PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
Cho hai hàm số y = f (x) và y = g (x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt
D = D f Ç Dg . Mệnh đề chứa biến " f (x) = g (x)" được gọi là phương trình một ẩn ; x

được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình.
x0 Î D gọi là một nghiệm của phương trình f (x) = g (x) nếu " f (x0 ) = g (x0 )" là mệnh

đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình f (x) = g (x) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai
hàm số y = f (x) và y = g (x) .
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 (x) = g1 (x) và f2 (x) = g2 (x) được
gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là
f1 (x) = g1 (x) Û f2 (x) = g2 (x).

• Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến
đổi tương đương.
b) Phương trình hệ quả: f2 (x) = g2 (x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình
f1 (x) = g1 (x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1 (x) = g1 (x) .

Kí hiệu là f1 (x) = g1 (x) Þ f2 (x) = g2 (x)
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phương trình f (x) = g (x) có tập xác định D ; y = h (x) là hàm số xác
định trên D . Khi đó trên D , phương trình đã cho tương đương với phương trình sau
1) f (x)+ h (x) = g (x)+ h (x)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
2) f (x).h (x) = g (x).h (x) nếu h (x) ¹ 0 với mọi x Î D

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả
của phương trình đã cho.
f (x) = g (x) Þ f 2 (x) = g 2 (x).

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý
• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của
phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định.
• Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu
được phương trình tương đương.
• Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm
của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm
ngoại lai.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
➢ DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải.
- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f (x), g (x)
cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện để biểu thức
•
•

f (x) xác định là f (x) ³ 0

1
xác định là f (x) ¹ 0
f (x)

•

1
f (x)

xác định là f (x)> 0

2. Các ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a) x +

5
=1
x - 4
2

A. x ¹ 0

B. x ¹ ± 2

C. x ¹ - 2

D. x ¹ 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

b) 1 +

3- x =

x- 2

B. 2 £ x £ 3

A. 2 < x < 3

c) 1 +

2x - 3 =

A. x <

d)

4 - 2x =

C. x £ 3

D. 2 £

3
2

D. x ³

3x - 2

3
2

B. x ³

3
4

C. x ³

5
2

x+ 1
x - 3x + 2
3

ìï x < 2
A. ïí
ïïî x ¹ - 1

ìï x < 4
B. ïí
ïïî x ¹ 1

ìï x < 2
C. ïí
ïïî x ¹ 1

ìï x < 3
D. ïí
ïïî x ¹ 1

Lời giải:
a) Điều kiện xác định của phương trình là x2 - 4 ¹ 0 Û x2 ¹ 4 Û x ¹ ± 2

ìï 3 - x ³ 0 ìï x £ 3
b) Điều kiện xác định của phương trình là ïí
Û ïí
Û 2£ x£ 3
ïïî x - 2 ³ 0 ïïî x ³ 2
ìï
ï
ìï 2 x - 3 ³ 0 ïï x ³
ï
c) Điều kiện xác định của phương trình là í
Û í
ïîï 3x - 2 ³ 0 ïï
ïï x ³
ïî

d) Điều kiện xác định của phương trình là

ìï 4 - 2 x ³ 0
ïí
Û
ïïî x3 - 3x + 2 ¹ 0

ìï
x£ 2
ï
í

ï x - 1)(x2 + x - 2) ¹ 0
ïîï (

3
2 Û x³ 3
2
2
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ìï
x£ 2
ï
Û í
Û
ïï (x - 1)2 (x - 2) ¹ 0
ïî

ìï x £ 2
ï
ì
ïíï x ¹ 1 Û ïíï x < 2
ïï
ï x¹ 1
ïïî x ¹ 2 ïî

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) 4 x +

4x - 3 = 2 3 - 4x + 3

ìï 3 ü
ï
A. S = ïí ïý
ïïî 4 ïïþ

b)

x+

x- 2 =

ìï 5 ü
ï
D. S = ïí ïý
ïïî 3 ïïþ

B. S = {3}

C. S = Æ

ìï 5 ü
ï
D. S = ïí ïý
ïïî 3 ïïþ

B. S = {3}

C. S = Æ

ìï 5 ü
ï
D. S = ïí ïý
ïïî 3 ïïþ

C. S = Æ

ìï 5 ü
ï
D. S = ïí ïý
ïïî 3 ïïþ

- 3- x

ìï 3 ü
ï
A. S = ïí ïý
ïïî 4 ïïþ

d)

