• Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m .
Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y = ax2 + bx + c thì:

 a = b = 0
 c  0
• y '  0, x  R   
 a  0
   0
 a = b = 0
 c  0
y '  0, x  R   
 a  0
   0
3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x) = ax2 + bx + c :

• Nếu   0 thì g ( x ) luôn cùng dấu với a .

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

•


• Nếu  = 0 thì g ( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = −

b

)
2a

• Nếu   0 thì g ( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g ( x ) khác dấu
với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g ( x ) cùng dấu với a .
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x) = ax2 + bx + c với số 0:

  0

• x1  x2  0   P  0
S  0
  0

0  x1  x2   P  0
S  0

•

• x1  0  x2  P  0

5) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) ( x1; x2 )
bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

• Tính y .
• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:
a  0
  0


• Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − 4x1x2 = d2

(1)
( 2)

• Sử dụng đònh lí Viet đưa ( 2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f ( x)  0 (hoặc , ,  ). Xét hàm số y = f ( x)
trên tập xác đònh do đề bài chỉ đònh.

• Xét dấu f ' ( x ) . Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
• Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ' ( x ) thì ta đặt h ( x ) = f ' ( x ) và quay
lại tiếp tục xét dấu h ' ( x ) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng:

f ( a)  f ( b) .

Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x) trong khoảng ( a; b) .

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f ( x ) = g ( x ) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước

sau:

• Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
• Xét các hàm số y = f ( x) ( C1 ) và y = g(x) ( C2 ) . Ta cần chứng minh một hàm số
đồng biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó ( C1 ) và ( C2 ) giao nhau tại một điểm
duy nhất có hoành độ x0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f ' ( x0 ) = 0

Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng ( a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
khoảng ( a; x0 ) và ( x0 ; b) . Khi đó
a) Nếu f '( x)  0 với mọi x  ( a; x0 ) và f '( x)  0 với mọi x  ( x0 ; b)
thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f '( x)  0 với mọi x  ( a; x0 ) và f '( x)  0 với mọi x  ( x0 ; b)
thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 .

Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( a; b) chứa điểm x0 , f ( x0 ) = 0 và f có đạo hàm cấp
hai khác không tại điểm x0 . Khi đó
a) Nếu f  ( x0 )  0 thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0
b) Nếu f  ( x0 )  0 thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0
Định lý 4:

a) Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0) có hai điểm cực trị

 f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y = f ( x ) = ax4 + bx2 + c ( a  0) có ba điểm cực trị

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 f ' ( x ) = 4ax3 + 2bx = 0 có ba nghiệm phân biệt.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.

• Tìm f  ( x ) .
• Tìm các điểm xi ( i = 1,2 ,) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
• Xét dấu f  ( x ) . Nếu f  ( x ) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi .
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.

• Tính f  ( x ) .
• Giải phương trình f  ( x ) = 0 tìm các nghiệm xi ( i = 1, 2, ) .
• Tính f  ( x ) và f  ( xi ) ( i = 1, 2, ) .
Nếu f  ( xi )  0 thì hàm số đạt cực đại tại xi .
Nếu f  ( xi )  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi .
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f  ( x0 ) = 0 hoặc tại x0 không có đạo
hàm.
2. Để hàm số y = f ( x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f  ( x ) đổi dấu khi x đi qua x0 .
Chú ý:

• Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trò  Phương trình y = 0 có hai

nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y ( x0 ) bằng hai
cách:
+ y ( x0 ) = ax03 + bx02 + cx0 + d
+ y ( x0 ) = Ax0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.

ax2 + bx + c P( x)
=
• Hàm số y =
a' x + b'
Q( x)
nghiệm phân biệt khác −

( aa '  0)

có cực trò  Phương trình y = 0 có hai

b'
.
a'

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y ( x0 ) bằng hai cách:

y ( x0 ) =

P ( x0 )

hoặc y ( x0 ) =

Q ( x0 )

P ' x0
Q ' x0

• Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để
loại bỏ nghiệm ngoại lai.

• Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa,
nhất là đònh lí Vi–et.

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d .

• Chia f ( x ) cho f  ( x ) ta được:

f ( x ) = Q ( x ) . f  ( x ) + Ax + B.

 y = fx1 = Ax1 + B
• Khi đó, giả sử ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trò thì:  1
 y2 = fx1 = Ax2 + B

 Các điểm ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức y = f ( x) =

P( x) ax2 + bx + c
=
.

Q( x)
dx + e

• Giả sử ( x0 ; y0 ) là điểm cực trò thì y0 =

P ' ( x0 )

Q ' ( x0 )

.

• Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trò ấy là: y =

P ' ( x)

Q ' ( x)

=

2ax + b
.
d

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


3. GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f  ( x ) .
• Xét dấu f  ( x ) và lập bảng biến thiên.
• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn  a; b .

