45 bài tập tổng và hiệu của 2 vecto file word có lời giải chi tiết

TỔNG VÀ HIỆU CỦA 2 VECTO
1. Tổng của hai vectơ

uuur r
uuur r
uuur
r
r
Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và BC = b . Vectơ AC
r
r
r r
r
r
được gọi là tổng của hai vectơ a và b . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b . Vậy
uuur r r
AC = a + b .
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

2. Quy tắc hình bình hành

uuur uuur uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC .

3. Tính chất của phép cộng các vectơ

r r r
Với ba vectơ a , b , c tùy ý ta có
r r r r
a + b = b + a (tính chất giao hoán);
•

r r
r r
r r
•
a + b + c = a + b + c (tính chất kết hợp);
r r r r r
a + 0 = 0 + a = a (tính chất của vectơ – không).
•

(

)

(

)

4. Hiệu của hai vectơ
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


a) Vectơ đối
r
r
r
Cho vectơ a . Vectơ có độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a , kí
r
hiệu là - a .
uuur
uuur

uuur uuur
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA, nghĩa là - AB = BA.
r
r
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
r
r
r
r
r
r
Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a + - b , kí

( )

r
r r
r r r
hiệu a - b . Như vậy a - b = a + - b

( )

uuur uur uur
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có AB = OB - OA.

Chú ý. 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có
uuur uuur uuur
AB + BC = AC (quy tắc ba điểm);

uuur uuur uur
AB - AC = CB (quy tắc trừ).
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.

5. Áp dụng

uur uur r
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0.
uuur uuur uuur r
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur
uuur uuuur uuur
A. AB + AC = BC . B. MP + NM = NP .
uur uuur uur
uuur uur uuur
C. CA + BA = CB. D. AA + BB = AB.
r
r
r
r
r
Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?
r r
r r

A. Hai vectơ a, b cùng phương.
B. Hai vectơ a, b ngược hướng.
r r
r r
C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.
D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu.
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuur uuur uuur
uur uuur uuur
A. CA - BA = BC . B. AB + AC = BC .
uuur uur uur
uuur uuur uur
C. AB + CA = CB. D. AB - BC = CA.
uuur
uuur
Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur
uuur
uuur
uuur
A. AB và CD cùng hướng.
B. AB và CD cùng độ dài.
uuur uuur r
B. ABCD là hình bình hành.
D. AB + DC = 0.
uuuur uuur uuur uuur uuur

Câu 5. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR .
uuur
uuuur
uuur
uuur
A. MR.
B. MN .
C. PR.
D. MP .
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
uur uur
uur uur
uur
uur
A. IA = IB.
B. IA = IB.
C. IA = - IB.
D. AI = BI .
Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?
uur uur r
uur uur r
uur uur
A. IA = IB.
B. IA + IB = 0.
C. IA - IB = 0.
D. IA = IB.
Câu 8. Cho D ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
uuur
uuur
uuur uuur

uuur
uuur
uuur
uuur
A. AB = AC .
B. HC = - HB.
C. AB = AC .
D. BC = 2 HC .

Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AB = BC .
B. AB = CD.
C. AC = BD.

uuur
uur
D. AD = CB .

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?

uuur uuur r
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0.
uuur uuur uuur r
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0.
uur uuur uur
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB + CD = CA.
D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì

uuur
uuur
uuur
AB + BC = AC .

Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uuur uuur uur
uur uur uuur
A. OA - OB = CD. B. OB - OC = OD - OA.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
C. AB - AD = DB.
D. BC - BA = DC - DA.
uur uuur
Câu 12. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB - OC .
uuur uur
uuur
uuur
uuur
A. BC .
B. DA.
C. OD - OA.
D. AB .
Câu 13. Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng?
r
A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0.
r
B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0.
r
C. Cộng 121 vectơ ta được kết quả là 0.

D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 0.
Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uur
uuur
uuur uuur uur
A. AB = BC = CA.
B. CA = - AB.
uur
uuur
uuur
uuur
uur
C. AB = BC = CA = a.
D. CA = - BC .
Câu 15. Cho tam giác ABC , với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur r
A. AM + MB + BA = 0.
B. MA + MB = AB.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuuur
C. MA + MB = MC .
D. AB + AC = AM .
Câu 16. Cho tam giác ABC , với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Khẳng định
nào sau đây sai?
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur r
A. AB + BC + AC = 0.
B. AP + BM + CN = 0.
uuuur uuur uuur r

uur uuur uuur
C. MN + NP + PM = 0.
D. PB + MC = MP .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 17. Cho ba điểm A, B, C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uur r
A. AB + BC = AC .
B. AB + BC + CA = 0.
uuur uur uuur
uuur uuur
uur
uuur
C. AB = BC Û CA = BC .
D. AB - CA = BC .
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur
A. AB + AC = AH .
B. HA + HB + HC = 0.
uuur uuur r
uuur uuur
C. HB + HC = 0.
D. AB = AC .
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur

A. AH + HB = AH + HC .
B. AH - AB = AC - AH .
uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur
C. BC - BA = HC - HA.
D. AH = AB - AH .
Câu 20. Cho M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC . Hỏi
uuur uuur
vectơ MP + NP bằng vectơ nào?
uuur uuur
uuuur
uuur
uur
A. AP .
B. PB.
C. MN .
D. MB + NB.
Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với (O ) tại hai
điểm A và B . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur
uur
uur
uur
A. OA = - OB.
B. AB = - OB.
C. OA = - OB.
D. AB = - BA.
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT ¢ ( T và T ¢ là hai tiếp điểm). Khẳng
định nào sau đây đúng?

uuuur
uuuur uuuur
uuur
A. MT = MT ¢.
B. MT + MT ¢= TT ¢. C. MT = MT ¢.
D. OT = - OT ¢.
Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C , D . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur uur
uuur uuur uuur uuur
A. AB + CD = AD + CB.
B. AB + BC + CD = DA.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uur
C. AB + BC = CD + DA.
D. AB + AD = CD + CB.
uur
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ?
uuur uuur
uuur uuur
uuur uur
uur uuur
A. BC + AB.
B. - OA + OC .
C. BA + DA.
D. DC - CB.
Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. OA + OC + OE = 0.
B. BC + FE = AD.

uur uuur uur uuur
uuur uuur uuur
C. OA + OC + OB = EB.
D. AB + CD + EF = 0.
uuur uuur
Câu 26. Cho O là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ AO - DO bằng vectơ nào?
uuur
uuur
uuur
uuur
A. BA.
B. BC .
C. DC .
D. AC .
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uur uuur uuur r
uuur uuur uuur
A. OA + OB + OC + OD = 0.
B. AC = AB + AD.
uuur uuur uuur uur
uuur uuur
uuur uuur
C. BA + BC = DA + DC .
D. AB + CD = AB + CB.

(

)

Câu 28. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC .

Đẳng thức nào sau đây sai?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. DO = EB - EO.
B. OC = EB + EO.
uur uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur r
C. OA + OC + OD + OE + OF = 0.
D. BE + BF - DO = 0.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
A. GA + GC + GD = BD.
B. GA + GC + GD = CD.
uuur uuur uuur ur
uuur uuur uuur uuur
C. GA + GC + GD = O.
D. GA + GD + GC = CD.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuur
A. AC =
uuur
C. AB -

uuur uuur uuur r

B. AB + AC + AD = 0.
uuur uuur
uuur uuur
D. BC + BD = AC - AB .

uuur
BD.
uuur
uuur uuur
AD = AB + AD

Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

uuur uuur
Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Khi đó AB + AC bằng:
uuur
A. AB +
uuur
C. AB +

uuur
AC = a 3.
uuur
AC = 2a. D. Một đáp án khác.

uuur uuur
a 3
B. AB + AC =
.
2

uuur uuur
Câu 32. Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB = a . Tính AB + AC .
uuur
A. AB +
uuur
C. AB +

uuur
AC = a 2.
uuur
AC = 2a.

uuur
B. AB +
uuur
D. AB +

uuur
a 2
AC =
.
2
uuur
AC = a.

uuur uuur
Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C , AB = 2 . Tính độ dài của AB + AC .
uuur uuur
uuur uuur

A. AB + AC = 5.
B. AB + AC = 2 5.
uuur uuur
uuur uuur
C. AB + AC = 3.
D. AB + AC = 2 3.
uur uuur
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 . Tính CA + AB .
uur uuur
uur uuur
uur uuur
uur uuur
A. CA + AB = 2. B. CA + AB = 2 13. C. CA + AB = 5.
D. CA + AB = 13.
uuur uuur
·
Câu 35. Tam giác ABC có AB = AC = a, ABC
= 120° . Tính độ dài vectơ tổng AB + AC .
uuur uuur
uuur uuur
A. AB + AC = a 3.
B. AB + AC = a.

uuur uuur
uuur uuur
a
C. AB + AC = . D. AB + AC = 2a.
2

uur uuur

Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a , H là trung điểm của BC . Tính CA - HC .
uur uuur
uur uuur
uur uuur
uur uuur
a
3a
a 7
2 3a
.
A. CA - HC = . B. CA - HC =
C. CA - HC =
. D. CA - HC =
.
2
2
3
2
Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 . Tính độ dài của
r uuur uuur
vectơ v = GB + GC .
r
r
r
r
A. v = 2.
B. v = 2 3.
C. v = 8.
D. v = 4.
uuur uuur

Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a, BD = a . Tính AC + BD .
uuur uuur
uuur uuur
A. AC + BD = 3a.
B. AC + BD = a 3.
uuur uuur
uuur uuur
C. AC + BD = a 5.
D. AC + BD = 5a.
uuur uuur
Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính AB - DA .
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AB - DA = 0. B. AB - DA = a.
C. AB - DA = a 2. D. AB - DA = 2a.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uur uuur
Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Tính OB + OC .
uur uuur
uur uuur
A. OB + OC = a. B. OB + OC = a 2.

uur uuur
a
C. OB + OC = .

2

uur uuur
a 2
D. OB + OC =
.
2

Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur uuur uuur r
Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí
điểm M .
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng C .
D. M là trọng tâm tam giác ABC .
uuur uuur
uuur uuur
Câu 42. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MB - MC = BM - BA là?

A. đường thẳng AB.
B. trung trực đoạn BC .
C. đường tròn tâm A, bán kính BC .
D. đường thẳng qua A và song song với BC .

uuur uuur uuur uuuur
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB - MC = MD
là?
A. một đường tròn.
B. một đường thẳng.

C. tập rỗng.
D. một đoạn thẳng.
uuur uuur uuur
Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M .
A. M là trung điểm của AC .
B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC .
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM .
uuur uuur uuur r
Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA - MB + MC = 0 . Mệnh đề
nào sau đây sai?
uuuur uuur uuur
A. MABC là hình bình hành.
B. AM + AB = AC .
uuur uuur uuur
uuur uuur
C. BA + BC = BM .
D. MA = BC .

Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuuur uuur
uuur uuur uuur
A. AB + AC = BC . B. MP + NM = NP .
uuur uur uuur
uur uuur uur
C. CA + BA = CB. D. AA + BB = AB.
Lời giải. Xét các đáp án:
uuur uuur uuur uuur

 Đáp án A. Ta có AB + AC = AD ¹ BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình
hành). Vậy A sai.
uuur uuuur uuuur uuur uuur
 Đáp án B. Ta có MP + NM = NM + MP = NP . Vậy B đúng.
uur uuur
uuur uuur
uuur uur
 Đáp án C. Ta có CA + BA = - AC + AB = - AD ¹ CB (với D là điểm thỏa mãn ABDC là

(

)

hình bình hành). Vậy C sai.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuur uur r r r uuur
 Đáp án D. Ta có AA + BB = 0 + 0 = 0 ¹ AB . Vậy D sai.
Chọn B.
r
r
r
r
r
Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?
r r
r r
A. Hai vectơ a, b cùng phương.

B. Hai vectơ a, b ngược hướng.
r r
r r
C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.
D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu.
Lời giải. Chọn D.
r
r
r
r
Ta có a = - b . Do đó, a và b cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. CA - BA = BC . B. AB + AC = BC .
uuur uuur uur
uuur uur uur
C. AB + CA = CB. D. AB - BC = CA.
Lời giải. Xét các đáp án:
uur uuur uur uuur uur
uuur
 Đáp án A. Ta có CA - BA = CA + AB = CB = - BC . Vậy A sai.
uuur uuur uuur uuur
 Đáp án B. Ta có AB + AC = AD ¹ BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình
hành). Vậy B sai.
uuur uur uur uuur uur
 Đáp án C. Ta có AB + CA = CA + AB = CB . Vậy C đúng. Chọn C.
uuur
uuur
Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng?

uuur
uuur
uuur
uuur
A. AB và CD cùng hướng.
B. AB và CD cùng độ dài.
uuur uuur r
B. ABCD là hình bình hành.
D. AB + DC = 0.
uuur
uuur uuur
Lời giải. Ta có AB = - CD = DC .
Do đó:
uuur
uuur
 AB và CD ngược hướng.
uuur
uuur
 AB và CD cùng độ dài.
uuur
uuur
 ABCD là hình bình hành nếu AB và CD không cùng giá.
uuur uuur r
 AB + CD = 0.
Chọn B.
uuuur uuur uuur uuur uuur
Câu 5. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR .
uuuur
uuur
uuur

uuur
A. MR.
B. MN .
C. PR.
D. MP .
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
Lời giải. Ta có MN + PQ + RN + NP + QR = MN + NP + PQ + QR + RN = MN .
Chọn A.
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
uur
uur uur
uur uur
uur
A. IA = IB.
B. IA = IB.
C. IA = - IB.
D. AI = BI .
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?
uur uur r
uur uur r
uur uur
A. IA = IB.
B. IA + IB = 0.
C. IA - IB = 0.
D. IA = IB.
Lời giải. Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là
uur
uur
uur uur r

IA = - IB Û IA + IB = 0 . Chọn B.
Câu 8. Cho D ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
A. AB = AC .
B. HC = - HB.
C. AB = AC .
D. BC = 2 HC .

Lời giải.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


D ABC cân ở A , đường cao AH . Do đó, H là trung điểm BC .
Ta có:
uuur
uuur
 AB = AC ¾ ¾
® AB = AC
uuur
uuur
ìï HC = - HB
ï
® í uuur

 H là trung điểm BC ¾ ¾
uuur .
ïï BC = 2 HC
ïî

Chọn A.
Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AB = BC .
B. AB = CD.
C. AC = BD.
Lời giải.

uuur
ìï AB =
ïï
ABCD là hình vuông ¾ ¾
® í uuur
ïï AD =
ïî
Chọn D.

A

B

C

H

uuur
uur
D. AD = CB .

uuur
DC
uuur
uur
uuur
uur .
BC = - CB Þ AD = CB

A

B

D

C

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?

uuur uuur r
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0.
uuur uuur uuur r
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0.
uur uuur uur
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB + CD = CA.

D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
uuur
uuur
uuur
AB + BC = AC .

Lời giải. Chọn D.

uuur
uuur
uuur
Vời ba điểm phân biệt A, B, C năm trên một đường thẳng, AB + BC = AC khi B nằm
giữa A và C .
Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uuur uuur uur
uur uur uuur
A. OA - OB = CD. B. OB - OC = OD - OA.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
C. AB - AD = DB.
D. BC - BA = DC - DA.
Lời giải. Xét các đáp án:
uur uur uuur uuur
A
 Đáp án A. Ta có OA - OB = BA = CD . Vậy A đúng.
uur uuur uur
uuur
ìï OB - OC = CB = - AD
ï
 Đáp án B. Ta có í uuur uur uuur

. Vậy B sai.
O
ïï OD - OA = AD
ïî
D
uuur uuur uuur
 Đáp án C. Ta có AB - AD = DB. Vậy C đúng.
uuur uuur uuur
ìï BC - BA = AC
ï
 Đáp án D. Ta có í uuur uuur uuur . Vậy D đúng.
ïï DC - DA = AC
ïî
Chọn B.
uur uuur
Câu 12. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB - OC .
uuur
uuur
uuur
uuur uur
A. BC .
B. DA.
C. OD - OA.
D. AB .
uur uuur uur uuur
Lời giải. Ta có OB - OC = CB = DA . Chọn B.
Câu 13. Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng?
r
A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0.
r

B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0.
r
C. Cộng 121 vectơ ta được kết quả là 0.

B

C

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 0.

r
Lời giải. Cộng số chẵn các vectơ ngược hướng cùng độ dài ta được vectơ 0 . Chọn B.
Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uur
uur
uuur
A. AB = BC = CA.
B. CA = - AB.
uur
uuur
uuur
uuur
uur
C. AB = BC = CA = a.
D. CA = - BC .
uuur
uuur

uur
Lời giải. Độ dài các cạnh của tam giác là a thì độ dài các vectơ AB = BC = CA = a .

Chọn C.
Câu 15. Cho tam giác ABC , với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuuur uuur uuur r
uuur uuur uuur
A. AM + MB + BA = 0.
B. MA + MB = AB.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuuur
C. MA + MB = MC .
D. AB + AC = AM .
Lời giải. Xét các đáp án:
uuuur uuur uuur r
A
 Đáp án A. Ta có AM + MB + BA = 0 (theo quy tắc ba
điểm).
uuur uuur
uuuur
 Đáp án B, C. Ta có MA + MB = 2 MN (với điểm N là
N
trung điểm của AB ).
uuur uuur
uuuur
 Đáp án D. Ta có AB + AC = 2 AM .
C
B
M
Chọn A.

Câu 16. Cho tam giác ABC , với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Khẳng định
nào sau đây sai?
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur r
A. AB + BC + AC = 0.
B. AP + BM + CN = 0.
uuuur uuur uuur r
uur uuur uuur
C. MN + NP + PM = 0.
D. PB + MC = MP .
Lời giải. Xét các đáp án:
uuur uuur uur uuur r
A
 Đáp án A. Ta có AB + BC + CA = AA = 0.
 Đáp án B. Ta có
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uur
N
AP + BM + CN = AB + BC + CA
P
2
2
2
1 uuur uuur uur
1 uuur r
=
AB + BC + CA = AA = 0.
C
B
M
2

2
uuuur uuur uuur uuuur r
 Đáp án C. Ta có MN + NP + PM = MM = 0.
uur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
uuur
 Đáp án D. Ta có PB + MC = AB + BC = AC = AN = PM = - MP .
2
2
2
Chọn D.

(

)

Câu 17. Cho ba điểm A, B, C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uur r
A. AB + BC = AC .
B. AB + BC + CA = 0.
uuur uur uuur
uuur uuur
uur
uuur
C. AB = BC Û CA = BC .
D. AB - CA = BC .
Lời giải. Đáp án A chỉ đúng khi 3 điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C . Đáp án B
đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn B.
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur

A. AB + AC = AH .
B. HA + HB + HC = 0.
uuur uuur r
uuur uuur
C. HB + HC = 0.
D. AB = AC .
Lời giải. Do D ABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Xét các đáp án:

A

uuur uuur
uuur
 Đáp án A. Ta có AB + AC = 2 AH .
uuur uuur uuur uuur r uuur r
 Đáp án B. Ta có HA + HB + HC = HA + 0 = HA ¹ 0.
uuur uuur r
 Đáp án C. Ta có HB + HC = 0 ( H là trung điểm BC ).
uuur uuur
uuur
uuur
 Đáp án D. Do AB và AC không cùng hướng nên AB ¹ AC .
Chọn C.
B

C

H

Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AH + HB = AH + HC .
B. AH - AB = AC - AH .
uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur
C. BC - BA = HC - HA.
D. AH = AB - AH .
Lời giải. Do D ABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC .
Xét các đáp án:
uuur
uuur
ìï uuur
ïï AH + HB = AB = a
 Đáp án A. Ta có í uuur uuur
r
ïï AH + HC = uuu
AC
= a
ïïî
uuur uuur
uuur uuur
B
Þ AH + HB = AH + HC .

uuur uuur uuur
ìï AH - AB = BH
ï
 Đáp án B. Ta có í uuur uuur uuur
uuur .
ïï AH - AC = CH = - BH
ïî
uuur uuur uuur uuur uuur
 Đáp án C. Ta có BC - BA = HC - HA = AC .
uuur uuur
uuur
uuur
 Đáp án D. Ta có AB - AH = HB = AH . (do D ABC vuông cân tại A ).

A

C

H

Chọn B.
Câu 20. Cho M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC . Hỏi
uuur uuur
vectơ MP + NP bằng vectơ nào?
uuur uuur
uuuur
uuur
uur
A. AP .
B. PB.

C. MN .
D. MB + NB.
Lời giải.
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
A
Ta có NP = BM ¾ ¾
® MP + NP = MP + BM = BP .
Chọn B.
P

M

B

C

N

Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với (O ) tại hai
điểm A và B . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur
uur
uur
uur
A. OA = - OB.
B. AB = - OB.
C. OA = - OB.
Lời giải.
Do hai tiếp tuyến song song và A, B là hai tiếp điểm nên AB là

uur
uur
đường kính. Do đó O là trung điểm của AB . Suy ra OA = - OB .
Chọn A.

D. AB = - BA.

B

O

A

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT ¢ ( T và T ¢ là hai tiếp điểm). Khẳng
định nào sau đây đúng?
uuuur
uuuur uuuur
uuur
A. MT = MT ¢.
B. MT + MT ¢= TT ¢. C. MT = MT ¢.
D. OT = - OT ¢.
Lời giải.
T
Do MT , MT ¢ là hai tiếp tuyến ( T và T ¢ là hai tiếp
điểm) nên MT = MT ¢.Chọn C.
M

O

T'

Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C , D . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur uur
uuur uuur uuur uuur
A. AB + CD = AD + CB.
B. AB + BC + CD = DA.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uur
C. AB + BC = CD + DA.
D. AB + AD = CD + CB.
uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uur
Lời giải. Ta có AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB . Chọn A.

uur
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ?
uuur uuur
uuur uuur
uuur uur
uur uuur
A. BC + AB.
B. - OA + OC .
C. BA + DA.
D. DC - CB.
Lời giải. Xét các đáp án:
uuur uuur uuur uuur uuur
uur
A

B
 Đáp án A. Ta có BC + AB = AB + BC = AC = - CA.
uur uuur uuur uur uuur
uur
 Đáp án B. Ta có - OA + OC = OC - OA = AC = - CA.
uuur uuur
uuur uuur
uuur uur
O
 Đáp án C. Ta có BA + DA = - AD + AB = - AC = CA.
uuur uur uuur uuur
uuur uur
uur
 Đáp án D. Ta có DC - CB = DC + BC = - CD + CB = - CA.
C
D

(

)

(

)

Chọn C.
Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. OA + OC + OE = 0.

B. BC + FE = AD.
uur uuur uur uuur
uuur uuur uuur
C. OA + OC + OB = EB.
D. AB + CD + EF = 0.
Lời giải.
Ta có OABC là hình bình hành.
A
uur uuur uur
uur uuur uur
uur
Þ OA + OC = OB Þ OA + OC + OB = 2OB.
uuur
uur
O là trung điểm của EB Þ EB = 2OB.
O
F
uur uuur uur uuur
uur
Þ OA + OC + OB = EB = 2OB.
Chọn C.
E

B

C

D

uuur uuur

Câu 26. Cho O là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ AO - DO bằng vectơ nào?
uuur
uuur
uuur
uuur
A. BA.
B. BC .
C. DC .
D. AC .
uuur uuur uuur uur uuur uuur
Lời giải. Ta có AO - DO = OD - OA = AD = BC . Chọn B.

(

A

)

B
O

D

C

Câu 27. Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uur uuur uuur r
uuur uuur uuur
A. OA + OB + OC + OD = 0.
B. AC = AB + AD.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuur uuur
uuur uuur
C. BA + BC = DA + DC .

uuur uuur uuur uur
D. AB + CD = AB + CB.

Lời giải. Xét các đáp án:
uur uur uuur uuur
uur uuur
uur uuur
r
 Đáp án A. Ta có OA + OB + OC + OD = OA + OC + OB + OD = 0.
uuur uuur uuur
A
 Đáp án B. Ta có AB + AD = AC (quy tắc hình bình
hành).
uuur uuur
uuur
ìï BA
+ BC = BD = BD
ïï
D
 Đáp án C. Ta có í uuur uuur
.
r

ïï DA + DC = uuu
DB = BD
ïïî
uuur uur
uuur uuur
uuur uur
 Đáp án D. Do CD ¹ CB Þ AB + CD ¹ AB + CB .

(

(

) (

) (

)

B
O
C

)

Chọn D.
Câu 28. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC .
Đẳng thức nào sau đây sai?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. DO = EB - EO.

B. OC = EB + EO.
uur uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur r
C. OA + OC + OD + OE + OF = 0.
D. BE + BF - DO = 0.
Lời giải.
Ta có OF , OE lần lượt là đường trung bình của tam giác D BCD
A
E
B
và D ABC .
F
O
Þ BEOF là hình bình hành.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur
C
BE + BF = BO Þ BE + BF - DO = BO - DO = OD - OB = BD. D
Chọn D.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
A. GA + GC + GD = BD.
B. GA + GC + GD = CD.
uuur uuur uuur ur
uuur uuur uuur uuur
C. GA + GC + GD = O.
D. GA + GD + GC = CD.
Lời giải.

B

C
G

A

D

uuur uuur uuur ur
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA + GB + GC = O.
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
Do đó GA + GC + GD = GA + GC + GB + BC + CD = GA + GB + GC + BC + CD
uuur uuur uuur
= BC + CD = BD . Chọn A.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuur
uuur uuur uuur r
A. AC = BD.
B. AB + AC + AD = 0.
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
C. AB - AD = AB + AD
D. BC + BD = AC - AB .

(

) (

)

Lời giải.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuur uuur
uuur
uuur uuur
uuur
Ta có AB - AD = DB = BD; AB + AD = AC = AC .
uuur uuur
uuur uuur
Mà BD = AC Þ AB - AD = AB + AD
Chọn C.

A

B

D

C

Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

uuur uuur
Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Khi đó AB + AC bằng:
uuur
A. AB +
uuur
C. AB +

uuur
AC = a 3.
uuur
AC = 2a. D. Một đáp án khác.

uuur uuur
a 3
B. AB + AC =
.
2

Lời giải.
Gọi H là trung điểm của BC Þ AH ^ BC.

A

BC 3 a 3
Suy ra AH =
=
.
2

2
uuur uuur
uuur
a 3
Ta lại có AB + AC = 2 AH = 2.
= a 3.
2

B

C

H

uuur uuur
Câu 32. Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB = a . Tính AB + AC .
uuur
A. AB +
uuur
C. AB +

uuur
AC = a 2.
uuur
AC = 2a.

uuur
B. AB +
uuur
D. AB +

Lời giải.
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình vuông.
uuur uuur
uuur
Þ AB + AC = AD = AD = a 2.

uuur
a 2
AC =
.
2
uuur
AC = a.
B

D

A

C

Chọn A.

uuur uuur
Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C , AB = 2 . Tính độ dài của AB + AC .
uuur uuur
uuur uuur
A. AB + AC = 5.
B. AB + AC = 2 5.

uuur uuur
uuur uuur
C. AB + AC = 3.
D. AB + AC = 2 3.

Lời giải.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A

C
Ta có AB =

B

I

2¾¾
® AC = CB = 1.

5
.
2
uuur uuur
uur
uuur uuur
uur
5

Khi đó AC + AB = 2 AI ¾ ¾
® AC + AB = 2 AI = 2.
=
2
Gọi I là trung điểm BC ¾ ¾
® AI =

AC 2 + CI 2 =

5. Chọn A.
uur uuur
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 . Tính CA + AB .
uur uuur
uur uuur
uur uuur
uur uuur
A. CA + AB = 2. B. CA + AB = 2 13. C. CA + AB = 5.
D. CA + AB = 13.
Lời giải. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
uur uuur
uur
Ta có CA + AB = CB = BC = AC 2 + AB 2 = 32 + 42 = 5 . Chọn C.
uuur uuur
·
Câu 35. Tam giác ABC có AB = AC = a, ABC
= 120° . Tính độ dài vectơ tổng AB + AC .
uuur uuur
uuur uuur
A. AB + AC = a 3.
B. AB + AC = a.

uuur uuur
uuur uuur
a
C. AB + AC = . D. AB + AC = 2a.
2
Lời giải.
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình thoi.
uuur uuur
uuur
Ta có AB + AC = AD = AD.
·
= 120 0
ABDC là hình thoi có ABC
Þ D ABD và D ADC là hai tam giác đều Þ AD = AB = a.
Chọn B.