C. S = Æ

- x2 + 6x - 9 + x3 = 27
ìï 3 ü
ï
A. S = ïí ïý
ïïî 4 ïïþ

c)

B. S = {3}

2

(x - 3) (5 ìï 3 ü
ï
A. S = ïí ïý
ïïî 4 ïïþ

3 x) + 2 x =

3x - 5 + 4

B. S = {3}

Lời giải:
ìï
ï
ìï 4x - 3 ³ 0 ïï x ³
ï
Û í
a) Điều kiện xác định của phương trình là í
ïïî 3 - 4x ³ 0 ïï
ïï x £
ïî

Thử vào phương trình thấy x =

3
thỏa mãn
4

ìï 3 ü
ï
Vậy tập nghiệp của phương trình là S = ïí ïý
ïïî 4 ïïþ

3
4 Û x= 3
3
4
4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
2

b) Điều kiện xác định của phương trình là - x 2 + 6 x - 9 ³ 0 Û - (x - 3) ³ 0 Û x = 3
Thay x = 3 vào thấy thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệp của phương trình là S = {3}

ìï x ³ 0
ïï
c) Điều kiện xác định của phương trình là ïí x - 2 ³ 0 Û
ïï
ïïî - 3 - x ³ 0

ìï x ³ 0
ïï
ïí x ³ 2
ï
ïïïî x £ - 3

Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = Æ
2
ìï
ï (x - 3) (5 - 3x)³ 0
d) Điều kiện xác định của phương trình là í
(*)
ïï
3
x
5
³
0
ïî

Dễ thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*).
ìï
ï
ìï 5 - 3x ³ 0 ïï x £
ï
Nếu x ¹ 3 thì (*) Û í
Û í
ïïî 3x - 5 ³ 0 ïï
ïï x ³

ïî

5
3 Û x= 5
5
3
3

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =

Thay x = 3 và x =

5
vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a)

5
=
x - x- 1
2

3

x

5
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

A. x ³ 2

b) 1 +

x- 2 =

2x - 4 =

2x - 6 =

A. x ³ 2

1± 5
2

B. x Î Æ

ìï x ³ 3
ïï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

D. x ¹

1± 5
2

B. x Î Æ

ìï x ³ 3
ïï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

D. x ¹

1± 5
2

B. x Î Æ

ìï x ³ 3
ïï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

D. x ¹

1± 5
2

2 - 4x

A. x ³ 2

d)

D. x ¹

x- 1

A. x ³ 2

c) 1 +

B. x Î Æ

ìï x ³ 3
ïï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

x+ 1
x - 3x + 2
2

Lời giải:
Bài 3.0: a) ĐKXĐ: x2 - x - 1 ¹ 0 Û x ¹

ìï x - 1 ³ 0

b) ĐKXĐ: ïí
Û x³ 2
ïïî x - 2 ³ 0
ìï 2x - 4 ³ 0
c) ĐKXĐ: ïí
Û xÎ Æ
ïïî 2 - 4 x ³ 0

1± 5
2


Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii mi nht

ỡù 2 x - 6 0
d) KX: ùớ 2

ùùợ x - 3x + 2 ạ 0

ỡù x 3
ù
ùớù x ạ 1
ùù
ùùợ x ạ 2

Bi 3.1: Tỡm iu kin xỏc nh ca phng trỡnh
a) 4 x + 2 4 x - 3 = 2 4 x - 3 + 3
A. x

b)

3
4

2x +

3
4

x- 2 =

A. x

d)

C. x = 2

ộx = 1
D. ờ
ờx = 2
ở

B. x ẻ ặ

C. x = 2

ộx = 1
D. ờ
ờx = 2
ở

C. x = 2

ộx = 1
D. ờ
ờx = 2
ở

C. x = 2

ộx = 1
D. ờ
ờx = 2
ở

- x2 + x - 1 + x = 1
A. x

c)

B. x ẻ ặ

2- x + 2

3
4

B. x ẻ ặ

x 3 - 4 x 2 + 5x - 2 + x =

A. x

3
4

2- x
B. x ẻ ặ

Li gii:
Bi 3.1: a) KX: x

3
3
. D thy x = l nghim ca phng trỡnh
4
4
2

ổ 1ử 3
b) KX: - x + x - 1 0 - ỗỗx - ữ
ữ
ữ - 4 0 xẻ ặ
ỗố
2ứ
2

Vy tp nghip ca phng trỡnh l S = ặ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ìï x ³ 0
ïï
c) ĐKXĐ: ïí x - 2 ³ 0 Û x = 2
ïï
ïïî 2 - x ³ 0
Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

ìï x3 - 4 x2 + 5x - 2 ³ 0 ìïï (x - 1)2 (x - 2)³ 0 éx = 1
d) ĐKXĐ: ïí
Ûí
Û ê
êx = 2
ïï
ïï
2
x
³
0
x
£
2
ë
î
ïî
Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là S = {1}.
➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG
ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ
1. Phương pháp giải.

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương
đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi
thường sử dụng
• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định
của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều
kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với
phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của
phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương
trình tương đương với phương trình đã cho.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) 1 +

1
5
= 2
x- 3 x - x- 6
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

b)

c)

d)

x2
x- 2

=

1
x- 2

-

x- 2

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

x + 3( x4 - 3x2 + 2) = 0
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

x - 1( x2 - x - 2) = 0
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm
Lời giải:

ìï
x¹ 3
a) ĐKXĐ : ïí 2
Û
ïïî x - x - 6 ¹ 0

ìï x ¹ 3
ïí
ïïî x ¹ - 2

Với điều kiện đó phương trình tương đương với
1+

1

5
=
Û (x - 3)(x + 2)+ x + 2 = 5
x - 3 (x - 3)(x + 2)

Û x2 = 9 Û x = ± 3
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = - 3 .
b) ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với

x2 = 1 - (x - 2) Û x2 + x - 3 = 0 Û x =

- 1 ± 13
2

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) ĐKXĐ: x ³ - 3
é
x+ 3 = 0
Phương trình tương đương với êê 4
2
êëx - 3 x + 2 = 0

é x= - 3
ê
êx 2 - 1 = 0 Û

ê
ê2
êëx - 2 = 0

é
x= - 3
Û êê 2
Û
2
êë(x - 1)(x - 2) = 0

éx= - 3
ê
êx = ± 1
ê
ê
êëx = ± 2

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

x = - 3, x = ± 1 và x = ± 2 .
ìï x ³ 0
d) ĐKXĐ: ïí
Û
ïï x - 1 ³ 0
î

ìï x ³ 0
Û x³ 1
íï

ïïî x ³ 1

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

é
ê x- 1= 0 Û
ê2
êëx - x - 2 = 0

éx= 1
ê
êx = - 1
ê
êx = 2
êë

Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 1 và x = 2 .
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau:
a)

2x - 3 =

4x2 - 15

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

b) . x2 - 3x + 4 = 8 - 3x .
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
c) 2 x + 1 = x - 2
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm

d) 2x + 1 = x - 1
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 2 nghiệm

Lời giải:

ìï 2x - 3 ³ 0
a) ĐKXĐ: ïí 2
(*)
ïïî 4x - 15 ³ 0
Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

(

2x - 3

2

) =(

4 x 2 - 15

2

) Û 2x - 3 = 4x - 15
2

é x= 2
ê
Û 4x - 2x - 12 = 0 Û ê
êx = - 3
êë
2
2

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
2

æ 3ö 7
b) ĐKXĐ: x - 3x + 4 ³ 0 Û ççx - ÷
÷
÷ + 4 ³ 0 (luôn đúng với mọi x )
çè
2ø
2

Bình phương hai vế của phương trình ta được
2

x 2 - 3x + 4 = (8 - 3x) Û x 2 - 3x + 4 = 9 x 2 - 48 x + 64

8 x2 - 45x + 60 = 0 Û x =

45 ± 105
16

Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x =

45 -

105
16

và đó là nghiệm duy nhất của


Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii mi nht
phng trỡnh.
2

2

c) Phng trỡnh tng ng vi ( 2 x + 1 ) = ( x - 2 )
4x2 + 4x + 1 = x2 - 4x + 4
ộx = - 3
ờ
2
3x + 8 x - 3 = 0 ờ
ờx = 1
ờở
3

Vy phng trỡnh cú hai nghim l x = - 3 v x =
2

1
.
3

2

d) Ta cú 2 x + 1 = x - 1 ị (2 x + 1) = (x - 1)

ị 4x2 + 4x + 1 = x2 - 2x + 1 3x2 + 6x = 0
ộx= 0
ị ờ
ờx = - 2
ở
Th vo phng trỡnh ta thy khụng cú giỏ tr no tha món
Vy phng trỡnh vụ nghim.
Vớ d 3: Tỡm nghim (x; y) vi x l s nguyờn dng ca phng trỡnh sau

20 - 8x + 6x2 - y 2 = y 7 - 4x
ổ 3+ 2 3ữ
ử
ữ
A. ỗỗỗ2;
ữ
ữ
ỗố
2 ứ
ữ

ổ 1+ 3 ử
ữ
ữ
B. ỗỗỗ3;
ữ
ữ
ỗố
2 ứ
ữ

ổ 3+ 3ử
ữ
ữ
C. ỗỗỗ1;
ữ
ữ
2 ứ
ữ
ốỗ

ổ - 3+ 2 3ử
ữ
ữ
D. ỗỗỗ- 1;
ữ
ữ
ỗố
2
ữ
ứ

Li gii:
ỡù
20
ù
ỡù 20 - 8x 0 ùù x Ê 8
7
ớ
xÊ
Nu phng trỡnh cú nghim (x; y) thỡ x phi tha món ùớ

ùùợ 7 - 4x 0
ù
7
4
ùùù x Ê
4
ùợ

Vỡ x l s nguyờn dng nờn x = 1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Thay x = 1 vào phương trình ta được

12 + 6 - y2 = y 3 (*)

Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 - y 2 ³ 0
(*) Þ

6 - y2 =

2

3 (y - 2) Þ 6 - y 2 = 3 (y - 2)

Þ 4 y 2 - 12 y + 6 = 0 Þ y =

3± 3
2

Thử vào phương trình (*) thấy chỉ có y =

3+ 3
là thỏa mãn
2

æ 3+ 3ö
÷
÷
Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài là ççç1;
.
÷
÷
çè
2 ø
÷

Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) mx 2 - 2 (m - 1)x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2)x 2 - 3x + m2 - 15 = 0 (2)
A. m = 1

B. m = 4

C. m = 2

D. m = 3

b) 2x2 + mx - 2 = 0 (3) và 2 x 3 + (m + 4)x 2 + 2 (m - 1)x - 4 = 0 (4)
A. m = 1

B. m = 4

C. m = 2

D. m = 3

Lời giải:
a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

é
x= 1
Ta có (1) Û (x - 1)(mx - m + 2) = 0 Û ê
êmx - m + 2 = 0
ë
Do hai phương trình tương đương nên x = 1 là nghiệm của phương trình (2)
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được

(m - 2)-

ém= 4
3 + m2 - 15 = 0 Û m2 + m - 20 = 0 Û ê
êm = - 5
ë


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
éx = 1
ê
• Với m = - 5 : Phương trình (1) trở thành - 5 x + 12 x - 7 = 0 Û ê
êx = 7

êë
5
é x= 1
ê
Phương trình (2) trở thành - 7 x 2 - 3 x + 10 = 0 Û ê
êx = - 10
êë
7
2

Suy ra hai phương trình không tương đương
é
1
êx =
• Với m = 4 : Phương trình (1) trở thành 4 x - 6 x + 2 = 0 Û ê
2
ê
êëx = 1
2

éx = 1
ê
Phương trình (2) trở thành 2 x - 3 x + 1 = 0 Û ê
êx = 1
êë
2
2

Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy m = 4 thì hai phương trình tương đương.

b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương
Ta có 2 x3 + (m + 4)x2 + 2 (m - 1)x - 4 = 0 Û (x + 2)(2 x2 + mx - 2) = 0

é
x= - 2
Û ê 2
ê2 x + mx - 2 = 0
ë
Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình (3)
2

Thay x = - 2 vào phương trình (3) ta được 2 (- 2) + m (- 2)- 2 = 0 Û m = 3
éx = - 2
ê
• Với m = 3 phương trình (3) trở thành 2 x + 3 x - 2 = 0 Û ê
êx = 1
êë
2
2

2

Phương trình (4) trở thành 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x - 4 = 0 Û (x + 2) (2 x + 1) = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
éx = - 2
ê
Û ê
êx = 1

êë
2

Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)
Vậy m = 3 .
3. Bài tập tự luyện.
Bài 3.2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) 1 +

1
6
=
2 - x 4 - x2
A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

b)

2x
3- x

=

1
3- x

-

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

x + 1( x2 - 16) = 0
A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

d)

D.Vô nghiệm

3- x

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm
c)

C.3 nghiệm

3- x
=0
x - 2x - 3
2

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

Lời giải:

ìï x ¹ 2
Bài 3.2: a) ĐKXĐ : ïí 2
Û x¹ ±2
ïïî x - 4 ¹ 0
Với điều kiện đó phương trình tương đương với

éx = 0
(thỏa mãn)
4 - x2 + x + 2 = 6 Û x2 - x = 0 Û ê
êx = 1
ë


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
b) ĐKXĐ: x < 3
pt Û 2 x = 1 - (3 - x) Û x = - 2 (thỏa mãn)
c) ĐKXĐ: x ³ - 1
é x+ 1 = 0
éx = - 1
Phương trình tương đương với êê 2
Û ê
ê
êëx - 16 = 0 ëx = ± 4

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1 và x = 4 .

ìï x < 3
d) ĐKXĐ: ïí

. PT Û x = 3 (không thỏ mãn điều kiện)
ïïî x ¹ - 1
Bài 3.3: Tìm số nghiệm của phương trình
a)

x- 2 =

x2 - 8

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

b)

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

3x 2 - x - 9 = x - 1 .
A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

c) 2 x + 3 = 2 x - 3
A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

d) 2x - 1 = 3x - 4
A.1 nghiệm duy nhất

B.2 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.3: a) x = 3

b) x = 2 c) x = 0 d) x = 3

Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
a) x2 + mx - 1 = 0 (1) và (m - 1)x 2 + 2 (m - 2)x + m - 3 = 0 (2)
A. m = 1

B. m = - 1

C. m = 2

D. m = Æ

b) (2m - 2)x 2 - (2m + 1)x + m2 + m - 17 = 0 (3) và (2 - m)x 2 + 3x + 15 - m2 = 0 (4)
A. m = 4

B. m = - 4

C. m = 2

D. m = Æ

Lời giải:
Bài 3.4: a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương
é
x= - 1
Ta có (m - 1)x 2 + 2 (m - 2)x + m - 3 = 0 Û êê
êë(m - 1)x + m - 3 = 0

Do hai phương trình tương đương nên x = - 1 cũng là nghiệm của phương trình (1)
Thay x = - 1 vào phương trình (1) ta được m = 0
Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
b) Cộng vế với vế để khử m2 ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm
Kết quả m = 4 thì hai phương trình tương đương.
§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là số
thực và a ¹ 0
• Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với a , b , c là
số thực và a ¹ 0
2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1).

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

b
b
do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = a
a
• Nếu a = 0 : phương trình (1) trở thành 0x + b = 0
Th1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
• Nếu a ¹ 0 : (1) Û x = -

Th2: Với b ¹ 0 phương trình vô nghiệm
3. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0
• Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)
• Nếu a ¹ 0 : D = b2 - 4ac
Th1: D > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x =

TH2: D = 0 phương trình có nghiệm kép x = -

- b± D
2a

b
2a

Th3: D < 0 phương trình vô nghiệm.
4. Định lí Vi-ét và ứng dụng.
a) Định lí Vi-ét.
Hai số x1 và x 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi
chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = -

c
b
và x1x2 = .
a
a

b) Ứng dụng.
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
• Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f (x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x 2
thì nó có thể phân tích thành nhân tử f (x) = a (x - x1 )(x - x2 ) .
• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P
thì chúng là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 .
• Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
b
c
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = - , P =
khi đó
a
a
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ìï D ³ 0
ïï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïî S > 0

ìï D ³ 0
ïï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïî S < 0
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0 .
1. Phương pháp giải.
Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở trên.
Lưu ý:

é a¹ 0
• Phương trình ax + b = 0 có nghiệm Û ê
êa = b = 0
ë
ìï a = 0
• Phương trình ax + b = 0 vô nghiệm Û ïí
ïïî b ¹ 0

• Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) (m - 1)x + 2 - m = 0
A. m = 1 : Phương trình vô nghiệm
B. m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
b) m (mx - 1) = 9 x + 3

m- 2
m- 1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
A. m = 3 : Phương trình vô nghiệm
B. m = - 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
C. m ¹ ± 3 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

D. Cả A, B, C đều đúng

c) ( m + 1)2 x = (3m + 7)x + 2 + m
A. m = 3 : Phương trình vô nghiệm
B. m = - 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
C. m ¹ 3 và m ¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với (m - 1)x = m - 2
+ Với m - 1 = 0 Û m = 1 : Phương trình trở thành 0x = - 1
Suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với m - 1 ¹ 0 Û m ¹ 1 : Phương trình tương đương với x =
Kết luận

m = 1 : Phương trình vô nghiệm
m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =

m- 2
m- 1

b) Ta có m(mx - 1) = 9 x + 3 Û (m2 - 9)x = m + 3
+ Với m2 - 9 = 0 Û m = ± 3 :

m- 2
m- 1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
•
•

Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 6 suy ra phương trình vô nghiệm
Khi m = - 3 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi x Î R
m+ 3
1
+ Với m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ± 3 : Phương trình tương đương với x = 2
.
=
m - 9 m- 3
Kết luận:

m = 3 : Phương trình vô nghiệm

m = - 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
m ¹ ± 3 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

c) Phương trình tương đương với éê( m + 1)2 - 3m - 7 ù
x = 2+ m
ú
ë
û
Û (m2 - m - 6)x = 2 + m

ém= 3
+ Với m2 - m - 6 = 0 Û ê
:
êm = - 2
ë
•
•

Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 5 suy ra phương trình vô nghiệm
Khi m = - 2 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi x Î R
ém¹ 3
m+ 2
1
+ Với m2 - m - 6 ¹ 0 Û ê
: Phương trình tương đương với x = 2
.

=
êm ¹ - 2
m - m- 6 m- 3
ë
Kết luận:

m = 3 : Phương trình vô nghiệm

m = - 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
m ¹ 3 và m ¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a, b là tham số.
a) a2 (x - a) = b2 (x - b)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
A. a = b : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
B. a = - b và b ¹ 0 : phương trình vô nghiệm
C. a ¹ ± b : Phương trình có nghiệm là x =

a 2 + ab + b 2
a+ b

D.Cả A, B, C đều đúng
b) b (ax - b + 2) = 2 (ax + 1)
A. a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm

b2 - 2b + 2
B. a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =
a (b - 2)
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
a) Ta có a2 (x - a) = b2 (x - b) Û (a2 - b2 )x = a3 - b3
+ Với a2 - b2 = 0 Û a = ± b
•

Khi a = b : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng
với mọi x Î R
• Khi a = - b và b ¹ 0 : Phương trình trở thành 0x = - 2b3 suy ra phương trình
vô nghiệm
(Trường hợp a = - b, b = 0 Þ a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b )
a 3 - b3 a 2 + ab + b2
=
+ Với a - b ¹ 0 Û a ¹ ± b : Phương trình tương đương với x = 2
a+ b
a - b2
2

2

Kết luận

a = b : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
a = - b và b ¹ 0 : phương trình vô nghiệm

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

a ¹ ± b : Phương trình có nghiệm là x =

a 2 + ab + b 2
a+ b

b) Ta có b (ax - b + 2) = 2 (ax + 1) Û a (b - 2)x = b 2 - 2b + 2

éa = 0
+ Với a (b - 2) = 0 Û ê
êb = 2
ë
• Khi a = 0 : Phương trình trở thành 0x = b2 - 2b + 2 , do
2

b2 - 2b + 2 = (b - 1) + 1 > 0 nên phương trình vô nghiệm.

• Khi b = 2 : Phương trình trở thành 0x = 2 suy ra phương trình vô nghiệm
ìï a ¹ 0
b2 - 2b + 2
+ Với a (b - 2) ¹ 0 Û ïí
: Phương trình tương đương với x =
.
ïïî b ¹ 2
a (b - 2)
Kết luận

a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm

a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =

b2 - 2b + 2
a (b - 2)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a) ( m2 - m)x = 2 x + m2 - 1
A. m ¹ - 2 và m ¹ 2

B. m ¹ - 1 và m ¹ - 2

C. m ¹ - 1 và m ¹ 2

D. m ¹ - 1 và m ¹ - 3

b) m (4mx - 3m + 2) = x( m + 1)
A. m ¹

1±

7
8

B. m ¹

1 ± 17
2

C. m ¹

1 ± 17
8

D. m ¹

Lời giải:
a) Ta có ( m2 - m)x = 2 x + m2 - 1 Û ( m2 - m - 2)x = m2 - 1

ìï m ¹ - 1
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay m2 - m - 2 ¹ 0 Û ïí
ïïî m ¹ 2

2 ± 17
8


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Vậy với m ¹ - 1 và m ¹ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b) Ta có m(4mx - 3m + 2) = x( m + 1) Û (4m2 - m - 1)x = 3m2 - 2m
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay 4m2 - m - 1 ¹ 0 Û m ¹

Vậy với m ¹

1 ± 17
8

1 ± 17
thì phương trình có nghiệm duy nhất
8

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau y = (m + 1)x 2 + 3m2 x + m và
y = (m + 1)x 2 + 12 x + 2 .

A. m = - 3

B. m = - 1

C. m = - 2
Lời giải:

Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

(m + 1)x2 + 3m2 x + m = (m + 1)x 2 + 12x + 2

vô nghiệm

Û 3 (m2 - 4)x = 2 - m vô nghiệm
ìï m2 - 4 = 0
Û ïí
Û
ïï 2 - m ¹ 0
î

ìï m = ± 2
ïí
Û m= - 2
îïï m ¹ 2

Vậy với m = - 2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyên tập.

Bài 3.5: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) (2 m - 4)x + 2 - m = 0
A. m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x
B. m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai

D. m = 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
b) ( m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1
A. m = -

2
: Phương trình vô nghiệm
3

B. m = 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x
C. m = -

- 1
2
và m = 1 : Phương trình có nghiệm x =
3m + 2
3

D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
Bài 3.5: a) Phương trình tương đương với (2 m - 4)x = m - 2

+ Với 2m - 4 = 0 Û m = 2 : Phương trình trở thành 0x = 0
Suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x .
+ Với 2m - 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 : Phương trình tương đương với x = - 1
Kết luận

m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x
m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1
b) Phương trình tương đương với (3m2 - m - 2)x = 1 - m
é m= 1
ê
+ Với 3m - m - 2 = 0 Û ê
:
êm = - 2
êë
3
2

•

Khi m = 1: Phương trình trở thành 0x = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi

x.
2
5
: Phương trình trở thành 0 x = suy ra phương trình vô nghiệm
3
3
ìï m ¹ 1
ï
1- m

- 1
2
=
+ Với 3m - m - 2 ¹ 0 Û ïí
: PT Û x =
.
2
2
ïï m ¹ 3m - m - 2 3 m + 2
ïî
3
•

Khi m = -