• Tính f  ( x ) .
• Giải phương trình f  ( x ) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2 ,, xn trên  a; b (nếu
có).

• Tính f ( a) , f ( b) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) .
• So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M = max f ( x) = max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[ a; b]

m = min f ( x) = min f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[ a; b]

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.

• Chứng minh một bất đẳng thức.
• Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được
trở thành đẳng thức.
Một số kiến thức thường dùng:

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


b

a) f ( x) = ax + bx + c = a  x +  −
2a 
4a

2

b) Bất đẳng thức Cơ-si:

a+ b
 ab  a + b  2 ab
2

Với hai số a, b khơng âm ( a, b  0) ta ln có:

Dấu "=" xảy ra khi a = b
Với ba số a, b, c khơng âm ( a, b, c  0) ta ln có:

a+ b+ c 3
 abc  a + b + c  33 abc
3

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng

a2 + b2

1) a + b  2ab  ab 
2
2

2

2) (a + b)2  4ab  ab 

(a + b)2
4

3) (a + b)2  2(a2 + b2 )  a2 + b2 

(a + b)2
2

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trò tuỳ ý của f ( x ) trên D , thì hệ phương trình (ẩn x) sau có
nghiệm:

 f ( x) = y0

x  D

(1)
(2)

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường
điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng:

m  y0  M

(3)

Vì y0 là một giá trò bất kì của f ( x ) nên từ (3) ta suy ra được:
min f ( x) = m; max f ( x) = M
D

D

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f ( x ) là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x) = m; max f ( x) = M .
D

D

Khi đó:
 f ( x) = 
1) Hệ phương trình 
có nghiệm  m    M .
x  D
 f ( x)  
2) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  M   .
x  D
 f ( x)  

3) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  m   .
x  D

4) Bất phương trình f ( x )   đúng với mọi x  m   .
5) Bất phương trình f ( x )   đúng với mọi x  M   .

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN

1. Đònh nghóa:
• Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số
y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim f ( x) = − ;

lim f ( x) = + ;

x→ x0+

x→ x0+

lim f ( x) = + ;

x→ x0−

lim f ( x) = −

x→ x0−

• Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số
y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim f ( x) = y0 ;

x→+

lim f ( x) = y0

x→−

• Đường thẳng y = ax + b, a  0 được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm
số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim  f ( x) − (ax + b) = 0 ;

x→+

lim  f ( x) − (ax + b) = 0

x→−

2. Chú ý:
a) Nếu y = f ( x) =

P( x)
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q( x)

• Nếu Q ( x ) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thò có tiệm cận đứng x = x0 .

( )
( )
• Nếu bậc ( P ( x ) ) = bậc ( Q ( x ) ) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
• Nếu bậc P ( x )  bậc Q ( x ) thì đồ thò có tiệm cận ngang.

b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể
áp dụng các công thức sau:

a = lim

f ( x)
;
x

b = lim  f ( x) − ax

hoặc a = lim

f ( x)
;
x

b = lim  f ( x) − ax

x→+

x→−

x→+

x→−

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
• Tìm tập xác đònh của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của
hàm số.
• Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các
trục toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ
giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò
để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán tổng quát

(C ) : y = f ( x)
Trong mp ( Oxy ) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  1
(C2 ) : y = g( x)

(C1 ) và ( C2 ) cắt nhau (C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau

(C1 ) và ( C2 ) không có điểm chung

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f ( x) = g ( x)

(1)

* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) .
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) .
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) .

Chú ý 1 :

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


* (1) vô nghiệm



(C1 ) và ( C2 ) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm



(C1 ) và ( C2 ) có n điểm chung

Chú ý 2 :
* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của ( C1 ) và ( C2 ) .
Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f ( x0 ) hoặc y0 = g ( x0 ) .

7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) : y = f(x)
tại điểm M 0(x0;y0)  (C)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) có dạng:
y − y0 = k ( x − x0 ) hay

Trong đó:

y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )

x0 :

hoành độ tiếp điểm

y0 :

tung độ tiếp điểm và y0 = f ( x0 )

k:

hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức: k = f ' ( x0 )

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) : y = f(x)
biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi M ( x0; y0 )  (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến với ( C )
Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f  ( x0 ) = k , từ đó suy ra y0 = f ( x0 ) = ?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào phương trình: y − y0 = k ( x − x0 ) ta sẽ được phương
trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp
tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng (  ) có phương trình dạng: y = ax + b thì hệ số góc của