A

B

C

D

uur uuur
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a , H là trung điểm của BC . Tính CA - HC .
uur uuur
uur uuur
uur uuur

uur uuur
a
3a
2 3a
a 7
.
. D. CA - HC =
A. CA - HC = . B. CA - HC =
C. CA - HC =
.
2
2
3
2
Lời giải.
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành.
A
D
Þ AHBD là hình chữ nhật.
uur uuur
uur uuur
uuur
CA - HC = CA + CH = CD = CD.
Ta có: CD =

BD 2 + BC 2 =

AH 2 + BC 2 =

3a 2

a 7
+ a2 =
.
4
2

B

H

C

Chọn D.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 . Tính độ dài của
r uuur uuur
vectơ v = GB + GC .
r
r
r
r
A. v = 2.
B. v = 2 3.
C. v = 8.
D. v = 4.
Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC .

uuur uuur uuur r
uuur uuur
uuur
Ta có GA + GB + GC = 0 Þ GB + GC = GA = GA
Mà GA =

2
2 1
BC
AM = . .BC =
= 4.
3
3 2
3

B
M
G
C

A

Chọn D.

uuur uuur
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a, BD = a . Tính AC + BD .
uuur uuur
uuur uuur
A. AC + BD = 3a.
B. AC + BD = a 3.

uuur uuur
uuur uuur
C. AC + BD = a 5.
D. AC + BD = 5a.
Lời giải.
Gọi O = AC Ç BD .
Gọi M là trung điểm của CD
uuur uuur
uuur uuur
uuur
AC + BD = 2 OC + OD = 2 2OM = 4OM

B

A

1
a2
= 4. CD = 2 OD 2 + OC 2 = 2
+ a 2 = a 5.
2
4
Chọn C.
uuur uuur
Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính AB - DA .
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AB - DA = 0. B. AB - DA = a.
C. AB - DA = a 2.

uuur uuur
uuur uuur
uuur
Lời giải. Ta có AB - DA = AB + AD = AC = AC = a 2. Chọn C.
uur uuur
Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Tính OB + OC .

uur uuur
uur uuur
A. OB + OC = a. B. OB + OC = a 2.
Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC .
uur uuur
uuur
Þ OB + OC = 2 OM = 2OM = AB = a.

uur uuur
a
C. OB + OC = .
2

C

O
M
D

uuur uuur
D. AB - DA = 2a.

uur uuur
a 2
D. OB + OC =
.
2
A

Chọn A.

B

O
D

M

C

Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur uuur uuur r
Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí
điểm M .
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng C .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


D. M là trọng tâm tam giác ABC .

Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác D ABC .
uuur uuur uuur r
Ta có GA + GB + GC = 0 Þ M º G . Chọn D.

uuur uuur
uuur uuur
Câu 42. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MB - MC = BM - BA là?
A. đường thẳng AB.
B. trung trực đoạn BC .
C. đường tròn tâm A, bán kính BC .
D. đường thẳng qua A và song song với BC .
uuur uuur
uuur uuur
uur
uuuur
Lời giải. Ta có MB - MC = BM - BA Û CB = AM Þ AM = BC
Mà A, B, C cố định Þ Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính BC .
Chọn C.
uuur uuur uuur uuuur
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB - MC = MD
là?
A. một đường tròn.
B. một đường thẳng.
C. tập rỗng.
D. một đoạn thẳng.
Lời giải.
uuur uuur uuur uuuur
uuur uuur uuuur uuur
A
MA + MB - MC = MD Û MB - MC = MD - MA

B
uur uuur
Û CB = AD sai
Þ Không có điểm M thỏa mãn.
D
C
Chọn C.
uuur uuur uuur
Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M .
A. M là trung điểm của AC .
B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC .
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM .
Lời giải.
A
Gọi I là trung điểm của BC .
uuur uuur
uuur
M
Þ MB + MC = 2 MI
uuur
uuur
Þ AB = 2 MI Þ M là trung điểm AC .
C
B
Chọn A.
I
uuur uuur uuur r
Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA - MB + MC = 0 . Mệnh đề
nào sau đây sai?

uuuur uuur uuur
A. MABC là hình bình hành.
B. AM + AB = AC .
uuur uuur
uuur uuur uuur
C. BA + BC = BM .
D. MA = BC .
Lời giải.
uuur uuur uuur r
uuur uuur r
uuur uuur
A
M
Ta có MA - MB + MC = 0 Û BA + MC = 0 Û MC = AB
Þ MABC là hình bình hành.
Chọn A.
B

C

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất