VECTO TRỤC tọa độ và hệ TRỤC tọa độ (lý thuyết, các dạng bài tập có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
I.TRỤC TỌA ĐỘ:
1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác
r
r
r vị i ( tức là i = 1 )
định một điểm O và một vectơ đơn
i

x'

O

x

Hình 1.30

r
Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu
r
(O ; i ) hay x ' Ox hoặc đơn giản là Ox

2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:
r
ur
r
ur
+ Cho vec tơ u nằm trên trục (O ; i ) thì có số thực a sao cho u = a i với a Î R . Số a như
uur

r
thế được gọi là tọa độ của vectơ u đối với trục (O ; i )

uuur
r
ur
+ Cho điểm M nằm trên (O ; i ) thì có số m sao cho OM = m i . Số m như thế được gọi là
r
tọa độ của điểm M đối với trục (O ; i )
uuur
Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM

3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :

uuur
Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB kí hiệu là AB và gọi là độ
uuur
dài đại số của vectơ AB trên trục Ox
uuur
r
Như vậy AB = AB.i

Tính chất :
+ AB = - BA
uuur uuur
+ AB = CD Û AB = CD


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
ur

+ " A; B; C Î (O ; i ) : AB + BC = AC

II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục
vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị
r r
lần lượt là i , j . Điểm O gọi là gốc tọa độ,

Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục

y
K
O

tung.
r r
Kí hiệu Oxy hay O ; i , j

(

)

M
H x

Hình 1.31

2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .
r
r

r
r r
+ Trong hệ trục tọa độ O ; i , j nếu u = xi + y j thì cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của
r
r
r
vectơ u , kí hiệu là u = (x; y) hay u(x; y) .

(

)

r
x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u
uuur
r r
+ Trong hệ trục tọa độ O ; i , j , tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu

(

)

là M = (x; y) hay M (x; y). x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.
Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì
uuur
r
r uuur uuur
M (x; y) Û OM = xi + y j = OH + OK
uuur
r uuur

r
Như vậy OH = xi , OK = y j hay x = OH , y = OK

3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.
+ Cho A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M (xM ; y M ) của
đoạn thẳng AB là xM =

x A + xB
y + yB
, yM = A
2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
+ Cho tam giác ABC có A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C (xC ; yC ). Tọa độ trọng tâm G (xG ; yG )
của tam giác ABC là xG =

x A + xB + xC
y + yB + yC
và yG = A
3
2

4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
ur
r
Cho u = ( x; y) ; u ' = ( x '; y ') và số thực k. Khi đó ta có :

r ur ìï x = x '

1) u = u ' Û ïí
ïïî y = y '
r r
2) u ± v = ( x ± x '; y ± y ')

r
3) k.u = ( kx; ky )
ur
r r r
4) u ' cùng phương u ( u ¹ 0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho

ìï x ' = kx
ïí
ïïî y ' = ky

uuur
5) Cho A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) thì AB = (xB - xA ; yB - y A )
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và
r
chứng minh hệ thức liên quan trên trục (O ; i )
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
uuur
r
• Điểm M có tọa độ a Û OM = a.i
uuur
r
uuur
• Vectơ AB có độ dài đại số là m = AB Û AB = mi

• Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB = b - a
• Các tính chất
+ AB = - BA
uuur uuur
+ AB = CD Û AB = CD

ur
+ " A; B; C Î (O ; i ) : AB + BC = AC


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
2. Các ví dụ.
r
Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là

–2 ; 1 và 4.
uuur uuur uuur
a) Tính tọa độ các vectơ AB ; BC ; CA

b) Chứng minh B là trung điểm của AC.
Lời giải:
a) Ta có AB = 1 + 2 = 3 , BC = 3, CA = - 6
uuur
uuur
b) Ta có BA = - 3 = - BC Þ BA = - BC suy ra B là trung điểm AC

r
Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; i ) cho 4 điểm A, B, C , D bất kỳ. Chứng minh

AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0

Lời giải:
Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d.
Ta có AB.CD = (b - a)(d - c) = bd + ac - bc - ad

AC.DB = (c - a)(b - d) = bc + ad - cd - ab
AD.BC = (d - a)(c - b) = cd + ab - ac - bd
Cộng vế với vế lại ta được AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0
Cách 2: AB.CD + AC.DB + AD.BC =

(

)

(

)

(

AB. AD - AC + AC. AB - AD + AD. AC - AB

)

= AB.AD - AB.AC + .AC.AB - AC.AD + AD.AC - AD.AB
= 0

3. Bài tập luyện tập.
r

Bài 1.80.Trên trục tọa độ (O; i ) Cho 2 điểm A và B có tọa độ lần lượt a và b .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur
uuur
a)Tìm tọa độ điểm M sao cho MA = kMB ( k ¹ 1)

A. xM =

kb - a
2k - 1

B. xM =

kb - 2a
k- 1

kb - a
k- 2

C. xM =

2a + b
2

C. xI =

a+ b
3

D. xM =

kb - a
k- 1

b)Tìm tọa độ trung điểm I của AB
A. xI =

a- b
2

B. xI =

D. xI =

a+ b
2

c)Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA = - 5NB
A. xN =

4b + 2 a
7

B. xN =

5b + 2a
7

C. xN =

5b + 4a
7

D. xN =

5b + 3a
7

Lời giải:
Bài 1.80: a) xM =

5b + 2a
kb - a
a+ b
b) xI =
c) xN =
k- 1
7
2

r
Bài 1.81.Trên trục (O ; i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là a ; b ; c . Tìm điểm I
uur uur uur ur
sao cho : IA + IB + IC = 0

a+ b+ c
2

A. xI =

a+ b+ c
4

B. xI =

C. xI =

a+ b+ c
3

D. xI = 2

a+ b+ c
3

Lời giải:
Bài 1.81: xI =

a+ b+ c
3

r
Bài 1.82. Trên trục tọa độ (O ; i ) cho 4 điểm A, B, C , D có tọa độ lần lượt là a, b, c , d

và thỏa mãn hệ thức 2( ab + cd) = ( a + b)(c + d) . Chứng minh rằng

DA
DB

=-

CA
CB


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
Bài 1.82: Ta có

DA
DB

=-

CA
CB

Û

a- d
a- c
=b- d
b- c

Û ab - ac - bd + cd = bc - ab - cd + ad
Û 2( ab + cd) = c( a + b) + d( a + b)
Û 2( ab + cd) = ( a + b)(c + d)

 DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy .
1. Phương pháp.
r
• Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sau
uuur r
Dựng vectơ OM = a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy . Khi
r
đó a (a1 ; a2 ) với a1 = OH , a2 = OK
uuur
• Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA

uuur
• Nếu biết tọa độ hai điểm A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) suy ra tọa độ AB được xác định theo
công
uuur
thức AB = (xB - xA ; yB - y A )
Chú ý: OH = OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH = - OH nếu H nằm trên tia
đối tia Ox (hoặc Oy )
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho

y

điểm M (x; y).
Tìm tọa độ của các điểm

M(x;y)
M2
O
M3

x
M1

Hình 1.32


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
a) M1 đối xứng với M qua trục hoành
A. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (- x; - y)
B. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (x; y)
C. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (x; - y)
D. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (- x; y)
b) M 2 đối xứng với M qua trục tung
A. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 (- x; - y)
B. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 (x; y)
C. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 (x; - y)
D. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 (- x; y)
c) M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ
A. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M 3 (- x; y)
B. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 (- x; - y)
C. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M 3 (x; - y)
D. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M 3 (x; y)
Lời giải:
(hình 1.32)
a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 (x; - y)
b) M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 (- x; y)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

c) M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 (- x; - y)
r r
Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1; 3) . Biết
uuur uuur
r
uuur
r
điểm B thuộc trục (O; i ) và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AB, BC và
uuur
AC

uuur
A. AB(0; - 3)

uuur
B. BC (3; 0)

uuur
C. AC (3; - 3)

D. Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:

(hình 1.33)
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ
(hình bên)
Vì điểm A(1; 3) suy ra AB = 3, OB = 1

y
A

D

Do đó B (1; 0), C (4; 0), D (4; 3)

uuur
uuur
uuur
Vậy AB(0; - 3), BC (3; 0) và AC (3; - 3)

O
O

B

Cx

Hình 1.33

·
= 60 0 . Biết
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD

A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox và xB ³ 0, y B ³ 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của
hình thoi ABCD

æa 3 a ö
æa 3
aö
÷

÷
çç
÷
; ÷
,
C
a
3;
a
,
D
;
A. A (0; 0), B ççç
÷
÷
ç
÷
÷
çè 2 2 ø
2ø
÷
÷
èç 2

(

)

æ a 3 aö
æ a 3

aö
÷
÷
; ÷
, C a 3; 0 , D ççç;- ÷
B. A (0; 0), B ççç÷
÷
÷
÷
çè 2 2 ø
2ø
÷
÷
èç 2

(

)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

æa 3 a ÷
ö
æa 3
aö
÷
ç
ç
÷

ç
ç
C. A (0; 0), B ç
; ÷, C - a 3; 0 , D ç
;- ÷
÷
÷
÷
çè 2 2 ÷
2ø
÷
ø
èç 2

(

)

æa 3 a ö
æa 3
aö
÷
÷
çç
÷
D. A (0; 0), B ççç
; ÷
,
C
a

3;
0
,
D
;
÷
÷
ç
÷
÷
çè 2 2 ø
2ø
÷
÷
èç 2

(

)

Lời giải:
(hình 1.34)

y

Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt

B

phẳng tọa độ Oxy

C

Gọi I là tâm hình thoi ta có

A

· = a sin 300 = a
BI = AB sin BAI
2
AI =

AB2 - BI 2 =

Suy ra A (0; 0),

a2 -

I

x

D

a2
a 3
=
4
2

Hình 1.34

æa 3 a ö
æa 3
aö
÷
÷
B ççç
; ÷
, C a 3; 0 , D ççç
;- ÷
÷
÷
÷
÷
çè 2 2 ø
2ø
÷
÷
èç 2

(

)

3. Bài tập luyên tập.
r r
Bài 1.83: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho tam giác đều ABC cạnh a, biết O là trung
uuur r
uuur

r
điểm BC, i cùng hướng với OC , j cùng hướng OA .

a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC

æ a 3÷
ö
÷
A. A ççç0;
÷
çè
2 ÷
÷
ø

æ a ö
B. B çç- ; 0÷
÷
çè 2 ÷
ø

æa ö
C. C çç ; 0÷
÷
çè 2 ÷
ø

D.Cả A, B, C đều đúng

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

æ a a 3÷
ö
ç
÷
ç
A. E ç- ; ÷
÷
çè 4
4 ø
÷

æa a 3 ö
÷
÷
B. E ççç ;
÷
çè 4 4 ÷
÷
ø

æa a 3 ÷
ö
ç
÷
ç
C. E ç ;

÷
÷
çè 3 3 ø
÷

æa a 3 ö
÷
÷
D. E ççç ;
÷
çè 2 2 ÷
÷
ø

c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

æ a 3ö
÷
÷
A. G ççç0;
÷
çè
2 ÷
÷
ø

æ a 3ö
÷
÷
B. G ççç0;

÷
çè
3 ÷
÷
ø

æ a 3ö
÷
÷
C. G ççç0;
÷
çè
4 ÷
÷
ø

æ a 3ö
÷
÷
D. G ççç0;
÷
çè
6 ÷
÷
ø

Lời giải:

æ a 3÷
ö

÷
Bài 1.83: a) A ççç0;
,
÷
÷
çè
2 ø
÷

æ a ö æa ö
÷
ç
B çç- ; 0÷
÷
÷
÷, C èçç 2 ; 0ø
÷
çè 2 ø

æa a 3 ö
÷
÷
b) E ççç ;
÷
çè 4 4 ÷
÷
ø

æ a 3ö
÷

÷
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm G ççç0;
÷
çè
6 ÷
÷
ø
r r
Bài 1.84: Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), Cho hình thoi ABCD tâm O có
r
uuur
uuur
r
AC = 8, BD = 6 . Biết OC và i cùng hướng, OB và j cùng hướng.

a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi
A. A (4; 0), C (4; 0), B (1; 3), D (0; - 3)
B. A (- 4; 0), C (4; 0), B (1; 3), D (0; 3)
C. A (- 4; 0), C (4; 0), B (0; 3), D (0; - 3)
D. A (- 4;1), C (4;1), B (1; 3), D (0; - 3)
b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm tam giác ABC

æ 3ö
A. I çç2; ÷
÷, G (2;1)
çè 2 ÷
ø

æ 3ö
B. I çç2; ÷

÷, G (0;1)
çè 2 ÷
ø


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

æ
ö
3ö æ
çç 2 ;1÷
D. I çç- 2; - ÷
,
G
÷
÷ èç 3 ø÷
÷
çè
2ø

æ 3ö æ 1ö
C. I çç2; ÷
÷, G çç2; ÷
÷
çè 2 ø
÷ èç 3 ø
÷
Lời giải:
Bài 1.84: a) A (- 4; 0), C (4; 0), B (0; 3), D (0; - 3)

æ 3ö
b) I çç2; ÷
÷, G (0;1)
çè 2 ÷
ø
Bài 1.85: Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD = 3,
r
uuur
r r
·
BAD
= 60 0 . Chọn hệ trục tọa độ A; i , j sao cho i và AD cùng hướng, y B > 0 . Tìm

(

)

Khẳng định sai?

uuur
A. AB =

(

)

3; 3

uuur
B. AC = 4 + 3; 3

(

uuur
C. CD =

(

)

)

3; - 3

uuur
D. BC = (4; 0)

Lời giải:
Bài 1.85: Kẻ BH ^ AD Þ BH = 3; AB = 2 3; AH =
A(0; 0) ; B( 3; 3) C(4 + 3; 3) D(4; 0)
uuur
uuur
uuur
AB = 3; 3 BC = (4; 0) CD = - 3; - 3
uuur
AC = 4 + 3; 3

(
(

)

(

3

)

)

r r
Bài 1.86: Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), trong đó O là tâm
uuur r
uuur
r
lục giác đều , i cùng hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác

đều , biết cạnh của lục giác là 6 .

(

) (

) (

) (

A. A(- 6; 0), D (6; 0), B - 3; - 3 3 , C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3

)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

(

) (

) (

) (

B. A(- 6; 0), D (6; 0), B - 3; 3 3 , C 3; 3 3 , F 3; 2 3 , E 3; - 3 3

,

)

C. A(- 6;1), D (6;1), B - 3; 3 3 , C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

D. A(- 6; 0), D (6; 0), B - 3; 3 3 , C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3
Lời giải:

(

)

Bài 1.86: ĐS: A(- 6; 0), D (6; 0), B - 3; 3 3 ,

(

) (

) (

C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3

)

 DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng

r r r r
r
u + v, u - v, k u
1. Phương pháp.
r r r r
r
Dùng công thức tính tọa độ của vectơ u + v , u - v , k u
ur
r
r r
r
Với u = ( x; y) ; u ' = ( x '; y ') và số thực k, khi đó u ± v = ( x ± x '; y ± y ') và k.u = ( kx; ky )

2. Các ví dụ.

r
ur
r
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: a = ( 3; 2) b = ( - 1; 5) c = ( - 2 ; - 5)
Tìm tọa độ của vectơ sau
r
r
r
r
r
r
r
a) u + 2 v với u = 3i - 4 j và v = p i

r

r
r
r
A. u + 2v = (1 + p ; - 4) B. u + 2v = (3 + p ; 4)

r
r
C. u + 2v = (3 + 2p ; - 4)

r
r
D. u + 2v = (3 + p ; - 4)

r
r r
r
r
r
ur
b) k = 2 a + b và l = - a + 2b + 5c

ur
A. k = (5; 9)

r
B. l = (- 15; - 17 )


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
C. Ca A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai
Lời giải:

r
r
r
r
r
r
r
r
r
a) Ta có u + 2v = 3i - 4 j + p i = (3 + p )i - 4 j suy ra u + 2v = (3 + p ; - 4)
ur
ur
ur
b) Ta có 2 a = (6; 4) b = (- 1; 5) suy ra k = (6 - 1; 4 + 5) = (5; 9) ;
ur
ur
ur
- a = (- 3; - 2), 2b = (- 2;10) và 5c = (- 10; - 25) suy ra

r
l = (- 3 - 2 - 10; - 2 + 10 - 25) = (- 15; - 17 )
r
r
r
r
Ví dụ 2: Cho a = (1; 2), b = (- 3; 4) ; c = (- 1; 3) . Tìm tọa độ của vectơ u biết

r
r r r
a) 2u - 3a + b = 0

r
A. u = (2;1)

r
C. u = (- 3;1)

r
B. u = (3;1)

r
D. u = (3; 2)

r
r
r
r
b) 3u + 2a + 3b = 3c

r
A. u =

æ7 7 ö
çç ; - ÷
÷
÷
çè 3 3 ø

r
B. u =

æ4 7 ö
çç ; - ÷
÷
÷
çè 2 2 ø
Lời giải:

r
r r r
r 3r 1r
a) Ta có 2u - 3a + b = 0 Û u = a - b
2
2
r
Suy ra u =

æ3 3
ö
çç + ; 3 - 2÷
÷
÷= (3;1)
çè 2 2
ø

r
r

r
r
r
2r r r
b) Ta có 3u + 2a + 3b = 3c Û u = - a - b + c
3
r æ 2
4
Suy ra u = çç- + 3 - 1; - - 4 +
çè 3
3

ö
3÷
÷
÷=
ø

æ4 7 ö
çç ; - ÷
÷
÷
èç 3 3 ø

Ví dụ 3: Cho ba điểm A (- 4; 0), B (0; 3) và C (2;1)

r
C. u =

æ5 7 ÷

ö
çç ; - ÷
çè 3 3 ÷
ø

r
D. u =

æ4 7 ö
çç ; - ÷
÷
÷
çè 3 3 ø


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
r
uuur uuur
a) Xác định tọa độ vectơ u = 2 AB - AC

r
A. u = (1; 5)

r
B. u = (- 2; 5)

r
C. u = (2; 4)

r

D. u = (2; 5)

æ1 3 ö
C. M çç ; ÷
÷
çè 3 2 ø÷

æ1 3 ö
D. M çç ; ÷
÷
çè 3 4 ø÷

uuur
uuur
uuur r
b) Tìm điểm M sao cho MA + 2 MB + 3 MC = 0

æ1 3 ö
A. M çç ; ÷
÷
çè 2 2 ø÷

æ 1 3ö
B. M çç- ; - ÷
÷
çè 3 2 ÷
ø
Lời giải:

uuur

r
uuur
a) Ta có AB (4; 3), AC (6;1) suy ra u = (2; 5)

uuur
uuur
uuur
b) Gọi M (x; y), ta có MA (- 4 - x; - y), MB (- x; 3 - y), MC (2 - x;1 - y)
uuur
uuur
uuur
Suy ra MA + 2 MB + 3 MC = (- 6 x + 2; - 6 y + 9)
ìï
uuur
uuur
uuur r ìï - 6 x + 2 = 0 ïïï x =
Û í
Do đó MA + 2 MB + 3 MC = 0 Þ ïí
ïïî - 6 y + 9 = 0 ïï
ïï y =
ïî

1
3
3
2

æ1 3 ö
Vậy M çç ; ÷
÷

èç 3 2 ø÷
3. Bài tập luyện tập.

ur
ur æ 1 ö ur
Bài 1.87.Cho các vecto a = ( 2; 0), b = çç- 1; ÷
÷
÷, c = (4 ; 6) .
çè
2ø
r
Tìm tọa độ vectơ u biết

ur
ur
ur
ur
a) u = 2 a - 4b + 5c
ur
A. u = (2; - 8)

ur
B. u = (8; - 28)

ur
C. u = (28; - 28)

ur
D. u = (8; - 8)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
ur
ur
r r
b) a - 2b + 2u = c

ur
7
A. u = (- 2; )
2

ur
3
B. u = (0; )
2

ur
7
C. u = (0; )
2

ur
7
D. u = (- 1; )
2

Lời giải:
ur
Bài 1.87: ĐS: a) u = (28; - 28)

ur
7
b) u = (0; )
2

Bài 1.88. Cho ba điểm A (- 4; 0), B (- 5; 0) và C (3; - 3)
r uuur
uuur
uuur
a) Tìm tọa độ vectơ u = AB - 2 BC + 3CA

r
A. u(- 3; 3)

r
B. u(- 8; 3)

r
C. u(- 38; 3)

r
D. u(- 38; 33)

C. M (2; 1)

D. M (- 2; - 1)

uuur uuur uuur r
b) Tìm điểm M sao cho MA + MB + MC = 0

A. M (- 2;1)

B. M (2; - 1)
Lời giải:

r
Bài 1.88: ĐS: a) u(- 38; 3) b) M (- 2; - 1)
 DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình
1. Phương pháp.
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức
+ M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra xM =

+ G trọng tâm tam giác ABC suy ra xG =

r
ur
+ u(x; y) = u ' (x '; y ') Û
2. Các ví dụ.

ìï x = x '
ïí
ïïî y = y '

x A + xB
y + yB
, yM = A
2
2

xA + xB + xC
y + yB + yC
, yG = A
3
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(2;1), B(- 1; - 2), C(- 3; 2) .
a) Tìm tọa độ trung điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MB
A. M (- 5; 6)

B. M (5; 3)

C. M (- 5; - 6)

D. M (5; 6)

æ 1 1ö
C. G çç- ; ÷
÷
çè 3 3 ÷
ø

æ2 1 ö
D. G çç ; ÷
÷
çè 3 3 ø÷

C. D (2; 5)

D. D (1; 5)

b) Xác định trọng tâm tam giác ABC

æ 2 2ö
A. G çç- ; ÷
÷
çè 3 3 ÷
ø

æ 2 1ö
B. G çç- ; ÷
÷
÷
çè 3 3 ø

b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
A. D (0; 4)

B. D (0; 5)
Lời giải:

a) C là trung điểm của MB suy ra xC =
và yC =

x M + xB
Þ xM = 2 xC - xB = - 5
2

y M + yB
Þ yM = 2 yC - yB = 6
2

Vậy M (- 5; 6)
b) G là trọng tâm tam giác suy ra

xG =

xA + xB + xC 2 - 1 - 3
y + yB + yC 1 - 2 + 2 1
2
=
=
==
và yG = A
3
2
3
3
3
3

æ 2 1ö
Vậy G çç- ; ÷
÷
÷
çè 3 3 ø
uuur
c) Gọi D( x; y ) Þ DC = (- 3 - x; 2 - y)

Ta có: ABCD là hình bình hành suy ra

uuur uuur ìï - 3 - x = - 3
AB = DC Û ïí
Û
ïïî 2 - y = - 3

ìï x = 0
ïí
Þ D(0; 5) .
ïïî y = 5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Vậy D (0; 5)
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A (3; - 1), B (- 1; 2) và I (1; - 1) . Xác định tọa
độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác

ABC . Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD .
æ 7ö
A. O çç3; - ÷
÷
÷
çè
2ø

æ
5ö
C. O çç- 2; - ÷

÷
÷
çè
2ø

æ
5ö
B. O çç2; - ÷
÷
÷
çè
2ø

æ 5ö
D. O çç2; ÷
÷
çè 2 ø÷

Lời giải:
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên

xI =

xA + xB + xC
Þ xC = 3xI - xA - xB = 1
3

yI =

y A + yB + yC

Þ yC = 3 yI - y A - yB = - 4
2

suy ra C (1; - 4)
Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra

uuur uuur ìï - 1 - 3 = 1 - x
ìï x = 5
D
AB = DC Û ïí
Û ïí D
Þ D(5; - 7)
ïïî 2 + 1 = - 4 - yD ïïî yD = - 7
Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó

xO =

æ
xA + xC
y + yC
5
5ö
= 2, yO = A
= - Þ O çç2; - ÷
÷
çè
2
2
2
2÷

ø

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.89: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1), C(- 1; - 2)
a) Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
æ4 ö
æ1 1 ö
A. I çç ; - ÷
B. G çç ;1÷
÷
÷
çè 3 ø÷
çè 2 2 ø÷
C.Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
A. D (5;1)
B. D (0;1)
C. D (3;1)

D. D (2;1)

Lời giải:

æ1 1 ö
æ4 ö÷

çç ;1÷
Bài 1.89: a) Trung điểm BC là I çç ; - ÷
,
trọng
tâm
của
tam
giác
là
G
ABC
÷
çè 3 ø÷
çè 2 2 ø÷

uuur uuur
b) Tứ giác ABCD là hình bình hành Û AB = DC Û

ìï x = 0
ïí
Þ D (0;1)
ïïî y = 1

Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A (3; 4), B (- 1; 2), I (4;1). Xác định tọa độ các
điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD. Tìm tọa
tâm O của hình bình hành ABCD .

æ9 ö
A. C (2; - 2), D (3; 0), O çç ; 2÷
÷

÷
çè 2 ø

B. C (1; - 2), D (- 6;1), O (3; 2)

æ9
C. C (3; - 2), D (3; 0), O çç ; çè 2

æ9 ö
D. C (2; - 2), D (6; 0), O çç ; 2÷
÷
÷
çè 2 ø

ö
2÷
÷
÷
ø
Lời giải:

Bài 1.90: Do I (4; - 1) là trung điểm của CD nên đặt
uuur
C (4 - x; - 1 - y), D (4 + x; - 1 + y) Þ CD (2 x; 2 y)

uuur uuur
Tứ giác ABCD là hình bình hành Û CD = BA Û

ìï x = 2
ïí

ïïî y = 1

æ9 ö
Vậy C (2; - 2), D (6; 0), O çç ; 2÷
÷
÷
çè 2 ø
Bài 1.91: Cho tam giác ABC có A (3;1), B (1; - 3) , đỉnh C nằm trên Oy và trọng tâm G
nằm trên trục Ox . Tìm tọa độ đỉnh C
A. C (0; 2)

B. C (0; - 2)

C. C (0; 4)

D. C (0; 3)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
Bài 1.91: Từ giả thiết ta có C (0; y), G (x; 0)
ìï
ìï x A + xB + xC = 3xG
ïï x = 4
ï
Û í
G là trọng tâm tam giác nên í
3
ïïî y A + y B + yC = 3 yG
ïï

y
=
2
ïî

Vậy C (0; 2)
Bài 1.92: Cho tam giác ABC có M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Biết
M(1;1), N(- 2; - 3), P(2; - 1) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .

A. B (5; 3)

B. C (- 3; - 1)

C. A (- 1; - 5)

D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:

uuuur
uuur
uuuur uuur
Bài 1.92: Ta có MN (- 3; - 4), PA (xA - 2; y A + 1), MN = PA Þ A (- 1; - 5)
N là trung điểm AC suy ra C (- 3; - 1)
M là trung điểm BC suy ra B (5; 3)
Bài 1.93: Cho tam giác ABC có A (3; 4), B (- 1; 2), C (4;1). A' là điểm đối xứng của A qua
B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A.
a) Tìm tọa độ các điểm A', B', C'
A. A ' (- 5; 0)

B. B ' (9; 0)

C. C ' (2; 7 )

D.Cả A, B, C đều đúng

b) Chứng minh các tam giác ABC và A ' B ' C ' có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Bài 1.93: a) A' là điểm đối xứng của A qua B suy ra B là trung điểm của AA' do đó


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
A ' (- 5; 0). Tương tự B ' (9; 0), C ' (2; 7 )

æ 7ö
b) Trọng tâm của tam giác ABC và A ' B ' C ' có cùng tọa độ là çç2; ÷
÷
÷
çè 3 ø

 DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một
vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
1. Phương pháp.
ur
r
ur
r r r
• Cho u = ( x; y) ; u ' = ( x '; y ') . Vectơ u ' cùng phương với vectơ u ( u ¹ 0 ) khi và chỉ
ìï x ' = kx
khi có số k sao cho ïí
ïïî y ' = ky

ur
r
x' y'
Chú ý: Nếu xy ¹ 0 ta có u ' cùng phương u Û
=
x
y

r
r
r
• Để phân tích c (c1 ; c2 ) qua hai vectơ a (a1 ; a2 ), b (b1 ; b2 ) không cùng phương, ta giả
r
r
r
ìï a x + b1 y = c1
sử c = xa + yb . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình ïí 1
ïïî a2 x + b2 y = c2
2. Các ví dụ.

r
r
r
Ví dụ 1: Cho a = (1; 2), b = (- 3; 0) ; c = (- 1; 3)
a) Khẳng định nào sau đây đúng

r r
A. hai vectơ a ; b không cùng phương

r r

B. hai vectơ a ; b cùng phương
r r
C. hai vectơ a ; b song song
r r
D. hai vectơ a ; b ngược chiều
r
r r
b) Phân tích vectơ c qua a ; b

r
2r 5r
A. c = - a + b
3
9

r 1r 4r
B. c = a + b
3
9


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

r 2r 5r
D. c = a + b
3
9

r 4r 7r
C. c = a + b

3
9
Lời giải:
a) Ta có

r
- 3 0 r
¹
Þ a và b không cùng phương
1
2

r
r
r
r
r
b) Giả sử c = xa + yb . Ta có xa + yb = (x - 3 y; 2 x)

ìï
ï
ìï x - 3 y = - 1 ïï x =
ï
Û í
Suy ra í
ïïî 2 x = 3
ïï
ïï y =
ïî

2
r
r
r
3 Þ c = 2 a+ 5 b
5
3
9
9

ur
r r
ur
Ví dụ 2: Cho u = (m2 + m - 2 ; 4) và v = ( m; 2) . Tìm m để hai vecto u , v cùng phương.

A. m = 1 và m = 2

B. m = - 1 và m = - 2

C. m = - 1 và m = 3

D. m = - 1 và m = 2
Lời giải:

ur
ur
+ Với m = 0 : Ta có u = (- 2; 4) ; v = (0; 2)

Vì

ur ur
0
2
nên hai vectơ u ; v không cùng phương
¹
- 2 4

ur ur
+ Với m ¹ 0 : Ta có u ; v cùng phương khi và chỉ khi

m2 + m - 2 4
= Û m2 - m - 2 = 0 Û
m
2

ém = - 1
ê
êm = 2
ë

Vậy với m = - 1 và m = 2 là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6; 3), B(- 3; 6), C(1; - 2) .
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
b) Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng.


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii
A. D (15; 0)

C. D (6; 0)

B. D (1; 0)

D. D (5; 0)

c) Xỏc nh im E trờn cnh BC sao cho BE = 2EC

ổ 1 1ử
A. E ỗỗ- ; ữ
ữ
ỗố 3 3 ữ
ứ

ổ 1 2ử
B. E ỗỗ- ; ữ
ữ
ữ
ỗố 3 3 ứ

ổ 1 2ử
C. E ỗỗ- ; - ữ
ữ
ỗố 3 3 ữ
ứ

ổ1 2 ử
D. E ỗỗ ; ữ
ữ
ỗố 3 3 ữ
ứ

d) Xỏc nh giao im hai ng thng DE v AC

ổ 7 1ử
A. I ỗỗ- ; ữ
ữ
ỗố 2 2 ứữ

ổ3 1 ử
B. I ỗỗ ; - ữ
ữ
ỗố 2 2 ứữ

ổ7 1 ử
C. I ỗỗ ; ữ
ữ
ữ
ỗố 4 2 ứ

ổ7 1 ử
D. I ỗỗ ; ữ
ữ
ữ
ỗố 2 2 ứ

Li gii:
uuur
uuur
uuur
uuur

- 9
3
a) Ta cú AB (- 9; 3), AC (- 5; - 5) . Vỡ
suy ra AB v AC khụng cựng phng
ạ
- 5 - 5

Hay A, B, C l ba nh mt tam giỏc.
b) D trờn trc honh ị D (x; 0)

uuur
uuur
Ba im A, B, D thng hng suy ra AB v AD khụng cựng phng
uuur
x- 6 - 3
Mt khỏc AD (x - 6; - 3) do ú
=
ị x = 15
- 9
3
Vy D (15; 0)
uur
uuur
c) Vỡ E thuc on BC v BE = 2EC suy ra BE = 2 EC

uur
uuur
Gi E (x; y) khi ú BE(x + 3; y - 6), EC (1 - x; - 2 - y)
ỡù x + 3 = 2 (1 - x)

Do ú ùớ
ùù y - 6 = 2 (- 2 - y)
ùợ

ổ 1 2ử
Vy E ỗỗ- ; ữ
ữ
ữ
ỗố 3 3 ứ

ỡù
ùù x = - 1
3
ùớ
ùù
2
ùù y =
3
ùợ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
d) Gọi I (x; y) là giao điểm của DE và AC.

uur
uuur æ 46 2 ö
3 (x - 15) 3y
Do đó DI (x - 15; y), DE ççcùng
phương
suy

ra
; ÷
=
Þ x + 23 y - 15 = 0
÷
÷
çè 3 3 ø
- 46
2
(1)

uur
uuur
x- 6 y- 3
AI (x - 6; y - 3), AC (- 5; - 5) cùng phương suy ra
=
Þ x - y - 3 = 0 (2)
- 5
- 5
Từ (1) và (2) suy ra x =

7
1
và y =
2
2

æ7 1 ö
Vậy giao điểm hai đường thẳng DE và AC là I çç ; ÷
÷

÷
çè 2 2 ø
3. Bài tập luyên tập.
Bài 1.94. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A (1; - 2), B (0; 3), C (- 3; 4) và
D (- 1; 8) .

a) Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng
A. A, B, D thẳng hàng

B. A, B,C thẳng hàng

C. A, C, D thẳng hàng

D. C, B, D thẳng hàng

uuur
uuur
b) Chứng minh AB và AC không cùng phương
uuur
uuur
uuur
c) Phân tích CD qua AB và AC
uuur
uuur
uuur
A. CD = 2 AB - 2 AC

uuur
uuur uuur
B. CD = 2 AB - AC

uuur
uuur uuur
C. CD = 3 AB - AC

uuuuur
uuur
uuur 1
D. CD = 2 AB - AC
2
Lời giải:

Bài 1.94: a) A, B, D thẳng hàng


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur
uuur
uuur
- 1 5 uuur
AC không cùng phương
b) AB (- 1; 5), AC (- 4; 6) . Vì
và
¹ Þ AB
- 4 6

uuur
uuur
uuur
uuur

c) CD (2; 4). CD = xAB + yAC Û

ìï - x - 4 y = 2
ïí
Û
ïïî 5x + 6 y = 4

uuur
uuur uuur
ìï x = 2
ïí
Þ CD = 2 AB - AC
ïïî y = - 1

Bài 1.95. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A (0;1), B (1; 3), C (2; 7 ) và D (0; 3) .
Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD

æ 2 ö
A. I çç- ; 3÷
÷
çè 3 ø÷

æ1
ö
B. I çç ; - 3÷
÷
÷
çè 3
ø

æ4
ö
C. I çç ;13÷
÷
÷
çè 3
ø

æ2 ö
D. I çç ; 3÷
÷
çè 3 ø÷

Lời giải:
uuur uuur
uur uuur
Bài 1.95: Gọi I (x; y) là giao điểm AC và BD suy ra AI ; AC cùng phương và BI ; BD

cùng phương
Mặt khác
uur
uuur
x y- 1
AI = ( x ; y - 1), AC = (2 ; 6) suy ra =
Û 6 x - 2 y = - 2 (1)
2
6
uur
uuur
2

BI = ( x - 1; y - 3), BD = (- 1; 0) suy ra y = 3 thế vào (1) ta có x =
3

æ2 ö
Vậy I çç ; 3÷
÷ là điểm cần tìm.
èç 3 ø÷

r
r
Bài 1.96. Cho a = (3; 2), b = (- 3;1)
r
r
a) Chứng minh a và b không cùng phương
r
r
r
r r
r
r r
b) Đặt u = (2 - x)a + (3 + y)b . Tìm x, y sao cho u cùng phương với xa + b và a + b .

ìï x = 2
ìï x = 1
A. ïí
hoặc ïí
ïïî y = 3
ïïî y = - 2

ìï x = 2

ìï x = - 1
B. ïí
hoặc ïí
ïïî y = - 3
ïïî y = - 2

ìï x = - 2
ìï x = 1
C. ïí
hoặc ïí
ïïî y = 2
ïïî y = 3

ìï x = 2
ìï x = 1
D. ïí
hoặc ïí
ïïî y = - 3
ïïî y = - 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:

r
Bài 1.96: b) Ta có u = (- 3x - 3 y - 3; - 2 x + y + 7)
r r
r r
xa + b = (3x - 3; 2 x + 1), a + b = (0; 3)
r r

r
r r
u cùng phương với xa + b và a + b khi và chỉ khi có sô k , l sao cho
r
r r r
r r
u = k xa + b , u = l a + b

(

)

(

)

ìï - 3x - 3 y - 3 = k (3 x - 3)
ïï
ïï - 2 x + y + 7 = k 2 x + 1
(
)
Do đó ïí
ïï
- 3x - 3 y - 3 = 0
ïï
ïïî
- 2 x + y + 7 = 3l

ìï x = 2
ìï x = 1

Suy ra ïí
hoặc ïí
ïïî y = - 3
ïïî y = - 2
Bài 1.97. Cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2;1), C(- 1; - 2) . Tìm điểm M trên đường
thẳng BC sao cho SABC = 3SABM
A. M1 (1; 2), M2 (4; 2)

B. M1 (- 1; 2), M2 (- 3; - 2)

C. M1 (1; 2), M2 (3; - 2)

D. M1 (1; 0), M2 (3; 2)
Lời giải:

uuur
uuur
Bài 1.97: Ta có SABC = 3SABM Û BC = 3BM Þ BC = ± 3 BM

uuur
uuur
Gọi M (x; y) Þ BM (x - 2; y - 1); BC (- 3; - 3)

ìï - 3 = 3 (x - 2) ìï x = 1
ìï - 3 = - 3 (x - 2) ïì x = 3
Û ïí
Û ïí
Suy ra ïí
hoặc ïí
ïï - 3 = 3 (y - 1) ïïî y = 0

ïï - 3 = - 3 (y - 1) îïï y = 2
ïî
ïî
Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 (1; 0), M2 (3; 2)
Bài 1.98. Cho ba điểm A(- 1; - 1), B(0;1), C(3; 0)