(  ) là:
k = a
Định lý 2: Trong mp ( Oxy ) cho hai đường thẳng (1) vaø(2 ) . Khi đó:
1 //  2

 k 1 = k 2

1 ⊥  2

 k 1 .k 2 = −1

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C) : y = f(x) biết
tiếp tuyến đi qua điểm A ( xA ; yA )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) với ( C ) tại điểm M0 ( x0 ; y0 )  (C)
(d ) : y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )

(* )

Bước 2: Định x0 để ( d ) đi qua điểm A ( xA; yA ) Ta có:

( d ) đi qua điểm A ( xA; yA )  yA = f '( x0 )( xA − x0 ) + f ( x0 ) (1)
Bước 3: Giải phương trình (1) tìm x0 . Thay x0 tìm được vào ( * ) ta sẽ được phương

trình tiếp tuyến cần tìm.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


8. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cơ sở của phương pháp
Xét phương trình f ( x ) = g ( x ) (1)
Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của ( C1 ) : y = f ( x ) và
y
(C1 )
(C2 ) : y = f ( x )

(C 2 )
x

x0

Bài toán: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng:

f ( x ) = m (* )
Phương pháp:

(C ) : y = f ( x)

y

m2
x

O
m1



(0; m)

y=m

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

• (C) : y = f ( x) : (C) làđồthòcốđònh
• ( ) : y = m

: () làđườ
ng thẳ
ng di độ
ng cù
ng phương Ox
vàcắ
t Oy tại M(0;m)

Bước 2: Vẽ ( C ) và (  ) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (  ) và ( C )
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình ( * )

Minh họa:

Dạng: f (x) = g(m) giải tương tự

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


9. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D .
Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp ( C ) tất cả các điểm có toạ độ ( x; f ( x) ) với x  D
được gọi là đồ thị của hàm số y = f ( x) .

Từ định nghĩa ta có: (C) = M / M ( x; y) vôùix  D vaøy = f(x) 

M ( x0 ; y0 )  (C )  x0  D và y 0 = f ( x0 )

Phương pháp chung
Đặt M (x0 , y0 )Î (C ) với y0 = f (x0 ) là điểm cần tìm;
Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0 ;
Giải phương trình tìm x0 , suy ra y0 = f (x0 ) ® M (x0 ; y0 ) .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

HÀM BẬC BA
 Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Câu 1. Hàm số y = x3 + 3x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −; −2 ) .

C. ( −2; 0 ) .

B. ( 0; + ) .

D. ( 0; 4 ) .

Lời giải tham khảo
Tập xác định: D = R.

 x = −2
Đạo hàm: y ' = 3x2 + 6x, y ' = 0  3x2 + 6x = 0  
.
x = 0
Bảng biến thiên:

x

−2

−

y

+

y

0

+

0

−

0

+

4

−

+

0

Câu 2. Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 12 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −2 ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 2 ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; + ) .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 5 ) .

Lời giải tham khảo

 x = −1
Đạo hàm: y ' = 3x2 − 6 x − 9  y ' = 0  
.
x = 3
Bảng biến thiên:

x

−1

−

y

+

0

y

+

3

−

0

+

+

17

−15

−

Câu 3. Hàm số y = x3 − 3x2 + 3x − 5 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −; 1) .

C. ( −; + ) .

B. ( 1; + ) .

D. ( −; 1) và ( 1; + ) .

Lời giải tham khảo
Ta có y = 3x2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1)  0, x  R.
2

Câu 4. Hàm số y = 3x − 4x3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?


1 1

A.  −; −  ;  ; +  .
2 2



 1 1
B.  − ;  .
 2 2


1
C.  −; −  .
2


1

D.  ; +  .
2


Lời giải tham khảo
Các khoảng nghịch biến của hàm số: y = 3x − 4x3 là
Tập xác định: D = R.

y ' = 3 − 12x2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1
1
y' = 0  x = − ; x =
2

2

1
x  − 2
.
y'  0  
x  1

2

Câu 5. Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ( −1; 3 ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) .
C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −; −1) , ( 3; + ) .
D. Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng ( 3; + ) .
Lời giải tham khảo
Tập xác định: D = R.

y ' = 3x 2 − 6 x − 9
 x = −1
Cho: y ' = 0  3x2 − 6 x − 9 = 0  
x = 3
Bảng biến thiên:

x
y

y

−1

−

+

0

+

3

−

0

+

10

−22

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −; −1) , ( 3; + ) ; hàm số nghịch biến trên ( −1; 3 ) .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓

Câu 6. Hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ¡ .

B. ( −; −1) , ( 3; + ) .

C. ( 3; + ) .

D. ( −1; 3 ) .

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

x3
− x 2 + x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 7. Hàm số y =
3
A. ¡ .

B. ( −;1) .

C. (1; + ) .

D. ( −;1) và (1; + ) .

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất